文档内容
2017 年江苏省高考数学试卷
一.填空题
1．（5分）已知集合A={1，2}，B={a，a2+3}．若A∩B={1}，则实数a的值为 ．
2．（5分）已知复数z=（1+i）（1+2i），其中i 是虚数单位，则z的模是 ．
3．（5 分）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为 200，
400，300，100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品
中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取 件．
4．（5分）如图是一个算法流程图：若输入x的值为 ，则输出y的值是 ．
5．（5分）若tan（α﹣ ）= ．则tanα= ．
6．（5分）如图，在圆柱O O 内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均
1 2
相切，记圆柱O O 的体积为V ，球O的体积为V ，则 的值是 ．
1 2 1 2
7．（5分）记函数f（x）= 定义域为D．在区间[﹣4，5]上随机取一个数
第1页 | 共36页x，则x∈D 的概率是 ．
8．（5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 ﹣y2=1 的右准线与它的两条渐
近线分别交于点P，Q，其焦点是F ，F ，则四边形F PF Q的面积是 ．
1 2 1 2
9．（5分）等比数列{a }的各项均为实数，其前n项为S ，已知S = ，S = ，
n n 3 6
则a = ．
8
10．（5分）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，
一年的总存储费用为 4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 x
的值是 ．
11．（5 分）已知函数 f（x）=x3﹣2x+ex﹣ ，其中 e 是自然对数的底数．若 f
（a﹣1）+f（2a2）≤0．则实数a的取值范围是 ．
12．（5分）如图，在同一个平面内，向量 ， ， 的模分别为1，1， ，
与 的夹角为 α，且 tanα=7， 与 的夹角为 45°．若 =m +n （m，n∈
R），则m+n= ．
13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，A（﹣12，0），B（0，6），点P在圆O：
x2+y2=50上．若 ≤20，则点P的横坐标的取值范围是 ．
14．（5分）设f（x）是定义在R上且周期为1的函数，在区间[0，1）上，f（x）
= ，其中集合D={x|x= ，n∈N*}，则方程f（x）﹣lgx=0的解的个数
是 ．
二.解答题
15．（14 分）如图，在三棱锥 A﹣BCD 中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面 ABD⊥平面
BCD，点E、F（E与A、D不重合）分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD．
第2页 | 共36页求证：（1）EF∥平面ABC；
（2）AD⊥AC．
16．（14分）已知向量 =（cosx，sinx）， =（3，﹣ ），x∈[0，π]．
（1）若 ∥ ，求x的值；
（2）记f（x）= ，求 f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．
第3页 | 共36页17．（14 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 E： =1（a＞b＞0）
的左、右焦点分别为F ，F ，离心率为 ，两准线之间的距离为8．点P在椭圆E
1 2
上，且位于第一象限，过点F 作直线PF 的垂线l ，过点F 作直线PF 的垂线l ．
1 1 1 2 2 2
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）若直线l ，l 的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标．
1 2
第4页 | 共36页18．（16分）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ
的高均为32cm，容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10 cm，容器Ⅱ的两底面对角
线 EG，E G 的长分别为 14cm 和 62cm．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深
1 1
均为12cm．现有一根玻璃棒l，其长度为40cm．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略
不计）
（1）将 l 放在容器Ⅰ中，l 的一端置于点 A 处，另一端置于侧棱 CC 上，求 l 没
1
入水中部分的长度；
（2）将 l 放在容器Ⅱ中，l 的一端置于点 E 处，另一端置于侧棱 GG 上，求 l 没
1
入水中部分的长度．
第5页 | 共36页19 ．（ 16 分 ） 对 于 给 定 的 正 整 数 k ， 若 数 列 {a } 满 足 ：
n
