文档内容
压轴题 06 二次函数中四种角度问题
目录
解题知识必备................................................................................................................1
压轴题型讲练................................................................................................................2
题型一、角相等问题....................................................................................................2
题型二、二倍角关系问题............................................................................................9
题型三、两角和与差问题..........................................................................................21
题型四、特殊角问题..................................................................................................34
压轴能力测评（11题）.............................................................................................43
1、角的数量关系处理的一般方法如下：
（1）证等角：常运用等腰三角形两底角相等，等角的余角相等，等角的补角相等、全等三角形
和相似三角形的对应角相等及两角的锐角三角函数值相等，等等；
（2）证二倍角：常构造辅助圆，利用圆周角定理；
（3）证和差角：常旋转、翻折、平移构造角．
2.特殊角问题处理的一般方法如下：
（1）运用三角函数值；
（2）遇45°构造等腰直角三角形；
（3）遇30°，60°构造等边三角形；
（4）遇90°构造直角三角形．
一、角相等问题
对于二次函数中的角相等问题，首选方法是利用等角的三角比解决问题（利用一线三等角模型或者拆分特
殊角来发现等角），其次选择利用相似三角形中的比例线段解决问题。
二次函数中的角相等问题比较灵活，在遇到具体问题时具体分析，合理构造等角，解决问题。
二、二倍角关系问题
对于平面直角坐标系中的二倍角问题，往往将其转化成等角问题。对于等角问题，往往有以下解决路径：
等角的构造方法
（1）将等角转化在一个三角形中，利用等腰三角形两边相等，借助距离公式解决；
（2）用等角的三角比相等，构造直角三角形，寻找比例关系；；
（3）利用角的和差关系，寻找等角，而等角存在两个相似三角形中，往往是子母三角形，利用比例线段
构建数量关系；
（4）利用角平分线的相关性质定理。
二倍角的构造方法如图，已知∠α，我们可以利用等腰三角形和外角定理去构造 2α ，在BC边上找一点D，使得BD=AD，
则∠ADC=2α
.
这样我们就构造出了二倍角，接下来利用三角函数（一般用正切）计算就可以了
题型一：角相等问题
【例1】．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，二次函数 的图象与x轴交于A、B两点，
与y轴交于点C，连结 ， ．
(1)求点A和点C的坐标．
(2)若在第一象限的二次函数图象上存在点D，使 ，求点D的坐标．
【变式1】．（23-24九年级上·陕西西安·期末）抛物线 经过 ，B(4,0)两点，若D是
抛物线上的一点，满足 ，求点D的坐标．【变式2】．（23-24九年级上·陕西西安·期末）已知抛物线 经过点 ， ，与y
轴的交点为C．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)若点P是该抛物线上一点，且位于其对称轴m右侧，对称轴m与x轴交于点M，过点P作 轴，
垂足为N．若 ，求出点P的坐标．
【变式3】．（23-24九年级上·四川南充·期末）如图，经过点 的抛物线与 轴交于 两点，
与 轴交于点 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点 在抛物线上， ，求点 的坐标；
(3)如果 是抛物线第一象限上动点，（2）中确定的点 与 分别在直线 两侧，点 在射
线 上．当四边形 面积最大时，求 的值．
题型二：二倍角关系问题
【例2】．（22-23九年级上·湖北黄石·期末）抛物线 与坐标轴分别交于A，B，C三点，P是第一象限内抛物线上的一点．
(1)直接写出A，B，C三点的坐标为A______，B______，C______；
(2)连接 ，若 ，求点P的坐标；
(3)连接 ，是否存在点P，使得 ，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理
由．
【变式1】．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线与y轴交于
，与x轴交于B、C两点（C在B的右侧），顶点坐标为 ．(1)求抛物线解析式；
(2)点 是抛物线上一动点，且位于直线 的上方，过点 作 的垂线交 于点 ，求 长度的最大
值；
(3)在直线 上是否存在点G，使得 ？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明
理由．
【变式2】．（22-23九年级下·湖北恩施·期中）已知抛物线 的顶点坐标为 ，与 轴交
于点 和点 ，与 轴交于点 ，点 为第二象限内抛物线上的动点．(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，连接 交 于点 ，当 时，请求出点 的坐标；
(3)如图2，点 的坐标为 ，点 为 轴负半轴上的一点， ，连接 ，若
，请求出点 的坐标；
(4)M是平面内一点，将 绕点 逆时针旋转 后，得到 ，若 的两个顶点恰好落在
抛物线上，请求点 的坐标．
【变式3】．（23-24九年级上·广东珠海·期中）在平面直角坐标系中，直线 与 轴交于点 ，与
轴交于点 ，二次函数 的图象经过B，C两点，且与 轴的负半轴交于点 ，动点在二次函数图象上，过点 作 平行于 轴，交直线BC于点 ．
(1)求二次函数的表达式；
(2)若以M、D、O、C为顶点的四边形是平行四边形，求点 的坐标；
