文档内容
专题 03 矩形的性质与判定
目录
A题型建模・专项突破
题型一、利用矩形的性质求角度..........................................................................................................................1
题型二、利用矩形的性质求线段长......................................................................................................................4
题型三、利用矩形的性质求面积与坐标..............................................................................................................7
题型四、利用矩形的性质求折叠问题................................................................................................................10
题型五、根据矩形的性质与判定求角度、线段长............................................................................................16
题型六、根据矩形的性质与判定解决多结论问题............................................................................................20
题型七、与矩形的性质与判定有关的作图........................................................................................................28
题型八、矩形的性质与判定的综合问题............................................................................................................32
B综合攻坚・能力跃升
题型一、利用矩形的性质求角度
1．（2026八年级下·全国·专题练习）如图，在矩形 中， ， 相交于点 ， 平分 交
于点 ．若 ，则 的度数为 ．
【答案】 / 度
【分析】本题主要考查矩形的性质，等腰三角形的判定及性质，可求得 ，得到 ，
进而求得 为等边三角形，得到 ．
【详解】∵ 平分 ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∵四边形 为矩形，
∴ ， ．
∴ ， ．
∴ ．
∴ 为等边三角形．
∴ ．∴ ．
∴ ．
故答案为：
2．（2026八年级下·全国·专题练习）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O， ，
，则 的度数为 ．
【答案】102.5°
【分析】本题主要考查矩形的性质，熟练掌握矩形的对角线相等是解决此题的关键．
由四边形是矩形，得出 ，由 ，进而得到 ，根据 得到
，进而得到 ．
【详解】解：∵四边形 是矩形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
故答案为： ．
3．（25-26九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在矩形 中， 、 相交于点O， 平分 分
别交 、 于点F、E，若 ，则 的度数为 ．
【答案】
【分析】本题考查矩形的性质，三角形外角性质，掌握相关知识是解决问题的关键．因为在矩形 中，
所以 ，因为 平分 ，所以 ，因为 ， ，由矩形
的性质可知 ，利用三角形外角的性质即可求 ．
【详解】解：∵在矩形 中，
∴ ，∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
由矩形的性质可知 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
4．（25-26八年级下·全国·周测）如图， 的边 与矩形 的边 相交于点 ．若
， ，则 的大小为 ．
【答案】124°
【分析】本题考查了矩形的性质、平行四边形的性质及四边形内角和定理，解题的关键是利用矩形的直角
性质求出相关角，再结合平行四边形对边平行、对角相等的性质推导角度．
结合矩形的直角性质、三角形外角定理，先求出 的度数，再利用平行四边形对角相等得到 的大小．
【详解】解： 四边形 是矩形，
．
，
．
又 ，
．
四边形 是平行四边形，
．
故答案为： ．
题型二、利用矩形的性质求线段长
5．（25-26九年级上·河北保定·期末）如图，矩形 的对角线相交于点 ， 为 上的一点，
， ，则 的周长为 ．【答案】
【分析】本题考查矩形的性质，熟练掌握相关知识并运用转化思想是关键．
矩形的对角线互相平分且相等，因此 ， 的周长等同于 ．
【详解】解：∵四边形 是矩形，
∴ ， ， ，
∴ ，
的周长为 ．
故答案为： ．
6．（25-26九年级上·四川广元·期末）如图，在矩形 中，对角线 、 相交于点O，过点O作
，分别交 、 于点E、F，若 ， ，则 ．
【答案】8
【分析】此题重点考查矩形的性质、线段的垂直平分线的性质、勾股定理等知识，正确的作出所需要的辅
助线是解题的关键．连接 ，由矩形的性质得 ， ， ，根据勾股定理求
出 ，再由 ，可知 垂直平分 ，则 ，即可求出
．
【详解】解：连接 ，
∵四边形 是矩形，对角线 、 相交于点O，
∴ ， ， ， ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
故答案为： ．
7．（25-26八年级上·重庆·期末）如图，在矩形 中，对角线 相交于点O，过点D作
于点N，连接 ，点M为 的中点，连接 ，若 ， ，则 的长度为
．
【答案】2
【分析】此题考查矩形的性质，勾股定理，三角形中位线性质，熟练掌握是解题的关键．
根据矩形的性质得到 ，得到 ，在 中得 ，由三角
形中位线性质得 ．
【详解】解：∵矩形 中，对角线 相交于点O，且 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵点M为 的中点，
∴ ，
∴ ．
故答案为：2．
8．（25-26九年级上·河南郑州·期末）已知，矩形 中 为 上一点，且 为 上