a +a +…+a +a +…+a +a =2ka 对任意正整数n（n＞k）总成立，则称
n﹣k n﹣k+1 n﹣1 n+1 n+k﹣1 n+k n
数列{a }是“P（k）数列”．
n
（1）证明：等差数列{a }是“P（3）数列”；
n
（2）若数列{a }既是“P（2）数列”，又是“P（3）数列”，证明：{a }是等差数列．
n n
第6页 | 共36页20．（16 分）已知函数 f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值，且导函数 f′
（x）的极值点是f（x）的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）
（1）求b关于a的函数关系式，并写出定义域；
（2）证明：b2＞3a；
（3）若f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣ ，求a的取值范围．
第7页 | 共36页二.非选择题，附加题（21-24选做题）【选修 4-1：几何证明选讲】（本小题满分 0
分）
21．如图，AB 为半圆O 的直径，直线PC切半圆O于点C，AP⊥PC，P为垂足．
求证：（1）∠PAC=∠CAB；
（2）AC2 =AP•AB．
第8页 | 共36页[选修 4-2：矩阵与变换]
22．已知矩阵A= ，B= ．
（1）求AB；
（2）若曲线 C ： =1 在矩阵 AB 对应的变换作用下得到另一曲线 C ，求
1 2
C 的方程．
2
[选修 4-4：坐标系与参数方程]
23．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为 （t为参数），
曲线 C 的参数方程为 （s 为参数）．设 P 为曲线 C 上的动点，求点 P 到
直线l 的距离的最小值．
第9页 | 共36页［选修 4-5：不等式选讲］
24．已知a，b，c，d为实数，且a2+b2=4，c2+d2=16，证明ac+bd≤8．
【必做题】
25．如图，在平行六面体 ABCD﹣A B C D 中，AA ⊥平面 ABCD，且 AB=AD=2，
1 1 1 1 1
AA = ，∠BAD=120°．
1
第10页 | 共36页（1）求异面直线A B与AC 所成角的余弦值；
1 1
（2）求二面角B﹣A D﹣A的正弦值．
1
26．已知一个口袋有 m 个白球，n 个黑球（m，n∈N*，n≥2），这些球除颜色外
全部相同．现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为 1，2，
3，…，m+n 的抽屉内，其中第 k 次取出的球放入编号为 k 的抽屉（k=1，2，
3，…，m+n）．
1 2 3 … m+n
（1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p；
（2）随机变量 x 表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E（X）是 X 的
数学期望，证明E（X）＜ ．
第11页 | 共36页2017 年江苏省高考数学试卷
参考答案与试题解析
一.填空题
1．（5分）（2017•江苏）已知集合A={1，2}，B={a，a2+3}．若A∩B={1}，则实
数a的值为 1 ．
【分析】利用交集定义直接求解．
【解答】解：∵集合A={1，2}，B={a，a2+3}．A∩B={1}，
∴a=1或a2+3=1，
解得a=1．
故答案为：1．
【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义
及性质的合理运用．
2．（5 分）（2017•江苏）已知复数 z=（1+i）（1+2i），其中 i 是虚数单位，则 z 的
模是 ．
【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．
【解答】解：复数z=（1+i）（1+2i）=1﹣2+3i=﹣1+3i，
∴|z|= = ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能
力，属于基础题．
3．（5分）（2017•江苏）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量
分别为200，400，300，100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以
上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取 18 件．
【分析】由题意先求出抽样比例即为 ，再由此比例计算出应从丙种型号的产
第12页 | 共36页品中抽取的数目．
【解答】解：产品总数为 200+400+300+100=1000 件，而抽取 60 辆进行检验，
抽样比例为 = ，
则应从丙种型号的产品中抽取300× =18件，
故答案为：18
【点评】本题的考点是分层抽样．分层抽样即要抽样时保证样本的结构和总体的
结构保持一致，按照一定的比例，即样本容量和总体容量的比值，在各层中进行
抽取．
4．（5分）（2017•江苏）如图是一个算法流程图：若输入x 的值为 ，则输出y
的值是 ﹣2 ．
【分析】直接模拟程序即得结论．
【解答】解：初始值x= ，不满足x≥1，
所以y=2+log =2﹣ =﹣2，
2
