文档内容
5.2 平行线及其判定
平行线及其表示方法
知识点一
●平行线定义：在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线．
记作：a∥b；
读作：直线a平行于直线b．
◆1、在同一平面内，不重合的两条直线只有两种位置关系：相交和平行.
【注意】①前提是在同一平面内；
②同一平面内不重合的两条线段或射线，可能相交，可能平行．
平行线的画法
知识点二
◆过直线外一点画已知直线的平行线的方法：
一“落”把三角尺一边落在已知直线上；
二“靠”把直尺紧靠三角尺的另一边；
三“移”沿直尺移动三角尺，使三角尺与已知直线重合的边过已知点；
四“画”沿三角尺过已知点的边画直线．
【注意】
1．经过直线上一点不能作已知直线的平行线．
2．画线段或射线的平行线是指画它们所在直线的平行线．
3．借助三角尺画平行线时，必须保持紧靠，否则画出的直线不平行.
平行公理及其推论
知识点三
●1、平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.
●2、推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.也就是说：如图，如果b∥a，c∥a，那么b∥c.
几何语言：∵ b∥a，c∥a，∴ b∥c.
【注意】
平行公理的推论中，三条直线可以不在同一个平面内．
平行线的判定方法
知识点四
◆1、平行线的判定：
判定方法1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．
简单说成：同位角相等，两直线平行．
几何语言表示：
∵∠2＝∠3(已知)，
∴a∥b(同位角相等，两直线平行)．
判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．
简单说成：内错角相等，两直线平行．
几何语言表示：
∵∠2＝∠4(已知)，
∴a∥b.(内错角相等，两直线平行)．
判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．
简单说成：同旁内角互补，两直线平行．
几何语言表示：
∵∠1＋∠2＝180°(已知)，
∴a∥b(同旁内角互补，两直线平行)．
◆2、在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线垂直.
几何语言表示：
直线a，b，c在同一平面内，
∵a⊥c，b⊥c，∴a∥b．
【注意】三条直线在“同一平面内”是前提，没有这个条件结论不一定成立.题型一 平行线的定义与识别
【例题1】下列说法正确的是（ ）
A．同一平面内，如果两条直线不平行，那么它们互相垂直
B．同一平面内，如果两条直线不相交，那么它们互相垂直
C．同一平面内，如果两条直线不相交，那么它们互相平行
D．同一平面内，如果两条直线不垂直，那么它们互相平行【分析】根据平行线的判定及垂直、相交的定义判断求解即可．
【解答】解：在同一平面内，如果两条直线不平行，那么这两条直线相交，故A不符合题意；
在同一平面内，两条直线不相交，那么这两条直线平行，故B不符合题意；
同一平面内，如果两条直线不相交，那么这两条直线平行，故C符合题意；
同一平面内，如果两条直线不垂直，它们不一定平行，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】此题考查了平行线的判定、垂直、相交等知识，熟练掌握有关定理、定义是解题的关键．
解题技巧提炼
解题的关键是准确把握平行线的概念，牢记平行线的三个条件：①在同一平面
内；②不相交；③都是直线，通过与定义进行对比来进行判断.
【变式1-1】如图所示，能相交的是 ，平行的是 ．（填序号）
【分析】根据平行线、相交线的定义，逐项进行判断，即可正确得出结果．
【解答】解：①中一条直线，一条射线，不可相交，也不会平行；
②中一条直线，一条线段，不可相交，也不会平行；
③中一条直线，一条线段，可相交；
④中都是线段，不可延长，不可相交，也不平行，
⑤中都是直线，延长后不相交，是平行．
故答案为：③，⑤．
【点评】本题考查平行线和相交线，解题的关键是掌握直线可以沿两个方向延伸，射线可以沿一个方向
延伸，线段不能延伸．
【变式1-2】（2021春•沙河市期末）观察如图所示的长方体，与棱AB平行的棱有几条（ ）A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】根据长方体即平行线的性质解答．
【解答】解：图中与AB平行的棱有：EF、CD、GH．共有3条．
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的定义、长方体的性质．一个长方形的两条对边平行．
【变式1-3】在同一平面内，直线l 与l 满足下列关系，写出其对应的位置关系：
1 2
（1）若l 与l 没有公共点，则l 和l ；
1 2 1 2
（2）若l 与l 只有一个公共点，则l 和l ；
1 2 1 2
（3）若l 与l 有两个公共点，则l 和l ．
1 2 1 2
【分析】（1）结合平行线的定义进行解答即可；
（2）结合相交的定义进行解答即可；
（3）结合重合的定义进行解答即可．
【解答】解：（1）由于l 和l 没有公共点，所以l 和l 平行；
1 2 1 2
（2）由于l 和l 有且只有一个公共点，所以l 和l 相交；
1 2 1 2
（3）由于l 和l 有两个公共点，所以l 和l 重合；
1 2 1 2
故答案为：（1）平行；（2）相交；（3）重合．
【点评】本题侧重考查两直线的位置关系，掌握平行定义是解题关键．
【变式1-4】（2022春•赵县月考）在同一平面内，直线a，b相交于P，若a∥c，则b与c的位置关系是
．
【分析】根据同一平面内，一条直线与两条平行线中的一条相交，则必与另一条直线也相交．解答即可．
【解答】解：因为a∥c，直线a，b相交，
所以直线b与c也有交点；
故答案为：相交．
【点评】本题主要考查了平行线和相交线，同一平面内，一条直线与两条平行线中的一条相交，则必与另一条直线也相交．
题型二 平面内多条直线的位置关系
【例题2】（2021春•梁山县期中）若a、b、c是同一平面内三条不重合的直线，则它们的交点可以有（
）
A．1个或2个或3个 B．0个或1个或2个或3个
C．1个或2个 D．以上都不对
【分析】根据平行线的定义，相交线的定义，可得答案．
【解答】解：当三条直线互相平行，交点是个0；
当两条直线平行，与第三条直线相交，交点是2个；
当三条直线两两相交交于同一点，交点个数是1个；
当三条直线两两相交且不交于同一点，交点个数是3个；
故选：B．
【点评】本题考查了平行线，分类讨论是解题关键．
解题技巧提炼
用分类讨论的思想根据平面内两条直线的位置关系去讨论求解.
