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24.1.4 圆周角 教学设计
课题 24.1.4 圆周角 单元 第24章 学科 数学 年级 九年级
学习 1.理解圆周角的概念；
目标 2.掌握圆周角定理及推论，能够运用相关知识解决问题；
3.理解并掌握圆内接多边形的定义及其性质.
重点 理解圆周角与圆心角的关系并能运用圆周角定理解决简单的几何问题.
难点 理解掌握圆周角定理的推论及其证明过程和运用.
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 复习回顾：1.什么是圆心角？ 复习回顾圆心 回顾旧知，学习
圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角. 角、弧、弦的 新知.
2.弧、弦、圆心角关系定理？ 关系.
讲授新课 环节一：理解圆周角的概念 对比圆心角， 运 用 类 比 的 方
思考：如图∠AOB是圆心角，∠ACB是什么角 学习圆周角的 法，使学生更加
呢？它有哪些特点呢？ 定义. 容易理解圆周角
∠ACB是圆周角 概念.
特点：顶点在圆上，并且两边都和圆相交
顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫圆周
角．
注意：①顶点在圆上，②两边都和圆相交判断：下图中∠BAC 是圆周角的是( A )
探究圆周角定 理解并掌握弧、
分析：①顶点在圆上，②两边都和圆相交 两者 理及推论，熟 弦、圆心角、圆
缺一不可. 练掌握圆周角 周角的关系定理
环节二：探究圆周角定理及推论 的相关知识. 及圆周角的相关
探究：如图，圆心角∠BOC，圆周角∠BAC对着 推论.
同一条弧BC. 试猜想它们之间存在怎样的数量关
系？
发现：同弧所对的圆周角的度数等于这条弧所对
的圆心角的度数的一半.
如何证明呢？
为了证明上面的结论，在☉O 任取一个圆周角
∠BAC，沿AO所在直线将圆对折，由于点 A的
位置不同，折痕会：
（1）在圆周角的一条边上；
（2）在圆周角的内部；
（3）在圆周角的外部.
圆心O在∠BAC的一边上
∵OA=OC
∴∠A= ∠C
∵∠BOC= ∠ A+ ∠C=2∠ A=2∠ BAC∴
圆心O在∠BAC 的内部
连接并延长AO交☉O于点D.
由（1）知，
∵∠BAC=∠BAD+∠DAC
圆心O在∠BAC的外部
连接并延长BO交☉O于点D，连接DC.
由（1）知，
圆周角定理：
一条弧所对的圆周角等于该弧它所对的圆心角的
一半.进一步，我们还可以得到以下推论：
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等．
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角都是直角，
90°的圆周角所对的弦是直径．
如何证明呢？
证明：（1）在同弧中
∴∠BAC=∠BDC
同弧所对的圆周角相等．
在等弧中
B
A
E
O
C
F
D等弧所对的圆周角相等．
半圆（或直径）所对的圆周角都是直角
证明：（2）
∵OA=OB=OC，
∴△AOC、△BOC都是等腰三角形.
∴ ∠OAC=∠OCA，∠OBC=∠OCB.
又∵ ∠OAC+∠OBC+∠ACB=180°.
∴ ∠ACB=∠OCA+∠OCB=180°÷2=90°.
小结：半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于
90°.
∵∠ACB=90°.
∴ ∠AOB=2∠ACB=180°
∵AB经过点O，
∴AB是☉O的直径.
小结：90°的圆周角所对的弦是直径.
运用圆周角的 培养学生运用数
相关知识解决 学知识解决生活
问题，体会知 中实际问题的能
识的运用. 力.
环节三：合作探究
例4 如图，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm.
∠ACB的平分线交⊙O于D. 求BC、AD、BD的
长.探究圆内接四 掌握圆内接四边
边形的性质 形的相关知识.
解：∵AB是直径，
∴ ∠ACB=∠ADB=90°.
在Rt△ACB中，根据勾股定理得
∵CD平分∠ACB,
∴∠ACD=∠DCB.
∴∠AOD=∠BOD,
∴AD=BD.
在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2，
注意：解答圆周角有关问题时，若题中出现“直
径”这个条件，则考虑构造直角三角形来求解.
环节四：探究圆内接多边形
如果一个多边形所有顶点都在同一个圆上，这个
多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边
形的外接圆.
圆内接四边形的四个角有什么关系？
如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，⊙O为
四边形ABCD的外接圆. 那么∠A与∠C, ∠B与
∠D之间存在怎样的数量关系呢？为什么？∠A+ ∠C=180º，
∠B+ ∠D=180º
证明：∵ 弧BCD和弧BAD所对的圆心角的
和是周角360°， 学生练习，师 通过各种变式练
生互评订正. 习，让学生理解
∴∠A＋∠C＝180°，
和掌握圆周角定
同理∠B＋∠D＝180°，
理及相关推论.
性质：圆的内接四边形的对角互补.
思考：图中∠A与∠DCE的有怎样的数量关系？
∵ BCD和BAD所对的圆心角的和是周角，
∴∠A＋∠BCD＝180°，
∵∠BCD＋∠DCE＝180°.
∴∠A＝∠DCE.
推论：圆的内接四边形的任何一个外角都等
于它的内对角.
小结：圆内接四边形的性质：圆的内接四边
形的对角互补.
推论：圆的内接四边形的任何一个外角都等
于它的内对角.
环节五：课堂练习
1.如图，A、D是⊙O上的两个点，BC是直径，若
∠D=32°，则∠OAC=（ B ）
A. 64° B. 58°
C. 68° D. 55°2.四边形 ADBC 内接于⊙O，∠AOB＝122°，则
∠ACB等于（ B ）
A．131° B．119° C．122° D．58°
3.如图，△ABD 是⊙O 的内接三角形，作 AD//
OC，与⊙O 相交于点 C，且∠BOC=110°，则
∠ABD的大小为（ A ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
4.如图，⊙A过点O（0，0）、C（ ，0）、
D（0，2），点 C 是⊙A上的一点，连接 CO、
CD，
则∠DCO的度数是（ B ）
A．22.5° B．30° C．37.5° D．45°
5.如图，⊙O 的直径 AB⊥CD，∠A=22.5°，OC=4，求CD的长.
解：∵∠A=22.5°，
∴∠BOC=45°，
∵AB⊥CD，
∴ ∠ECO=45°.
∴ CE=OE，
在Rt△COE中，根据勾股定理得
∵CD=2CE
课堂小结 师生共同梳理 强化本节课的知
顶点在圆上，并且两边都和圆
本节课的知识 识点.
定义 相交.
点.
在同圆或等圆中，同弧或等
弧所对的圆周角相等，都等
圆周角 于该弧所对的圆心角的一半；
定理 相等的圆周角所对的弧相等.
圆
周
角 半圆或直径所对的圆周角都
相等，都等于 90°（直角）.
推论
反之亦然.
圆内接四边形的对角互补.
板书 24.1.3 弧、弦、圆心角 教师展示本节 展示本节课的内
圆是中心对称图形： 课的内容. 容.
弧、弦、圆心角关系定理：
例3 练习