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查程序框图，模拟程序是解决此类问题的常用方法，注意解题方
法的积累，属于基础题．
5．（5分）（2017•江苏）若tan（α﹣ ）= ．则tanα= ．
第13页 | 共36页【分析】直接根据两角差的正切公式计算即可
【解答】解：∵tan（α﹣ ）= = =
∴6tanα﹣6=tanα+1，
解得tanα= ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了两角差的正切公式，属于基础题
6．（5 分）（2017•江苏）如图，在圆柱 O O 内有一个球 O，该球与圆柱的上、
1 2
下底面及母线均相切，记圆柱 O O 的体积为 V ，球 O 的体积为 V ，则 的值
1 2 1 2
是 ．
【分析】设出球的半径，求出圆柱的体积以及球的体积即可得到结果．
【解答】解：设球的半径为R，则球的体积为： R3，
圆柱的体积为：πR2•2R=2πR3．
则 = = ．
故答案为： ．
【点评】本题考查球的体积以及圆柱的体积的求法，考查空间想象能力以及计算
能力．
第14页 | 共36页7．（5分）（2017•江苏）记函数f（x）= 定义域为D．在区间[﹣4，5]上
随机取一个数x，则x∈D 的概率是 ．
【分析】求出函数的定义域，结合几何概型的概率公式进行计算即可．
【解答】解：由6+x﹣x2≥0得x2﹣x﹣6≤0，得﹣2≤x≤3，
则D=[﹣2，3]，
则在区间[﹣4，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率P= = ，
故答案为：
【点评】本题主要考查几何概型的概率公式的计算，结合函数的定义域求出D，
以及利用几何概型的概率公式是解决本题的关键．
8．（5 分）（2017•江苏）在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 ﹣y2=1 的右准线
与它的两条渐近线分别交于点 P，Q，其焦点是 F ，F ，则四边形 F PF Q 的面积
1 2 1 2
是 ．
【分析】求出双曲线的准线方程和渐近线方程，得到P，Q坐标，求出焦点坐标，
然后求解四边形的面积．
【解答】解：双曲线 ﹣y2=1的右准线：x= ，双曲线渐近线方程为：y= x，
所以P（ ， ），Q（ ，﹣ ），F （﹣2，0）．F （2，0）．
1 2
则四边形F PF Q的面积是： =2 ．
1 2
故答案为：2 ．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．
9．（5分）（2017•江苏）等比数列{a }的各项均为实数，其前n项为S ，已知S =
n n 3
，S = ，则a = 32 ．
6 8
【分析】设等比数列{a }的公比为 q≠1，S = ，S = ，可得 = ，
n 3 6
第15页 | 共36页= ，联立解出即可得出．
【解答】解：设等比数列{a }的公比为q≠1，
n
∵S = ，S = ，∴ = ， = ，
3 6
解得a = ，q=2．
1
则a = =32．
8
故答案为：32．
【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能
力，属于中档题．
10．（5 分）（2017•江苏）某公司一年购买某种货物 600 吨，每次购买 x 吨，运
费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用
之和最小，则x的值是 30 ．
【分析】由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和= +4x，利用基本
不等式的性质即可得出．
【解答】解：由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和= +4x≥4×2×
=240（万元）．
当且仅当x=30时取等号．
故答案为：30．
【点评】本题考查了基本不等式的性质及其应用，考查了推理能力与计算能力，
属于基础题．
11．（5 分）（2017•江苏）已知函数 f（x）=x3﹣2x+ex﹣ ，其中 e 是自然对数
的底数．若f（a﹣1）+f（2a2）≤0．则实数a的取值范围是 [﹣1， ] ．
【分析】求出f（x）的导数，由基本不等式和二次函数的性质，可得f（x）在R
上递增；再由奇偶性的定义，可得 f（x）为奇函数，原不等式即为 2a2≤1﹣a，
第16页 | 共36页运用二次不等式的解法即可得到所求范围．
【解答】解：函数f（x）=x3﹣2x+ex﹣ 的导数为：
f′（x）=3x2﹣2+ex+ ≥﹣2+2 =0，
可得f（x）在R 上递增；
又f（﹣x）+f（x）=（﹣x）3+2x+e﹣x﹣ex+x3﹣2x+ex﹣ =0，
可得f（x）为奇函数，
则f（a﹣1）+f（2a2）≤0，
即有f（2a2）≤﹣f（a﹣1）=f（1﹣a），
即有2a2≤1﹣a，
解得﹣1≤a≤ ，
故答案为：[﹣1， ]．
【点评】本题考查函数的单调性和奇偶性的判断和应用，注意运用导数和定义法，
考查转化思想的运用和二次不等式的解法，考查运算能力，属于中档题．
12．（5分）（2017•江苏）如图，在同一个平面内，向量 ， ， 的模分别为
1，1， ， 与 的夹角为α，且tanα=7， 与 的夹角为45°．若 =m +n
（m，n∈R），则m+n= 3 ．
【分析】如图所示，建立直角坐标系．A（1，0）．由 与 的夹角为 α，且