一点，且 ，连接 ， ， ．若 是直角三角形，则 的长为 ．
【答案】 或
【分析】本题考查矩形的性质、勾股定理及分类讨论思想．关键是由于 的直角顶点不确定，需分三
种情况( 、 、 )讨论，利用勾股定理列出方程求解，同时验证解是否
符合矩形边长的实际意义．
【详解】解：如图，设 的长为 ，∵四边形 是矩形，
∴ ， ， ．
由 ，得 ；
由 ，得 ．
在 中， ；
在 中， ；
在 中， ．
①若 ，则 ，
即 ，解得 ；
此时 ，符合题意．
②若 ，则 ，
即 ，化简得 ，
∵判别式 ，
∴该方程无实数根，此情况不存在．
③若 ，则 ，
即 ，
解得 ；
此时 ，符合题意．
综上， 的长为 或 ．
故答案为： 或 ．
题型三、利用矩形的性质求面积与坐标
9．（25-26九年级上·贵州遵义·期中）如图，矩形 的对角线 和 相交于点O，过点O的直线分
别交 和 于点 、 ， ， ，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】6【分析】本题主要考查矩形的性质，全等三角形的判定与性质，首先证明 ，由此可得出
，则可求出答案．
【详解】解：∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
又
∴ ，
∴
∴
，
故答案为：6．
10．（25-26八年级下·全国·周测）如图， 是矩形 的对角线 上一点，过点 作 ，分别
交 ， 于点 ， ，连接 ， ．若 ， ，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】12
【分析】利用矩形的性质和面积转化思想，通过证明三角形面积相等，将分散的阴影部分面积整合为一个
规则图形的面积来计算．
【详解】解：如图，过点 作 于点 ，交 于点 ，则四边形 、四边形 、四边
形 和四边形 都是矩形．
∴ ， ， ， ， ， ，
，
．故答案为： ．
11．（24-25八年级下·新疆哈密·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形 是矩形，
轴，已知点 ，则点 的坐标是 ．
【答案】
【分析】本题考查矩形的性质和点的坐标，熟练掌握矩形的性质是解题关键．
先由矩形的性质得出线段的长，再结合点 的坐标即可求解．
【详解】解：∵四边形 是矩形，
，
，
，
∴点 的坐标为 ，
故答案为： ．
12．（24-25八年级下·重庆璧山·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形 的顶点 、 的坐标分别
为 ， ，点 为 ，点 在线段 上运动，当 是腰长为5的等腰三角形时，点 的坐
标为 ．【答案】 或 或
【分析】此题主要考查了矩形的性质以及坐标与图形的性质和等腰三角形的性质，勾股定理，根据
是腰长为 的等腰三角形进行分类讨论是解决问题的关键．根据当 时，以及当 时，分别
进行讨论得出 点的坐标．
【详解】解：矩形 的顶点 、 的坐标分别为 ， ，点 为 ，
∴ ，
过 作 于 ，
①当 时，如图1所示：
， ，
由勾股定理得： ，
；
②当 时，
如图2所示：
， ，
由勾股定理得： ，
，
；
如图3所示：
， ，
由勾股定理得： ，
，
；综上，满足题意的点 的坐标为 或 或 ，
故答案为： 或 或 ．
题型四、利用矩形的性质求折叠问题
13．（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，在矩形 中， ，点E是 上一动点，连
接 ，将 沿 折叠，点B落在点 处，当 为直角三角形时， 的长为 ．
【答案】 或
【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，直角三角形的相关知识，“矩形的性质、折叠的性质 直
角三角形分类讨论是解题的关键．根据已知条件与折叠核心等量关系：设 ，根据折叠性质得出
，结合矩形性质得出 ；由 为直角
三角形，分 为直角顶点进行分类讨论，针对每种合理情况，结合几何性质列方程求解；
【详解】解：设 ，由折叠性质得： ， ， ，
矩形 中， ， ，则 ．
情况1： ，
，即 、 、 三点共线．
在 中，由勾股定理得：
，
在 中， ，
，
解得， ，
；情况2： ，则 ，
，
，
四边形 为矩形，
，
故四边形 为正方形，
情况3：当 时，此时点 与点 重合，此时 ，这显然不成立，不存在此种情况．
综上，当 为直角三角形时， 的长为 或 ．
故答案为： 或
14．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）如图，在长方形纸片 中，点 分别在 上（端点
除外）．连接 ，将长方形纸片 沿 折叠后，点 分别落在点 的位置．若
，则 度．
【答案】 或
【分析】本题考查了长方形的性质，折叠的性质，关键是利用折叠的性质得出 解答.先利用
折叠的性质得出 ，再利用平角的应用求出 ，最后利用长方形的性质即可得出结论．
【详解】解：如图，由折叠可得 ，∵四边形 是长方形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
当 在 上方时，
如图，由折叠可得 ，
∵四边形 是长方形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： 或 ．15．（25-26九年级上·河南南阳·期末）如图，矩形 中， ， ， 是 边的中点， 是
边上任意一点，连接 ．把 沿着 折叠，使点 落在 处，当 为直角三角形时， 的
长为 ．
【答案】1或
【分析】本题考查了勾股定理、矩形与折叠综合问题，分类讨论：当 时，当 时，
利用勾股定理及矩形与折叠的性质即可求解，熟练掌握基础知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关
键．
【详解】解： 是 边的中点，
，
当 时，如下图：
， ，
矩形 沿 折叠，使点B落在点 处，
，
在矩形 中， ，
，
，
；
当 时，如下图：矩形 沿 折叠，使点B落在点 处，
，
，
∴点E，点 ，点C三点共线，
在 中， ，
，
，
，
，
解得 ，
综上所述， 或 ，
故答案为： 或1．
16．（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，在矩形 中， ， ，点 在边 上运动，
连接 ，将 沿 折叠，点 落在点 处，当 为等腰三角形时， 的长为 ．
【答案】 或
【分析】本题考查了等腰三角形的定义，矩形与折叠问题，勾股定理；根据 为等腰三角形，分三种
情况进行讨论： ，分别求得 的长，并判断是否符合题意．
【详解】解：∵将 沿 折叠，点 落在点 处，
∴ ，∵矩形 中， ， ，
∴
∴
①如图，当 时，
