文档内容
八年级下学期开学摸底考 重难点检测卷
【考试范围：人教版八上全部内容】
注意事项：
本试卷满分120分，考试时间120分钟，试题共26题。答卷前，考生务必用 0.5毫米黑
色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置
一、选择题（10小题，每小题3分，共30分）
1．（2024上·山西朔州·八年级统考期末）如图四个手机应用图标中是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题主要考查轴对称图形的识别．在平面内，如果一个图形沿一条直线对折，对折后的两部分都
能完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线就是这个图形的对称轴；据此逐项判定即可．
【详解】解：A、是轴对称图形，故此选项符合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
故选：A．
2．（2024上·江苏盐城·八年级统考期末）某公园的三条走道围成一个大三角形，想要在三角形场地内修建
一个观赏亭，要求到三条走道的距离都相等．则观赏亭应该建在（ ）
A．三条边的垂直平分线的交点 B．三个角的角平分线的交点
C．三角形三条高的交点 D．三角形三条中线的交点
【答案】B
【分析】本题考查了到三角形三边距离相等的点是三个角的平分线的交点解答即可．【详解】根据题意，观赏亭，要求到三条走道的距离都相等，
到三角形三边距离相等的点是三个角的平分线的交点，
故选B．
3．（2024上·云南玉溪·八年级统考期末）下列长度的三根小木棒能构成三角形的是 （ ）
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
【答案】D
【分析】本题考查三角形三边关系，根据三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边直
接逐个判断即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
，故A选项不能组成三角形，不符合题意，
，故B选项不能组成三角形，不符合题意，
，故C选项不能组成三角形，不符合题意，
，故D选项能组成三角形，符合题意，
故选：D．
4．（2023上·湖北十堰·八年级统考期末）如图， ，若 和 分别垂直平分 和 ，
则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查垂直平分线，三角形内角和的知识，解题的关键是掌握垂直平分线的性质，则
， ，再根据三角形内角和， ，则 ，再根据
，即可．
【详解】∵ 、 是线段 、 的垂直平分线，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选：A．
5．（2023上·天津和平·八年级天津市第五十五中学校考期末）当 时，值为0的分式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了分式值为0的条件，熟知分式值为0的 条件是分母不为0，分子为0是解题的关
键．
【详解】解：A、当 时， ，此时分式没有意义，不符合题意；
B、当 时， ，此时分式没有意义，不符合题意；
C、当 时， ，此时分式有意义且值为0，符合题意；
D、当 时， ，此时分式有意义但值不为0，不符合题意；
故选：C．
6．（2024上·山东临沂·七年级统考期末）如图，长方形纸片 ，M为 边的中点将纸片沿 ，
折叠，使A点落在 处，D点落在 处，若 ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了折叠的性质，角的和差运算，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．根据折叠的性质可
知相等的角 ， ，最后根据角的和差运算即可求出 的度数．【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵将纸片沿 ， 折叠，使A点落在 处，D点落在 处，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
故选D．
7．（2024上·云南玉溪·八年级统考期末） 月 日， 年“全民健身日”系列活动——玉溪市健步走
暨玉溪市职工“勤锻炼，健康行”在玉溪高原体育运动中心举行，广大人民群众通过运动收获愉悦、收获
健康、收获幸福，甲、乙两人沿着总长度为9千米的“健身步道”行走，甲的速度是乙的 倍，甲比乙提
前 分钟走完全程，如果设乙的速度为 千米/时，那么下列方程中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查分式方程解决行程问题，根据时间差列方程即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
，
即 ，
故选：B．
8．（2024上·湖北武汉·八年级统考期末）已知：如图，在 中， ， ．点 在
的延长线上， 且 ，连 的延长线交 于点 ．若 ，则 （ ）．A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定的应用，正确作差辅助线、构造全等三角形是解题的关
键．