【变式2-1】在同一平面内，两条不重合直线的位置关系可能是（ ）
A．垂直或平行 B．垂直或相交
C．平行或相交 D．平行、垂直或相交
【分析】同一平面内，直线的位置关系通常有两种：平行或相交；垂直不属于直线的位置关系，它是特
殊的相交．
【解答】解：平面内的直线有平行或相交两种位置关系．
故选：C．
【点评】本题主要考查了在同一平面内的两条直线的位置关系．【变式2-2】在同一平面内有三条直线，如果使其中有且只有两条直线平行，那么这三条直线有且只
有 个交点．
【分析】根据同一平面内直线的位置关系得到第三条直线与另两平行直线相交，再根据直线平行和直线
相交的定义即可得到交点的个数．
【解答】解：∵在同一平面内有三条直线，如果其中有两条且只有两条相互平行，
∴第三条直线与另两平行直线相交，
∴它们共有2个交点．
故答案为2．
【点评】本题考查了直线平行的定义：没有公共点的两条直线是平行直线．也考查了同一平面内两直线
的位置关系有：平行，相交．
【变式2-3】平面内四条直线共有三个交点，则这四条直线中最多有 条平行线．
【分析】根据同一平面内两条直线的位置关系有两种：相交或平行，及一条直线的平行线有无数条，由
四条直线相互平行，其交点为0个开始分析，然后依次变为三条直线相互平行、两条直线相互平行即可
求解．
【解答】解：若四条直线相互平行，则没有交点；
若四条直线中有三条直线相互平行，则此时恰好有三个交点；
若四条直线中有两条直线相互平行，另两条不平行，则此时有三个交点或五个交点；
若四条直线中有两条直线相互平行，另两条也平行，但它们之间相互不平行，则此时有四个交点；
若四条直线中没有平行线，则此时的交点是一个或四个或六个．
综上可知，平面内四条直线共有三个交点，则这四条直线中最多有三条平行线．
故答案是：三．
【点评】本题考查了平行线，题目没有明确平面上四条不重合直线的位置关系，需要运用分类讨论思想，
从四条直线都是平行线，然后数量上依次递减，直至都不平行，这样可以做到不重不漏，准确找出答案．
【变式2-4】平面上不重合的四条直线，可能产生交点的个数为 个．
【分析】从平行线的角度考虑，先考虑四条直线都平行，再考虑三条、两条直至都不平行，作出草图即
可看出．
【解答】解：（1）当四条直线平行时，无交点；
（2）当三条平行，另一条与这三条不平行时，有三个交点；
（3）当两两直线平行时，有4个交点；
（4）当有两条直线平行，而另两条不平行时，有5个交点；（5）当四条直线同交于一点时，只有一个交点；
（6）当四条直线两两相交，且不过同一点时，有6个交点；
（7）当有两条直线平行，而另两条不平行并且交点在平行线上时，有3个交点．
故答案为：0，1，3，4，5，6．
【点评】本题没有明确平面上四条不重合直线的位置关系，需要运用分类讨论思想，从四条直线都平行
线，然后数量上依次递减，直至都不平行，这样可以做到不重不漏，准确找出所有答案；本题对学生要
求较高．
题型三 作已知直线的平行线
【例题3】如图，直线a，点B，点C．
（1）过点B画直线a的平行线，能画几条？
（2）过点C画直线a的平行线，它与过点B的平行线平行吗？
【分析】根据平行公理及推论进行解答．
【解答】解：（1）如图，过直线a外的一点画直线a的平行线，有且只有一条直线与直线a平行；
（2）过点C画直线a的平行线，它与过点B的平行线平行．理由如下：
如图，∵b∥a，c∥a，
∴c∥b．【点评】本题考查了平行公理及推论．
平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行（平行公理中要准确理解“有且只有”
的含义．从作图的角度说，它是“能但只能画出一条”的意思）；
推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
解题技巧提炼
利用直尺和三角尺过直线外一点画已知直线的平行线，是几何画图的基本技能之
一.注意“移”时经过的边是三角尺落在已知直线上的那一边，而不是任意一边.
