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2024-2025学年第一学期人教版九年级数学期中模拟训练卷（解析版）
考试范围：21-23章，满分：120分 考试时间：120分钟
一、选择题：本题共10题，每题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求．
1．下列既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互
相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转
后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判
断即可．
【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选C．
2．点M(4，-3)关于原点对称的点N的坐标是（ ）
A．(-4，-3) B．(-4，3) C．(4，3) D．(-3，4)
【答案】B
【分析】根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案．
【详解】解：由M（4，-3）关于原点对称的点N的坐标是（-4，3），
故选：B．
3．由 平移得到抛物线 ，则下列平移过程正确的是（ ）
A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位
B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位
C．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位
D．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位
【答案】B
【分析】由题意写出平移前后坐标变化公式，即可得到正确的平移过程．
1【详解】解：设(x，y）经过平移得到 ，则原抛物线 经过平移得到
抛物线 ，即 ，所以平移坐标公式为：
，即 ，
所以平移过程为：先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，
故选B ．
4．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据方程判定 ，再根据等式的性质，方程两边同时除以 ，即可求解．
【详解】解：
当 时， ，方程不成立，
∴ ，
方程两边同时除以 ，
∴ ，
∴ ，
故选： ．
5.抛物线 与y轴的交点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】抛物线与y轴的交点坐标特点是：横坐标为0，据此即可得到答案．
【详解】令 ，则
因此抛物线与y轴的交点坐标为 ，
故选：A．
6 .如图，在 中， 将 绕点 逆时针旋转得到 ，
2使点 落在 边上，连接 ，则 的长度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由旋转的性质可知， ，进而得出 为等边三角形，进而求出 ．
【详解】解：∵
由直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半可知，
∴ cm，
又∠CAB=90°-∠ABC=90°-30°=60°，
由旋转的性质可知： ，且 ，
∴ 为等边三角形，
∴ ．
故选：B．
7.如图，铅球运动员掷铅球的高度 与水平距离 之间的函数关系式是 ，
则该运动员此次掷铅球的成绩是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】依题意，该二次函数与x轴的交点的x值为所求．即在抛物线解析式中．令 ，求x的正数值．
【详解】
3解：把 代入 得：
，
解之得： ．
又 ，解得 ．
故选：D．
8. 某商品的进价为每件40元．当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，
为占有市场份额，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件．现要在尽量优惠顾客情况下，
同时获利6120元，每件商品应降价（ ）元．
A．3 B．2.5 C．2 D．2或3
【答案】A
【详解】分析: 设售价为x元时，每星期盈利为6125元，那么每件利润为（x-40），原来售价为每件60元时，每
星期可卖出300件，所以现在可以卖出[300+20（60-x）]件，然后根据盈利为6120元即可列出方程解决问题.
详解: 设售价为x元时，每星期盈利为6120元，
由题意得（x-40）[300+20（60-x）]=6120，
解得：x=57，x=58，
1 2
由已知，要尽量优惠顾客，故销售量要尽量大，即售价要低，故舍去x=58．
2
∴每件商品应降价60-57=3元．
故选A
9 . 如图，在等边△ABC中，点D是边AC上一点，连接BD，将△BCD绕着点B逆时针旋转60º，
得到△BAE，连接ED，则下列结论中：①AE∥BC；②∠DEB=60º；③∠ADE=∠BDC，
其中正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．只有①
【答案】A
【分析】由旋转的性质和等边三角形的性质易证∠BAE=∠ABC，，即可得AE∥BC，①正确；证明△BDE是等边三
4角形，可得②正确; 根据已知条件不能够证明③正确．
【详解】∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=∠C=60°.
∵△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，
∴∠BAE=∠C=60°.
∴∠BAE=∠ABC，
∴AE∥BC，
所以①正确；
∵△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，
∴∠DBE=60°，BD=BE.
∴△BDE为等边三角形，
∴∠DEB=60º；
所以②正确.
根据已知条件不能够证明③正确．
故选A.
