文档内容
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系
24.2.1 点和圆的位置关系
教学目标：
1、理解点和圆的位置关系，掌握点到圆心和距离与半径之间的关系。
2、了解不在同一直线上的三个点确定一个圆，以及过不在同一直线上的三个点作圆的方法。
3、点和圆的位置关系、直线和圆的位置关系
教学重难点：切线的证明、外心的应用
知识点一：点和圆的位置关系
（1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：
①点P在圆外⇔d＞r
②点P在圆上⇔d=r
①点P在圆内⇔d＜r
（2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定
该点与圆的位置关系．
（3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端．
例题．如图，已知△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，已点C为圆心作⊙C，半径为r．
（1）当r取什么值时，点A、B在⊙C外？
（2）当r取什么值时，点A在⊙C内，点B在⊙C外．
【分析】（1）若点A、B在⊙C外，则AC＞r即可；
（2）点A在⊙C内，点B在⊙C外，则AC＜r＜BC即可．【解答】解：（1）若点A、B在⊙C外，则AC＞r，
∵AC=3，
∴r＜3，
（2）如点A在⊙C内，点B在⊙C外，则AC＜r＜BC，
∵AC=3，BC=4，
∴3＜r＜4．
【点评】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为 r，点到圆心的距离为d，则有：当
d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．
变式1．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，AB=13，AC=5，以点C为圆心， 为半径的圆和点
A，B，D的位置关系是怎样的？
【分析】先利用勾股定理计算出BC=12，再利用面积法计算出CD，然后根据点与圆的位置关系的判定方
法进行判断．
【解答】解：在Rt△ACB中，∵AB=13，AC=5，
∴BC= =12，
∵ •CD•AB= BC•AC，∴CD= = ，
∵BC＞CD，AC＞CD，
∴A点和B点在以点C为圆心， 为半径的圆外，D点在以点C为圆心， 为半径的圆上．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有点P在圆外⇔d
＞r；点P在圆上⇔d=r；点P在圆内⇔d＜r．
变式2．在△ABC中，∠BCA=90°，∠B=30°，AB=5cm，CD为斜边AB的中线，以点D为圆心，DC长为
半径画⊙D，试说明点A、B、C与⊙D的位置关系．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半判断 DA、DB与DC的数量关系，根据点与圆的位
置关系的判断方法进行判断即可．
【解答】解：∵∠BCA=90°，CD为斜边AB的中线，
∴DA=DB=DC，
∴点A、B、C都在以点D为圆心，DC长为半径画⊙D上．
【点评】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为 r，点到圆心的距离为d，则有：当
d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．
知识点二：圆的确定
不在同一直线上的三点确定一个圆．
注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不
能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆．
例题．下列说法中正确的是（ ）
A．不在同一条直线上的三个点确定一个圆
B．相等的圆心角所对的弧相等
C．平分弦的直径垂直于弦
D．在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等
【分析】根据确定圆的条件、垂径定理、圆周角定理判断即可．
【解答】解：不在同一条直线上的三个点确定一个圆，A正确；
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，B错误；
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，C错误；
在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等或互补，D错误，
故选：A．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，掌握确定圆的条件、垂径定理、圆周角定理是解题的关键．
变式1．平面上有4个点，它们不在一条直线上，但有3个点在同一条直线上．过其中3个点作圆，可以作
的圆的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据不在同一直线上的三点确定一个圆画出图形可得答案．
【解答】解：如图所示：
故选：C．【点评】此题主要考查了确定圆的条件，关键是掌握不在同一直线上的三点确定一个圆．
变式2．平面上不共线的四点，可以确定圆的个数为（ ）
A．1个或3个 B．3个或4个
C．1个或3个或4个 D．1个或2个或3个或4个
【分析】不在同一条直线上的三个点确定一个圆．由于点的位置不同，导致确定的圆的个数不同，所以本
