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专题03 绝对值相加求最值问题专题探究
【知识点睛】
绝对值内表达式加减的几何意义
|a|：表示一个数a在数轴上对应的点与原点之间的距离
|x-a|：表示数轴上的数x到数a的距离
|x+a|：因为|x+a|=|x-(-a)|,所以可表示数轴上的数x到数-a的距离
绝对值相加求最小值的方法总结：
①|x-a|最小值=0 点x与点a重合（即x=a）
②|x-a|+|x-b|：表示数轴上点x到点a、点b的距离之和
当|x-a|+|x-b|取最小值时 点x位于点a、点b之间（可以与a、b重合） |x-a|+|x-b|最
小值=|a-b|
③|x-a|+|x-b|+|x-c|：表示数轴上点x到点a的距离、点x到点b的距离和点x到点c的距离之
和
若a＜b＜c，则当点x与点b重合时 |x-a|+|x-b|+|x-c|最小值=c-a
易错技巧总结：
若求|x-a|+|x+b|、|x-a|+|x+b|+|x-c|等类型的最小值，则表示求点x到点a、点-b的距离之和
最小，将-b表示出来后，方法同上
【类题训练】
1．式子-3+|x-2|的最小值为 ．
【分析】根据绝对值的非负性解决此题．
【解答】解：∵|x-2|≥0，
∴﹣3+|x-2|≥﹣3．
∴式子﹣3+|x-2|的最小值为﹣3．
故答案为：﹣3．
2．已知a＜0且|2a|x≤3a，则|2x﹣1|﹣|x﹣2|最小值为 ．
【分析】先根据条件，求出x的取值范围，再去绝对值符号，化简后求最值．
【解答】解：∵a＜0，|2a|x≤3a，
∴x≤ ＝ ，
∴原式＝1﹣2x﹣（2﹣x）
＝﹣1﹣x．
当x＝ 时，取最小值 ．
故答案为： ．3．代数式|x+1009|+|x+506|+|x﹣1013|的最小值是 ．
【分析】利用绝对值的定义，结合数轴可知最小值为1013到﹣1009的距离．
【解答】解：∵|x+1009|＝|x﹣（﹣1009）|，|x+506|＝|x﹣（﹣506）|，
由绝对值的定义可知：|x+1009|代表x到﹣1009的距离；|x+506|代表x到﹣506的距离；|x﹣1013|代
表x到1013的距离；
结合数轴可知：当x在﹣1009与1012之间，且x＝﹣506时，距离之和最小，
∴最小值＝1013﹣（﹣1009）＝2022，
故答案为：2022．
4．如果a＝|x+1|，b＝|x﹣1|，c＝|x+3|，那么代数式a+b+c的最小值为 ．
【分析】把a+b+c化为绝对值的和，再利用绝对值的几何意义求出最小值．
【解答】解：a+b+c＝|x+3|+|x+1|+|x﹣1|．
由绝对值的几何意义，可知|x+3|+|x﹣1|≥|1﹣（﹣3）|＝4，
又|x+1|≥0，
所以a+b+c最小值为4．
故答案为：4．
5．已知，数轴上A，B，C三点对应的有理数分别为a，b，c．其中点A在点B左侧，A，B两点间的距
离为2，且a，b，c满足|a+b|+（c﹣2022）2＝0，则a＝ ；对数轴上任意一点P，点P对应数
x，若存在x使|x﹣a|+|x﹣b|+|x﹣c|的值最小，则x的值为 ．
【分析】根据绝对值和偶次方的非负性，求出 c，a，b的值，然后再利用数轴上两点间距离进行判
断即可．
【解答】解：∵|a+b|+（c﹣2022）2＝0，
∴a+b＝0，c﹣2022＝0，
∴b＝﹣a，c＝2022，
∵点A在点B左侧，A，B两点间的距离为2，
∴b﹣a＝2，
∴﹣a﹣a＝2，
∴a＝﹣1，
∵点P对应数x，若存在x使|x﹣a|+|x﹣b|+|x﹣c|的值最小，
∴PA+PB+PC的和最小，
