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专题02 求二次根式中的字母的值四类型
类型一 根式是整数求字母
1．已知 是整数，则正整数n的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】先把二次根式进行化简，然后由算术平方根的定义，即可求出答案．
【详解】解：∵ ，
又∵ 是整数，
∴ 是完全平方数，
∴正整数n的最小值为3；
故选：C．
【点睛】主要考查了乘除法法则和二次根式有意义的条件．二次根式有意义的条件是被开方数是
非负数．
2．已知 是整数，则正整数n的最小值是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【分析】因为 是整数，且 ，则6n是完全平方数，满足条件的最小正整数n为
6．
【详解】解： ，且 是整数，
∴ 是整数，即6n是完全平方数；
∴n的最小正整数值为6．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次根式的定义，关键是根据乘除法则和二次根式有意义的条件，二次
根式有意义的条件时被开方数是非负数进行解答
3．已知n是一个正整数， 是整数，则n的最小值是（ ）A．3 B．5 C．15 D．45
【答案】B
【分析】由题意可知45n是一个完全平方数，从而可求得答案．
【详解】解： ，
∵n是正整数， 也是一个正整数，
∴n的最小值为5．
故选：B．
【点睛】此题考查二次根式的定义，掌握二次根式的定义是解题的关键．
4．已知 是整数，则正整数n的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】根据 是整数， ，推出 是完全平方数，设 ，得到
，根据 与 同奇同偶， ， ，或 ，
，得到 ，或 ，推出n的最小正整数值是2．
【详解】∵ 是整数，且 ，
∴ 是完全平方数，
设 （m是正整数），
则 ，
∵ 与 同奇同偶，
∴ ，或 ，
∴ ，或 ，
∴ ，
∴n的最小正整数值是2．故选：A．
【点睛】本题主要考查了平方数，解决问题的关键是熟练掌握平方差公式分解因式，数的奇偶性，
解方程组．
5．若 是整数，则a能取的最小整数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【分析】首先根据二次根式有意义的条件确定a的取值范围，再根据 是整数，即可求得a
能取的最小整数．
【详解】解： 成立，
，解得 ，
又 是整数，
a能取的最小整数为0，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握和运用次根式有意义的条件是解决本题的
关键．
6．当 _________时，二次根式 取最小值，其最小值为_________．
【答案】 6 0
【分析】根据被开方数为非负数可得．
【详解】∵当 时， 的最小值为0，
∴当 ，即 时，二次根式 取最小值，其最小值为0．
故答案为：6， 0．
【点睛】本题考查了二次根式的定义，解题的关键是利用二次根式的被开方数是非负数解题．
类型二 根据根式的非负性求字母
7．若|3﹣a|＋ ＝0，则a＋b的立方根是_____．
【答案】【分析】先根据非负数的性质求出a、b，进而可得a+b的值，再根据立方根的定义解答即可．
【详解】解：因为|3﹣a|＋ ＝0，
所以 ，
所以a=3，b=2，
所以a+b=5，
所以a＋b的立方根是 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了非负数的性质和立方根的定义，属于基础题型，正确理解题意、熟练掌握非
负数的性质是解题关键．
8．若a，b为实数，且满足 ，则 的值为________．
【答案】
【分析】由绝对值和算术平方根的非负性可求出a和b的值，再代入 中求值即可．
【详解】∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查非负数的性质，代数式求值．掌握绝对值和算术平方根的非负性是解题关键．
9．若 为实数，且满足 ，则 的值是________．
【答案】-1
【分析】根据绝对值和二次根式的非负性求出x，y，代入求值即可；
【详解】∵ ，
∴ ，
解得： ，∴ ；
故答案是-1．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的求解和代数式求值，准确利用绝对值和二次根式的非
负性求解是解题的关键．
10．已知 ，则 在______象限．
【答案】二
【分析】根据非负数的性质得到 ， 的值，得到点 的坐标，即可知道点 所在的象限．
【详解】解：根据题意得，
， ，
， ，
，
点 在第二象限，
故答案为：二．