tanα=7．可得 cosα= ，sinα= ．C ．可得 cos（α+45°）= ．sin
（α+45°）= ．B ．利用 =m +n （m，n∈R），即可得出．
第17页 | 共36页【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．A（1，0）．
由 与 的夹角为α，且tanα=7．
∴cosα= ，sinα= ．
∴C ．
cos（α+45°）= （cosα﹣sinα）= ．
sin（α+45°）= （sinα+cosα）= ．
∴B ．
∵ =m +n （m，n∈R），
∴ =m﹣ n， =0+ n，
解得n= ，m= ．
则m+n=3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了向量坐标运算性质、和差公式，考查了推理能力与计算能力，
属于中档题．
13．（5分）（2017•江苏）在平面直角坐标系xOy 中，A（﹣12，0），B（0，6），
点P在圆O：x2+y2=50上．若 ≤20，则点P的横坐标的取值范围是 [﹣5
，1] ．
【分析】根据题意，设P（x ，y ），由数量积的坐标计算公式化简变形可得2x +y +5
0 0 0 0
≤0，分析可得其表示表示直线 2x+y+5≤0 以及直线下方的区域，联立直线与圆
第18页 | 共36页的方程可得交点的横坐标，结合图形分析可得答案．
【解答】解：根据题意，设P（x ，y ），则有x 2+y 2=50，
0 0 0 0
=（﹣12﹣x ，﹣y ）•（﹣x ，6﹣y ）=（12+x ）x ﹣y（6﹣y ）=12x +6y+x 2+y 2
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
≤20，
化为：12x ﹣6y +30≤0，
0 0
即2x ﹣y +5≤0，表示直线2x+y+5≤0以及直线下方的区域，
0 0
联立 ，解可得x =﹣5或x =1，
0 0
结合图形分析可得：点P的横坐标x 的取值范围是[﹣5 ，1]，
0
故答案为：[﹣5 ，1]．
【点评】本题考查数量积的运算以及直线与圆的位置关系，关键是利用数量积化
简变形得到关于x 、y 的关系式．
0 0
14．（5分）（2017•江苏）设f（x）是定义在R上且周期为1的函数，在区间[0，
1）上，f（x）= ，其中集合D={x|x= ，n∈N*}，则方程f（x）﹣lgx=0
的解的个数是 8 ．
【分析】由已知中f（x）是定义在R上且周期为1的函数，在区间[0，1）上，f
（x）= ，其中集合D={x|x= ，n∈N*}，分析f（x）的图象与y=lgx
图象交点的个数，进而可得答案．
第19页 | 共36页【解答】解：∵在区间[0，1）上，f（x）= ，
第一段函数上的点的横纵坐标均为有理数，
又f（x）是定义在R 上且周期为1的函数，
∴在区间[1，2）上，f（x）= ，此时 f（x）的图象与 y=lgx 有且
只有一个交点；
同理：
区间[2，3）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；
区间[3，4）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；
区间[4，5）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；
区间[5，6）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；
区间[6，7）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；
区间[7，8）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；
区间[8，9）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；
在区间[9，+∞）上，f（x）的图象与y=lgx无交点；
故f（x）的图象与y=lgx有8个交点；
即方程f（x）﹣lgx=0的解的个数是8，
故答案为：8
【点评】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，函数的图象和性质，
转化思想，难度中档．
二.解答题
15．（14 分）（2017•江苏）如图，在三棱锥 A﹣BCD 中，AB⊥AD，BC⊥BD，平
面ABD⊥平面BCD，点E、F（E与A、D不重合）分别在棱AD，BD上，且EF⊥
AD．
求证：（1）EF∥平面ABC；
（2）AD⊥AC．
第20页 | 共36页【分析】（1）利用AB∥EF及线面平行判定定理可得结论；
（2）通过取线段CD上点G，连结FG、EG使得FG∥BC，则EG∥AC，利用线面
垂直的性质定理可知FG⊥AD，结合线面垂直的判定定理可知AD⊥平面EFG，从
而可得结论．
【解答】证明：（1）因为AB⊥AD，EF⊥AD，且A、B、E、F四点共面，
所以AB∥EF，
又因为EF⊊平面ABC，AB⊆平面ABC，
所以由线面平行判定定理可知：EF∥平面ABC；
（2）在线段CD上取点G，连结FG、EG使得FG∥BC，则EG∥AC，
因为BC⊥BD，所以FG∥BC，
又因为平面ABD⊥平面BCD，
所以FG⊥平面ABD，所以FG⊥AD，
又因为AD⊥EF，且EF∩FG=F，
所以AD⊥平面EFG，所以AD⊥EG，
故AD⊥AC．
【点评】本题考查线面平行及线线垂直的判定，考查空间想象能力，考查转化思