∵数轴上A，B，C三点对应的有理数分别为a，b，c，∴a＝﹣1，b＝1，c＝2022，
∴当点P与点B重合时，PA+PB+PC的和最小，
∴点P对应数x＝1，
故答案为：﹣1，1．
6．若x为任意有理数，|x|表示在数轴上x表示的点到原点的距离，|x﹣a|表示在数轴上x表示的点到a
表示的点的距离，则|x﹣3|+|x+1|的最小值为 ．
【分析】现依据题意可知|x﹣3|与|x+1|的实际意义，可知|x﹣3|+|x+1|的最小值的实际意义为一个点到
3和﹣1的距离的和的最小值，分类讨论即可得出答案．
【解答】解：因为|x﹣a|表示在数轴上x表示的点到a表示的点的距离．
所以|x﹣3|与|x+1|分别表示为点x到3的距离和点x到﹣1的距离．
所以|x﹣3|+|x+1|的最小值的实际意义为点x到3和﹣1的距离的和的最小值．
数轴上的区域被3和﹣1划分为三部分：﹣1左面的部分，﹣1和3之间的部分（包含﹣1和3点），
3右面的部分．
①当x在：﹣1左面的部分和3右面的部分时，x到3和﹣1的距离的和永远大于4．
②当x在：，﹣1和3之间的部分（包含﹣1和3点）时，x到3和﹣1的距离的和永远等于4．
所以|x﹣3|+|x+1|的最小值为 4．
7．当x＝ 时，4﹣|x|﹣|x﹣1|﹣|x+2|﹣|x﹣3|﹣|x+1|的值最大是 ．
【分析】只要求得|x|+|x﹣1|+|x+2|+|x﹣3|+|x+1|的最小值即可，而此算式就是数轴上表示数x的点到表
示数0、1、﹣2、3、﹣1的这5个点的距离之和的最小值，可得x＝0，结果最大值是﹣3．
【解答】解：∵4﹣|x|﹣|x﹣1|﹣|x+2|﹣|x﹣3|﹣|x+1|
＝4﹣（|x|+|x﹣1|+|x+2|+|x﹣3|+|x+1|），
∴当|x|+|x﹣1|+|x+2|+|x﹣3|+|x+1|结果取最小值时，原式结果最大，
而|x|+|x﹣1|+|x+2|+|x﹣3|+|x+1|就是数轴上表示数x的点到表示数0、1、﹣2、3、﹣1的这5个点的距
离之和，
且当x取中间数字0时，到这5个点的距离之和最小，
此时|x|+|x﹣1|+|x+2|+|x﹣3|+|x+1|
＝|0|+|0﹣1|+|0+2|+|0﹣3|+|0+1|
＝0+1+2+3+1
＝7，
∴4﹣|x|﹣|x﹣1|﹣|x+2|﹣|x﹣3|﹣|x+1|的值最大是：4﹣7＝﹣3，
故答案为：0，﹣3．8．综合应用题：
|m﹣n|的几何意义是数轴上表示m的点与表示n的点之间的距离．
（1）|x|的几何意义是数轴上表示 的点与 之间的距离，|x| |x﹣0|；（选填“＞”
“＜”或“＝”）
（2）|2﹣1|几何意义是数轴上表示2的点与表示1的点之间的距离，则|2﹣1|＝ ；
（3）|x﹣3|的几何意义是数轴上表示 的点与表示 的点之间的距离，若|x﹣3|＝1，则x＝
；
（4）|x﹣（﹣2）|的几何意义是数轴上表示 的点与表示 的点之间的距离，若|x﹣（﹣
2）|＝2，则x＝ ；
（5）找出所有符合条件的整数 x，使得|x﹣（﹣5）|+|x﹣2|＝7 这样的整数是
．
【分析】（0）根据|m﹣n|的几何意义求解；
（2）根据|m﹣n|的几何意义及绝对值的意义求解；
（3）根据|m﹣n|的几何意义及绝对值的意义求解；
（4）根据|m﹣n|的几何意义及绝对值的意义求解；
（5）根据|m﹣n|的几何意义及解不等组求解；
【解答】解：（1）∵|x|＝|x﹣0|，
∴|x|的几何意义是数轴上表示x的点与原点之间的距离，
故答案为：x，原点，＝；
（2）∵|2﹣1|＝1，
故答案为：1．
（3）∵|x﹣3|＝1，∴x﹣3＝±1，解得：x＝4或x＝2，
故答案为：x，3，4或2；
