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2023-2024人教版九年数学上册期末考试核心素养达标检测试卷十套（解析版）
2023-2024人教版九年数学上册期末考试核心素养达标检测试卷（10）
（满分100分，答题时间90分钟）
一、选择题（本大题有9小题，每小题3分，共27分）
1．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形
就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对
称图形，这条直线叫做对称轴进行解答．
A．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意．
2．一个不透明的袋子中装有2个白球和3个黑球，这些球除了颜色外无其他差别，从中摸出3个球，下列
事件属于必然事件的是（ ）
A．至少有1个球是白色球 B．至少有1个球是黑色球
C．至少有2个球是白球 D．至少有2个球是黑色球
【答案】B
【解析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念解答．
至少有1个球是白球是随机事件，A选项不正确；
至少有1个球是黑球是必然事件，B选项正确；
至少有2个球是白球是随机事件，C选项不正确；
至少有2个球是黑球是随机事件，D选项不正确．
3.已知点A(a,-2),B(3,b)关于原点对称,则a-b的值为（ ）
A.3 B.-1 C.-5 D.-3
【答案】C
【解析】∵点A(a,-2)与点B(3,b)关于原点对称,
∴a=-3,b=2,∴a-b=-3-2=-5.故选C.4. 老师从甲、乙，丙、丁四位同学中任选一人去学校劳动基地浇水，选中甲同学的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根据随机事件概率大小的求法，找到全部情况的总数以及符合条件的情况，两者的比值就是其发
生的概率的大小．
根据题意可得：从甲、乙，丙、丁四位同学中任选一人去学校劳动基地浇水，总数是4个人，符合情况的
只有甲一个人，所以概率是P= ．
【点睛】本题考查概率的求法与运用，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件
A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)= ．
5. 若关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则实数 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】利用方程有两个相等的实数根，得到∆=0，建立关于m的方程，解答即可．
∵一元二次方程 有两个相等的实数根，
∴∆=0，
∴ ，
解得 ，故C正确．
【点睛】此题考查利用一元二次方程的根的情况求参数，一元二次方程的根有三种情况：有两个不等的实
数根时∆>0；当一元二次方程有两个相等的实数根时，∆=0；当方程没有实数根时，∆<0，正确掌握此三种
情况是正确解题的关键．6. 某种商品原来每件售价为150元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为96元，设平均每次降价
的百分率为x，根据随意，所列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】结合题意分析：第一次降价后的价格=原价×（1-降低的百分率），第二次降价后的价格=第一次
降价后的价格×（1-降低的百分率），把相关数值代入即可．
设平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程150（1-x）2=96，故选：C．
【点睛】考查由实际问题抽象出一元二次方程的知识，解题的关键是能够分别表示出两次降价后的售价．
7．如图，在⊙O中， = ，点D在⊙O上，∠CDB=25°，则∠AOB=（ ）
A．45° B．50° C．55° D．60°
【答案】B
【解析】直接根据圆周角定理即可得出结论．
∵在⊙O中， = ，点D在⊙O上，∠CDB=25°，
∴∠AOB=2∠CDB=50°．故选B．
【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧
所对的圆心角的一半是解答此题的关键．
8．如图，已知直线AD是⊙O的切线，点A为切点，OD交⊙O于点B，点C在⊙O上，且∠ODA=36°，则
∠ACB的度数为（ ）
A．54° B．36° C．30° D．27°【答案】D
【解析】由AD为圆O的切线，利用切线的性质得到OA与AD垂直，在直角三角形OAD中，由直角三角形的
两锐角互余，根据∠ODA的度数求出∠AOD的度数，再利用同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍即可求
出∠ACB的度数．
∵AD为圆O的切线，
∴AD⊥OA，即∠OAD=90°，
∵∠ODA=36°，
∴∠AOD=54°，
∵∠AOD与∠ACB都对 ，
∴∠ACB= ∠AOD=27°．
故选D．
【点评】此题考查了切线的性质，以及圆周角定理，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．
9．二次函数y=ax2+bx+c（≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac﹣b2＜0；②3b+2c＜0；③4a+c＜
2b；④m（am+b）+b＜a（m≠﹣1），其中结论正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】由抛物线与x轴有两个交点得到b2﹣4ac＞0，可判断①；根据对称轴是x=﹣1，可得x=﹣2、0
时，y的值相等，所以4a﹣2b+c＞0，可判断③；根据﹣ =﹣1，得出b=2a，再根据a+b+c＜0，可得
b+b+c＜0，所以3b+2c＜0，可判断②；x=﹣1时该二次函数取得最大值，据此可判断④．
【解答】∵图象与x轴有两个交点，
∴方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，
∴b2﹣4ac＞0，
∴4ac﹣b2＜0，
①正确；∵﹣ =﹣1，
∴b=2a，
∵a+b+c＜0，
∴ b+b+c＜0，3b+2c＜0，
∴②是正确；
∵当x=﹣2时，y＞0，
∴4a﹣2b+c＞0，
∴4a+c＞2b，
③错误；
∵由图象可知x=﹣1时该二次函数取得最大值，
∴a﹣b+c＞am2+bm+c（m≠﹣1）．
∴m（am+b）＜a﹣b．故④正确
∴正确的有①②④三个，故选C．
【点评】考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是能看懂图象，利用数形结合的思想解答．
二、填空题（本大题有7小题，每小题3分，共21分）
1．若关于x的方程 有两个相等的实数根，则实数c的值为_______．
【答案】 或0.25
【解析】根据方程 有两个相等的实数根，可得 ，计算即可．
关于x的方程 有两个相等的实数根，
，
解得 ．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，即一元二次方程有两个不相等的实数根时， ；有两
个相等的实数根时， ；没有实数根时， ；熟练掌握知识点是解题的关键．
2．设 ， 是一元二次方程 的两根，则 = .【答案】0
【解析】∵ ， 是一元二次方程 的两根，
∴ 1， -1，
∴ =1+（-1）=0.