(3)根据图象，直接写出不等式 的解集________．若 的横坐标在此范围内时，且
，直接写出点 的坐标为_______．
题型三：两角和与差问题
【例3】．（23-24九年级上·重庆九龙坡·期末）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线 与
轴交于 两点，与 轴交于点 ．(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点 是直线 上方抛物线上的一动点，过点 作 轴的平行线 交直线 于点 ，过点
作 轴的平行线 交直线 于点 ，求 面积的最大值及此时点 的坐标；
(3)如图2，连接 ，抛物线上是否存在点 ，使 ？若存在，请直接写出点 的
坐标；若不存在，请说明理由．
【变式1】．（23-24九年级上·福建福州·期中）如图，拋物线 与 轴交于 两点，与 轴
交于点 ，抛物线的对称轴是直线 ，已知点 ．(1)求抛物线的解析式；
(2) 是线段 上的一个动点，过点 作 轴，延长 交抛物线于点 ，求线段 的最大值及此
时点 的坐标；
(3)在 轴上是否存在一点 ，使得 ？若存在，求点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式2】．（21-22九年级上·重庆·期末）如图1，在平而直角坐标系中，抛物线 （ 、 、
为常数， ）的图像与 轴交于点 、 两点，与 轴交于点 ，且抛物线的对称轴为直线．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在直线 上方的抛物线上有一动点 ，过点 作 轴，垂足为点 ，交直线 于点 ；是否
存在点 ，使得 取得最大值，若存在请求出它的最大值及点 的坐标；若不存在，请说明
理由；
(3)如图2，若点 是抛物线上另一动点，且满足 ，请直接写出点 的坐标．
【变式3】．（23-24九年级上·辽宁鞍山·期中）已知抛物线经过点 ，它的对称轴为直线 ，且函数有最小值为 ．P是抛物线上的一个动点，且横坐标为m．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若抛物线与x轴的交点为A，B（A在B左侧）与y轴的交点为C，P是抛物线上第四象限内的一个动点，
连接 ， ，当 面积为 面积的三分之一时，求出此时点P的坐标；
(3)连接 ，是否存在点P，使得 ，若存在，直接写出m的值，若不存在，请说明理
由．
题型四：特殊角问题
【例4】．（23-24九年级上·江苏南通·期中）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线
与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D，
．
(1)求a的值；
(2)点 与点 是抛物线上两个不重合的点，求 的值；
(3)点P是抛物线对称轴上一点，在直线BC上有且仅有一个点Q，使得 ，求点P的坐标．【变式1】．（23-24九年级上·辽宁葫芦岛·期末）（1）【建立模型】在数学课上，老师出示这样一个问题：
如图1，在 中， ， ，直线l经过点C， ， ，垂足分别为点D和
点E，求证： ，请你写出证明过程；
（2）【类比迁移】勤奋小组在这个模型的基础上，继续进行探究问题：如图2，在平面直角坐标系中，直
线 的图象与y轴交于点A，与x轴交于点C，将线段 绕点C顺时针旋转 得到线段 ，反
比例函数 的图象经过点B，请你求出反比例函数的解析式；
（3）【拓展延伸】创新小组受到勤奋小组的启发，结合抛物线的图象继续深入探究：如图3，一次函数
的图象与y轴交于点A，与x轴交于点C，创新小组的同学发现在第一象限的抛物线
的图象上存在一点P，连接 ，当 时，请你和创新小组的同学一起求出点P的
坐标．【变式2】．（23-24九年级上·内蒙古乌兰察布·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线
与 轴交于点 ， 两点，与 轴交于点 ， 是该抛物线的顶点．
(1)求 的值．
(2)判断 的形状，并说明理由．
(3)在抛物线对称轴上是否存在点 ，使 ？若存在，请求出符合条件的点 的坐标，若不存在，
请说明理由．
(4)在（3）的条件下，平面内是否存在点 ，使以 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，
请直接写出点 的坐标，若不存在，请说明理由．
【变式3】．（23-24九年级上·广东东莞·期中）如图，已知抛物线 （ ）与 轴相交于
点 ，与 轴分别交于点 和点A，且 ．
(1)求抛物线解析式；
(2)抛物线上是否存在一点 ，使得 ，若存在，请求出点 坐标，若不存在，请说明理由；
(3)抛物线的对称轴交 轴于点 ，在 轴上是否存在一个点 ，使 的值最小，若存在，请求
出最小值，若不存在，请说明理由．1．（23-24九年级上·山东济南·期末）如图，在平面直角坐标系 中，抛物线 与x轴交于
A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线 ，点A的坐标为 ．
(1)该抛物线的表达式为 ；
(2)点P为抛物线上一点（不与点A重合），连接 ．当 时，求点P的坐标；
(3)在（2）的条件下，在对称轴上是否存在一点Q，将线段 绕点Q顺时针旋转 ，使点 恰好落在抛
物线上？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．2．（23-24九年级上·福建福州·期中）抛物线 与x轴交于 ，B两点，与y轴交于点
C，抛物线的对称轴为直线 ，点D在抛物线上．
备用图
(1)求拋物线的解析式；
(2)如图，点D在 上方的抛物线上，当 的面积最大时，求点D的坐标；
(3)是否存在点D，使得 ？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．3．（23-24九年级上·福建福州·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 交x轴于 ，
两点，交y轴于点C．
(1)求二次函数解析式；
(2)如图1，若在x轴上方的抛物线上存在一点D，使得 ，求点D的坐标；
(3)如图2，平面上一点 ，过点E作任意一条直线交抛物线于P、Q两点，连接 、 ，分别交y
轴于M、N两点，则 与 的积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．4．（23-24九年级上·辽宁大连·期中）如图，二次函数 的图象经过点 ， ，且
与y轴交于点C，直线 与x轴、y轴交于点D、E，与二次函数图象交于点F，G．
(1)求该二次函数的解析式.