想，涉及线面平行判定定理，线面垂直的性质及判定定理，注意解题方法的积累，
属于中档题．
16．（14 分）（2017•江苏）已知向量 =（cosx，sinx）， =（3，﹣ ），x∈[0，
第21页 | 共36页π]．
（1）若 ∥ ，求x的值；
（2）记f（x）= ，求 f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．
【分析】（1）根据向量的平行即可得到tanx=﹣ ，问题得以解决，
（2）根据向量的数量积和两角和余弦公式和余弦函数的性质即可求出
【解答】解：（1）∵ =（cosx，sinx）， =（3，﹣ ）， ∥ ，
∴﹣ cosx=3sinx，
∴tanx=﹣ ，
∵x∈[0，π]，
∴x= ，
（2）f（x）= =3cosx﹣ sinx=2 （ cosx﹣ sinx）=2 cos（x+ ），
∵x∈[0，π]，
∴x+ ∈[ ， ]，
∴﹣1≤cos（x+ ）≤ ，
当x=0时，f（x）有最大值，最大值3，
当x= 时，f（x）有最小值，最大值﹣2 ．
【点评】本题考查了向量的平行和向量的数量积以及三角函数的化简和三角函数
的性质，属于基础题
17．（14分）（2017•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E： =1
（a＞b＞0）的左、右焦点分别为 F ，F ，离心率为 ，两准线之间的距离为
1 2
8．点 P 在椭圆 E 上，且位于第一象限，过点 F 作直线 PF 的垂线 l ，过点 F 作
1 1 1 2
直线PF 的垂线l ．
2 2
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）若直线l ，l 的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标．
1 2
第22页 | 共36页【分析】（1）由椭圆的离心率公式求得a=2c，由椭圆的准线方程x=± ，则2
× =8，即可求得a和c的值，则b2=a2﹣c2=3，即可求得椭圆方程；
（2）设 P 点坐标，分别求得直线 PF 的斜率及直线 PF 的斜率，则即可求得 l
2 1 2
及l 的斜率及方程，联立求得Q点坐标，由Q在椭圆方程，求得y 2=x 2﹣1，联
1 0 0
立即可求得P点坐标；
方法二：设 P（m，n），当 m≠1 时， = ， = ，求得直线 l 及 l
1 1
的方程，联立求得Q点坐标，根据对称性可得 =±n2，联立椭圆方程，即可
求得P点坐标．
【解答】解：（1）由题意可知：椭圆的离心率e= = ，则a=2c，①
椭圆的准线方程x=± ，由2× =8，②
由①②解得：a=2，c=1，
则b2=a2﹣c2=3，
∴椭圆的标准方程： ；
（2）方法一：设P（x ，y ），则直线PF 的斜率 = ，
0 0 2
则直线l 的斜率k =﹣ ，直线l 的方程y=﹣ （x﹣1），
2 2 2
直线PF 的斜率 = ，
1
则直线l 的斜率k =﹣ ，直线l 的方程y=﹣ （x+1），
2 2 2
第23页 | 共36页联立 ，解得： ，则Q（﹣x ， ），
0
由P，Q在椭圆上，P，Q的横坐标互为相反数，纵坐标应相等，则y = ，
0
∴y 2=x 2﹣1，
0 0
则 ，解得： ，则 ，
又P在第一象限，所以P的坐标为：
P（ ， ）．
方法二：设P（m，n），由P在第一象限，则m＞0，n＞0，
当m=1时， 不存在，解得：Q与F 重合，不满足题意，
1
当m≠1时， = ， = ，
由l ⊥PF ，l ⊥PF ，则 =﹣ ， =﹣ ，
1 1 2 2
直线l 的方程y=﹣ （x+1），①直线l 的方程y=﹣ （x﹣1），②
1 2
联立解得：x=﹣m，则Q（﹣m， ），
由Q在椭圆方程，由对称性可得： =±n2，
第24页 | 共36页即m2﹣n2=1，或m2+n2=1，
由 P（m，n），在椭圆方程， ，解得： ，或 ，无
解，
又P在第一象限，所以P的坐标为：
P（ ， ）．
【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查直线的斜率公
式，考查数形结合思想，考查计算能力，属于中档题．
18．（16分）（2017•江苏）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台
形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm，容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10 cm，容器Ⅱ
的两底面对角线 EG，E G 的长分别为 14cm 和 62cm．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中
1 1
注入水，水深均为12cm．现有一根玻璃棒l，其长度为40cm．（容器厚度、玻璃
棒粗细均忽略不计）
（1）将 l 放在容器Ⅰ中，l 的一端置于点 A 处，另一端置于侧棱 CC 上，求 l 没
1
入水中部分的长度；
（2）将 l 放在容器Ⅱ中，l 的一端置于点 E 处，另一端置于侧棱 GG 上，求 l 没
1
入水中部分的长度．
【分析】（1）设玻璃棒在 CC 上的点为 M，玻璃棒与水面的交点为 N，过 N 作
1
NP∥MC，交 AC 于点 P，推导出 CC ⊥平面 ABCD，CC ⊥AC，NP⊥AC，求出
1 1
