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24.4 弧长和扇形面积
【提升训练】
一、单选题
1．如图，一扇形纸扇完全打开后，两竹条外侧 和 的夹角为120°， 长为 ，贴纸部分的
长为 ，则贴纸部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
2．如图， 中， ， ， ，点 从 点出发，沿 运动到点 停止，
过点 作射线 的垂线，垂足为 ，点 运动的路径长为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在 中， ， ， ，以点A为圆心，AC的长为半径画弧，交
AB于点D，交AC于点C，以点B为圆心，AC的长为半径画弧，交AB于点E，交BC于点F，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，正六边形 的边长为2，以 为圆心， 的长为半径画弧，得 ，连接 ， ，
则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，王虎使一长为4cm，宽为3cm的长方形木板，在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向）木板上
点A位置变化为A→A→A，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使木板与桌面成30°角，则点A翻滚
1 2
到A 位置时共走过的路径长为（ ）
2A．10cm B． cm C． cm D． cm
6．如图， 是 的直径， 为半圆 的中点， 为弧 上一动点，连接 并延长，作
于点 ，若点 从点 运动到点 ，则点 运动的路径长为（ ）
A． B． C． D．4
7．如图， 是等腰直角三角形， ， ，把 绕点 按顺时针方向旋
转45°后得到 ，则线段 在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是（ ）
A． B． C． D．
8．如图， 内切于边长为2的正方形 ，则图中阴影部分的面积是（ ）A． B． C． D．
9．如图，将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转60°，点O，B的对应点分别为 ，
，连接 ，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，等边 的三个顶点都在 上， 是 的直径．若 ，则劣弧 的长是（
）
A． B． C． D．
11．如图，AB是半圆O的直径，AB＝10，以OB为边作平行四边形OBCE，若CE与半圆O相切于点C，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
12．如图，在扇形 中， ，半径 交弦 于点 ，且 ．若 ，则
阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
13．在 中，已知 ， ， ．如图所示，将 绕点 按逆时针方
向旋转 后得到 ．则图中阴影部分面积为（ ）A． B． C． D．
14．如图，边长为 的等边三角形 内接于 ，过点 作 的切线交 的延长线于点 ，交
于点 ，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
15．如图是一圆锥的左视图，根据图中所示数据，可得圆锥侧面展开图的圆心角的度数为（ ）
A．60° B．90° C．120° D．135°
16．如图所示，矩形纸片 中， ，把它分割成正方形纸片 和矩形纸片 后，
分别裁出扇形 和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的底面和侧面，则圆锥的表面积为（ ）
A． B． C． D．
17．如图，直线 与坐标轴交于A、B两点，点P是线段AB上的一个动点，过点P作y轴的平行线交直线 于点Q， 绕点O顺时针旋转45°，边PQ扫过区域（阴影部份）面积的最大
值是（ ）
A． B． C． D．
18．如图，圆锥侧面展开得到扇形，此扇形半径 ，圆心角 ，则此圆锥高 的长度
是（ ）