(2)点M为该二次函数图象上一动点．
①若点M在图象上的C，F两点之间，求 的面积的最大值.
②若 ，求点M的坐标．
5．（23-24九年级上·江苏苏州·期中）如图1，已知抛物线 顶点C的纵坐标是4，与x轴交于
A、O两点，经过点A的直线 经过 ，D为直线 上一动点．
(1) ______； ______；
(2)连接 ，当线段 与直线 夹角为 时，求点D的坐标．
(3)如图2，连接 ，线段 上是否存在点E，连接 ，当 时，线段 被x轴截得线
段比为 两部分，若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．6．（23-24九年级上·重庆九龙坡·期末）如图，抛物线 经过点 ，且交x轴于
，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C．
(1)求抛物线的解析式．
(2)如图1，过点D作 轴，垂足为M，点P在直线 下方抛物线上运动，过点P作 ，
，求 的最大值，以及此时点P的坐标．
(3)将原抛物线沿射线 方向平移 个单位长度，在平移后的抛物线上存在点G，使得 ，请
写出所有符合条件的点G的横坐标，并写出其中一个的求解过程．7．（23-24九年级上·辽宁朝阳·期末）如图，抛物线 与x轴交于点A，点B，与y轴交于点
C，直线 经过点B，点C．
(1)试求抛物线的解析式；
(2)点P是直线 下方抛物线上一动点，当 的面积最大时，求点P的坐标；
(3)若M是抛物线上一点，且 ，请直接写出点M的坐标．8．（23-24九年级上·内蒙古包头·期末）如图，抛物线与x轴相交于原点和点 ，在第一象限内与直
线 交于点B ，抛物线的顶点为C点．
(1)求抛物线的解析式和顶点C的坐标；
(2)点 在抛物线上，连接 ，求 的面积；
(3)抛物线上是否存在点D，使得 ？若存在，求出所有点D的坐标；若不存在，请说明理由．9．（23-24九年级上·湖北武汉·期中）如图，在平面直角坐标系 中，抛物线 经过点
，点 是抛物线的顶点，连接 ．
(1)求抛物线的函数解析式及顶点 的坐标；
(2)设直线 与抛物线相交于 、 两点（点 在点 的左侧且点 在第四象限），当直线
与直线 相交所成的一个角为 时，求点 的坐标；
(3)如图2，作直线 ， 分别交 轴正、负半轴于点 、 ，交抛物线于点 、 ，设点 、 的纵
坐标分别为 、 ，且 ，求证：直线 经过一个定点．
10．（23-24九年级上·福建龙岩·期中）如图，在平面直角坐标系 中，抛物线 与 轴交于
、 两点，与 轴交于点 ，对称轴为直线 ，点 的坐标为 ．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)点 为抛物线上一点（不与点 重合），连接 ．当 时，求点 的坐标；
(3)在（2）的条件下，在对称轴上是否存在一点 ，连接 ，将线段 绕点 顺时针旋转 得到线段
，使点 恰好落在抛物线上？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．11．（23-24九年级上·山东淄博·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于A，
两点，与y轴交于点 ，点P是第三象限内抛物线上的一个动点，连接 ， ， ．
(1)求该抛物线的表达式及其顶点坐标；
(2) 的面积是否存在最大值？若存在，请求出 面积的最大值及此时P的坐标；若不存在，请说
明理由；
(3)设直线 与直线 交于点 ，若存在 与 中一个是另一个的2倍，请直接写出点 的坐
标；若不存在，请说明理由．