3.如图,图中网格由边长为1的小正方形组成,点A为网格线的交点.线段OA绕原点O顺时针旋转90°后,点
A的对应点A'的坐标为 。
【答案】 (2,-2)
【解析】如图,A'的坐标为(2,-2).
4．二次函数y＝x2的图象开口方向是 （填“向上”或“向下”）．
【答案】向上．
【解析】由二次函数图象开口方向和系数a之间的关系得出结论．
由y＝x2得：a＞0，
∴二次函数图象开口向上．
5. 将半径为6cm，圆心角是120°的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径为______cm．
【答案】2
【解析】根据弧长公式、圆锥的性质分析，即可得到答案．
根据题意，得圆锥底面周长 cm，∴这个圆锥底面圆的半径 cm．
【点睛】本题考查了扇形、圆锥的知识；解题的关键是熟练掌握弧长公式、圆锥的性质，从而完成求解．
6. 一个袋中装有m个红球，10个黄球，n个白球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一个球，摸到黄球的
概率与不是黄球的概率相同，那么m与n的关系是________．
【答案】m+n＝10．
【解析】直接利用概率相同的频数相同进而得出答案．
∵一个袋中装有m个红球，10个黄球，n个白球，摸到黄球的概率与不是黄球的概率相同，
的
∴m与n 关系是：m+n＝10．
故答案为m+n＝10．
【点睛】此题主要考查了概率公式，正确理解概率求法是解题关键．
7．如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，将△ABC绕点A顺时针旋转30°，得到△ACD，延长AD交BC的延长线
于点E，则DE的长为 ．
【答案】2 ﹣2．
【解析】根据旋转过程可知：∠CAD＝30°＝∠CAB，AC＝AD＝4．
∴∠BCA＝∠ACD＝∠ADC＝75°．
∴∠ECD＝180°﹣2×75°＝30°．
∴∠E＝75°﹣30°＝45°．
过点C作CH⊥AE于H点，
在Rt△ACH中，CH＝ AC＝2，AH＝2 ．
∴HD＝AD﹣AH＝4﹣2 ．
在Rt△CHE中，∵∠E＝45°，
∴EH＝CH＝2．
∴DE＝EH﹣HD＝2﹣（4﹣2 ）＝2 ﹣2．三、解答题（本大题有5小题，共52分）
1. （8分）已知关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2－1＝0有两个不相等的实数根.
①求m的取值范围;
②设x,x 是方程的两根且x2+x2+xx－17＝0,求m的值.
1 2 1 2 1 2
解：① ＝(2m+1)2－4(m2－1)＝4m+5,因为原方程有两个不相等的实数根,所以4m+5>0,m> ;
②由根与系数的关系,x+x ＝－(2m+1),xx ＝m2－1,所以原方程可化为(x+x)2－xx －17＝0,即(2m+1)2－
1 2 1 2 1 2 1 2
(m2－1)－17＝0,解之,得m＝ ,m＝－3,因为m> ,所以m＝ .