（4）∵|x﹣（﹣2）|＝2，解得：x＝4或x＝0，
故答案为：x，﹣2，x＝4或x＝0；
（5）由题意得：在数轴上表示x的点到﹣5和2的距离的和为7，所以﹣5≤x≤2，
所以x的整数解为：﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，
故答案为：﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2．
9．已知a为整数
（1）|a|能取最 （填“大”或“小”）值是 ．此时a＝ ．
（2）|a|+2能取最 （填“大”或“小”）值是 ．此时a＝ ．（3）2﹣|a﹣1|能取最 （填“大”或“小”）值是 ．此时a＝ ．
（4）|a﹣1|+|a+2|能取最 （填“大”或“小”）值是 ．此时a＝ ．
【分析】（1）由绝对值的性质即可得出答案；
（2）由绝对值的性质即可得出答案；
（3）由绝对值的性质即可得出答案；
（4）由绝对值的性质即可得出答案．
【解答】解：（1）|a|能取最小值是0．此时a＝0．
故答案为：小，0，0；
（2）|a|+2能取最小值是2．此时a＝0．
故答案为：小，2，0；
（3）2﹣|a﹣1|能取最大值是2．此时a＝1．
故答案为：大，2，1；
（4）|a﹣1|+|a+2|能取最小值是3．
此时﹣2≤a≤1；
故答案为：小，3，﹣2≤a≤1．
10．如图，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，且a，c满足以下关系式：|a+3|+（c
﹣9）2＝0，b＝1．
（1）a＝ ，c＝ ；
（2）若将数轴折叠，使得A点与B点重合，则点C与数 表示的点重合；
（3）若点P为数轴上一动点，其对应的数为 x，当代数式|x﹣a|+|x﹣b|+|x﹣c|取得最小值时，此时x
＝ ，最小值为 ．
【分析】（1）利用绝对值和偶次方的非负性，进行计算即可；
（2）利用数轴上两点间距离先求出折点表示的数，然后进行计算即可解答；
（3）根据已知并结合图形可得当点P与点B重合时，代数式取得最小值．
【解答】解：（1）∵|a+3|+（c﹣9）2＝0，
∴a+3＝0，c﹣9＝0，
∴a＝﹣3，c＝9，
故答案为：﹣3，9；
（2）设折点表示的数为x，
∵将数轴折叠，使得A点与B点重合，∴1﹣x＝x﹣（﹣3），
∴x＝﹣1，
∴折点表示的数为：﹣1，
设点C与数y表示的点重合，
∴﹣1﹣y＝9﹣（﹣1），
∴y＝﹣11，
∴点C与数﹣11表示的点重合，
故答案为：﹣11；
（3）由题意得：
代数式|x﹣a|+|x﹣b|+|x﹣c|，表示点P与点A，B，C这三个点的距离之和，
当点P与点B重合时，点P与点A，B，C这三个点的距离之和最小，
即当x＝1时，代数式|x﹣a|+|x﹣b|+|x﹣c|取得最小值，
最小值为：|x﹣a|+|x﹣b|+|x﹣c|＝|1﹣（﹣3）|+|1﹣1|+|1﹣9|
＝4+0+8
＝12，
故答案为：1，12．
11．阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣
b|．回答下列问题：
（1）数轴上表示﹣3和1两点之间的距离是 ，数轴上表示x和﹣2的两点之间的距离是
；
（2）数轴上表示a和1的两点之间的距离为6，则a表示的数为 ；
（3）若x表示一个有理数，则|x+2|+|x﹣4|有最小值吗？若有，请求出最小值；若没有，请说明理由．
【分析】（1）（2）在数轴上A、B两点之间的距离为AB＝|a﹣b|，依此即可求解；
（3）根据绝对值的性质去掉绝对值号，然后计算即可得解．
