27.2[练习·素能拓展]相似三角形（第7课时）_初中数学人教版_9下-初中数学人教版_01课件+教案（配套）_课件+教案+分层作业（2024）_分层作业_27.2相似三角形（第7课时）（分层作业）

27.2 相似三角形（第7课时） 1．如图，边长为6的等边三角形ABC内接于 ，点D为AC上的动点（点A，C除外）， BD的延长线交 于点E，连接CE． （1）求证：△CED∽△BAD； （2）当DC＝2AD时，求CE的长． 2．如图， 是△ABC的外接圆，AB是 的直径，D是AC的中点，直线OD与 相 交于E，F两点，点P在OE的延长线上，且满足∠PCA＝∠ABC，连接PA，PC， AF． （1）求证：PC是 的切线； （2）证明：PE•OD＝DE•OE．参考答案 1．【答案】（1）证明：∵∠CDE＝∠BDA，∠A＝∠E， ∴△CED∽△BAD． （2）解：如图，过点 作 于点 ， ∵△ABC是边长为6的等边三角形， ∴∠A＝60°，AC＝AB＝6． ∵DC＝2AD， ∴AD＝2，DC＝4． ∵△CED∽△BAD， ∴ ． ∴EC＝3DE． ∵∠E＝∠A＝60°， ， ∴∠EDF＝90°－60°＝30°． ∴DE＝2EF． 设EF＝x，则DE＝2x，DF＝ x，EC＝6x， ∴FC＝5x． 在Rt△DFC中， ， ∴ ． 解得 或 （不符合题意，舍去）．∴ ． 2．【答案】证明：（1）如图，连接OC， ∵OB＝OC， ∴∠OBC＝∠OCB． ∵∠PCA＝∠ABC， ∴∠PCA＝∠OCB． ∵AB是 的直径， ∴∠ACB＝90°． ∴∠ACO＋∠OCB＝90°． ∴∠ACO＋∠PCA＝90°，即∠PCO＝90°． ∵OC是圆O的半径， ∴PC是圆O的切线． （2）如图，连接EC，FC，OC．∵EF是直径， ∴∠ECF＝90°． ∴∠CEF＋∠CFE＝90°． ∵D是AC的中点，EF是直径， ∴AC⊥EF． ∴∠CEF＋∠ECD＝90°，∠EDC＝∠CDF＝90°． ∴∠ECD＝∠CFD． ∴Rt△ECD∽Rt△CFD； ∴ ． ∴CD2＝DE•DF． ∴CD2＝DE(OD＋OF)＝DE(OD＋OE)＝DE·OD＋DE·OE． 同理Rt△PCD∽Rt△COD， ∴ ． ∴CD2＝OD•PD＝OD(PE＋DE)＝OD·DE＋OD·PE． ∴DE·OD＋DE·OE＝OD·DE＋OD·PE． ∴PE•OD＝DE•OE．