10．二次函数 的图象如图所示，下列结论：
① ；② ；③ ；④当 时， 随 的增大而减小．
其中结论正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【分析】由抛物线的开口方向判定a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴
及抛物线与x交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】解：①∵由二次函数的图象可知：抛物线的开口向上，
∴ ；
又∵二次函数的图象与y轴的交点在负半轴，
5∴ ；
∴ ，即①符合题意；
②由图象知，对称轴 ，则 ．故②符合题意；
③由图象知，抛物线与x轴有2个交点，则 ，故③不符合题意；
④由图象可知当 时，y随x的增大而增大；当 时， 随 的增大而减小．故④不符合题意．
综上所述，正确的结论是：①②．
故选：C．
二、填空题：本大题共8个小题．每小题3分，共24分．把答案填在题中横线上．
11.已知点 与点 关于原点O对称，则 ．
【答案】1
【分析】本题主要考查了关于原点对称点的性质，直接利用关于原点对称点的性质得出 的值，进而得出答
案，正确得出 的值是解题关键．
【详解】∵点 与点 关于原点对称，
∴ ，
则 ．
故答案为：1．
12.设m是方程 的一个根，则 的值为 ．
【答案】2024
【分析】由题意知， ，则 ，代入求值即可．
【详解】解：由题意知， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：2024．
13．如图，△ABC中，∠C=30°．将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△ADE，AE与BC交于F，
则∠AFB= °．
6【答案】90
【分析】利用旋转的性质可得∠CAF=60°，再利用三角形的外角性质即可求解．
【详解】根据旋转的性质可知∠CAF=60°，
根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两内角之和的性质，得：
∠AFB=∠C+∠CAF
=30°+60°
=90°．
故答案为：90．
14．若关于x的方程x2＋5x＋m＝0的两个根分别为为x，x，且 ＝1，则m＝ .
1 2
【答案】－5
【详解】分析：根据一元二次方程根于系数的关系求出 的值和 的值，然后把 ＝1的左侧通分
代入，即可求出m的值 .
详解：由题意得
， .
∵ ＝1，
∴ ＝1，
∴ ＝1，
∴m=-5.
故答案为-5.
15．抛物线 与 轴的一个交点为 ，则另一个交点坐标为 ．
【答案】
【分析】根据题意，得出该抛物线的对称轴为直线 ，再根据二次函数的对称性即可解答．
【详解】解：根据题意可得：
该抛物线的对称轴为直线 ，
设另一个交点横坐标为 ，
7∵抛物线与 轴的一个交点为 ，
∴ ，
解得： ，
∴另一个交点坐标为 ，
故答案为： ．
16．美术兴趣小组在中秋节这一天人人相互送一个月饼，共送出56个月饼，美术兴趣小组人数是______
【答案】8
【分析】考查一元二次方程的应用；得到月饼总数的等量关系是解决本题的关键．等量关系为：小组的人数
小组人数 ，把相关数值代入计算即可．
【详解】解：设美术兴趣小组人数为x人．
，
解得 （不合题意，舍去），
故答案为：8
17．已知二次函数 的图象如图所示，下列结论：
① ，② ，③ ，④ ，其中正确的是 ．
【答案】①④/④①
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据图象可得抛物线开口方向、对称轴、和与坐标轴的交点，即可
求解．
【详解】解：由图象可得：抛物线开口向下，
8∴ ，故①正确；
由图象可得：对称轴 ，
∴ ，故②错误；
由图象可得： 时， ，即 ，故③错误；
由图象可得：抛物线与x轴有两个交点，
∴ ，即 ，故④正确；
故答案为：①④．
18．如图，在 中， ，将 绕点A逆时针旋转 得到 ，
连接 ，则下列结论：① ，② ，③ ，④ ，
其中正确的是_____________（填序号）
【答案】①②③
【分析】本题考查了旋转的性质，等边对等角，平行线的判定．熟练掌握旋转的性质，等边对等角，平行线的判
定是解题的关键．
由旋转的性质可知， ， ， ， ， ，可判断①
的正误； ， ，
，可得 ，可判断②的正误； ，可判断③的正误；由
，可知 不垂直，可判断④的正误．
【详解】解：由旋转的性质可知， ， ， ， ， ，
①正确，故符合要求；
∴ ， ，
，
9∴ ，②正确，故符合要求； ，③正确，故符合要求；
∵ ，
∴ 不垂直，④错误，故不符合要求；
综上所述，①②③正确，
故答案为：①②③
三、解答题：（本大题共8个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．用适当的方法解方程：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1) ，
(2) ，
【分析】本题考查了因式分解法、公式法解一元二次方程．熟练掌握因式分解法、公式法解一元二次方程是解
题的关键．
（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；
（2）利用公式法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解： ，
，
∴ ， ，
解得， ， ；
（2）解： ，
，
∴ ，
解得， ， ．
20． ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位长度．按要求作图：
10(1)画出△ABC关于原点O的中心对称图形△ABC．
1 1 1
(2)将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△ABC，则B的坐标为 ．
2 2 2 2
(3)求△ABC面积．
2 2 2
【答案】(1)见解析
(2)（﹣2，0）
(3)
【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A，B，C即可；