【解答】解：（1）|1﹣（﹣3）|＝4；|x﹣（﹣2）|＝|x+2|；
故答案为：4，|x+2|；
（2）|a﹣1|＝6，
∴a﹣1＝6或a﹣1＝﹣6，
即a＝7或a＝﹣5，
故答案为：7或﹣5；（3）有最小值，
当x＜﹣2时，|x+2|+|x﹣4|＝﹣x﹣2﹣x+4＝﹣2x+2＞6，
当﹣2≤x≤4时，|x+2|+|x﹣4|＝x+2﹣x+4＝6，
当x＞4时，|x+2|+|x﹣4|＝x+2+x﹣4＝2x﹣2＞6，
所以当﹣2≤x≤4时，它的最小值为6．
12．|x﹣4|+|x+2|的最小值为 6 ；此时x取值范围是 ﹣ 2 ≤ x ≤ 4 ．
【分析】分三种情况：①x＜﹣2，②﹣2≤x≤4，③x＞4，利用绝对值的意义化简整理后，通过
比较结果即可得出结论．
【解答】解：①当x＜﹣2时，
|x﹣4|+|x+2|＝4﹣x﹣2﹣x＝﹣2x+2，
∵x＜﹣2，
∴﹣2x＞4．
∴﹣2x+2＞6．
②当﹣2≤x≤4时，
|x﹣4|+|x+2＝4﹣x+x+2＝6；
③当x＞4时，
|x﹣4|+|x+2|＝x﹣4+x+2＝2x﹣2．
∵x＞4，
∴2x＞8．
∴2x﹣2＞6．
综上，当﹣2≤x≤4时，|x﹣4|+|x+2|的最小值为6，
故答案为：6；﹣2≤x≤4．
13．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之
间的内在联系，它是“数形结合”的基础．我们知道|4|＝|4﹣0|，它的几何意义是数轴上表示4的点
与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子|7﹣3|，它的几何意义是数轴上表示数7的点与表示
数3的点之间的距离．也就是说，在数轴上，如果点 A表示的数记为a，点B表示的数记为b，则
A，B两点间的距离就可记作|a﹣b|．
回答下列问题：
（1）几何意义是数轴上表示数2的点与数﹣3的点之间的距离的式子是 ；式子|a+5|的
几何意义是 ；
（2）根据绝对值的几何意义，当|m﹣2|＝3时，m＝ ；（3）探究：|m+1|+|m﹣9|的最小值为 ，此时m满足的条件是 ；
（4）|m+1|+|m﹣9|+|m﹣16|的最小值为 ，此时m满足的条件是 ．
【分析】（1）根据两点间的距离公式即可求解；
（2）根据||a﹣b|的几何意义求解可得；
（3）根据m＜﹣1，﹣1≤m≤9，m＞9三种情况确定最小值和此时m的取值；
（4）|m+1|+|m﹣9|+|m﹣16|＝（|m+1|+|m﹣16|）+|m﹣9|，根据问题（3）可知，要使|m+1|+|m﹣16|的
值最小，m的值只要取﹣1到16之间（包括﹣1、16）的任意一个数，要使|m﹣9|的值最小，m应取
9，显然当m＝9时能同时满足要求，从而得结论．
【解答】解：（1）数轴上表示数2的点与数﹣3的点之间的距离的式子是|2﹣（﹣3）|；
式子|a+5|的几何意义是数轴上表示数a的点与数﹣5的点之间的距离；
故答案为：|2﹣（﹣3）|，数轴上表示数a的点与数﹣5的点之间的距离；
（2）等式|m﹣2|＝3的几何意义是表示m到数2的距离为3的点，
则m的值为﹣1或5；
故答案为：﹣1或5；
（3）式子|m+1|+|m﹣9|表示数m到﹣1和9的距离之和，
当m＜﹣1时，原式＝﹣m﹣1﹣m+9＝﹣2m+8＞10，
当﹣1≤m≤9时，原式＝m+1+9﹣m＝10，
当m＞9时，原式＝m+1+m﹣9＝2m﹣8＞10，
故式子|m+1|+|m﹣9|的最小值为10，此时m满足的条件是﹣1≤m≤9；
（4）由分析可知，
|m+1|+|m﹣9|+|m﹣16|的最小值为17，此时m满足的条件是m＝9．