如图：过点E作 于M，证 可得 ；再证 可得 ，
进而得到 ；设 ， ， ，求出 ，然后代入计算即
可．
【详解】解：如图：过点E作 于M，
∵ ，
∴ ,
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ,
在 和 中， ，
∴ ,
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴设 ， ， ，
∴ ，
∴ ．
故选A．
9．（2024·全国·八年级竞赛）已知实数a与非零实数x满足 ，则 的
值是（ ）．
A．1或27 B． 或27 C．1或 D． 或
【答案】C
【分析】本题主要考查了非负数的性质．根据非负数的性质可得 ， ，可求出
，再求出a的值，然后代入，即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ， ，∴ ，
解得： ，
当 时， ，解得：
此时 或 ；
当 时， ，不符合题意，
综上所述， 的值是1或 ．
故选：C．
10．（2024上·四川内江·八年级校考期中）若 ，则代数
式 的值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】此题考查了因式分解的应用，由 ， ， 的代数式，求出 ， ， 的值，原式利用完
全平方公式变形后代入计算即可求出值．
【详解】解： ， ， ，
， ， ，
则
，
当 ， ， 时，原式 ．
故选：D．
二、填空题（8小题，每小题3分，共24分）
11．（2024上·四川广元·八年级统考期末）分解因式
【答案】
【分析】本题考查了因式分解．先提取公因式，再利用公式法继续分解即可．【详解】解：
故答案为： ．
12．（2023上·安徽亳州·八年级统考期末）如图， ， ， 的延长线交 于点 ，若
，则 的度数为 ．
【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，以及邻补角互补，根据题意证明 ，得
出 ，结合 求得 ，根据 ，即可解题．
【详解】解： ， ，
在 与 中，
，
，
，
，
，
故答案为： ．
13．（2024上·吉林辽源·八年级统考期末）如图，在 中， ， 和 的平分线分
别交 于点G，F．若 ， ，则 的值为 ．【答案】6
【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边，根据 平分 得
，根据 得 ，则 ，即可得 ，同理可得
，即可得．
【详解】解：∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：6．
14．（2024上·云南普洱·八年级统考期末）已知：如图所示，在 中，点 分别为 的
中点，且 ，则阴影部分的面积为 ．【答案】 / /1.5
【分析】本题考查三角形中线的性质，根据等底等高的三角形面积相等，可得三角形的中线将三角形分成
面积相等的两部分，由此求解即可．
【详解】解： 点E是 的中点，
， ，
，
点F是 的中点，
，
即阴影部分的面积为 ．
故答案为： ．
15．（2024上·四川南充·八年级统考期末）若多项式 与 的乘积中不含x的一次项，则
．
【答案】
【分析】本题主要考查了多项式乘法中的无关型问题，先根据多项式乘以多项式的计算法则求出两个多项
式的乘积结果，再根据不含x的一次项即一次项系数为0，据此求解即可．
【详解】解：
，
∵多项式 与 的乘积中不含x的一次项，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．16．（2024上·云南玉溪·八年级统考期末）已知 ，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了分式的求值，完全平方公式，先把已知条件式两边同时平方得到 ，
则 ．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
17．（2024上·安徽六安·八年级统考期末）如图，在 中， ， ， 是 的
平分线， ，则 面积的最大值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，垂线段最短，延长 交点于 ，
可证 ，得到 ， ，进而得到 ，由三角形全等推导出
，并判断出当 时， 最大，是解题的关键．
【详解】解：如图，延长 交点于 ，∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴当 时， 最大，
∴ ，
故答案为： ．
18．（2023上·四川内江·八年级四川省内江市第六中学校考期中）已知实数m，n满足 ，
则 的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了整式的混合运算和完全平方的非负性，及不等式的基本性质．先将 整理成 ，然后将已知条件所给的式子整体代入得结果为
．根据 和 ，求出 的取值范围，即可求出 的最小值，即
的最小值．
熟练掌握完全平方的非负性，求出 的取值范围是解题的关键．
【详解】∵ ，
∴
．
，
．
，
，
，
，
，
∴ 的最小值为 ．
故答案为： ．
三、解答题（8小题，共66分）
19．（2024上·山东聊城·八年级校考阶段练习）解分式方程(1)
(2)
【答案】(1)
(2)原方程无解