∵
∴
过 作 ，交 于 ，交 于 ，则 垂直平分 ， 垂直平分 ，
在 中，
∴ ，
又∵
∴
设 ，则 ，
在 中，
∴
解得：
②当 时，
∵ ，
在 中， ，不合题意，
③当 时，如图，过点 作 于点 ，交 于点 ，过点 作 于点 ，则四
边形 是矩形，∴ ，
∵ ，
在 中，
∴
设 ，则 ， ，则
在 中， ，
∴
解得：
综上所述，当 为等腰三角形时， 的长为 或
故答案为： 或 ．
题型五、根据矩形的性质与判定求角度、线段长
17．（24-25八年级下·广西钦州·期中）如图，点D，E，F分别是 的中点， ， ，
，则 的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了三角形的中位线，矩形的判定及性质，勾股定理；由三角形的中位线得 ，
， ，由矩形的判定方法得边形 是矩形，由勾股定理得 ，即可
求解；掌握三角形的中位线，矩形的判定及性质，能熟练利用勾股定理求解是解题的关键．
【详解】解： 点D，E，F分别是 的中点，
， ， ，
四边形 是平行四边形，
，
四边形 是矩形，
，
，；
故答案： ．
18．（25-26九年级上·河北保定·期末）如图，P是矩形 的对角线 上一点， ， ，
于点E， 于点F．连接 ， ，则 的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查的知识点是矩形的判定与性质、勾股定理、最短路径问题，解题关键是熟练掌握矩形的
判定与性质．
连接 ，根据矩形的性质得到 ， 的最小值即为 的最小值，当 ， ， 三点共
线时， 的值最小，且为 的长度，根据勾股定理得到 ，于是得到结论．
【详解】解：连接 ，
四边形 是矩形，
，
， ，
∴ ，
四边形 是矩形，
，
的最小值即为 的最小值，
当 ， ， 三点共线时， 的值最小，且为 的长度，
四边形 是矩形， ， ，
，
的最小值为 ．
故答案为： ．
19．（2026八年级下·江苏·专题练习）如图，在 中， ， ， ，点 ， ， ，
分别在 各边上，且 ， ，则四边形 周长的最小值为 ．【答案】
【分析】本题主要考查了轴对称中的最短路线问题，矩形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股
定理，找出四边形 周长取最小值时点E、F、G之间的位置关系是解题的关键．
由条件可证四边形 为平行四边形，作点E关于 的对称点 ，连接 交 于点F，此时四边
形 周长取最小值，过点G作 于点 ，由对称结合矩形的性质可知： ，
，利用勾股定理即可求出 的长度，进而可得出四边形 周长的最小值．
【详解】解：∵在 中， ， ， ，
∴四边形 是矩形， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
，
∴四边形 是平行四边形，
如图，作点E关于 的对称点 ，连接 交 于点F，此时 取最小值 ，则四边形
周长取最小值 ， 过点G作 于点 ，
由对称可得， ， ，
∵ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 的周长 ．故答案为： ．
20．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图，已知线段 ， 于点 ， 于点 ，
， ，点 为线段 上的动点，以 为边在直线 右侧作等腰直角三角形 ，
，连接 ， ，则 的最小值为 ，线段 的最小值为 ．
【答案】
【分析】求 的最小值：利用轴对称的性质，作点 关于 的对称点 ，将 转化为
，再根据两点之间线段最短，求出 的长度即为最小值．求 的最小值：通过作辅助线构
造矩形和全等三角形，确定点 的运动轨迹是一条垂直于 的直线，再根据垂线段最短，求出点 到该
直线的距离即为最小值．
【详解】解：作点 关于 的对称点 ，连接 、 、 ，过 作 ，交 延长线于 ，
∵点 与 关于 对称，
∴ ， ， ．
∵ ， ， ，
∴四边形 是矩形．
∴ ， ．
∴ ．
在 中，
，
∵ ，
∴ 的最小值为 ．
过 作 于 ，过 作 于 ．∵ ， ， ，
∴四边形 是矩形．
∴ ， ．
∴ ，
∵ 是等腰直角三角形， ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ．
在 和 中，
，
∴ (AAS)．
∴ ，
∴即点 在过点 且垂直于 的直线上，
当 时， 取最小值．
∵ ， ， ，
∴四边形 是矩形．
∴ ．
故答案为： ， ．
题型六、根据矩形的性质与判定解决多结论问题
21．（25-26八年级上·吉林长春·月考）矩形 中， 平分 ， ，则下列结论
① ；
② 是等腰三角形；
③ ；④ ，
其中正确结论的序号为
【答案】①②④
【分析】此题主要考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌
握矩形的性质，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质是解决问题的关键．
根据矩形的性质和角平分线的定义得， ，进而得 ，则
为等边三角形，从而得 ，由此可求出 的度数，进而可对①进行判断；
由 为等边三角形得 ，证 为等腰直角三角形得 ，由此可对②进行判断；先求
出 ，进而得 ，则 ，由此可得 的度数，进而可对③进行判断；
由 可对④进行判断．
【详解】解： 四边形 为矩形，
， ，
平分 ，
，
，
，
∴ 为等边三角形，
，
，故①正确，符合题意；
∵ 为等边三角形，
，
又 ， ，
∴ 为等腰直角三角形，
，
，
∴ 是等腰三角形，故②正确，符合题意；
， ，
，
， ，
，
，故③错误，不符合题意；
，
，故④正确，符合题意．
故答案为：①②④．22．（24-25八年级下·福建福州·期中）如图， 是等腰直角三角形， ，点D在线段 上，
过D作 于E， 于F，点G，H分别是 的中点，若 ，则下列结论正确的是
．（写出所有正确结论的序号）
① ；② 的最小值是 ；③ 的面积始终保持不变；④ 是等腰三角形．
【答案】 /
【分析】本题主要考查了矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等．证明四边形
①④④①
是矩形，可得 ，可判断①；连接 ，根据矩形的性质可得当 时， 最
小，此时点D与点H重合，即 的最小值 的长，可判断②；设 ，则 ，可
得到 的面积随x的变化而变化，可判断③；再由直角三角形的性质可判断④．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
即 ，故①正确；
如图，连接 ，
∵点G，H分别是 的中点， 是等腰直角三角形，四边形 是矩形，
∴点G，D，A三点共线， ，且 ，