【点睛】本题考查了非负数的性质，点的坐标，掌握两个非负数的和为 ，则这两个非负数分别等
于 是解题的关键．
11．若a、b、c是△ABC的三边长，且a、b、c满足等式 +｜b-12｜+（c-13）2＝0．
（1）求出a、b、c的值．
（2）△ABC是直角三角形吗？请说明理由．
【答案】（1） ；（2）△ABC是直角三角形，理由见解析．
【分析】（1）根据二次根式的非负性、绝对值的非负性、平方的非负性解题即可；
（2）由（1）中a、b、c的值，结合勾股定理逆定理解题．
【详解】解：（1）
；
（2）△ABC是直角三角形，理由如下：
△ABC是直角三角形．【点睛】本题考查二次根式的非负性、绝对值的非负性、平方的非负性、勾股定理的逆定理等知
识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
12．已知a，b满足
（1）a=_______， b=______
（2）把a，b的值代下以下方程并求解关于 的方程
【答案】（1）-4， ；（2）
【分析】（1）结合题意，根据二次根式和绝对值的性质，通过求解一元一次方程方程，即可得到
答案；
（2）结合（1）的结论，通过求解一元一次方程方程，即可完成求解．
【详解】（1）∵
∴
∴
∴
故答案为：-4， ；
（2）根据（1）的结论，得：
∴
∴ ．
【点睛】本题考查了一元一次方程、二次根式、绝对值的知识；解题的关键是熟练掌握二次根式、
绝对值的性质，并通过求解一元一次方程，从而完成求解．
类型三 两根式中的式子互为相反数题型
13．若 ，则 的取值范围是______．
【答案】
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式组求解即可．【详解】根据题意得，
解①得， ；
解②得， ；
∴
所以， 的取值范围是 ，
故答案为：
【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关
键．
14．若 ，求 的算术平方根________．
【答案】6
【分析】根据被开方数是非负数，可得不等式组，根据解不等式组，可得答案．
【详解】解： ∵ ，
∴ ，即 ；
当 时， ，
＝（－6）2＝36．
所以 的算术平方根为6．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，利用被开方数是非负数得出不等式组是解题关键．
15．已知a，b都是实数， ，则 的值为___________．
【答案】4
【分析】直接利用二次根式有意义条件求出a，b的值代入求解即可．
【详解】解：由题意可得，
， ，
解得 ，
∴ ，∴ ，
故答案为4．
【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，正确得出a的值，再代入求出b的值是解题的关键．
16．已知 ，则 的值为______．
【答案】1
【分析】由根式及分式的意义，可求得 ，进而可求得m的值，代入即可求得结果．
【详解】解： ，
，
，
，
当 时， ，不符合题意，舍去，
，
，
．
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了根式和分式的意义，解题的关键是能依据根式的意义列式求解，并注意
要使分式有意义．
17．若y＝ ，则 的平方根为 _____．
【答案】
【详解】由二次根式有意义可得 ，代入得 ，再求出 即可得出 的平方根．
【解答】解：由二次根式有意义可得， ， ，
解得 ，
∴ ，
把 代入 得， ，所以 的平方根为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件及平方根，解题的关键是利用二次根式有意义求
出x的值．
18．若 ＝b+6，则a﹣b的立方根是_____．
【答案】
【分析】由二次根式的性质，先求出a、b的值，然后求出答案即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴a﹣b的立方根是 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次根式的性质，以及立方根的定义，解题的关键是正确求出a、b的值，从
而进行解题．
19．已知y= + +2，那么xy=______．
【答案】
【分析】先根据二次根式的定义求出x的值，继而可得出y的值，再代入求解即可．
【详解】解：由题意得出： ，
解得： ，
∴
∴ ．故答案为： ．
【点睛】本题考查的知识点是二次根式的定义，比较基础，熟记定义内容即可．
类型四 有理数无理数综合求字母
20．阅读材料并解决下列问题：
已知a、b是有理数，并且满足等式5﹣ ﹣a，求a、b的值．
解：∵5﹣ ﹣a
即5﹣
∴2b﹣a＝5，﹣a＝