MC=30cm，推导出△ANP∽△AMC，由此能出玻璃棒l 没入水中部分的长度．
（2）设玻璃棒在 GG 上的点为 M，玻璃棒与水面的交点为 N，过点 N 作 NP⊥
1
第25页 | 共36页EG，交 EG 于点 P，过点 E 作 EQ⊥E G ，交 E G 于点 Q，推导出 EE G G 为等腰
1 1 1 1 1 1
梯形，求出 E Q=24cm，E E=40cm，由正弦定理求出 sin∠GEM= ，由此能求出
1 1
玻璃棒l 没入水中部分的长度．
【解答】解：（1）设玻璃棒在CC 上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，
1
在平面ACM中，过N作NP∥MC，交AC于点P，
∵ABCD﹣A B C D 为正四棱柱，∴CC ⊥平面ABCD，
1 1 1 1 1
又∵AC⊂平面ABCD，∴CC ⊥AC，∴NP⊥AC，
1
∴NP=12cm，且AM2=AC2+MC2，解得MC=30cm，
∵NP∥MC，∴△ANP∽△AMC，
∴ = ， ，得AN=16cm．
∴玻璃棒l 没入水中部分的长度为16cm．
（2）设玻璃棒在GG 上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，
1
在平面E EGG 中，过点N作NP⊥EG，交EG于点P，
1 1
过点E作EQ⊥E G ，交E G 于点Q，
1 1 1 1
∵EFGH﹣E F G H 为正四棱台，∴EE =GG ，EG∥E G ，
1 1 1 1 1 1 1 1
EG≠E G ，
1 1
∴EE G G为等腰梯形，画出平面E EGG 的平面图，
1 1 1 1
∵E G =62cm，EG=14cm，EQ=32cm，NP=12cm，
1 1
∴E Q=24cm，
1
由勾股定理得：E E=40cm，
1
∴sin∠EE G = ，sin∠EGM=sin∠EE G = ，cos ，
1 1 1 1
根据正弦定理得： = ，∴sin ，cos ，
∴sin∠GEM=sin（∠EGM+∠EMG）=sin∠EGMcos∠EMG+cos∠EGMsin∠EMG= ，
∴EN= = =20cm．
∴玻璃棒l 没入水中部分的长度为20cm．
第26页 | 共36页【点评】本题考查玻璃棒l 没入水中部分的长度的求法，考查空间中线线、线面、
面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能
力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．
19．（16 分）（2017•江苏）对于给定的正整数 k，若数列{a }满足：
n
a +a +…+a +a +…+a +a =2ka 对任意正整数n（n＞k）总成立，则称
n﹣k n﹣k+1 n﹣1 n+1 n+k﹣1 n+k n
数列{a }是“P（k）数列”．
n
（1）证明：等差数列{a }是“P（3）数列”；
n
（2）若数列{a }既是“P（2）数列”，又是“P（3）数列”，证明：{a }是等差数列．
n n
【分析】（1）由题意可知根据等差数列的性质，a +a +a +a +a +a =
n﹣3 n﹣2 n﹣1 n+1 n+2 n+3
（a +a ）+（a +a ）+（a +a ）═2×3a ，根据“P（k）数列”的定义，
n﹣3 n+3 n﹣2 n+2 n﹣1 n+1 n
可得数列{a }是“P（3）数列”；
n
（ 2 ） 由 “P （ k ） 数 列 ” 的 定 义 ， 则 a +a +a +a =4a ，
n﹣2 n﹣1 n+1 n+2 n
a +a +a +a +a +a =6a ，变形整理即可求得 2a =a +a ，即可证明数
n﹣3 n﹣2 n﹣1 n+1 n+2 n+3 n n n﹣1 n+1
列{a }是等差数列．
n
【解答】解：（1）证明：设等差数列{a }首项为a ，公差为d，则a =a +（n﹣1）
n 1 n 1
d，
则a +a +a +a +a +a ，
n﹣3 n﹣2 n﹣1 n+1 n+2 n+3
=（a +a ）+（a +a ）+（a +a ），
n﹣3 n+3 n﹣2 n+2 n﹣1 n+1
第27页 | 共36页=2a +2a +2a ，
n n n
=2×3a ，
n
∴等差数列{a }是“P（3）数列”；
n
（2）证明：由数列{a }是“P（2）数列”则a +a +a +a =4a ，①
n n﹣2 n﹣1 n+1 n+2 n
数列{a }是“P（3）数列”a +a +a +a +a +a =6a ，②
n n﹣3 n﹣2 n﹣1 n+1 n+2 n+3 n
由①可知：a +a +a +a =4a ，③
n﹣3 n﹣2 n n+1 n﹣1
a +a +a +a =4a ，④
n﹣1 n n+2 n+3 n+1
由②﹣（③+④）：﹣2a =6a ﹣4a ﹣4a ，
n n n﹣1 n+1
整理得：2a =a +a ，
n n﹣1 n+1
∴数列{a }是等差数列．
n
【点评】本题考查等差数列的性质，考查数列的新定义的性质，考查数列的运算，
考查转化思想，属于中档题．
20．（16分）（2017•江苏）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值，
且导函数f′（x）的极值点是f（x）的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自
变量的值）
（1）求b关于a的函数关系式，并写出定义域；