∴ ，
∴当 时， 最小，此时点D与点H重合，即 的最小值 的长，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ 的最小值是 ，故②错误；
∵四边形 是矩形，
∴ ，
∵ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ 的面积为 ，
∴ 的面积随x的变化而变化，故③错误；
∵四边形 是矩形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形，故④正确．
故答案为：①④
23．（24-25八年级下·福建福州·期中）如图，在矩形 中， ， ， 分别平分
， 交 于点E，F，且 ， 相交于点O，连接 并延长交 于点G．则下面结论正
确的是 ．（写出所有正确结论的序号）
① ；
②四边形 是轴对称图形；
③ ；
④ ．
【答案】①②③
【分析】①根据矩形的性质和角平分线的性质即可得出答案；②连接 ，根据①中的结论可知 是
等腰直角三角形，再结合 的长可求出 ，从而得出结论；③延长 、 相交于点H，根据题中条件证明 ，可得 ，即可证出结论；④取 的中点M，连接 ，可知
，即可求出答案．
【详解】解：①∵四边形 是矩形， ， 分别平分 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
②连接 ，如图所示，
由①知， 是等腰直角三角形，
∵四边形 是矩形，
∴ ， ，
∴ 是等腰直角三角形，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 是以 为对称轴的轴对称图形；
③延长 、 相交于点H，如图所示，
∵四边形 是矩形， ， 分别平分 ， ，
∴ ， ， ， ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，由①得， ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
由②知， 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
④取 的中点M，连接 ，如图所示，
∵四边形 是矩形， ，
∴ ，
由③知， ，
∴ ，
∴点O为 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ， ，
∵四边形 是矩形， ，
∴ ， ，
∴ ，
由③得， ， ，
∴ ，∴ ，
∴
；
故答案为：①②③．
24．（25-26八年级上·吉林·期中）如图，在矩形 中， 的平分线交 于点 ，交 的延长
线于点 ，点 是 的中点，连接 、 、 、 ，下列结论：① 是等腰直角三角形，②
，③ ，④ ，⑤ ；正确的是 （只填序号）．
【答案】①③⑤
【分析】由矩形的性质可得 ， ， ， ，求出
， ， ，即可判断①；由①可得 ，再结合三角形内角和
定理即可判断②；证明 、 为等腰直角三角形，得出 ， ，即可判断③；
作 于 ， 于 ，由角平分线的性质定理可得 ，结合等腰直角三角形的性质得
出 ，分别表示出 和 ，即可判断④；证明 ，得出 ，
，从而得出 为等腰直角三角形，再结合勾股定理即可判断⑤．
【详解】解：①∵四边形 为矩形，
∴ ， ， ， ，
∴ ，
∵点 是 的中点，
∴ ，
∴ 为等腰三角形，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ 为等腰直角三角形，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 为等腰直角三角形，故①正确；
②由①可得： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，故②错误；
③∵ ， ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
同理可得： 为等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，即 ，故③正确；
④如图，作 于 ， 于 ，
，
∵ ，
∴ ，
∵ ， 为等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，且 ，
，
∴ ，故④错误；
⑤在 和 中，
，∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴由勾股定理可得 ，故⑤正确；
综上所述，正确的有①③⑤；
故答案为：①③⑤．
题型七、与矩形的性质与判定有关的作图
25．（24-25八年级下·河南信阳·开学考试）如图，在长方形 中， 是对角线．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作出点 关于直线 的对称点 （不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，连接 ， 交 于点 ，若 ．求 的面积．
【答案】(1)作图见详解
(2)
【分析】（1）过点 作 的垂线，垂足为点 ，在垂线上截取 即可得到答案；
（2）根据题意，作出图形，由对称性得到 ，从而结合等腰三角形性质、矩形性质得到
，再由两个三角形全等的判定定理得到 ，进而得到 ，设
，则 ，在 中，列方程求解得到 ，则 ，再由三角形面
积公式代值计算即可得到答案．
【详解】（1）解：如图所示：
点 即为所求；
（2）解：如图所示：由（1）中的作图过程可知， ，
，
在长方形 中， ，则 ，
，
在 和 中，
，
，
，
在长方形 中， ，则 ，
设 ，则 ，
在 中， ， ，则由勾股定理可得 ，
即 ，
解得 ，
，
．
26．（25-26九年级上·福建三明·期中）如图，在矩形 中，点 为 的中点，请你只用无刻度的直
尺作图．
(1)如图1，在 上找一点 ，使 ；
(2)如图2，在 上找一点 ，使 ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了矩形的性质，两点确定一条直线，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．（1）连接 交于点O，作直线 交 于点F，点F即为所求；
（2）在（1）图的基础上，连接 交 于点M，点 即为所求．
【详解】（1）解：点F即为所求；
（2）解：点 即为所求
27．（24-25八年级下·江西上饶·期末）（1）四边形 为矩形， 中， ，请用无刻度的
直尺作出 的高 ；
（2）四边形 为矩形， ， 为 上的两点，且 ，请用无刻度的直尺找到 的中