14．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是 ；表示﹣3和2两点之间的距离是 ；一般
地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|．如果表示数a和﹣1的两点之间的距离是
3，那么a＝ ．
（2）若数轴上表示数a的点位于﹣4与2之间，则|a+4|+|a﹣2|的值为 ；
（3）利用数轴找出所有符合条件的整数点x，使得|x+2|+|x﹣5|＝7，这些点表示的数的和是 ．
（4）当a＝ 时，|a+3|+|a﹣1|+|a﹣4|的值最小，最小值是 ．
【分析】（1）根据数轴，求出两个数的差的绝对值即可；
（2）先去掉绝对值号，然后进行计算即可得解；根据两点间的距离的表示列式计算即可得解；
（3）找到﹣2和5之间的整数点，再相加即可求解；
（4）判断出a＝1时，三个绝对值的和最小，然后进行计算即可得解．
【解答】解：（1）|1﹣4|＝3，
|﹣3﹣2|＝5，
|a﹣（﹣1）|＝3，
所以，a+1＝3或a+1＝﹣3，
解得a＝﹣4或a＝2；
（2）∵表示数a的点位于﹣4与2之间，
∴a+4＞0，a﹣2＜0，
∴|a+4|+|a﹣2|＝（a+4）+[﹣（a﹣2）]＝a+4﹣a+2＝6；
（3）使得|x+2|+|x﹣5|＝7的整数点有﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5，
﹣2﹣1+0+1+2+3+4+5＝12．
故这些点表示的数的和是12；
（4）a＝1有最小值，最小值＝|1+3|+|1﹣1|+|1﹣4|＝4+0+3＝7．
故答案为：3，5，﹣4或2；6；12；1；7．
15．阅读下列有关材料并解决有关问题．
我们知道 ，现在我们可以利用这一结论来化简含有绝对值的代数式．例
如：化简代数式|x+1|+|x﹣2|时，可令x+1＝0和x﹣2＝0，分别求得x＝﹣1和x＝2（称﹣1，2分别
为|x+1|与|x﹣2|的零点值）．在有理数范围内，零点值x＝﹣1和x＝2可将全体有理数分成不重复且
不遗漏的如下3种情况：x＜﹣1；﹣1≤x＜2；x≥2．从而在化简|x+1|+|x﹣2|时，可分以下三种情况：
①当x＜﹣1时，原式＝﹣（x+1）﹣（x﹣2）＝﹣2x+1；②当﹣1≤x＜2时，原式＝（x+1）﹣（x
﹣2）＝3；③当x≥2时，原式＝（x+1）+（x﹣2）＝2x﹣1．通过以上阅读，请你解决问题：
（1）|x﹣3|+|x+4|的零点值是 ；
（2）化简代数式|x﹣3|+|x+4|；
（3）解方程|x﹣3|+|x+4|＝9；（4）|x﹣3|+|x+4|+|x﹣2|+|x﹣2000|的最小值为 ，此时x的取值范围为 ．
【分析】（1）根据“零点值”的意义进行计算即可；
（2）根据题目中提供的方法分三种情况分别进行计算即可；
（3）分三种情况分别对|x﹣3|+|x+4|进行化简进而求出相应方程的解；
（4）根据代数式|x﹣3|+|x+4|+|x﹣2|+|x﹣2000|的意义，得出当2≤x≤3时，该代数式的值最小，再根
据两点距离的计算方法进行计算即可．
【解答】解：（1）令x﹣3＝0和x+4＝0，
求得：x＝3和x＝﹣4，
故答案为：﹣4和3；
（2）①当x＜﹣4时，原式＝﹣（x﹣3）﹣（x+4）＝﹣2x﹣1；
②当﹣4≤x＜3时，原式＝﹣（x﹣3）+（x+4）＝7；
③当x≥3时，原式＝（x﹣3）+（x+4）＝2x+1；
综上所述：原式＝ ，
（3）分三种情况：
①当x＜﹣4时，﹣2x﹣1＝9，
解得：x＝﹣5；
②当﹣4≤x＜3时，7＝9，不成立；
③当x≥3时，2x+1＝9，