（2）证明：b2＞3a；
（3）若f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣ ，求a的取值范围．
【分析】（1）通过对f（x）=x3+ax2+bx+1求导可知g（x）=f′（x）=3x2+2ax+b，进
而再求导可知 g′（x）=6x+2a，通过令 g′（x）=0 进而可知 f′（x）的极小值点为
x=﹣ ，从而f（﹣ ）=0，整理可知b= + （a＞0），结合f（x）=x3+ax2+bx+1
（a＞0，b∈R）有极值可知f′（x）=0有两个不等的实根，进而可知a＞3．
（2）通过（1）构造函数 h（a）=b2﹣3a= ﹣ + = （4a3﹣27）
（a3﹣27），结合a＞3可知h（a）＞0，从而可得结论；
（3）通过（1）可知 f′（x）的极小值为 f′（﹣ ）=b﹣ ，利用韦达定理及完
全平方关系可知y=f（x）的两个极值之和为 ﹣ +2，进而问题转化为解不
第28页 | 共36页等式b﹣ + ﹣ +2= ﹣ ≥﹣ ，因式分解即得结论．
【解答】（1）解：因为f（x）=x3+ax2+bx+1，
所以g（x）=f′（x）=3x2+2ax+b，g′（x）=6x+2a，
令g′（x）=0，解得x=﹣ ．
由于当x＞﹣ 时g′（x）＞0，g（x）=f′（x）单调递增；当x＜﹣ 时g′（x）＜
0，g（x）=f′（x）单调递减；
所以f′（x）的极小值点为x=﹣ ，
由于导函数f′（x）的极值点是原函数f（x）的零点，
所以f（﹣ ）=0，即﹣ + ﹣ +1=0，
所以b= + （a＞0）．
因为f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值，
所以f′（x）=3x2+2ax+b=0有两个不等的实根，
所以4a2﹣12b＞0，即a2﹣ + ＞0，解得a＞3，
所以b= + （a＞3）．
（2）证明：由（1）可知 h（a）=b2﹣3a= ﹣ + = （4a3﹣27）
（a3﹣27），
由于a＞3，所以h（a）＞0，即b2＞3a；
（3）解：由（1）可知f′（x）的极小值为f′（﹣ ）=b﹣ ，
设x ，x 是y=f（x）的两个极值点，则x +x = ，x x = ，
1 2 1 2 1 2
所以f（x ）+f（x ）= + +a（ + ）+b（x +x ）+2
1 2 1 2
=（x +x ）[（x +x ）2﹣3x x ]+a[（x +x ）2﹣2x x ]+b（x +x ）+2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
= ﹣ +2，
又因为f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣ ，
所以b﹣ + ﹣ +2= ﹣ ≥﹣ ，
第29页 | 共36页因为a＞3，所以2a3﹣63a﹣54≤0，
所以2a（a2﹣36）+9（a﹣6）≤0，
所以（a﹣6）（2a2+12a+9）≤0，
由于a＞3时2a2+12a+9＞0，
所以a﹣6≤0，解得a≤6，
所以a的取值范围是（3，6]．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值，考查运算求解能力，考查
转化思想，注意解题方法的积累，属于难题．
二.非选择题，附加题（21-24选做题）【选修 4-1：几何证明选讲】（本小题满分 0
分）
21．（2017•江苏）如图，AB 为半圆 O 的直径，直线 PC 切半圆 O 于点 C，AP⊥
PC，P为垂足．
求证：（1）∠PAC=∠CAB；
（2）AC2 =AP•AB．
【分析】（1）利用弦切角定理可得：∠ACP=∠ABC．利用圆的性质可得∠
ACB=90°．再利用三角形内角和定理即可证明．
（2）由（1）可得：△APC∽△ACB，即可证明．
【解答】证明：（1）∵直线PC 切半圆O于点C，∴∠ACP=∠ABC．
∵AB为半圆O 的直径，∴∠ACB=90°．
∵AP⊥PC，∴∠APC=90°．
∴∠PAC=90°﹣∠ACP，∠CAB=90°﹣∠ABC，
∴∠PAC=∠CAB．
（2）由（1）可得：△APC∽△ACB，
∴ = ．
∴AC2 =AP•AB．
第30页 | 共36页【点评】本题考查了弦切角定理、圆的性质、三角形内角和定理、三角形相似的
判定与性质定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
[选修 4-2：矩阵与变换]
22．（2017•江苏）已知矩阵A= ，B= ．
（1）求AB；
（2）若曲线 C ： =1 在矩阵 AB 对应的变换作用下得到另一曲线 C ，求
1 2
C 的方程．
2
【分析】（1）按矩阵乘法规律计算；
（2）求出变换前后的坐标变换规律，代入曲线C 的方程化简即可．
1
【解答】解：（1）AB= = ，
（2）设点P（x，y）为曲线C 的任意一点，
1
点P在矩阵AB 的变换下得到点P′（x ，y ），
0 0
则 = ，即x =2y，y =x，
0 0
∴x=y ，y= ，
0
∴ ，即x 2+y 2=8，
0 0
∴曲线C 的方程为x2+y2=8．
2
【点评】本题考查了矩阵乘法与矩阵变换，属于中档题．
[选修 4-4：坐标系与参数方程]
23．（2017•江苏）在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 的参数方程为
第31页 | 共36页（t 为参数），曲线 C 的参数方程为 （s 为参数）．设 P 为曲线 C 上的动