点 ．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）作矩形的对角线，它们相交于点O，连接EO并延长交BC于H，则EH⊥BC；
（2）分别延长BE和CF，它们相交于点M，再作矩形的对角线，它们相交于点O，连接MO并延长交BC
于P，则BP=CP．
【详解】解：（1）如图1，EH为所作；
（2）如图2，点P为所作．28．（25-26九年级上·河南开封·期末）如图，在 中， 平分 交 于点 ，连接 ．
(1)过点 作 ，垂足为 （用没有刻度的直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)若 ．
①求证：四边形 是矩形；
②若 ，求 的长度．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②
【分析】本题主要考查了基本的尺规作图—过一点作垂线，平行四边形的判定和性质，矩形的判定，含
角的直角三角形的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是掌握以上性质．
（1）根据作垂线的步骤进行作图即可；
（2）①根据平行四边形的性质得出平行的边和相等的边，根据线段的和差得出 ，证明四边形
是平行四边形，根据垂直得出直角，即可得出结论；
②根据含 角的直角三角形的性质得出 ，然后利用勾股定理得出 ，最后利用矩形的性
质进行求解即可．
【详解】（1）解：如图所示， 即为所求；
（2）解：①∵四边形 为平行四边形，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴ ，
∴平行四边形 是矩形；
②∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
由勾股定理得 ，
由①得，四边形 是矩形，
∴ ．
题型八、矩形的性质与判定的综合问题
29．（2026八年级下·江苏·专题练习）如图，在 中， 于点E，延长 至点F，使 ，
连接 ， 与 交于点O．
(1)求证：四边形 为矩形；
(2)若 ， ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)2.4
【分析】本题考查矩形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理的逆定理，关键是由平行四边形的性
质推出 ，由勾股定理的逆定理判定 是直角三角形，
（1）由平行四边形的性质推出 ， ，得到 ，判定四边形 是平行四边形，
而 ，即可证明四边形 是矩形．
（2）由勾股定理的逆定理判定 是直角三角形，由三角形面积公式得到 ，即可求出 ．
【详解】（1）证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 是矩形．（2）解：由（1）知：四边形 是矩形，又 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ 是直角三角形，
∴ 的面积 ，
∴ ，
∴ ．
30．（25-26九年级上·陕西榆林·期末）如图，在四边形 中，对角线 与 相交于点 ，点 是
、 的中点，点 在四边形 外，连接 ，且 ， ．
(1)求证：四边形 是矩形；
(2)若 ， ，求矩形 的面积
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】此题主要考查了矩形的性质和判定、等腰三角形的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线性
质，关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
（1）首先根据 为 和 的中点，得出四边形 是平行四边形，在 中 ，结合
，得到 ，可证出结论．
（2）根据矩形性质求出 ，求出 ，根据直角三角形的性质求出即可．
【详解】（1）证明：∵ 是 、 的中点，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又 ∵四边形 是平行四边形，
∴平行四边形 是矩形．
（2）解：∵四边形 是矩形，∴ ，
∵ ，
，
∵四边形 是矩形，
，
，
，
．
31．（25-26九年级上·宁夏银川·期末）如图，四边形 是平行四边形， ， 相交于点O，点E
是 的中点，连接 ，过点E作 于点F，过点O作 于点G．
(1)求证：四边形 是矩形．
(2)若四边形 是菱形， ，且 ，求 的面积．
【答案】(1)见详解；
(2)
【分析】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的性质、三角形中位线定理、三
角形面积等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
（1）先证 是 的中位线，得 ，由 ， ，得 ， ，
即可解答；
（2）过点E作 于H，证 是等腰三角形，得 ，由勾股定理求出 、 即可解答；
【详解】（1）解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵点E是 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴四边形 是矩形，
（2）解：过点E作 于H，∵四边形 是菱形，
∴ ， ，
∵点E是 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ 即 ，
∴ ， ，
∴，
∴ ．
32．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系 中，矩形 的顶点 ， 分别在
轴、 轴上．点 在 上，过点 作 分别交 轴、 轴于点 ， ，过点 作 交
轴于点 ，连接 ， ．
(1)求证：四边形 是矩形．(2)连接 交 轴于点 ，已知点 的坐标为 ．
①求 的长；
②请直接写出点 的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)① ②
【分析】本题考查了矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，掌握先判定平行四边形再
结合直角判定矩形，利用全等和勾股定理计算边长与坐标是解题的关键．
（1）先证明四边形 是平行四边形，再结合一个直角判定为矩形；
（2）①通过证明三角形全等，得到 与 相等，从而求 的长；
②由（2）①的全等三角形结论得到 ，结合 的长度求出 的长度；再利用矩形对角线互相平
分的性质得到 ；最后通过线段的和差计算出 的长度，从而确定 点坐标．
【详解】（1）证明： ， ，
．
，
∴四边形 是平行四边形．
（2）解：①∵四边形 为矩形，点 的坐标为 ，
