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必刷大题 12 数列的综合问题
1．若数列{a}的通项公式为a＝(－1)n(2n－1)．
n n
(1)求a，a，a，a；
1 2 3 4
(2)求数列{a}的前2 024项和S .
n 2 024
解 (1)因为数列{a}的通项公式为a＝(－1)n(2n－1)，
n n
所以a＝－1，a＝3，a＝－5，a＝7.
1 2 3 4
(2)由a＝(－1)n(2n－1)，
n
可得当n为奇数时，a＋a ＝(－1)n(2n－1)＋(－1)n＋1(2n＋1)＝2，
n n＋1
所以S ＝(a＋a)＋(a＋a)＋…＋(a ＋a )
2 024 1 2 3 4 2 023 2 024
＝2＋2＋…＋2＝2×1 012＝2 024.
2．(2023·广州模拟)已知数列{a}的前n项和为S，且S＝2，S＝a ，b＝(n∈N )．
n n 1 n n＋1 n ＋
(1)求数列{b}的通项公式；
n
(2)设c＝，数列{c}的前n项和T，求证：≤T<1.
n n n n
(1)解 因为S＝a ，
n n＋1
所以(n＋2)S＝na ，
n n＋1
因为a ＝S －S，
n＋1 n＋1 n
所以(n＋2)S＝n(S －S)，
n n＋1 n
即nS ＝2(n＋1)S，
n＋1 n
所以＝2·(n∈N )．
＋
即b ＝2b，
n＋1 n
又b＝S＝2，
1 1
所以数列{b}是首项为2，公比为2的等比数列．
n
所以b＝2n.
n
(2)证明 c＝＝＝－，
n
故数列{c}的前n项和T＝＋＋…＋
n n
＝1－，
因为n∈N ，
＋
所以0<≤，
所以≤T<1.
n
3．已知数列{a}的前n项和为S，且S＋2＝2a.
n n n n
(1)求a 及数列{a}的通项公式；
2 n
(2)在a 与a 之间插入n个数，使得这n＋2个数依次组成公差为d 的等差数列，求数列的
n n＋1 n前n项和T.
n
解 (1)由题意，当n＝1时，S＋2＝a＋2＝2a，解得a＝2，
1 1 1 1
当n＝2时，S＋2＝2a，
2 2
即a＋a＋2＝2a，解得a＝4，
1 2 2 2
当n≥2时，由S＋2＝2a，
n n
可得S ＋2＝2a ，
n－1 n－1
两式相减，可得a＝2a－2a ，
n n n－1
整理，得a＝2a ，
n n－1
∴数列{a}是以2为首项，2为公比的等比数列，
n
∴a＝2·2n－1＝2n，n∈N .
n ＋
(2)由(1)可得，a＝2n，a ＝2n＋1，
n n＋1
在a 与a 之间插入n个数，使得这n＋2个数依次组成公差为d 的等差数列，
n n＋1 n
则有a －a＝(n＋1)d，
n＋1 n n
∴d＝＝，
n
∴＝，
∴T＝＋＋…＋＝＋＋＋…＋，
n
T＝＋＋＋…＋＋，
n
两式相减，
可得T＝＋＋＋…＋－
n
＝1＋－
＝－，∴T＝3－.
n
4．已知等差数列{a}的前n项和为S，a＝7，S＝5a.
n n 3 3 1
(1)求{a}的通项公式；
n
(2)设数列的前n项和为T，证明：当n≥3时，T>.
n n
(1)解 a＝a＋2d＝7，S＝3a＋3d＝5a，
3 1 3 1 1
解得a＝3，d＝2，
1
故a＝2n＋1.
n
(2)证明 S＝3n＋×2＝n2＋2n，
n
1＋＝1＋＝1＋－，
T＝1＋－＋1＋－＋1＋－＋…＋1＋－＝n＋3－－，
n
当n≥3，要证明T>，
n
即n＋3－－>n＋2，
即证1>＋，
易知＋是一个递减数列，故当n＝3时，其最大值为＋＝<1，得证．
5．(2023·邯郸统考)已知数列{a}的前n项和为S，且a＝1，a ＝3S＋1(n∈N )．
n n 1 n＋1 n ＋
(1)求{a}的通项公式；
n
(2)设b ＝，在数列{b}中是否存在三项b ，b，b(其中2k＝m＋p)成等比数列？若存在，求
n n m k p
出这三项；若不存在，请说明理由．
解 (1)由题意知，在数列{a}中，a ＝3S＋1，
n n＋1 n
a＝3S ＋1，n≥2，
n n－1
两式相减可得a －a＝3a，a ＝4a，n≥2，
n＋1 n n n＋1 n
由条件知，a＝3a＋1＝4a，
2 1 1
故a ＝4a(n∈N )．
n＋1 n ＋
∴{a}是以1为首项，4为公比的等比数列．
n
∴a＝4n－1(n∈N )．
n ＋
(2)由(1)知，a＝4n－1(n∈N )，
n ＋
∴b＝，
n
如果满足条件的b ，b，b 存在，
m k p
则b＝b b，
m p
∴＝·，
∵2k＝m＋p，
∴(k＋1)2＝(m＋1)(p＋1)，解得k2＝mp，
∵2k＝m＋p，∴k＝m＝p，与已知矛盾，
∴不存在满足条件的三项．
6．在数列{b}中，令T ＝bb·…·b(n∈N )，若对任意正整数n，T 总为数列{b}中的项，
n n 1 2 n ＋ n n
则称数列{b}是“前n项之积封闭数列”．已知数列{a}是首项为a，公比为q的等比数列．
n n 1
(1)判断：当a＝2，q＝3时，数列{a}是否为“前n项之积封闭数列”；
1 n
(2)证明：a＝1是数列{a}为“前n项之积封闭数列”的充分不必要条件．
1 n
(1)解 T＝aa＝2×6＝12，
2 1 2
若T 为数列{a}中的项，则存在m∈N ，
2 n ＋
使得T＝a ，即12＝2·3m－1，
2 m
所以m＝log
3
6＋1∉N
＋
，所以{a
n
}不是“前n项之积封闭数列”．
(2)证明 充分性：
因为T＝aa·…·a(n∈N )，
n 1 2 n ＋
所以T＝a，
1 1
当n∈N ，n≥2时，
＋
因为a＝1，所以a＝qn－1，
1 n所以T＝aa·…·a＝q0＋1＋2＋…＋(n－1)＝ ，
n 1 2 n
因为∈N ，
＋
所以令＝k，则T＝a ，
n k＋1
所以数列{a}是“前n项之积封闭数列”，
n
所以充分性成立．
必要性：
当a＝q≠1时，a＝aqn－1＝qn，
1 n 1
所以T＝aa·…·a＝q1＋2＋…＋n＝ ，
n 1 2 n
因为∈N ，
＋
令＝l，
所以T＝a，
n l
即此时数列{a}是“前n项之积封闭数列”，
n
所以必要性不成立．
综上，a＝1是数列{a}为“前n项之积封闭数列”的充分不必要条件．
1 n