点，求点P到直线l的距离的最小值．
【分析】求出直线l 的直角坐标方程，代入距离公式化简得出距离d关于参数s
的函数，从而得出最短距离．
【解答】解：直线l的直角坐标方程为x﹣2y+8=0，
∴P到直线l的距离d= = ，
∴当s= 时，d 取得最小值 = ．
【点评】本题考查了参数方程的应用，属于基础题．
［选修 4-5：不等式选讲］
24．（2017•江苏）已知 a，b，c，d 为实数，且 a2+b2=4，c2+d2=16，证明 ac+bd
≤8．
【分析】a2+b2=4，c2+d2=16，令a=2cosα，b=2sinα，c=4cosβ，d=4sinβ．代入 ac+bd
化简，利用三角函数的单调性即可证明．另解：由柯西不等式可得：（ac+bd）2
≤（a2+b2）（c2+d2），即可得出．
【解答】证明：∵a2+b2=4，c2+d2=16，
令a=2cosα，b=2sinα，c=4cosβ，d=4sinβ．
∴ac+bd=8（cosαcosβ+sinαsinβ）=8cos（α﹣β）≤8．当且仅当cos（α﹣β）=1时
取等号．
因此ac+bd≤8．
另解：由柯西不等式可得：（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）=4×16=64，当且仅当
时取等号．
∴﹣8≤ac+bd≤8．
【点评】本题考查了对和差公式、三角函数的单调性、不等式的性质，考查了推
理能力与计算能力，属于中档题．
【必做题】
第32页 | 共36页25．（2017•江苏）如图，在平行六面体 ABCD﹣A B C D 中，AA ⊥平面 ABCD，
1 1 1 1 1
且AB=AD=2，AA = ，∠BAD=120°．
1
（1）求异面直线A B与AC 所成角的余弦值；
1 1
（2）求二面角B﹣A D﹣A的正弦值．
1
【分析】在平面ABCD内，过A作Ax⊥AD，由AA ⊥平面ABCD，可得AA ⊥Ax，
1 1
AA ⊥AD，以A为坐标原点，分别以Ax、AD、AA 所在直线为x、y、z轴建立空
1 1
间直角坐标系．结合已知求出A，B，C，D，A ，C 的坐标，进一步求出 ，
1 1
， ， 的坐标．
（1）直接利用两法向量所成角的余弦值可得异面直线 A B 与 AC 所成角的余弦
1 1
值；
（2）求出平面BA D与平面A AD的一个法向量，再由两法向量所成角的余弦值
1 1
求得二面角B﹣A D﹣A的余弦值，进一步得到正弦值．
1
【解答】解：在平面ABCD内，过A 作Ax⊥AD，
∵AA ⊥平面ABCD，AD、Ax⊂平面ABCD，
1
∴AA ⊥Ax，AA ⊥AD，
1 1
以A 为坐标原点，分别以Ax、AD、AA 所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标
1
系．
∵AB=AD=2，AA = ，∠BAD=120°，
1
∴A（0，0，0），B（ ），C（ ，1，0），
D（0，2，0），
A （0，0， ），C （ ）．
1 1
= （ ）， = （ ）， ，
．
第33页 | 共36页（1）∵cos＜ ＞= = ．
∴异面直线A B与AC 所成角的余弦值为 ；
1 1
（2）设平面BA D的一个法向量为 ，
1
由 ，得 ，取x= ，得 ；
取平面A AD的一个法向量为 ．
1
∴cos＜ ＞= = ．
∴二面角 B﹣A D﹣A 的正弦值为 ，则二面角 B﹣A D﹣A 的正弦值为
1 1
．
【点评】本题考查异面直线所成的角与二面角，训练了利用空间向量求空间角，
是中档题．
26．（2017•江苏）已知一个口袋有 m 个白球，n 个黑球（m，n∈N*，n≥2），这
些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编
号为 1，2，3，…，m+n 的抽屉内，其中第 k 次取出的球放入编号为 k 的抽屉
（k=1，2，3，…，m+n）．
1 2 3 … m+n
（1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p；
（2）随机变量 x 表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E（X）是 X 的
数学期望，证明E（X）＜ ．
第34页 | 共36页【分析】（1）设事件 A 表示编号为 i 的抽屉里放的是黑球，则 p=p（A ）=P
i 2
（A |A ）P（A ）+P（A | ）P（ ），由此能求出编号为2的抽屉内放的是黑
2 1 1 2
球的概率．
（2）X 的所有可能取值为 ，…， ，P（x= ）= ，k=n，n+1，
n+2，…，n+m，从而 E（X）= （ ）= ，由此能证明 E
（X）＜ ．
【解答】解：（1）设事件A 表示编号为i 的抽屉里放的是黑球，
i
则p=p（A ）=P（A |A ）P（A ）+P（A | ）P（ ）
2 2 1 1 2
=
= = ．
证明：（2）∵X的所有可能取值为 ，…， ，
P（x= ）= ，k=n，n+1，n+2，…，n+m，
∴E（X）= （ ）=
= ＜ =
= •（ ）
= = ，
∴E（X）＜ ．
【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望等基础
知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、
化归与转化思想，是中档题．
第35页 | 共36页第36页 | 共36页