， ， ， ，
， ．
由（1）知，四边形 是矩形，
， ，
，
．
在 和 中，
，
．
②由（2）①知， ，
．
∵四边形 为矩形，对角线 ， 交于点 ，，
，
点 的坐标为 ．
一、单选题
1．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图所示，矩形 的对角线 相交于点 ，
，则矩形对角线的长等于（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了矩形的性质、含 的直角三角形，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
根据直角三角形 所对的边是斜边的一半解题即可．
【详解】解：由题意知， ，
∴ ，
∴矩形对角线的长为2．
故选：B ．
2．（24-25八年级下·全国·单元测试）下列条件：① ；② ；③ ；④ ．
其中能够判定 为矩形的有（ ）．
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】C
【分析】本题考查平行四边形的性质与矩形的判定定理，结合矩形的判定条件逐一分析每个条件是否能判
定平行四边形为矩形即可．
【详解】解：①∵四边形 是平行四边形，
∴ ，无法判定其为矩形；
②∵四边形 是平行四边形，∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ 为矩形；
③∵ ，四边形 是平行四边形，
∴ 为矩形；
④∵ ，
∴ ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ 为矩形；
综上，能够判定 为矩形的有 个．
故选：C．
3．（25-26九年级上·四川成都·期末）如图，四边形 是矩形，对角线 相交于点 ，点
分别在边 上，连接 交对角线 于点 ．若 为 的中点， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据矩形的性质得到 ， ，由直角三角形的性质得到 ，推出
，然后利用三角形内角和定理解答即可．
本题考查了矩形的性质，平行线的性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握性质和定理是
解题的关键．
【详解】解：∵ 矩形 的对角线 ， 交于点O，
∴ ， ，
∴ ，
∵ 为 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：A．
4．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图所示，在矩形 中，点 在 边上， 于点 ，若 ， ，则线段 的长为（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了矩形的性质应用、三角形全等、勾股定理，结合三角形全等、勾股定理进行计算
是解题的关键．
根据四边形 是矩形， ， ，证明 ，即可得到 ，进而得出
，进而利用勾股定理解答即可．
【详解】解：如图，连接 ，
∵四边形 是矩形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中，设 为 ，
由勾股定理可得： ，即 ，
解得 ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
5．（2026·陕西·一模）如图，在矩形 中， ， ，点E、F分别是边 、 上的动点（点E不与A、B重合）且 ，若点G在五边形 内，且满足 ， ．则以
下结论正确的有（ ）个．
① 与 一定互补；②点G到边 ， 的距离一定相等；③点G到边 ， 的距离不可能
相等；④点G到边 的距离的最大值为 ．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】本题主要考查矩形的性质、全等三角形的判定以及三角形内角和定理，关键是对知识的掌握和运
用，根据矩形的性质得出 ，又 ，由四边形内角和为 可判断①；过 作 ，
，分别交 于 ，交 于 ，根据同角的补角相等 ，可以求出
，然后证明 ，可以判断②；由 ， 和②的结论可以判断③；
当四边形 是正方形时，点 到 的距离最大，从而可以判断④．
【详解】解：∵四边形 是矩形，
∴ ，
又∵ ，四边形内角和是 ，
∴ ， 故①正确；
过 作 ， ，分别交 于 ，交 于 ，如图所示：
∵ ，
∴ ， 即 ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，故②正确；延长 交 于 ，延长 交 于 ，
根据题意可知 ， ，从而得到 ，即 分别为点 到边 的
距离，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
由②知 ，则 ， 即点 到边 的距离不相等，故③正确；
在直角三角形 中， ，当点 重合时 最大，
∵ ，
∴ ，故④正确，
故选：D．
二、填空题
6．（25-26九年级上·四川成都·月考）如图， 是矩形 对角线 的中点， 是 的中点，
，则 的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，斜边上的中线等于斜边的一半，中位线的判定与性质，正确
掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，得出 ， ， ，则 ，
运用勾股定理得 ，即可作答．
【详解】解：∵ 是矩形 对角线 的中点， 是 的中点，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，则
∴ ，
故答案为： ．
7．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，矩形 中， 、 相交于点O，过点A作 的垂线，
垂足为E．已知 ，则 的度数为 ．
【答案】
【分析】本题考查了矩形的性质、角的计算；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
由矩形的性质得出 ，再由已知条件得出 ，再根据直角三角形的两个锐角
互余可得 ，最后再根据矩形的对角线互相平分且相等可得 ，进而可得
，由此即可得出结果．
【详解】解： 四边形 是矩形，
，
，
，
∵ ，
，
，
四边形 是矩形，
， ， ，
，
，
，
∴ 的度数为 ．
故答案为： ．
8．（25-26九年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，在矩形 中， ， ，点 、 分
别是边 、 上的动点，连接 、 ，点 为 的中点，点 为 的中点，连接 ，则