【变式3-1】如图中完成下列各题．
（1）用直尺在网格中完成：①画出直线AB的一条平行线；②经过C点画直线垂直于CD．
（2）用符号表示上面①、②中的平行、垂直关系．
【分析】（1）根据AB所在直线，利用AB所在直角三角形得出EF，以及MD⊥CD即可；
（2）根据图形得出EF，MD⊥CD，标出字母即可．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）EF∥AB，MC⊥CD．【点评】此题考查了基本作图以及直角三角形的性质，利用直角三角形的性质得出平行线以及垂线是解
答此题的关键．
【变式3-2】如图，已知直线a和直线a外一点A．
（1）完成下列画图：过点A画AB⊥a，垂足为点B，画AC∥a；
（2）过点A你能画几条直线和a垂直？为什么？过点A你能画几条直线和a平行？为什么？（3）说出
直线AC与直线AB的位置关系．
【分析】（1）根据要求画出图形即可；
（2）过点A有一条直线和直线a垂直，过点A可以画一条直线和a平行．
（3）结论：AC⊥AB．
【解答】解：（1）直线AB、AC如图所示；
（2）过点A有一条直线和直线a垂直，
理由：过直线外一点有且只有一条直线和已知直线垂直．
过点A可以画一条直线和a平行．
理由：过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行．
（3）结论：AC⊥AB．
【点评】本题考查复杂作图、垂线、平行线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，
属于中考常考题型．
【变式3-3】作图题：（只保留作图痕迹）如图，在方格纸中，有两条线段AB、BC．利用方格纸完成以
下操作：
（1）过点A作BC的平行线；（2）过点C作AB的平行线，与（1）中的平行线交于点D；
（3）过点B作AB的垂线．
【分析】（1）A所在的横线就是满足条件的直线；
（2）在直线AD上到A得等于BC的点D，则直线CD即为所求；
（3）取AE上D右边的点F，过B，F的直线即为所求．
【解答】解：如图，
（1）A所在的横线就是满足条件的直线，即AE就是所求；
（2）在直线AE上，到A距离是5个格长的点就是D，则CD就是所求与AB平行的直线；
（3）取AE上D右边的点F，过B，F作直线，就是所求．
【点评】本题考查复杂作图、垂线、平行线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学
知识解决问题，
【变式3-4】（2021秋•内乡县期末）如图所示，在∠AOB内有一点P．
（1）过P画l 1∥OA；
（2）过P画l 2∥OB；
（3）用量角器量一量l 与l 相交的角与∠O的大小有怎样关系？
1 2【分析】用两个三角板，根据同位角相等，两直线平行来画平行线，然后用量角器量一量l 与l 相交的
1 2
角与∠O的关系为：相等或互补．
【解答】解：（1）（2）如图所示，
（3）l
1
与l
2
夹角有两个：∠1，∠2；∠1＝∠O，∠2+∠O＝180°，所以l
1
和l
2
的夹角与∠O相等或互补．
【点评】注意∠2与∠O是互补关系，容易漏掉．
题型四 对平行公及其推论的理解和应用
【例题4】（2022春•汝南县月考）下列推理正确的是（ ）
A．因为a∥d，b∥c，所以c∥d B．因为a∥c，b∥d，所以c∥d
C．因为a∥b，a∥c，所以b∥c D．因为a∥b，d∥c，所以a∥c
【分析】平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
【解答】解：A、没有两条直线都和第三条直线平行，推不出平行，故本选项错误；
B、没有两条直线都和第三条直线平行，推不出平行，故本选项错误；
C、b、c都和a平行，可推出是b∥c，故本选项正确；
D、a、c与不同的直线平行，无法推出两者也平行，故本选项错误；
故选：C．
【点评】本题考查的重点是平行公理的推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行．解题技巧提炼
在判定两条直线平行时，一定要理解它们成立的条件，特别是关键字词及其重要
特征.
【变式4-1】如图，过C点作线段AB的平行线，说法正确的是（ ）
A．不能作 B．只能作一条 C．能作两条 D．能作无数条
【分析】根据平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行可知答案为B．
【解答】解：因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．故选B．
【点评】本题主要考查了平行公理．
【变式4-2】（2021春•和平区校级月考）下列语句正确的有（ ）个
①任意两条直线的位置关系不是相交就是平行
②过一点有且只有一条直线和已知直线平行
③过两条直线a，b外一点P，画直线c，使c∥a，且c∥b
④若直线a∥b，b∥c，则c∥a．
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】根据同一平面内，任意两条直线的位置关系是相交、平行；过直线外一点有且只有一条直线和
已知直线平行；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行进行分析即可．
【解答】解：①任意两条直线的位置关系不是相交就是平行，说法错误，应为根据同一平面内，任意
两条直线的位置关系不是相交就是平行；
②过一点有且只有一条直线和已知直线平行，说法错误，应为过直线外一点有且只有一条直线和已知
直线平行；
③过两条直线a，b外一点P，画直线c，使c∥a，且c∥b，说法错误；
④若直线a∥b，b∥c，则c∥a，说法正确；
故选：D．
【点评】此题主要考查了平行线，关键是掌握平行公理：过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行；推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
【变式4-3】（2022春•大荔县期末）如图，已知OM∥a，ON∥a，所以点O、M、N三点共线的理由是
．
【分析】利用平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，进而得出答案．
【解答】解：已知OM∥a，ON∥a，所以点O、M、N三点共线的理由：经过直线外一点，有且只有一条
直线与这条直线平行．
故答案为：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
【点评】此题主要考查了平行公理，正确掌握平行公理是解题关键．
【变式 4-4】（2022春•海阳市期末）若P，Q是直线AB外不重合的两点，则下列说法不正确的是
（ ）
A．直线PQ可能与直线AB垂直
B．直线PQ可能与直线AB平行
C．过点P的直线一定与直线AB相交
D．过点Q只能画出一条直线与直线AB平行
【分析】根据过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行以及两直线的位置关系即可回答．
【解答】解：PQ与直线AB可能平行，也可能垂直，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，
故A、B、D均正确，
故C错误；
故选：C．
【点评】本题考查了平行线、相交线、垂线的性质，掌握相关定义和性质是解题的关键．
【变式 4-5】如图所示，将一张长方形纸对折三次，则产生的折痕与折痕间的位置关系是（ ）
A．平行 B．垂直 C．平行或垂直 D．无法确定
【分析】根据平行公理和垂直的定义解答．
【解答】解：∵长方形对边平行，∴根据平行公理，前两次折痕互相平行，
∵第三次折叠，是把平角折成两个相等的角，
∴是90°，与前两次折痕垂直．
∴折痕与折痕之间平行或垂直．
故选：C．
【点评】本题利用平行公理和垂直定义求解，需要熟练掌握．
题型五 探究两直线平行的条件
【例题5】（2021春•商河县校级期末）如图，在下列给出的条件中，不能判定AB∥DF的是（ ）
A．∠1＝∠A B．∠A+∠2＝180° C．∠1＝∠4 D．∠A＝∠3
【分析】根据平行线的判定方法，可以判断各个选项中的条件，是否可以得到AB∥DF，从而可以解答
本题．
【解答】解：由图可得，
当∠1＝∠A时，DE∥AC，不能得到AB∥DF，故选项A符合题意；
当∠A+∠2＝180°时，AB∥DF，故选项B不符合题意；
当∠1＝∠4时，AB∥DF，故选项C不符合题意；
当∠A＝∠3时，AB∥DF，故选项D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查平行线的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．解题技巧提炼
综合图形特征和已知条件，看添加什么条件最好，就添加什么条件.有时答案是
不唯一的.