【分析】本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
（1）两边同时乘以 ，转化为一元一次方程，解方程并检验即可求解；
（2）两边同时乘以 ，转化为一元一次方程，解方程并检验即可求解；
【详解】（1）解：
去分母得： ，
去括号得： ，
整理得： ，
解得： ，
检验 当 时
∴ 是原方程的解；
（2） ，
去分母得： ，
整理得： ，
解得： ，
检验 当 时
∴ 是原方程的增根，原方程无解；
20．（2024上·河南商丘·八年级统考期末）(1)计算： ；
(2)计算： ．(3)因式分解： ；
(4)因式分解： ．
【答案】（1） ；（2） ；（3） ；（4）
【分析】本题考查了整式的混合运算，因式分解；
（1）根据多项式除以单项式进行计算即可求解；
（2）根据单项式乘以单项式，单项式除以单项式，然后合并同类项，即可求解；
（3）根据平方差公式因式分解，即可求解；
（4）先提公因式 ，然后根据完全平方公式因式分解，即可求解．
【详解】解：（1）原式
；
（2）原式
；
（3）原式 ；
（4）原式
．
21．（2024上·江西南昌·八年级南昌市第三中学校联考期末）如图，在 中， 分别为
的中线和高， 为 的角平分线．
(1)若 ，求 的大小．
(2)若 的面积为40， ，求 的长．【答案】(1)
(2)8
【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形外角性质和三角形面积公式．本题的关键是充分应用三角形
的角平分线、高和中线的定义．
（1）先利用三角形的外角性质计算出 ，再利用角平分线定义得到 ，然后根
据高的定义和互余两角的性质求出 的度数；
（2）先根据三角形中线定义得到 ，然后利用三角形面积公式求 的长．
【详解】（1）解： ，
，
平分 ，
，
为高，
，
；
（2）解： 为中线，
，
，
．
22．（2024上·河北保定·八年级统考期末）如图，在方格中，水平方向的数轴我们叫 轴，竖直方向的数
轴我们叫 轴， 的三个顶点我们可以分别表示为 ， ， ．并称之为它们的坐
标(1)画出与 关于 轴对称的 （点 ， ， 的对应点分别为点 ， ， ，），并仿照上面
表示方法写出点 ， ， 三点的坐标；
(2)点 在 轴上，使得 ，尺规作出点 ；（不写作法，保留作图痕迹）
(3)点 在 轴上，使得 的周长最小，作出点 ．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】(1)详见解析， ， ，
(2)详见解析
(3)详见解析
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，轴对称最短路径问题，线段垂直平分线的性质和尺规
作图：
（1）根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同得到A、B、C对应点 ， ， 的坐标，再
在坐标系中描出 ， ， ，最后顺次连接 ， ， 即可；
（2）作线段 的垂直平分线，其与x轴交于点D，点D即为所求；
（3）连接 交y轴于P，点P即为所求．
【详解】（1）如图， 即为所求；∴ ， ， ；
（2）解：如图所示，作线段 的垂直平分线，其与x轴交于点D，点D即为所求；
（3）解：如图，连接 交y轴于P，点P即为所求．
23．（2024上·福建福州·八年级福建省福州第一中学校考期末）某中学开学初在商场购进 、 两种品牌
的足球，购买 品牌足球花费了 元，购买 品牌足球花费了 元，且购买 品牌足球数量是购买
品牌足球数量的 倍，已知购买一个 品牌足球比购买一个 品牌足球多花 元．
(1)求购买一个 品牌、一个 品牌的足球各需多少元；
(2)该中学决定再次购进 、 两种品牌足球共 个，恰逢商场对两种品牌足球的售价进行调整， 品牌足
球售价比第一次购买时提高了 ， 品牌足球按第一次购买时售价的 折出售，如果这所中学此次购买 、
两种品牌足球的总费用不超过 元，那么该中学此次最多可购买多少个 品牌足球？
【答案】(1)购买一个 品牌的足球需要 元、购买一个 品牌的足球需要 元．
(2)该中学此次最多可购买 个 品牌足球．
【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，读懂题意，找准等量关系，列出正确的分
式方程和一元一次不等式是解答本题的关键．
（1）设购买一个 品牌的足球需要 元，则购买一个 品牌的足球需要 元，根据题意列出分式方
程 ，解方程得到答案．
（2）设该中学此次最多可购买 个 品牌足球，则可以购买 个 品牌足球，根据题意，列出一元一次不等式 ，解不等式得到答案．
【详解】（1）解：根据题意设：
购买一个 品牌的足球需要 元，则购买一个 品牌的足球需要 元，
，
解得： ，
经检验， 是原方程的解，且符合题意，
，
答：购买一个 品牌的足球需要 元、购买一个 品牌的足球需要 元．
（2）设该中学此次最多可购买 个 品牌足球，则可以购买 个 品牌足球，
根据题意得：
，
解得： ，
答：该中学此次最多可购买 个 品牌足球．
24．（福建省莆田市2023-2024学年八年级上学期期末数学试题）庆祝元旦期间，张老师出了一道“年份
题”：计算 的算术平方根．
张老师提示可将上述问题一般化为：计算 的算术平方根（ 为正整数），然后对 进
行特殊化：
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