1 1 1
（2）利用旋转变换的性质分别作出B，C的对应B，C即可；
2 2
（3）把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可．
【详解】（1）（1）如图，△ABC与△ABC关于原点O成中心对称图形；
1 1 1
（2）如图，△ABC即为所求，B的坐标为为（﹣2，0）．
2 2 2 2
故答案为：（﹣2，0）；
（3） ＝3×3﹣ ×1×2﹣ ×1×3﹣ ×2×3＝ ．
1121．已知关于x的方程 ．
(1)若此方程的一个根为1，求m的值；
(2)求证：不论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．
【答案】（1） ；（2）证明见解析
【分析】（1）直接把x=1代入方程 求出m的值；
（2）计算出根的判别式，进一步利用配方法和非负数的性质证得结论即可．
【详解】解：（1）根据题意，将x=1代入方程 ，
得： ，
解得：m= ．
（2）∵ ，
∴不论m取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
22 如图，点O是等边 ABC内一点，将CO绕点C顺时针旋转60°得到CD，连接OD，AO，BO，AD．
（1）求证： BCO≌ ACD．
（2）若OA＝10，OB＝8，OC＝6，求∠BOC的度数．
【答案】（1）见解析；（2）150°
【解析】
【分析】（1）根据题中所给的信息通过SAS证出△BCO≌△ACD，
（2）先证出△OCD是等边三角形，又根据△BCO≌△ACD，得出AD＝OB＝8，∠BOC＝∠ADC，再根据勾股定理的逆
定理得出∠ADO＝90°，等量代换得出∠BOC＝150°．
【详解】（1）证明：∵CO绕点C顺时针旋转60°得到CD
∴CO＝CD，∠OCD＝60°
∵△ABC是等边三角形
∴CA＝CB，∠BCA＝60°
12∴∠BCA＝∠OCD
∴∠BCO＝∠ACD
在△BCO和△ACD中
∴△BCO≌△ACD（SAS）．
（2）解：∵CO＝CD，∠OCD＝60°
∴△OCD是等边三角形
∴OD＝OC＝6．∠ODC＝60°
∵△BCO≌△ACD
∴AD＝OB＝8，∠BOC＝∠ADC
∵OA＝10
∴OA2＝AD2+OD2
∴∠ADO＝90°
∴∠ADC＝∠ADO+∠CDO＝150°
∴∠BOC＝∠ADC＝150°．
23．阅读下列材料
解方程： ．这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，
它的解法通常是：
设 ，那么 ，于是原方程可变为 …①，
解这个方程得： ．
当 时， ．∴ ；
当 时， ，∴
所以原方程有四个根： ．
在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想．
（1）解方程 时，若设 ，求出x．
13（2）利用换元法解方程 ．
解：（1）设y＝x2﹣x，原方程可变形为：y2﹣4y﹣12＝0，
∴因式分解为： ，
∴ 或 ，
∴ 或 ，
对于方程 ，
解得： ， ，
对于方程 ，
移项得： ，
∵ ，
∴上述方程无解，
∴原方程的解为： ， ．
（2）设y＝ ，则 ，
原方程变形为： ，
去分母，得 ，
即 ，
解得， ，
经检验，y＝1是分式方程 的根．
∴ ＝1，
即： ，
解得： ， ．
14经检验，1± 是上述分式方程的根．
∴原方程的解为： ， ．
24．某化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元，
物价部门规定其销售单价不高于每千克70元，不低于每千克30元，经市场调查发现：
目前销量y（千克）是销售单价x（元）的一次函数，且当 时， ， 时， ，
在销售过程中，每天还要支付其他费用450元．
(1)求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
(2)求该公司销售该原料日获利w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式．
(3)当销售单价为多少元时，该公司日获利最大？最大获利是多少元．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3)当销售单价为65元时，该公司日获利最大，最大获利是2000元．
【分析】此题考查了二次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式，以及二次函数的性质，熟练掌握二次函
数性质是解本题的关键．
（1）根据y与x成一次函数解析式，设为 ，把x与y的两对值代入求出k与b的值，即可确定出y与
x的解析式，并求出x的范围即可；
（2）根据利润=单价×销售量列出w关于x的二次函数解析式即可；
（3）利用二次函数的性质求出w的最大值，以及此时x的值即可．
【详解】（1）解：（1）设 ，
∵当 时， 时， ，
根据题意得
解得： ， ，
；
15（2）解：
；
（3）解： ，
，
时，w有最大值为2000元，
∴当销售单价为65元时，该公司日获利最大，为2000元．
25．综合与实践
问题情境：如图1，在 中， ， ， ，点 在直线 上运动，以
为边作 ，使得 ， ， ．连接 ．当点 在 边上时，试
判断线段 ， 及 之间的数量关系．
探究展示：勤奋小组发现， ，并展示了如下论述过程：
理由如下：∵在 和 中， ， ，
．
∴ ，即 ．
16在 与 中，
∴ （依据1）．
∴ （依据2）
∵ ，∴ ．
反思交流：
（1）上述证明过程中的“依据1”，“依据2”分别是什么？
（2）如图2，缜密小组在勤奋小组的基础上继续探究，当点 在 延长线上时，
线段 ， 及 之间的数量关系是 ，且 与 的位置关系是 ；
请判断缜密小组的说法是否正确，若正确，请说明理由；若不正确，请把你发现的结果写出并说明理由；
(3) 如图3，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，（2）中BC，CE，CD之间存在的关系是否成立？
如不成立，请直接写出BC，CE，CD之间存在的数量关系，并证明.