【变式5-1】（2022春•宿豫区期中）下列图形中，由∠1＝∠2，能得到AB∥CD的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据平行线的判定定理分别进行分析即可．
【解答】解：A、∠1＝∠2，可得∠1＝∠2的对顶角，根据同位角相等两直线平行可得 AB∥CD，故此
选项正确；
B、∠1和∠2互补时，可得到AB∥CD，故此选项错误；
C、∠1＝∠2，根据内错角相等两直线平行可得AC∥BD，故此选项错误；
D、∠1＝∠2不能判定AB∥CD，故此选项错误．
故选：A．
【点评】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握平行线的判定定理．
【变式5-2】（2022春•昭阳区校级月考）如图，把三角尺的直角顶点放在直线b上．若∠1＝50°，则当
∠2＝ 时，a∥b．
【分析】由直角三角板的性质可知∠3＝180°﹣∠1﹣90°＝40°，当∠2＝40°时，∠2＝∠3，得出a∥b即
可．
【解答】解：当∠2＝40°时，a∥b；理由如下：如图所示：
∵∠1＝50°，
∴∠3＝180°﹣90°﹣50°＝40°，
当∠2＝40°时，∠2＝∠3，
∴a∥b．
故答案为：40°．
【点评】本题考查了平行线的判定方法、平角的定义；熟记同位角相等，两直线平行是解决问题的关键．
【变式5-3】（2021秋•道里区期末）如图，下列条件①∠1＝∠2；②∠BAD＝∠BCD；③∠ABC＝
∠ADC，∠3＝∠4；④∠BAD+∠ADC＝180°．其中能判定AB∥CD的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】依据同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，进行
判断即可．
【解答】解：①由∠1＝∠2可判定AD∥BC，不符合题意；
②由∠BAD＝∠BCD不能判定AB∥BC，不符合题意；
③由∠ABC＝∠ADC且∠3＝∠4知∠ABD＝∠CDB，可判定AB∥CD，符合题意；
④由∠BAD+∠ADC＝180°可判定AB∥CD，符合题意；
故选：B．
【点评】此题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键．
【变式5-4】（2022春•武宣县期末）如图，①∠1＝∠3，②∠2＝∠3，③∠1＝∠4，④∠2+∠5＝
180°可以判定b∥c的条件有（ ）A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④
【分析】根据平行线的判定方法，对选项一一分析，排除错误答案．
【解答】解：①∵∠1＝∠3，∴b∥c（同位角相等，两直线平行）；
②∵∠2＝∠3，∴b∥c（内错角相等，两直线平行）；
③∠1＝∠4无法判断两直线平行；
④∵∠2+∠5＝180°，∴b∥c（同旁内角互补，两直线平行）．
故选：A．
【点评】考查了平行线的判定，在复杂的图形中具有相等关系或互补关系的两角首先要判断它们是否是
同位角、内错角或同旁内角，被判断平行的两直线是否由“三线八角”而产生的被截直线．
【变式5-5】（2022秋•绿园区期末）如图，将木条a，b与c钉在一起，∠1＝85°，∠2＝50°，要使木条
a与b平行，木条a旋转的度数至少是（ ）
A．15° B．25° C．35° D．50°
【分析】根据同位角相等两直线平行，求出旋转后∠2的同位角的度数，然后用∠1减去即可得到木条a
旋转的度数．
【解答】解：∵∠AOC＝∠2＝50°时，OA∥b，
∴要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是85°﹣50°＝35°．
故选：C．【点评】本题考查了旋转的性质，平行线的判定，根据同位角相等两直线平行求出旋转后∠2的同位角
的度数是解题的关键．
【变式5-6】（2022春•恩施市期末）以下四种沿AB折叠的方法中，由相应条件不一定能判定纸带两条
边线a，b互相平行的是（ ）
A． 展开后测得∠1＝∠2 B． 展开后测得∠1＝∠2且∠3＝∠4
C． 测得∠1＝∠2 D． 测得∠1＝∠2
【分析】根据平行线的判定定理，进行分析，即可解答．
【解答】解：A、∠1＝∠2，根据内错角相等，两直线平行进行判定，故正确；
B、∵∠1＝∠2且∠3＝∠4，由图可知∠1+∠2＝180°，∠3+∠4＝180°，
∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝90°，
∴a∥b（内错角相等，两直线平行），
故正确；
C、测得∠1＝∠2，
∵∠1与∠2既不是内错角也不是同位角，
∴不一定能判定两直线平行，故错误；
D、∠1＝∠2，根据同位角相等，两直线平行进行判定，故正确．
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的判定，解决本题的关键是熟记平行线的判定定理．【变式5-7】取一副三角尺按如图所示的方式拼接，固定三角尺ADC，将三角尺ABC按顺时针方向旋转