……
(1)根据以上规律，请直接写出 的算术平方根；（按规律写出结果即可，不必
计算）
(2)根据以上等式规律，请写出第 个等式，并验证其正确性；(3)某同学将上述问题更一般化为：计算 的算术平方根，并猜想 ，
其中 ， 为正整数．你认为这个猜想成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请说明以上猜想成立时，
， 应满足什么关系并证明．
【答案】(1)
(2) ，理由见详解
(3)不成立；成立时的条件
【分析】本题考查了等式的探究规律，整式运算；
（1）观察等式得 ，即可求解；
（2）可得猜想： ，分别对左边、右边进行运算，即可求解；
（3）由 ，可判断是否成立，
若成立，可得 ，即可求解；
找出规律是解题的关键．
【详解】（1）解：
的算术平方根为
；
（2）解：由题意得
，
左边
，
右边，
左边 右边，
故原式成立；
（3）解：不成立；
，
不成立，
若成立，则有
，
，
，
， 为正整数，
，
，
．
25．（2023上·北京海淀·八年级北京市十一学校校考期末）对于平面直角坐标系 中的点 ，若点
的坐标为 （其中 为常数，且 ，则称点 为点 的“ 之称心点”．例如：
的“2之称心点”为 ，即 ．
(1)①点 的“2之称心点” 的坐标为________；②若点 的“ 之称心点” 的坐标为 ，请写出一个符合条件的点 的坐标______；
(2)若点P在y轴的正半轴上，点P的“k之称心点”为 点，且 为等腰直角三角形，则k的值为
______；
(3)在（2）的条件下，若关于x的分式方程 无解，求m的值．
【答案】(1)① ；②
(2)
(3) 或 ．
【分析】（1）①根据点 为点 的“ 之称心点”的定义计算；
②根据点 为点 的“ 之称心点”的定义列出算式，求出 、 的值，计算即可；
（2）根据 轴的正半轴上点的特征、点 为点 的“ 之称心点”的定义计算；
（3）根据分式方程的解法、分式方程无解的概念，分情况计算．
【详解】（1）解：①当 ， ， 时， ， ，
点 的“2之称心点” 的坐标为 ，
故答案为： ；
② 点 的“ 之称心点” 的坐标为 ，
， ，
解得， ， ，
当 时， ，
符合条件的点 的坐标可以是 ，
故答案为： ；
（2）解： 点 在 轴的正半轴上，
， ．
点 的坐标为 ，
点 的“ 之称心点”为 点，
点 的坐标为 ，，
，为等腰直角三角形，
，
，
，
．
故答案为： ；
（3）解：当 时，去分母整理得： ，
原方程无解，
① ，即 ，
② ，即 ，则 ；
当 时，去分母整理得： ，
原方程无解，
① ，
② ，则 ；
综上所述， 或 ．
【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的概念、分式方程的解法以及分式方程无解的判断，掌握点 为点
的“ 之称心点”的定义、分式方程的解法是解题的关键．
26．（2024上·河北保定·八年级统考期末）【问题情境】
利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1， 平分 ．点 为 上一点，过点A作
，垂足为C，延长 交 于点B，可根据______证明 ，则 ，
（即点C为 的中点）．
【类比解答】
如图2，在 中， 平分 ， 于E，若 ， ，通过上述构造全等的
办法，可求得 ______．
【拓展延伸】
（1）如图3， 中， ， ， 平分 ， ，垂足E在 的延长线上，
试探究 和 的数量关系，并证明你的结论．（2）如图4， 中， ， ，点D在线段 上， ， ，垂足
为 ， 与 相交于点F．线段 与 的数量关系为______．（直接写出）
【答案】【问题情境】 ；【类比解答】 ；【拓展延伸】（1） ，证明见解析；（2）
【分析】问题情境：根据角平分线的性质得 ，垂直得性质得 ，结合
，可利用 证明 ；
类比解答：延长 交 于点F，由问题情境可知 ，由等腰三角形的性质得 ，
结合三角形的外角性质即可得出结论；
拓展延伸：（1）延长 、 交于点F，利用 证 ，有 ，结合问题情境可知
，即可得出结论；
（2）过点D作 ，交 的延长线于点G，与 相交于H，可得 和 ，进
一步得 ，结合 有 和 ，利用 可证得
，有 ，即可证明 ．
【详解】问题情境：
解：∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
故答案为： ；
类比解答：
延长 交 于点F，如图，
由问题情境可知， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ；
拓展延伸：
（1） ，证明如下：
延长 、 交于点F，如图，
则 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，∴ ，
∴ ，
由问题情境可知， ，
∴ ；
（2）过点D作 ，交 的延长线于点G，与 相交于H，如图，
∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
则 ，
在 和 中
∴ ，
∴ ，则 ．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质、角平分线定义以
及平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质和证明三角形全等是解题的关键．