解：（1）根据全等三角形的判定和性质，则依据1是 ；依据2是全等三角形的对应边相等；
（2）正确．理由如下：
∵在 和 中， ， ，
∴ ．
∴ ，即 ．
在 和 中，
∴ ．
∴ ， ．
∵ ，∴ ．
17∵ ，
∴ ．
∴ ，即 ．
（3） ；
如图：
与（2）同理，可得 ，
在△ABD和△ACE中， ，
∴
∴ ，∠ABC=∠ACE，
∴ ；
∵∠ABC+∠ACB=90°，
∴∠ACB+∠ACE=90°，
∴∠BCE=90°，∴ ．
26．如图1，抛物线 与x轴交于点A、 （A点在B点左侧），与y轴交于点 ，点P是抛
物线上一个动点，连接 ， ，
18(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若点P的横坐标为3，求 的面积；
(3)如图2所示，当点P在直线 上方运动时，连接 ，求四边形 面积的最大值，
并写出此时P点坐标．
(4) 若点M是 轴上的一个动点，点N是抛物线上一动点，P的横坐标为3．试判断是否存在这样的点M，
使得以点B，M，N，P为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标；
若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)四边形 面积最大面积是 ，此时
(4)存在， 或 或 或
【分析】（1）直接使用待定系数法求解即可；
（2）过点P做 轴的平行线交 于点 ，将 分为 和 分别求解即可；
（3）结合（2）将四边形 面积分为 和 两部分相加，设 ，则 ，
列出四边形 面积的表达式，将其化为顶点式即可解题；
（4）根据平行四边形的性质，结合坐标与图形，以及二次函数图象与性质，分别讨论点B，M，N，P形成平行四
边形的情况，再求解即可．
【详解】（1）解： 抛物线 与x轴交于点A、 （A点在B点左侧），与y轴交于点 ，
19将 、 两点代入 得： ，
解得： ，
抛物线的函数表达式为 ；
（2）解：设 的所在直线的解析式为： ，
将 代入得： ，解得： ，
的所在直线的解析式为 ，
将P的横坐标代入 得： ，
的坐标为 ，
如图，过点P做 轴的平行线交 于点 ，则点 横坐标为 ，
将点 横坐标为 代入 ， ，
的坐标为 ，
由图知：
20；
（3）解： ，
抛物线的对称轴为直线 ，
点A、 （A点在B点左侧）关于直线 对称，
，
，
如（2）所示：
设 ，则 ，
，
，
，
当 时， 有最大值，最大值为 ，
此时 即 ；
（4）解：由（2）可知： 的坐标为 ，
①如图所示，四边形 为平行四边形，
21，且 ，
∴点 的纵坐标为 ， ，解得： ， ，
∴点 的坐标为 ，
，
设点 ，
，
，则 ，即 ；
②如图所示，四边形 是平行四边形，过点 作 轴于点 ，过点 作 轴于点 ，
， ， ， ，
可得 ，
，且 ，设 ， ，
，解得： ， ，
22当 时， ，即 ，则 ，当 时， ，即 ，
则 ，
点 的坐标为 或 ；
③如图所示，四边形 为平行四边形，
， ， ，
设 ，则 ，
，即点 的坐标为 ；
综上所述，点 的坐标为 或 或 或 ．
23