一个大小为α的角得到三角形AB′C′，示意图如图所示．
（1）当为多少度时，能使图2中的AB′∥CD？请说明理由；
（2）当α分别为多少度时，B′C′∥AD、AC′∥CD？（不必说明理由）
【分析】（1）由于∠BAC＝45°，∠ACD＝30°，再利用旋转的性质得∠B′AC′＝45°，根据内错角相等，
两直线平行，当∠B′AC＝∠ACD＝30°时，AB′∥CD，则α＝15°；同理可得α为195度时，能使图2中的
AB′∥CD；
（2）根据内错角相等，两直线平行，当α＝∠B′C′A＝45°或225°，B′C′∥AD；当∠C′AD＝∠ADC＝60°
或α为330°时，AC′∥DC，此时α＝150°．
【解答】解：（1）α为15度或195度时，能使图2中的AB′∥CD．理由如下：
∵∠BAC＝45°，∠ACD＝30°，
而三角尺ABC按顺时针方向旋转一个大小为α的角得到三角形AB′C′，
∴∠B′AC′＝45°，
当∠B′AC＝∠ACD＝30°时，AB′∥CD，
此时∠CAC′＝45°﹣30°＝15°，
即α为15度时，能使图2中的AB′∥CD；
同理可得α为195度时，能使图2中的AB′∥CD；
（2）当α＝∠B′C′A＝45°或α＝225°，B′C′∥AD；
当α＝150°或330°，AC′∥DC．
【点评】本题考查了平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互
补，两直线平行．题型六 利用两直线平行的条件解决实际问题
【例题6】（2021春•新吴区月考）光线从空气中射入水中会产生折射现象，同时光线从水中射入空气中
也会产生折射现象，如图，光线a从空气中射入水中，再从水中射入空气中，形成光线b，根据光学知
识有∠1＝∠2，∠3＝∠4，请判断光线a与光线b是否平行，并说明理由．
【分析】根据等角的补角相等求出∠3与∠4的补角相等，再根据内错角相等，两直线平行即可判定
a∥b．
【解答】解：平行．理由如下：
如图，∵∠3＝∠4，
∴∠5＝∠6，
∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠5＝∠2+∠6，
∴a∥b．
【点评】本题考查了平行线的判定，解决本题的关键是掌握平行线的判定．解题技巧提炼
题中会给出一个生活中的实际问题，要读懂题意，结合图形构造平行线模型，选
择相应的判定定理求解.
【变式6-1】（2021春•太原期中）木工师傅用图中的角尺画平行线，他依据的数学道理是（ ）
A．同位角相等，两直线平行
B．内错角相等，两直线平行
C．两直线平行，同位角相等
D．两直线平行，内错角相等
【分析】根据同位角相等，两直线平行即可得出结论．
【解答】解：木工师傅用图中的角尺画平行线，他依据的数学道理是同位角相等，两直线平行，
故选：A．
【点评】本题考查的是平行线的判定，熟知平行线的判定方法是解答此题的关键．
【变式 6-2】如图，是一个防盗窗棂的示意图，如果测得∠1＝60°，∠2＝60°，∠3＝60°，能否断定
AB∥CD，已知条件够不够？如不够，需要再补充一个什么条件？
【分析】根据平行线的判定方法由∠1＝60°，∠2＝60°，∠3＝60°不能断定AB∥CD，当补充BA＝BC时，
则∠BAC＝∠3＝60°＝∠2，于是可根据内错角相等，两直线平行得到AB∥CD．
【解答】解：不能判断AB∥CD，可以补充BA＝BC．
∵BA＝BC，
∴∠BAC＝∠3＝60°，而∠2＝60°，
∴∠BAC＝∠2，
∴AB∥CD．
【点评】本题考查了平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互
补，两直线平行．
【变式6-3】（2021秋•凤翔县期末）学习平行线后，张明想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线
的新方法，他是通过折一张半透明的纸得到的．观察图（1）～（4），经两次折叠展开后折痕CD所在
的直线即为过点P与已知直线a平行的直线．由操作过程可知张明画平行线的依据有（ ）
①同位角相等，两直线平行；
②两直线平行，同位角相等；
③内错角相等，两直线平行；
④同旁内角互补，两直线平行．
A．①③ B．①②③ C．③④ D．①③④
【分析】由作图可知，a⊥AB，CD⊥AB，利用平行线的判定即可解决问题．
【解答】解：由作图可知，a⊥AB，CD⊥AB，
∴可以利用同位角相等，两直线平行或内错角相等，两直线平行或同旁内角互补，两直线平行，判定
CD∥a，
故选：D．
【点评】本题考查翻折变换，平行线的判定等知识，解题的关键是读懂图象信息，属于中考常考题型．
【变式6-4】如图所示，一束光线在两面垂直的玻璃墙内进行传播，路径为 A→B→C→D．若∠1=30°，
∠3=60°，探究直线AB与CD是否平行？为什么？【分析】根据光线反射得到∠2=∠1=30°，∠3=∠4=60°，再利用平角的定义得到∠ABC=120°，
∠BCD=60°，则∠ABC+∠BCD=180°，于是根据同旁内角互补，两直线平行可判断直线AB与CD平行．