A．2 B． C． D．
19．如图， 中， ， ，以 为直径的 交 于点 ，则 的长为（
）
A． B． C． D．20．如图，是古希腊数学家希波克拉底所研究的月牙问题，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为
的三条边，若 ， ，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
21．如图，在半径1的圆形纸片中，剪一个圆心角为90°的扇形（图中阴影部分），则这个扇形的面积为
（ ）
A． B． C． D．
22．如图，在半径为 的圆形纸片中，剪一个圆心角为90º的最大扇形（阴影部分），则这个扇形的面
积为 （ ）
A．π B． C．2π D．
23．如图，一张扇形纸片OAB，∠AOB＝120°，OA＝6，将这张扇形纸片折叠，使点A与点O重合，折痕
为CD，则图中未重叠部分（即阴影部分）的面积为（ ）A． B． C． D．
24．如图，从一块半径为 的圆形铁皮上剪出一个圆心角是 的扇形 ，则此扇形围成的圆锥底
面圆的半径为（ ）
A． B． C． D．
25．如图，在 中，点 在优弧 上，将弧 沿 折叠后刚好经过 的中点 ．若 的半径
为5， ，则 的长是（ ）
A． B． C． D．
26．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，以点A为圆心、AC的长为半径作 交AB于点E，以点B为圆心、BC的长为半径作 交AB于点D，则阴影部分的面积为（ ）
A．π一2 B．2π﹣4 C．4π﹣8 D．2π﹣2
27．如图，等边△ABC边长为3，将△ABC绕AC上的三等分点O逆时针旋转60°得到△ ，其中点
B的运动轨迹为 ，图中阴影部分面积为（ ）
A． B． C． D．
28．如图，在矩形 中， 为对角线， ， ，以 为圆心， 长为半径画弧，
交 于点 ，交 于点 ，则阴影部分的面积为（ ）A． B． C． D．
29．如图，在 中， ，以 的中点D为圆心，作圆心角为 的扇形
，点C恰好在 上，设 ，当 由小到大变化时，图中两个阴影部分的
周长和（ ）
A．由小变大 B．由大变小 C．不变 D．先由小变大，后由大变小
30．如图，在正方形纸片 中，点M，N在 上，将纸片沿 折叠，折叠后使点A和点D
重合于点I， 的外接圆分别交 于点P，Q．若 ，则 的长度为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
31．如图，已知在扇形 中， ，半径 ．P为弧 上的动点，过点P作
于点M， 于点N，点M，N分别在半径 上，连接 ．点D是 的外
心，则点D运动的路径长为________．32．如图，已知半圆O的直径 ，将半圆O绕点A逆时针旋转，使点B落在点 处， 与半圆O
交于点C，若弧BC的长为 ，则图中阴影部分的面积是_________．
33．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠A：∠C＝2：3，若⊙O半径为5，则 的长度是
______．
34．如图，在正方形ABCD中，扇形BAD的半径AB＝4，以AB为直径的圆与正方形的对角线BD相交于
O，连接AO．则图中阴影部分的面积为___．（结果保留π）35．如图，从一块边长为 ， 的菱形铁片上剪出一个扇形，这个扇形在以 为圆心的圆上（阴
影部分），且圆弧与 ， 分别相切于点 ， ，将剪下来的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面圆半
径是__________．
三、解答题
36．如图，在 中， ，点 在 边上， 为 的半径， 是 的切线，
切点为点 ， ， ．
（1）求证： 是 的切线；（2）求阴影部分的面积．
37．如图，已知 是底角为30°的等腰三角形，B为AD上一点，以AB为直径的 恰好过点C．
（1）判断直线CD与 的位置关系，并说明理由；
（2）M为 下半圆上的一个动点，若在某一时刻满足 ，已知半径等于2，求弧AM的
长．
38．如图1，四边形 内接于 ， 为直径，过点 作 于点 ，连接 ．
（1）求证： ；
（2）若 是 的切线， ，连接 ，如图2．
①请判断四边形ABCO的形状，并说明理由；