题分三种不同情况考虑．
【解答】解：（1）当四个点中有三个点在同一直线上，另外一个点不在这条直线上时，确定3个圆；
（2）当四个点中任意三个点都不在同一条直线上，并且四点不共圆时，则任意三点都能确定一个圆，一
共确定4个圆；
（3）当四个点共圆时，只能确定一个圆．
故选：C．
【点评】本题考查的是圆的确定，由于点的位置不确定，因此用分类讨论的思想方法进行解答．
变式3．如图所示，△ABC中，∠B=90°，AB=21，BC=20．若有一半径为10的圆分别与AB、BC相切，
则下列何种方法可找到此圆的圆心（ ）A．∠B的角平分线与AC的交点
B．AB的中垂线与BC中垂线的交点
C．∠B的角平分线与AB中垂线的交点
D．∠B的角平分线与BC中垂线的交点
【分析】因为圆分别与AB、BC相切，所以圆心到AB、CB的距离一定相等，都等于半径．而到角的两边
距离相等的点在角的平分线上，圆的半径为10，所以圆心到AB的距离为10．因为BC=20，所以BC的中
垂线上的点到AB的距离为10，所以∠B的角平分线与BC的中垂线的交点即为圆心．
【解答】解：∵圆分别与AB、BC相切，
∴圆心到AB、CB的距离都等于半径，
∵到角的两边距离相等的点在角的平分线上，
∴圆心定在∠B的角平分线上，
∵因为圆的半径为10，
∴圆心到AB的距离为10，
∵BC=20，
又∵∠B=90°，
∴BC的中垂线上的点到AB的距离为10，
∴∠B的角平分线与BC的中垂线的交点即为圆心．
故选：D．【点评】本题考查的是圆的确定，运用角平分线的判定和平行线的性质来解题，题目难度中等．
知识点三：三角形的外接圆
（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．
（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
（3）概念说明：
①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．
②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在
三角形的外部．
③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的两条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而
一个圆的内接三角形却有无数个．
例题．△ABC的三边长分别为6、8、10，则其外接圆的半径是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．10
【分析】先利用勾股定理的逆定理得到△ABC为直角三角形，利用斜边为外接圆的直径计算△ABC的外
接圆的半径．
【解答】解：∵62+82=102，
∴△ABC为直角三角形，
∴△ABC的外接圆的半径= =5．
故选：C．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆；三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
变式1．九个相同的等边三角形如图所示，已知点O是一个三角形的外心，则这个三角形是（ ）
A．△ABC B．△ABE C．△ABD D．△ACE
【分析】根据三角形的外心和等边三角形的性质解答即可．
【解答】解：∵钝角三角形的外心在三角形的外部，
∴点O是△ABD的外心，
故选：C．
【点评】本题考查的是三角形的外心，即三角形三边垂直平分线的交点叫三角形的外心，锐角三角形的外
心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．
变式2．如图，网格的小正方形的边长均为1，小正方形的顶点叫做格点．△ABC的三个顶点都在格点上．
（1）在图上标出△ABC的外接圆的圆心O．
（2）△ABC的外接圆的面积是 10 π ．
【分析】（1）根据三角形外心的确定方法得出O点位置即可；
（2）利用勾股定理得出AO的长，再利用圆的面积公式得出即可．
【解答】 解：（1）在图上标出 的外接圆的圆心O；（2）∵AO= = ，
∴外接圆的面积是10π．
故答案为：10π．
【点评】此题主要考查了三角形外心的作法以及圆的面积公式等知识，根据已知得出O点位置是解题关键．
拓展点一：点和圆的位置关系的应用
例题．已知⊙O是以坐标原点O为圆心，5为半径的圆，点M的坐标为（﹣3，4），则点M与⊙O的位置
关系为（ ）
A．M在⊙O上 B．M在⊙O内 C．M在⊙O外 D．M在⊙O右上方
【分析】根据勾股定理，可得OM的长，根据点与圆心的距离d，则d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在
圆上；当d＜r时，点在圆内．
【解答】解：OM= =5，
OM=r=5．
故选：A．
【点评】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为 r，点到圆心的距离为d，则有：当
d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．
变式1．一个点到圆的最小距离为3cm，最大距离为8cm，则该圆的半径是（ ）A．5cm或11cm B．2.5cm C．5.5cm D．2.5cm或5.5cm
【分析】点P应分为位于圆的内部位于外部两种情况讨论．当点P在圆内时，点到圆的最大距离与最小距
离的和是直径；当点P在圆外时，点到圆的最大距离与最小距离的差是直径，由此得解．