【解答】解：AB∥CD．理由如下：
根据光的反射定律和等角的余角相等得到∠2=∠1=30°，∠3=∠4=60°
∴∠ABC=120°，∠BCD=60°，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∴AB∥CD．
【点评】本题考查了平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，
两直线平行．
【变式6-5】你知道潜水艇吗？它在军事上的作用可大呢．潜水艇下潜后，艇内人员以用潜望镜来观察水
面上的情况，如图①．其实它的原理非常简单，（如图②，潜望镜中的两个平面镜与水平方向的夹角都
为45°，光线经过镜子反射时，∠1=∠2，∠3=∠4．你能解释为什么进入潜望镜的光线和离开潜望镜的
光线是平行吗？
【分析】首先分别求出∠5，∠6的度数，然后根据平行线的判定定理：内错角相等，两直线平行，进行判
定．
【解答】解：∵∠1=∠2=45°，∠3=∠4=45°，
∴∠5=180°-45°×2=90°，
∠6=180°-45°×2=90°，
∴∠5=∠6，故进入潜望镜的光线和离开潜望镜的光线是平行的．
【点评】本题考查了平行线的判定，解答本题的关键是熟练掌握平行线的判定定理：内错角相等，两直线
平行．
题型七 通过阅读推理过程填空
【例题7】（2021秋•洛宁县期末）如图，已知AC⊥AE，BD⊥BF，∠1＝35°，∠2＝35°．AC与BD平行
吗？AE与BF平行吗？抄写下面的解答过程，并填空或填写理由．
解：∵∠1＝35°，∠2＝35°（已知）
∴∠1＝∠2（ ）；
∴AC∥BD（ ）；
又∵AC⊥AE，BD⊥BF，（已知），
∴ （垂直的定义）；
∴∠EAC+∠1＝∠FBD+∠2（ ）；
即∠ ＝∠ ；
∴ ∥ （同位角相等，两直线平行）．
【分析】根据平行线的判定与性质求解即可．
【解答】解：AC∥BD，AE∥BF，理由如下：
如图，
∵∠1＝35°，∠2＝35°（已知），
∴∠1＝∠2（等量代换），
∴AC∥BD（同位角相等，两直线平行），又∵AC⊥AE，BD⊥BF（已知），
∴∠EAC＝∠FBD＝90°（垂直的定义），
∴∠EAC+∠1＝∠FBD+∠2（等式的性质），
即∠EAB＝∠FBM，
∴AE∥BF（同位角相等，两直线平行），
故答案为：等量代换；同位角相等，两直线平行；∠EAC＝∠FBD＝90°；等式的性质；EAB；FBM；
AE；BF．
【点评】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定是解题的关键．
解题技巧提炼
题中会给出一个平行线判定问题的求解过程，要求填写理由，此时要认真分析题
意，然后联系上下文求.
【变式7-1】（2022春•龙华区期中）在横线上填上适当的内容，完成下面的证明．
已知，直线a，b，c，d的位置如图所示，∠1+∠2＝180°，∠3＝∠4，求证：c∥d．
证明：如图，
∵∠1+∠2＝180°（ ），
∠2+∠3＝180°（平角的定义），
∴ ＝∠3（ ），
又∵∠3＝∠4（已知），
∴∠1＝∠4（ ），
∴c∥d（ ）．
【分析】由已知及邻补角的定义得到∠3＝∠1，等量代换得出∠1＝∠4，即可判定 c∥d．
【解答】证明：如图，∵∠1+∠2＝180° （已知），
∠2+∠3＝180°（平角的定义），
∴∠3＝∠1（同角的补角相等），
又∵∠3＝∠4（已知），
∴∠1＝∠4 （等量代换），
∴c∥d（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：已知；同角的补角相等；∠1；等量代换；内错角相等，两直线平行．
【点评】此题考查了平行线的判定，熟记“内错角相等，两直线平行”是解题的关键．
【变式7-2】（2022春•大安市期末）如图AF与BD相交于点C，∠B＝∠ACB，且CD平分∠ECF．求证：
AB∥CE．
请完成下列推理过程：
证明：∵CD平分∠ECF，
∴∠ECD＝ （ ）．
∵∠ACB＝∠FCD （ ），
∴∠ECD＝∠ACB （ ）
∵∠B＝∠ACB，
∴∠B＝∠ （ ）．
∴AB∥CE（ ）．
【分析】首先根据角平分线定义，对顶角相等证明∠ECD＝∠ACB，再证明∠B＝∠ECD，然后根据同
位角相等，两直线平行推出AB∥CE．
【解答】证明：∵CD平分∠ECF，
∴∠ECD＝∠DCF（角平分线定义）．
∵∠ACB＝∠FCD （对顶角相等），
∴∠ECD＝∠ACB （等量代换）．
∵∠B＝∠ACB，∴∠B＝∠ECD（等量代换）．
∴AB∥CE（同位角相等，两直线平行）．
故答案为：∠DCF，角平分线定义，对顶角相等，等量代换，ECD，等量代换，同位角相等，两直线平
行．
【点评】本题考查了平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互
补，两直线平行．也考查了角平分线定义，对顶角性质．
【变式7-3】请你将下面的证明补充完整，并在括号内填写推理依据．