解得：a＝﹣
（1）已知a、b是有理数，并且满足等式 ﹣1，则a＝ ，b＝
．
（2）已知x、y是有理数，并且满足等式x+ x+18，求xy的平方根．
【答案】（1）4，1；（2）±
【分析】（1）利用等式左右两边的有理数相等和二次根式相同，建立方程，然后解方程即可．
（2）先将等式变形，再利用等式左右两边的有理数相等和二次根式相同，建立方程，然后解方程
得到x和y，再求xy的平方根．
【详解】解：（1）∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴b=1，a-b=3，
∴a=4；（2） ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
∴xy=21，
∴xy的平方根为± ．
【点睛】此题是一个阅读题目，主要考查了实数的运算．对于阅读理解题要读懂阅读部分，然后
依照同样的方法和思路解题．
21．先阅读第（1）题的解法，再解答第（2）题．
（1）已知a，b是有理数，并且满足等式 ，求a，b的值．
解：因为
所以
所以 解得
（2）已知x，y是有理数，并且满足等式 ，求 的值．
【答案】（1） ；（2）－1或9
【分析】（1）代入消元法求解方程组即可；
（2）利用等式左右两边的有理数相等和二次根式相同，建立方程组，然后解方程即可．
【详解】解：（1）由②得 ，将 代入①式得 解得
∴
（2）∵ ，
∴ ，
所以 ，将 代入 得 ，解得
∴ 或 ，
所以 或
【点睛】此题考查了二元一次方程组和平方根的求解，理解题意列出方程组是解题的关键．
22．先阅读下面材料，再解答问题：
材料：已知 ， 是有理数，并且满足等式 ，求 ， 的值．
解：∵
∴
∵ ， 是有理数
∴ 解得
问题：（1）已知 ， 是有理数， ，则 ________， ________．
（2）已知 ， 是有理数，并且满足等式 ，求 ， 的值．
【答案】（1） ， ；（2）
【分析】（1）根据阅读材料中的方法确定出a与b的值即可；（2）根据题意列出方程组，求出方程组的解即可得到x与y的值．
【详解】（1） ，得到a=5，b=3；
故答案为：5；3
（2）∵
∴
∵ ， 是有理数
∴
解得
【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，以及实数的运算，弄清阅读材料中的方法是解本题的
关键．
23．先阅读第（1）题的解法，再解答第（2）题．
（1）已知a、b是有理数，并且满足等式 求a、b的值．
解：因为 ． 即
所以 ， 解得：
（2）设x、y是有理数，并且满足 求x+y的值．
【答案】x+y=1或x+y=-9．
【分析】利用等式左右两边的有理数相等和二次根式相同，建立方程组，然后解方程组即可．
【详解】∵x2+ y+2y=-4 +17，
∴（x2+2y）+ y=17-4 ，
∴x2+2y=17，y=-4，
解得x=5，y=-4或x=-5，y=-4，
∴x+y=1或x+y=-9．
【点睛】本题是阅读理解题，主要考查了实数的运算，其中关键是根据题意列出方程组．对于阅读理解题要读懂阅读部分，然后依照同样的方法和思路解题．
24．先阅读第（1）题的解法，再解答第（2）题．
（1）已知a、b是有理数，并且满足等式5-a =2b+ -a，求a、b的值．
解：因为5-a =2b+ ． 即5-a =（2b-a）+ ．
所以2b-a=5，-a= ． 解得：a=- ，b= ．
（2）设x、y是有理数，并且满足x2+ y+2y=-4 +17，求x+y的值．
【答案】1或-9
【详解】根据规律：等式左右两边的有理数部分和二次根式分别相同，建立方程，然后解方程即
可.
解：因为x2+ y+2y=-4 +17，
所以（x2+2y）+ y=17-4 ，
所以x2+2y=17，y=-4，
解得x=5，y=-4或x=-5，y=-4．
所以x+y=1或x+y=-9．
25．先阅读（1）的解法，再解答第（2）题：
（1）已知a，b是有理数，并且满足等式2b＋ a＝a＋5－2 ，求a，b的值；
解：∵2b＋ a＝a＋5－2 ，∴2b－a＋ a＝5－2 ，
即（2b－a）＋ a＝5－2 ．
又∵a，b为有理数，∴2b－a也为有理数，
∴ 解得
（2）已知m，n是有理数，且m，n满足等式m＋2n＋ （2－n）＝ （ ＋6）＋15，求
的立方根．
【答案】1【分析】仿照题意进行求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵m，n是有理数，
∴ 、 都是有理数，
∴ 是无理数，
∴ ，
解得 ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了实数的运算，解二元一次方程组，代数式求值，求一个数的算术平方根，
正确理解题意得到关于m、n的二元一次方程组是解题的关键．