②当AB=2时，求AD， AC与 围成阴影部分的面积．
39．如图，在平行四边形 中，点A、B、D三个点在⊙ 上， 与⊙ 交于点F，连结 并延
长交边 于点E，点E恰好是 的中点．（1）求证： 是⊙ 的切线．
（2）若 ，
①求 的长．
②求阴影部分的面积．
40．如图，在 中， ， 与 ， 分别相切于点E，F， 平分 ，
连接 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ， 的半径是1，求图中阴影部分的面积．
41．某种冰激凌的外包装可以视为圆锥，它的底面圆直径 与母线 长之比为 ．制作这种外包装
需要用如图所示的等腰三角形材料，其中 ， ．将扇形 围成圆锥时， ，
恰好重合．
（1）求这种加工材料的顶角 的大小
（2）若圆锥底面圆的直径 为5cm，求加工材料剩余部分（图中阴影部分）的面积．（结果保留 ）42．如图， 是 的直径， 为 上一点（ 不与点 ， 重合）连接 ， ，过点 作
，垂足为点 ．将 沿 翻折，点 落在点 处得 ， 交 于点 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ， ，求阴影部分面积．
43．将一物体（视为边长为 米的正方形 ）从地面 上挪到货车车厢内．如图所示，刚开始点
与斜面 上的点 重合，先将该物体绕点 按逆时针方向旋转至正方形 的位置，再将其
沿 方向平移至正方形 的位置（此时点 与点 重合），最后将物体移到车厢平台面
上．已知 ， ，过点 作 于点 ， 米， 米．（1）求线段 的长度；
（2）求在此过程中点 运动至点 所经过的路程．
44．如图，在 中， ， ，以点 为圆心， 为半径的圆交 的延
长线于点 ，过点 作 的平行线，交 于点 ，连接 ．
（1）求证： 为 的切线；
（2）若 ，求弧 的长．
45．如图， 是 的直径， 是 的切线，切点为 ，点 为直径 右侧 上一点，连接
并延长 ，交直线 于点 ，连接 ．（1）尺规作图：作出 的角平分线，交 于点 ，连接 （保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，
①求证： ．
②若 半径为2，当 的长为______时，四边形 是正方形．
46．如图，在平面直角坐标系中，以线段 为直径作 ，与 轴相交于 两点，在第一
象限内的圆上存在一点 ，使得 为等边三角形．
（1）求 过点 的切线 的函数关系式；
（2）求由线段 、劣弧 围成的图形面积．
47．如图，在平面直角坐标系中，网格的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，点 ， ， 的
坐标分别为 ， ， ．（1）将 向上平移4个单位长度，再向右平移6个单位长度，画出平移后得到的 ，并直接
写出点 的坐标；
（2）将 绕着原点 逆时针旋转90°后得到 ．
①画出旋转后的 ；
②点 旋转到点 所经过的路径长为______个单位长度．
48．如图，在⊙O中，直径AB＝24，点C、D在⊙O上，AB与CD交于点E，CE＝ED，OH⊥BD，垂足为
点H，DF交BA延长线于点F，∠CDF＝2∠B．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若FD＝BD，求图中阴影部分的面积．
49．如图， 是⊙O的直径， 是⊙O上一点， 平分 ，过点 作 交 延长线于点 ．
（1）求证： 是⊙O的切线；
（2）若 ， ，求阴影部分的面积．
50．如图，在平面直角坐标系中，已知 的三个顶点分别是A(−1，4)，B(−3，2)，C(−2，1)．
（1）请画出 关于原点 的中心对称图形 ；
（2）请画出将 绕点 逆时针旋转90°后得到的 ；
（3）在（2）的条件下，求点 旋转到点 所经过的路线长（结果保留 ）．
51．如图，AB是⊙O的直径，过圆上一点D作⊙O的切线DE，与过点A的直线垂直于E，弦BD的延长
线与直线AE交于C点．
（1）求证：点D为BC的中点；（2）设直线EA与⊙O的另一交点为F，求证：CA2－AF2＝4CE•EA；
（3）若 ＝ ，⊙O的半径为r．求由线段DE，AE和弧AD所围成的阴影部分的面积．
52．已知：点D是△ABC的边AC上一点，tanC＝1，cos∠ADB＝ ，⊙O经过B，C，D三点．
（1）若BD＝4，求阴影部分图形的面积；