如图，点 M在直线AB上，MP⊥直线CD，垂足为 P，MP平分∠NMQ，∠AMN＝∠BMQ．求证：
AB∥CD．
证明：∵MP平分∠NMQ，
∴∠NMP＝∠PMQ（ ）
∵∠AMN＝∠BMQ；∠NMP＝∠PMQ，
∴∠AMN+ ＝ +∠PMQ．
∵∠AMB＝180°，
∴∠AMP＝90°，
∵MP⊥直线CD，
∴∠MPD＝90°（ ）．
∴AB∥CD（ ）
【分析】先根据角平分线的定义得出∠NMP＝∠PMQ，再由∠AMN＝∠BMQ得出∠AMN+∠NMP＝
∠BMQ+∠PMQ，根据补角的定义得出∠AMP＝90°，由此可得出结论．
【解答】证明：∵MP平分∠NMQ，∴∠NMP＝∠PMQ（角平分线的定义）．
∵∠AMN＝∠BMQ；∠NMP＝∠PMQ，
∴∠AMN+∠NMP＝∠BMQ+∠PMQ．
∵∠AMB＝180°，
∴∠AMP＝90°，
∵MP⊥直线CD，
∴∠MPD＝90°（垂直的定义），
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：角平分线的定义；∠NMP，∠BMQ；垂直的定义；内错角相等，两直线平行．
【点评】本题考查的是平行线的判定，用到的知识点为：内错角相等，两直线平行．
【变式 7-4】（2021春•灌南县校级期末）完成下面的证明：已知：如图．BE平分∠ABD，DE平分
∠BDC，且∠1+∠2＝90°．求证：AB∥CD．
证明：∵DE平分∠BDC（已知），
∴∠BDC＝2∠1（ ）．
∵BE平分∠ABD（已知），
∴∠ABD＝ （角的平分线的定义）．
∴∠BDC+∠ABD＝2∠1+2∠2＝2（∠1+∠2）（ ）．
∵∠1+∠2＝90°（已知），
∴∠ABD+∠BDC＝180°（ ）．
∴AB∥CD（ ）．
【分析】由角平分线的定义可得出得出∠BDC＝2∠1，∠ABD＝2∠2，结合∠1+∠2＝90°可得出
∠BDC+∠ABD＝180°，利用“同旁内角互补，两直线平行”即可证出AB∥CD．
【解答】证明：∵DE平分∠BDC（已知），
∴∠BDC＝2∠1（ 角平分线的定义），
∵BE平分∠ABD（已知），
∴∠ABD＝2∠2（角的平分线的定义），∴∠BDC+∠ABD＝2∠1+2∠2＝2（∠1+∠2）（ 等式的性质），
∵∠1+∠2＝90°（已知），
∴∠ABD+∠BDC＝180°（ 等量代换），
∴AB∥CD（ 同旁内角互补，两直线平行），
故答案为：角平分线的定义；2∠2；等式的性质；等量代换；同旁内角互补，两直线平行．
【点评】本题考查了平行线的判定以及角平分线的定义，牢记平行线的判定定理是解题的关键．
【变式7-5】（2022春•皇姑区期末）按逻辑填写步骤和理由，将下面的证明过程补充完整．
如图，直线MN分别与直线AC、DG交于点B、F，且∠1＝∠2．∠ABF的角平分线BE交直线DG于点
E，∠BFG的角平分线FC交直线AC于点C．求证：BE∥CF．
证明：∵∠1＝∠2（已知），
∠ABF＝∠1（对顶角相等）
∠BFG＝∠2（ ）
∴∠ABF＝ （等量代换），
∵BE平分∠ABF（已知），
1
∴∠EBF= （ ）．
2
∵FC平分∠BFG（已知），
1
∴∠CFB= （ ）．
2
∴∠EBF＝ ，
∴BE∥CF（ ）．
【分析】根据对顶角相等、角平分线定义求出∠EBF＝∠BFC，根据平行线的判定得出即可．
【解答】证明：∵∠1＝∠2（已知），
∠ABF＝∠1（对顶角相等），∠BFG＝∠2（对顶角相等），
∴∠ABF＝∠BFG（等量代换），
∵BE平分∠ABF（已知），
1
∴∠EBF= ∠ABF（角平分线的定义），
2
∵FC平分∠BFG（已知），
1
∴∠CFB= ∠BFG（角平分线的定义），
2
∴∠EBF＝∠CFB，
∴BE∥CF（内错角相等，两直线平行），
1
故答案为：对顶角相等；∠BFG； ∠ABF；角平分线的定义；∠BFG；角平分线的定义；∠CFB；内
2
错角相等，两直线平行．
【点评】本题考查了平行线的性质和判定，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．
题型八 灵活运用判定方法说明两直线平行
【例题8】（2021•武汉模拟）如图，∠ABC＝∠ADC，BE，DF分别是∠ABC，∠ADC的角平分线，且
∠2＝∠3，求证：BC∥AD．
【分析】欲证明BC∥AD，只要证明∠1＝∠3即可．
【解答】证明：∵BE、DF分别是∠ABC和∠ADC的平分线，
1 1
∴∠1= ∠ABC，∠2= ∠ADC，
2 2
∵∠ABC＝∠ADC，
∴∠1＝∠2，
∵∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，
∴BC∥AD．
【点评】本题考查平行线的性质和判定，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属
于中考常考题型．
解题技巧提炼
由两角相等或互补关系，判定两条直线平行，其关键是找出两个角是哪两条直
1、
线被第三条直线所截而成的角.2、选用两角相等，还是选用互补关系说明两条直
线平行，应根据所给的图形，灵活运用其中一种方法说明即可.
