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第二章 一元二次函数、方程和不等式综合检测
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求.
1．设集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．若关于 的不等式 有解，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．已知 ，若 恒成立，则 的最大值为（ ）
A．4 B．5 C．24 D．25
5．设圆柱的体积为 ，当其表面积最小时，圆柱的母线长为（ ）
A． B． C． D．
6．已知 ， ， ，则 、 、 的大小关系为（ ）A． B． C． D．
7．在 中，角A， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ，若 的面积 ，则
的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知抛物线 ，过坐标原点O作两条相互垂直的直线分别与抛物线C相交于
两点（M，N均与点O不重合）．若直线MN恒过点 ，则 的最小值为
（ ）
A． B．
C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全
部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．已知 ， ， ，下列叙述正确的是（ ）
A．若 ， ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．
10．已知幂函数 的图象经过点 ，则下列命题正确的有（ ）．
A．函数 的定义域为
B．函数 为非奇非偶函数
C．过点 且与 图象相切的直线方程为
D．若 ，则11．已知 ，则a，b满足（ ）
A． B． C． D．
12．若 ，且 ，则（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．已知函数 的定义域为 ，则实数 的范围________.
14．已知P是 的边 上任一点，且满足 ， ，则 的最小值为
___________.
15．已知正数 满足 ，则 的最小值为__________．
16．平面向量 ， 满足 ， ， ，对于任意实数k，不等式 恒成立，则实数
的取值范围是________．
四、解答题：本小题共6小题，共70分，其中第17题10分，18~22题12分。解答应写出文字说明、证明
过程或演算步骤.
17． 已知 均为正数，证明： ，并确定 为何值时，等号成立．
18．设 ．
(1)若不等式 对一切实数 恒成立，求实数 的取值范围；(2)解关于 的不等式 ．
19．水培植物需要一种植物专用营养液，已知每投放 且 个单位的营养液，它在水中释放
的浓度 克/升 随着时间 天 变化的函数关系式近似为 ，其中 ，若多
次投放，则某一时刻水中的营养液浓度为每次投放的营养液在相应时刻所释放的浓度之和，根据经验，当
水中营养液的浓度不低于 克/升 时，它才能有效．
(1)若只投放一次4个单位的营养液，则有效时间最多可能持续几天？
(2)若先投放2个单位的营养液，6天后再投放 个单位的营养液，要使接下来的4天中，营养液能够持续
有效，试求 的最小值．20．已知函数 ，
(1)若方程 有两根，且两根为 ，求 的取值范围；
(2)已知 ，关于 的不等式 的解为 ，若 ，求实数 的取值范围.
21．农田节水灌溉的目的是节约水资源､土地资源，节省时间和劳动力，提高灌溉质量和灌溉效率，提高
农作物产量和质量，实现增产增效.如图，等腰梯形ABCD是一片农田，为了实现节水灌溉，BC为农田与
河流分界的部分河坝，BC长为800米，∠B=75°.现在边界BC上选择一点Q，修建两条小水渠QE，QF，
其中E，F分别在边界AB，DC上，且小水渠QE，QF与边界BC的夹角都是60°.
(1)探究小水渠QE，QF的长度之和是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
(2)为实现高效灌溉，现准备在区域AEQFD内再修建一条小水渠EF，试问当点Q在何处时，三条小水渠
（QE，QF，EF）的长度之和最小，最小值为多少？22．设 ， ，函数 .
(1)求不等式 的解集；
(2)若 在 上的最大值为 ，求 的取值范围；
(3)当 时，对任意的正实数 ， ，不等式 恒成立，求 的最大值.