（2）若AD＝2CD＝4，求证：AB为⊙O的切线．
53．如图AB是⊙O的直径，AC⊥AB，E为⊙O上的一点，AC＝EC，延长CE交AB的延长线于点D．
（1）求证：CE为⊙O的切线；
（2）若OF⊥AE，AE＝4 ，∠OAF＝30°，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）54．如图， 为 的直径， ，点A为 的中点， ，连结 ， ．
（1）求证： ．
（2）求图中弓形阴影部分的面积之和．
55．如图， 是半圆的直径，弦 ，过 点作圆 的切线 ，与 延长线相交于点 ，连
接 、 ， ．
（1）求证：四边形 是平行四边形；
（2）当 时，求围成阴影部分图形的周长．
56．如图， 是半圆 的直径， 是半圆 上不同于 、 两点的任意一点， 是半圆 上一动点，
与 相交于点 ， 是半圆 所在圆的切线，与 的延长线相交于点 ．（1）若 ，求证： ；
（2）若 ， ， ．求 ；（答案保留 ）
（3）若 ， 为 的中点，点 从 移动到 时，请直接写出点 移动的长度．（答案保留
）
57．如图，已知 是 的直径，点D，C是圆上的两个点，且 ，直线 于点E．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ，求阴影部分的面积．
58．在 中， ．将边 绕点C顺时针旋转到 ，记
，连结 ，取 的中点F，射线 ， 交于点A．（1）填表：如图1，当 时，根据下表中 的值，分别计算 的度数．
（2）猜想 与 的数量关系，并说明理由．
（3）应用：如图2，当 时，请求出 从 逐渐增加到 的过程中，点A所经过的路径长．
59．如图①，小慧同学把一个等边三角形纸片（即△OAB）放在直线l 上，OA边与直线l 重合，然后将三
1 1
角形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转120°，此时点O运动到了点O 处，点B运动到了点B 处；小慧又
1 1
将三角形纸片AOB 绕B 点按顺时针方向旋转120°，点A运动到了点A 处，点O 运动到了点O 处（即顶
1 1 1 1 1 2
点O经过上述两次旋转到达O 处）．
2
小慧还发现：三角形纸片在上述两次旋转过程中，顶点O运动所形成的图形是两段圆弧，即弧OO 和弧
1
OO，顶点O所经过的路程是这两段圆弧的长度之和，并且这两段圆弧与直线l 围成的图形面积等于扇形
1 2 1
AOO 的面积、△AOB 的面积和扇形BOO 的面积之和．
1 1 1 1 1 2
小慧进行类比研究：如图②，她把边长为1的正方形纸片OABC放在直线l 上，OA边与直线l 重合，然后
2 2
将正方形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转90°，此时点O运动到了点O 处（即点B处），点C运动到了
1
点C 处，点B运动到了点B 处；小慧又将正方形纸片AOC B 绕B 点按顺时针方向旋转90°，……，按上
1 1 1 1 1 1
述方法经过若干次旋转后，她提出了如下问题：
（1）若正方形纸片OABC按上述方法经过3次旋转，求顶点O经过的路程，并求顶点O在此运动过程中
所形成的图形与直线l 围成图形的面积；若正方形OABC按上述方法经过5次旋转，求顶点O经过的路程；
2
（2）正方形纸片OABC按上述方法经过多少次旋转，顶点O经过的路程是 ？60．在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动．
（1） 是边长为3的等边三角形，E是边 上的一点，且 ，小亮以 为边作等边三角形
，如图1，求 的长；
（2） 是边长为3的等边三角形，E是边 上的一个动点，小亮以 为边作等边三角形 ，
如图2，在点E从点C到点A的运动过程中，求点F所经过的路径长；
（3） 是边长为3的等边三角形，M是高 上的一个动点，小亮以 为边作等边三角形 ，
如图3，在点M从点C到点D的运动过程中，求点N所经过的路径长；（4）正方形 的边长为3，E是边 上的一个动点，在点E从点C到点B的运动过程中，小亮以B
为顶点作正方形 ，其中点F、G都在直线 上，如图4，当点E到达点B时，点F、G、H与点B
重合．则点H所经过的路径长为______，点G所经过的路径长为______．