【变式8-1】（2022春•仙游县校级期末）已知：如图∠1＝∠2＝∠E，∠3＝∠4．
求证：AB∥CD．
【分析】由平行线的判定定理可得AD∥BE，则有∠3＝∠DAC，再由已知条件可得∠BAE＝∠DAC，则
可求得∠BAE＝∠4，即有AB∥CD．
【解答】证明：∵∠1＝∠2＝∠E，
∴AD∥BE，∠1+∠CAE＝∠2+∠CAE，
即∠BAE＝∠DAC，
∴∠DAC＝∠3，
∴∠3＝∠BAE，
∵∠3＝∠4，
∴∠4＝∠BAE，
∴AB∥CD．
【点评】本题主要考查平行线的判定，解答的关键是熟记平行线的判定定理并灵活运用．
【变式8-2】（2022春•沈北新区期末）如图，已知AB⊥BC，∠1+∠2＝90°，∠2＝∠3．求证：
BE∥DF．【分析】根据平行线的判定定理求解即可．
【解答】证明：∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
即∠3+∠4＝90°，
∵∠1+∠2＝90°，且∠2＝∠3，
∴∠1+∠3＝90°，
∴∠1＝∠4，
∴BE∥DF，理由是：同位角相等，两直线平行．
【点评】此题考查了平行线的判定，熟记“同位角相等，两直线平行”是解题的关键．
【变式8-3】（2022春•二七区校级月考）如图，点G在CD上，已知∠BAG+∠AGD＝180°，EA平分
∠BAG，FG平分∠AGC．请说明AE∥GF的理由．
【分析】根据邻补角的定义及题意得出∠BAG＝∠AGC，再根据角平分线的定义得到∠1＝∠2，即可判
定AE∥GF．
【解答】解：因为∠BAG+∠AGD＝180°（已知），
∠AGC+∠AGD＝180°（邻补角的性质），
所以∠BAG＝∠AGC（ 同角的补角相等），
因为EA平分∠BAG，
1
所以∠1= ∠BAG（ 角平分线的性质），
21
因为FG平分∠AGC，所以∠2= ∠AGC，
2
得∠1＝∠2（等量代换），
所以AE∥GF（ 内错角相等，两直线平行）．
【点评】此题考查了平行线的判定，熟记“内错角相等，两直线平行”是解题的关键．
【变式8-4】（2022春•双流区校级期中）如图，已知点E在BD上，EA平分∠BEF且EC平分∠DEF．
（1）求证：AE⊥CE；
（2）若∠1＝∠A，∠4＝∠C，求证：AB∥CD．
【分析】（1）根据垂直的定义，角平分线的定义解答即可；
（2）根据平行线的判定解答即可．
【解答】证明：（1）∵EA平分∠BEF且EC平分∠DEF，
1 1
∴∠2= ∠BEF，∠3= ∠DEF，
2 2
∵∠BEF+∠DEF＝180°，
∴∠2+∠3＝90°，
∴∠AEC＝90°，
∴AE⊥CE；
（2）∵∠1＝∠A，∠4＝∠C，
∴∠1+∠A+∠4+∠C＝2（∠1+∠4）＝180°，
∴∠B+∠D＝（180°﹣2∠1）+（180°﹣2∠4）＝360°﹣2（∠1+∠4）＝180°，
∴AB∥CD．
【点评】此题考查平行线的判定和角平分线的定义，关键是根据平行线的判定定理解答．
【变式8-5】（2021春•洛龙区期中）将一副三角板中的两个直角顶点C叠放在一起（如图），其中∠A
＝30°，∠B＝60°，∠D＝∠E＝45°．
（1）若∠BCD＝112°，求∠ACE的度数；
（2）试猜想∠BCD与∠ACE的数量关系，请说明理由；（3）若三角板ABC保持不动，绕顶点C转动三角板DCE，在转动过程中，试探究∠BCD等于多少度
时，CD∥AB？请你直接写出答案．
【分析】（1）由∠BCD＝112°，∠ACB＝90°，可得出∠DCA的度数，进而得出∠ACE的度数；
（2）根据（1）中的结论可提出猜想，再由∠BCD＝∠ACB+∠ACD，∠ACE＝∠DCE﹣∠ACD可得出结
论；
（3）根据平行线的判定定理，画出图形即可求解．
【解答】解：（1）∵∠BCA＝∠ECD＝90°，∠BCD＝112°，
∴∠DCA＝∠BCD﹣∠BCA＝112°﹣90°＝22°，
∴∠ACE＝∠ECD﹣∠DCA＝90°﹣22°＝68°；
（2）∠BCD+∠ACE＝180°，理由如下：
∵∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝90°+∠ACD，
∠ACE＝∠DCE﹣∠ACD＝90°﹣∠ACD，
∴∠BCD+∠ACE＝180°；
（3）当∠BCD＝120°或60°时，CD∥AB．
如图②，根据同旁内角互补，两直线平行，
当∠B+∠BCD＝180°时，CD∥AB，此时∠BCD＝180°﹣∠B＝180°﹣60°＝120°；
如图③，根据内错角相等，两直线平行，
当∠B＝∠BCD＝60°时，CD∥AB．【点评】本题考查了平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互
补，两直线平行．熟练掌握定理并且能够准确识图是解题的关键．
