文档内容
第1课时 实数的定义
1.了解无理数和实数,知道实数由有理数和无理数组成,了解实数与数轴上的点一一
课标摘录 对应.
2.能用数轴上的点表示实数,能比较实数的大小.
1.经历无理数的探究过程,理解无理数的概念,会判断一个数是否为无理数.
2.进一步理解有理数和无理数的概念,会把实数进行分类.
教学目标
3.理解实数与数轴的关系,并进行相关运用.
4.通过实数的分类感受数学的严谨性以及数学结论的确定性.
重点:正确认识实数的概念,会对实数按照一定的标准进行分类.
教学重难点
难点:理解实数与数轴的关系,并进行相关运用.
学生在前面已经学习了平方根、立方根的知识,已经具备了发现无理数的能力,教学
中从把有理数写成小数形式入手,体会到无理数与有理数的不同之处,将数的范围从
教学策略 无理数扩充到实数.通过探究数轴上表示π和√2的点,化抽象为具体,说明无理数也
可以用数轴上的点表示,从而让学生理解无理数是从现实世界抽象出来的,是不同于
有理数的一类数.
情境导入
1.思考:什么是有理数?什么是无限不循环小数?
2.填一填
项目 -1 1 2 4
平方根
立方根
师生活动:学生独立思考共同完成填空.
设计意图:回顾平方根和立方根的计算方法,引出无理数及实数的概念.
提问1:上表中所填的这些数都是有理数吗?
预设:±1,±2,-1,1都是有理数.
提问2:在七年级上册的学习中,我们通过引入一类新的数——负数,把数的范围扩充到有理数.本
章我们认识了像√2,√32,√3 4这样的无限不循环小数,它们是整数吗?是分数吗?是有理数吗?
教师介绍无理数的由来:
公元前500年,古希腊毕达哥拉斯学派的弟子希帕索斯发现了一个惊人的事实,一个正方形的对角
线长和边长之比不是一个有理数,这与毕氏学派“万物皆为有理数”的哲理大相径庭.这一发现使
该学派领导人惶恐、恼怒,认为这将动摇他们在学术界的统治地位.希帕索斯因此被囚禁,受到百般
折磨,最后竟遭到沉舟身亡的惩处,这就是第一次数学危机.
设计意图:介绍无理数的由来,让学生了解数学史料,丰富了数学课堂.也让学生知道任何新知识的
产生都不会一帆风顺,激励学生不怕困难,积极探求科学.
新知初探
探究一 实数的概念和分类
活动1 利用计算器把下列分数写成小数的形式,它们有什么特征?动手试一试,说出你的发现并与
同学交流.
5 3 27 11 9
4, ,- , , , .
2 5 4 9 11
师生活动:学生独立完成操作后,小组讨论,并派代表回答发现,教师总结——它们都可以化成有限
小数或无限循环小数的形式.
5 3 27 11 · 9 ··
4=4.0, =2.5,- =-0.6, =6.75, =1.2, =0.81.
2 5 4 9 11
问题:任何一个整数能化成什么小数?任何一个分数能化成什么小数?
归纳总结:见课件.
追问:用计算器把√2,-√5,√32,√33以及我们学习过的π化成小数,你能发现什么?它们是什么小数?
它们还是有理数吗?
预设:√2,-√5,√32,√33和π都能化成无限不循环小数.
归纳总结:见课件.
问题1:你能举出几个无理数的例子吗?问题2:无理数能写成两个整数之比吗?
问题3:无理数有正负之分吗?√2,√3,π与-√2,-√3,-π有什么区别?
归纳总结:见课件.
设计意图:通过计算器探究将有理数化为小数形式的规律,使学生经历观察、猜想、实验等数学活
动过程,培养学生数学探究能力和归纳表达能力.让学生参与无理数概念的建立和发现数系扩充必
要性的过程,培养学生初步的发现能力,发展学生的分类意识.
教师介绍无理数的溯源,内容见教材P53“溯源”或课件.
活动2 (1)我们将有理数和无理数统称为实数.仿照有理数的分类,你能给实数分类吗?
师生活动:学生独立思考,在教师的引导下共同完成实数思维导图(见教材P53或课件).
(2)因为非零有理数和无理数都有正负之分,那么你能类比有理数的分类方法,按大小对实数分类
吗?
答案见教材P53或课件.
设计意图:帮助学生梳理巩固实数的概念及实数与有理数、无理数之间的从属关系,发展推理意识,
学会运用图表整理信息.学生类比有理数分类,尝试对实数进行分类,在自主探究的过程中,发展学
生的类比思想和分类讨论思想.
【即时测评】见课件、导学案.
探究二 实数与数轴上的点
活动3 每个有理数都可以用数轴上的点来表示,无理数是否也能用数轴上的点表示出来呢?
(1)问题1:直径为1个单位长度的圆,它的周长是多少?
问题2:将直径为1个单位长度的圆在水平地面上滚动一周,它移动的距离是多少?
问题3:如图所示,直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周,圆上一点由原点到达点
O',点O'对应的数是多少?
师生活动:学生独立思考,然后教师播放课件,展示直径为1个单位长度的圆上的点A滚动一周的运
动路径,顺势指出——因为直径为1个单位长度的圆的周长为π,所以数轴上点A表示的数是无理
数π.
(2)前面我们曾经将面积为1 dm2的两个正方形拼成了一个面积为2 dm2的一个大正方形,大正方形
的边长是多少?
问题:你能在数轴上找到表示√2和-√2的点吗?画一画,说出你的方法.
师生活动:教师引导学生利用圆规和直尺画图,学生在数轴上尝试画出表示√2和-√2的点.
追问:通过解决以上问题,你发现了数轴上的点可以表示哪些数?
师生活动:学生独立思考后小组讨论,选代表回答.
归纳总结:见课件.
设计意图:注重新旧知识的连贯性,使学生体会到学习的内容是融会贯通的,激发学生的求知欲.除
了课件演示外,再让学生动手实践操作,充分认识到可以用数轴上的点来表示无理数,体会实数与数
轴上的点是一一对应关系.将数与形联系起来,进一步体会数形结合的思想.教师在此环节中要留给
学生充足的时间,让其自己归纳和总结.
思考:怎样用数轴比较有理数的大小?
追问:当数的范围扩展到实数后,怎样用数轴比较实数的大小?
归纳总结:见课件.
【例题】见课件、导学案.
师生活动:学生独立完成习题,选学生回答,其他同学判断正误,教师总结解题技巧.
设计意图:进一步理解实数可以用数轴上的点来表示,锻炼并掌握实数范围内比较大小的方法,提高
解题能力.
【即时测评】见课件、导学案.
设计意图:帮助学生加深对所学知识的理解运用,以基础为主,让学生灵活运用所学知识解决问题,
巩固新知.
师生活动:学生独立思考,举手回答,师生交流心得与方法.
当堂达标 见课件、导学案
课堂小结 1.什么是无理数?你能举出几个无理数的例子吗?2.实数是怎样分类的?分类的标准是什么?
3.实数与数轴有什么关系?谈谈你的看法.
4.本节课你还有哪些收获?存在什么问题?
8.3 实数及其简单运算
第1课时 实数的定义
{ {有理数{整数
板书设计
实数的分类 分数
实数
无理数
实数与数轴——实数与数轴上的点一一对应
教学反思