1 2
2. （8分）第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4至20日在我国北京-张家口成功举办，其中张家
口赛区设有四个冬奥会竞赛场馆，分别为：A．云顶滑雪公园、B．国家跳台滑雪中心、C．国家越野滑雪
中心、D．国家冬季两项中心．小明和小颖都是志愿者，他们被随机分配到这四个竞赛场馆中的任意一个
场馆的可能性相同．
（1）小明被分配到D．国家冬季两项中心场馆做志愿者的概率是多少？
（2）利用画树状图或列表的方法，求小明和小颖被分配到同一场馆做志愿者的概率．
【答案】（1） （2）
【解析】【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有16种等可能的结果，其中小明和小颖被分配到同一场馆做志愿者的结果有4种，再
由概率公式求解即可．
【详解】（1）解：小明被分配到D．国家冬季两项中心场馆做志愿者的概率是 ；
（2）解：画树状图如下：共有16种等可能的结果，其中小明和小颖被分配到同一场馆做志愿者的结果有4种，
∴小明和小颖被分配到同一场馆做志愿者的概率为 ．
【点睛】此题考查了用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或
两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
3．（12分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点P在CA的延长线上，∠CAD=45°．
（Ⅰ）若AB=4，求 的长；
（Ⅱ）若 = ，AD=AP，求证：PD是⊙O的切线．
【答案】见解析
【解析】（Ⅰ）连接OC，OD，由圆周角定理得到∠COD=2∠CAD，∠CAD=45°，于是得到∠COD=90°，根据
弧长公式即可得到结论；
（Ⅱ）由已知条件得到∠BOC=∠AOD，由圆周角定理得到∠AOD=45°，根据等腰三角形的性质得到
∠ODA=∠OAD，求得∠ADP= CAD=22.5°，得到∠ODP=∠ODA+∠ADP=90°，于是得到结论．
【解答】（Ⅰ）连接OC，OD，
∵∠COD=2∠CAD，∠CAD=45°，
∴∠COD=90°，
∵AB=4，∴OC= AB=2，
∴ 的长= ×π×2=π；
（Ⅱ）∵ = ，
∴∠BOC=∠AOD，
∵∠COD=90°，
∴∠AOD=45°，
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠OAD，
∵∠AOD+∠ODA=∠OAD=180°，
∴∠ODA=67.5°，
∵AD=AP，
∴∠ADP=∠APD，
∵∠CAD=∠ADP+∠APD，∠CAD=45°，
∴∠ADP= CAD=22.5°，
∴∠ODP=∠ODA+∠ADP=90°，
∴PD是⊙O的切线．
【点评】本题考查了切线的判定，圆内接四边形的性质，弧长的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．
4. （12分）如图，抛物线 经过点A（-1,0），点B（2，-3），与y轴交于点C，抛物线的
顶点为D．（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线上是否存在点P，使 的面积是 面积的4倍，若存在，请直接写出点P的坐标：
若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）存在， ，
【解析】【分析】（1）将点 ，点 ，代入抛物线得 ，求出 的值，
进而可得抛物线的解析式．
（2）将解析式化成顶点式得 ，可得 点坐标，将 代入得， ，
可得 点坐标，求出 的值，根据 可得 ，设 ，则
，求出 的值，进而可得 点坐标．
解：（1）∵抛物线 过点 ，点 ，
∴ ，
解得 ，∴抛物线的解析式为： ．
（2）解：存在．
∵ ，
∴ ，
将 代入得， ，
∴ ，
∴ 到线段 的距离为1， ，
∴ ，
∴ ，
设 ，
则 ，
整理得， ，
解得 ，或 ，
∴ ， ，
∴存在点P，使 的面积是 面积的4倍，点P的坐标为 ， ．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数顶点式，二次函数与三角形面积综合等知
识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
5.（12分） 如图1，在 中， 为锐角，点 为射线 上一点，联结 ，以 为一边
且在 的右侧作正方形 ．
（1）如果 ， ，①当点 在线段 上时（与点 不重合），如图 2，线段 所在直线的位置关系为
，线段 的数量关系为 ；
②当点 在线段 的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，并说明理由；
（2）如果 ， 是锐角，点 在线段 上，当 满足什么条件时， （点
不重合），并说明理由．
F
A A
E
F F
A
B D C B D C
E
E B C D
图1 图2
【答案】见解析。 图3
【解析】（1）①垂直，相等；
②当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立．
由正方形ADEF得 AD＝AF ，∠DAF＝90º．
∵∠BAC＝90º，∴∠DAF＝∠BAC ， ∴∠DAB＝∠FAC，
又AB＝AC ，∴△DAB≌△FAC ，
∴CF＝BD ， ∠ACF＝∠ABD．
∵∠BAC＝90º， AB＝AC ，
∴∠ABC＝45º，∴∠ACF＝45º，
∴∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝90º．
即 CF⊥BD.
（2）当∠ACB＝45º时，CF⊥BD（如图）．
理由：过点A作AG⊥AC交CB或CB的延长线于点G，
则∠GAC＝90º，
∵∠ACB＝45°,∠AGC＝90°—∠ACB＝45°，
∴∠ACB＝∠AGC，∴AC＝AG，∵点D在线段BC上，∴点D在线段GC上，
由（1）①可知CF⊥BD.