【解答】解：当点P在圆内时，最近点的距离为3cm，最远点的距离为8cm，则直径是11cm，因而半径是
5.5cm；
当点P在圆外时，最近点的距离为3cm，最远点的距离为8m，则直径是5cm，因而半径是2.5cm．
故选：D．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系，注意分两种情况进行讨论是解决本题的关键．
变式2．如图，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，以边AB的中点O为圆心，作半圆与AC相切，点
P，Q分别是边BC和半圆上的动点，连接PQ，则PQ长的最大值与最小值的和是（ ）
A．6 B．2 +1 C．9 D．
【分析】如图，设⊙O与AC相切于点E，连接OE，作OP ⊥BC垂足为P 交⊙O于Q ，此时垂线段OP 最
1 1 1 1
短，PQ 最小值为OP ﹣OQ ，求出OP ，如图当Q 在AB边上时，P2与B重合时，
1 1 1 1 1 2
PQ 最大值=5+3=8，由此不难解决问题．
2 2
【解答】解：如图，设⊙O与AC相切于点E，连接OE，作OP ⊥BC垂足为P 交⊙O于Q，
1 1 1
此时垂线段OP 最短，PQ 最小值为OP ﹣OQ ，
1 1 1 1 1
∵AB=10，AC=8，BC=6，
∴AB2=AC2+BC2，∴∠C=90°，
∵∠OP B=90°，
1
∴OP ∥AC
1
∵AO=OB，
∴PC=P B，
1 1
∴OP = AC=4，
1
∴PQ 最小值为OP ﹣OQ =1，
1 1 1 1
如图，当Q 在AB边上时，P2与B重合时，PQ 经过圆心，经过圆心的弦最长，
2 2 2
PQ 最大值=5+3=8，
2 2
∴PQ长的最大值与最小值的和是9．
故选：C．
【点评】本题考查切线的性质、三角形中位线定理等知识，解题的关键是正确找到点 PQ取得最大值、最
小值时的位置，属于中考常考题型．
拓展点二：与三角形外接圆有关的计算问题
例题．如图，⊙O的半径为6，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC，若∠BAC与∠BOC互补，则
线段BC的长为（ ）A． B．3 C． D．6
【分析】作弦心距OD，先根据已知求出∠BOC=120°，由等腰三角形三线合一的性质得：∠DOC=
∠BOC=60°，利用30°角所对的直角边是斜边的一半可求得OD的长，根据勾股定理得DC的长，最后利用
垂径定理得出结论．
【解答】解：∵∠BAC与∠BOC互补，
∴∠BAC+∠BOC=180°，
∵∠BAC= ∠BOC，
∴∠BOC=120°，
过O作OD⊥BC，垂足为D，
∴BD=CD，
∵OB=OC，
∴OD平分∠BOC，
∴∠DOC= ∠BOC=60°，∴∠OCD=90°﹣60°=30°，
在Rt△DOC中，OC=6，
∴OD=3，
∴DC=3 ，
∴BC=2DC=6 ，
故选：C．
【点评】本题考查三角形的外接圆与外心、锐角三角函数、垂径定理等知识，解题的关键是学会添加常用
辅助线，还在直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
变式1．如图，⊙O是△ABC的外接圆，OD⊥AB于点D，交⊙O于点E，∠C=60°，如果⊙O的半径为
2，则结论错误的是（ ）
A．AD=DB B． C．OD=1 D．AB=
【分析】连接 OA，OB，根据由垂径定理和圆周角定理知，OD 是 AB 的中垂线，有 AD=BD，
∠AOD=∠BOD=∠C=60°．利用三角函数可求得 AD=AOsin60°= ，OD=OAsin∠AOD=OAsin60°=1，
AB=2 ，从而判断出D是错误的．
【解答】解：连接OA，OB．∵OD⊥AB，
∴由垂径定理和圆周角定理知，OD是AB的中垂线，有AD=BD，∠AOD=∠BOD=∠C=60°．
∴AD=AOsin60°= ，OD=OAsin∠AOD=OAsin60°=1．
∴AB=2 ．
∴A，B，C均正确，D错误．
故选：D．
【点评】本题利用了垂径定理和圆周角定理，直角三角形的性质，锐角三角函数的概念求解．
变式2．已知：如图，⊙O是△ABC的外接圆， = ，点D在边BC上，AE∥BC，AE=BD．
（1）求证：AD=CE；
（2）如果点G在线段DC上（不与点D重合），且AG=AD，求证：四边形AGCE是平行四边形．
【分析】（1）根据等弧所对的圆周角相等，得出∠B=∠ACB，再根据全等三角形的判定得
△ABD≌△CAE，即可得出AD=CE；（2）连接AO并延长，交边BC于点H，由等腰三角形的性质和外心的性质得出 AH⊥BC，再由垂径定理
得BH=CH，得出CG与AE平行且相等．
【解答】证明：（1）在⊙O中，
∵ = ，
∴AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∵AE∥BC，
∴∠EAC=∠ACB，
∴∠B=∠EAC，
在△ABD和△CAE中， ，
∴△ABD≌△≌CAE（SAS），
∴AD=CE；
（2）连接AO并延长，交边BC于点H，
∵ = ，OA为半径，
∴AH⊥BC，
∴BH=CH，
∵AD=AG，
∴DH=HG，
∴BH﹣DH=CH﹣GH，即BD=CG，
∵BD=AE，∴CG=AE，
∵CG∥AE，
∴四边形AGCE是平行四边形．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心以及全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定，圆心角、
弧、弦之间的关系，把这几个知识点综合运用是解题的关键．