， 的最大值是 ．【答案】
【分析】本题考查矩形的性质，中位线的性质以及勾股定理，熟练掌握相关知识是关键．
连接 、 ，在直角 中，使用勾股定理求出 ．容易判断出 是 的中位线，则
，结合 ，求出 的最大值．
【详解】解：如图，连接 、 ，
∵四边形 是矩形，
∴ ， ，
在直角 中， ，
∵点 为 的中点，点 为 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
∵ ，
∴当点 与点 重合时， 取得最大值 ，此时 ，
∴ 的最大值为 ．
故答案为： ； ．
9．（25-26八年级下·全国·月考）如图，在矩形 中， ， ， 是边 上一动点，
是边 上一动点，且 ， 是边 上一动点，连接 ， ， ．当以点 ， ， 为顶点的
三角形是等腰直角三角形时， 的长为 ．
【答案】4或6或8
【分析】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的分类讨论等知识点，掌握通过构造全等三角形转化线段关系、列方程求解，以及对等腰直角三角形直角顶点的分类讨论方法是解题
的关键．
设 ，则 ，根据等腰直角三角形直角顶点的不同，分三种情况讨论，通过构造全等三角形，
利用矩形性质和全等三角形对应边相等列方程求解 的值．
【详解】解：设 ，则 ．
①如图①，当 ，且 时，可证得 ，
．
，
解得 ．
②如图②，当 ，且 时，过点 作 于点 ，
在 和 中，
∴ ，
，
，
解得 ．
③如图③，当 ，且 时，过点 作 于点 ，
在 和 中，
，
， ，四边形 是矩形，
，即 ，
解得 ．
综上， 的长为 或 或 ．故答案为： 或 或 ．
10．（25-26八年级上·江西吉安·期末）如图，在平面直角坐标系 中，已知 ， ，过点
作 轴的垂线 ， 为直线 上一动点且在第一象限，连接 ， ，当 是以 为腰的等腰三角形
时，则 点坐标为 ．
【答案】 ， 或
【分析】分 、 两种情形，两种情形 再分别分 为锐角三角形、
为钝角三角形两种情况，分别求出 点坐标．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ， ，
如图，过点P作 轴于点C，
则 ， ， ，
又 轴，
∴ ，
又 ，
∴四边形 是矩形，
∴ ， ，
当 时，
若 是锐角三角形，如图，
，∴ ，
∴此时 ，
∴点P的坐标为 ；
若 是钝角三角形， 为钝角，如图，
在 中， ，
∴ ；
∴点P的坐标为 ；
当 时，
若 为锐角三角形，如图，
则 ，
此时 ，
∴点P的坐标为 ；
若 为钝角三角形，则 为钝角，
此时点 在第二象限，不符合；
综上所述，当 是以 为腰的等腰三角形时，则 点坐标为 ， 或 ，
故答案为： ， 或 ．
三、解答题
11．（25-26九年级上·福建漳州·期末）已知：如图，在矩形 中，两条对角线相交于点O，
．(1)求 的度数；
(2)求矩形 的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了矩形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是
熟练掌握矩形的性质．
（1）根据矩形的性质得出 ，根据等腰三角形的性质得出
；
（2）根据直角三角形得出 ，根据勾股定理求出 ，
根据矩形的面积公式求出矩形的面积即可．
【详解】（1）解：根据矩形性质， ，且对角线互相平分，
即 ，
，在 中， ，
；
（2）解：∵在 中， ，
，
根据勾股定理得： ．
矩形面积为： ．
12．（25-26九年级上·广东梅州·期中）已知：如图，矩形 ．
(1)尺规作图：在 边上找一点 ，将矩形 沿 折叠，使点 落在边 上；（不写作法，保留作
图痕迹）
(2)在（1）所作图形中，若 ， ，求CE的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）以B为圆心，BC为半径作弧交AD于点F，作BE平分 ，交CD于点E即可；（2）由折叠可得 ， ，利用勾股定理求出 ，设 ，在 中，利
用勾股定理构建方程求解．
本题考查作图-复杂作图，矩形的性质，翻折变换，勾股定理，解题的关键是根据折叠可得 ，
，从而求出 ．
【详解】（1）如图，点E即为所求；
（2） 四边形ABCD是矩形，
， ， ，
由折叠可得 ， ，
，
，
设 ，则： ，
在 中，由勾股定理，得： ，
解得： ，
13．（25-26八年级上·山东烟台·期末）如图，在矩形 中，连接 ， 交于点 ， 为线段
上一点，连接 ， ，取 的中点 ， 平分 ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求矩形 的面积．
【答案】(1)见解析；
(2) ．
【分析】本题考查了三角形中位线定理，矩形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，掌握知识点的应用
是解题的关键．（ ）由矩形性质可得 ， ， ， ，再证明 是
的中位线，所以 ， ，通过角平分线定义可得 ，所以
，最后通过等角对等边即可求证；
（ ）由中位线定理可得 ，从而有 ，然后通过勾股定理求出 ，最后由面积公
式即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形 是矩形，
∴ ， ， ， ，
∴ 为斜边 的中点，
∵ 为 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ， ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵在 中， 为斜边 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴矩形 的面积= ．
14．（25-26九年级上·四川达州·月考）如图，在平行四边形 中，对角线 与 相交于点 ，过
点 作 ，交 于点 ，过点 作 于点 ，过点 作 ，交 于点 ．
(1)求证：四边形 是矩形；(2)若 ， ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、等腰直角三角形
的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
（1）证 是 的中位线，得 ，再证四边形 是平行四边形，然后证 ，即
可得出结论；
（2）证 ，得 ，则 ，过点D作 于M，由勾股定理得
， ，进而即可得出 ．
【详解】（1）证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 为矩形；
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
由（1）得，四边形 为矩形，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
如图，过点D作 于点 ，
∴ ，
在 中， ，
在 中， ，∴ ．
15．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，在 中， ， 是 的一条角平分线，
为 的外角 的平分线， ，垂足为E．
(1)求证：四边形 是矩形；
(2)连接 ，交 于点F，连接 ，若 ， ，求四边形 的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了矩形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理．
（1）根据等腰三角形三线合一得到 ， ，结合 是 的外角 的平分
线，可得出 ，又由 即可得到 ，然后根据矩形的判定即可得证；
（2）利用 ， ，证明 是等边三角形，求得 ，利用直角三角形的性质结
合勾股定理，即可求解．
【详解】（1）证明： ， 是角平分线，
， ，
，
为 的外角 的平分线，
，
，
即 ，
，
，
四边形 是矩形；
（2）解：由（1）知，四边形 为矩形，
，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ， ，
∴矩形 的面积 ．
16．（25-26八年级上·吉林长春·期中）如图，在长方形 中， ， ．点 为
上一点， ，动点 从 点出发，沿 方向以每秒2个单位的速度向终点 运动，连接 、
．设点 运动的时间为 秒．
(1)用含有 的代数式表示 的长；
(2)当 时，求 的长度；
(3)①当 是等腰三角形时，直接写出 的值；
②当 是直角三角形时，直接写出 的值．
【答案】(1)当 时， ，当 时， ；
(2)
(3)① 或 或 或 ；② 或 或 ．
【分析】此题考查了勾股定理、一元二次方程的应用、矩形的性质等知识，分情况讨论是关键．
（1）根据t的取值范围分别列代数式即可；
（2）当 时， ， ，根据勾股定理进行解答即可；
（3）①由勾股定理可知， 分情况进行解答即可；②根据t的取值范围分别进行解答
即可．
【详解】（1）解：当 时， ，
当 时， ；
（2）过点 作 于点 ，如图，
当 时， ， ，∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）①由勾股定理可知，
当 时， ，
当 即 时，即 ，解得 或 （不合题意，舍去）；
当 即 时，即 ，解得 ；
当 时，即 ，解得 ；
当 时， ，
∵ 是等腰三角形，
∴ ，即
解得 ，
综上可知，当 是等腰三角形时， 的值为 或 或 或 ；
②当 时， ，
∵ 是直角三角形，
∴ 或 ，
当 时， ，
∴ ，即
∴ ，
解得 ，
当 时， ，即 ，
解得 ，
当 时， ，
∵ 是直角三角形，
∴点 与点 重合，
∴ ，
综上可知，当 是直角三角形时， 的值为 或 或 ．17．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）在四边形 中， ， ，
， 为射线 上一点，将 沿直线 翻折至 的位置，使点 落在点 处．
(1)若 为线段 上一点．
①如图1，当点 落在边 上时，求 的长；
②如图2，连接 ，若 ，则 与 有何数量关系?请说明理由；
(2)当 为直角三角形时， 的长为 ．
【答案】(1)①4；② ，理由见详解；
(2)5或 或20或10
【分析】（1）①利用折叠性质和勾股定理求 ，进而得 ；②通过平行线和折叠性质推导 与 的
关系；
（2）分直角情况，结合勾股定理列方程求解 ．
【详解】（1）解：①由题意可知， ，
在 中， ， ，
则
因为 ，
所以 ；
②
由题意可知， ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
又∵ （翻折性质），
∴ ，
∴ ；
（2）第一种可能：当 点在 上并且 时：
即 为直角三角形，
设 ，则 ，
由① ，
∵ ，
∴
解得 ，即 ，
第二种可能：
当 点在 上时：
折叠性质可知 ，
∴ ,
∴ 为直角三角形
∵ ， ,
∴
设 ,
∵
∴
解得
第三种可能：
当 点在 延长线上时, 使 为直角三角形，则 点在 延长线上，
∵ ， ，∴在 中 ,
则 ，
由折叠性质得
设 则
∵在 中
∴
解得 ，即
第四种可能：
当 点在 延长线上并且 时， 为直角三角形，
此时由折叠性质得
又∵
∴四边形 为正方形
∴
所以 的长为5或 或20或10．
18．（25-26九年级上·福建漳州·期中）教材再现：
(1)如图1，在矩形 中， ， ，P是 上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作
和 的垂线，垂足分别为E，F，则 的值为_____．
知识应用：
(2)如图2，在矩形 中，点M，N分别在边 上，将矩形 沿直线 折叠，使点D恰好与
点B重合，点C落在点 处，点P为线段MN上一动点（不与点M，N重合），过点P分别作直线的垂线，垂足分别为E和F，以 为邻边作平行四边形 ，若 ， ，
的周长是否为定值？若是，请求出 的周长；若不是，请说明理由．
(3)如图3，当点P是等边 外一点时，过点P分别作直线 的垂线、垂足分别为点E、
D、F．若 ，求出 的面积．
【答案】(1)
(2)是定值，值为24
(3)
【分析】（1）如图1，记 与 的交点为O，连接 ，则 ， ，
根据 ，计算求解即可；
（2）由四边形 是矩形，可得 ，则 ，如图
2，连接 ，过点M作 于H，则四边形 是矩形， ，由折叠的性质得：
，则 ，可得到 ，由勾股定理得： ，
根据 ，即 ，可求 的值，然后求周长即可；
（3）由等边 ，可知 ， ，如图3，连接 ，作 于 ，
可求 ，则 ，即
，求 的值，然后求面积即可．
【详解】（1）解：如图1，记 与 的交点为O，连接 ，
∵四边形 是矩形，
∴ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，解得： ，
故答案为： ；
（2）解： 的周长是定值，理由如下：
∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
如图2，连接 ，过点M作 于H，则四边形 是矩形，
∴ ，
由折叠的性质得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的周长为 ，
∴ 的周长是定值，值为24；
（3）解：∵等边 ，
∴ ， ，
如图3，连接 ，作 于 ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的面积为 ．