解得：x＝4．
综上所述，x＝﹣5或x＝4．
（4）代数式|x﹣3|+|x+4|+|x﹣2|+|x﹣2000|表示的意义为数轴上表示数x的点到表示数﹣4，2，3，
2000的距离之和，
由数轴表示数的意义可知，当2≤x≤3时，该代数式的值最小，最小值为（2+4）+（3﹣2）+（2000
﹣2）＝2005，
故答案为：2005，2≤x≤3．
16．同学们都知道，|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2之差的绝对值，实际上也可理解为5与﹣2两数在数轴上
所对的两点之间的距离．试探索
（1）求|5﹣（﹣2）|＝ ；
（2）同样道理|x+1008|＝|x﹣1005|表示数轴上有理数x所对点到﹣1008和1005所对的两点距离相等，则x＝
（3）类似的|x+5|+|x﹣2|表示数轴上有理数x所对点到﹣5和2所对的两点距离之和，请你找出所有
符合条件的整数x，使得|x+5|+|x﹣2|＝7，这样的整数是 ．
（4）由以上探索猜想对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没
有，说明理由．
【分析】（1）5与﹣2两数在数轴上所对的两点之间的距离为5﹣（﹣2）＝7；
（2）在数轴上，找到﹣1008和1005的中点坐标即可求解；
（3）利用数轴解决：把|x+5|+|x﹣2|＝7理解为：在数轴上，某点到﹣5所对应的点的距离和到2所对
应的点的距离之和为7，然后根据数轴可写出满足条件的整数x；
（4）把丨x﹣3丨+丨x﹣6丨理解为：在数轴上表示x到3和6的距离之和，求出表示3和6的两点
之间的距离即可．
【解答】解：（1）|5﹣（﹣2）|＝7；
（2）（﹣1008+1005）÷2＝﹣1.5；
（3）式子|x+5|+|x﹣2|＝7理解为：在数轴上，某点到﹣5所对应的点的距离和到2所对应的点的距离
之和为7，
所以满足条件的整数x可为﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2；
（4）有，最小值为﹣3﹣（﹣6）＝3．
故答案为：7；﹣1.5；﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2．
17．我们知道，在数轴上，|a|表示数a到原点的距离．进一步地，点A，B在数轴上分别表示有理数
a，b，那么A，B两点之间的距离就表示为|a﹣b|；反过来，|a﹣b|也就表示A，B两点之间的距离．
下面，我们将利用这两种语言的互化，再辅助以图形语言解决问题．
例，若|x+5|＝2，那么x为：
①|x+5|＝2，即|x﹣（﹣5）|＝2．
文字语言：数轴上什么数到﹣5的距离等于2．
②图形语言：
③答案：x为﹣7和﹣3．
请你模仿上题的①②③，完成下列各题：
（1）若|x+4|＝|x﹣2|，求x的值；
①文字语言：②图形语言：
③答案：
（2）|x﹣3|﹣|x|＝2时，求x的值：
①文字语言：
②图形语言：
③答案：
（3）|x﹣1|+|x﹣3|＞4．求x的取值范围：
①文字语言：
②图形语言：
③答案：
（4）求|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+|x﹣4|+|x﹣5|的最小值．
①文字语言：
②图形语言：
③答案：
【分析】运用数形结合思想：
图一
图二
图三
图四
【解答】解：（1）文字语言：数轴上什么数到﹣4的距离等于到2的距离．
图形语言：
答案：x＝﹣1．
（2）文字语言：数轴上什么数到3的距离比到原点0的距离大2．
图形语言：答案：x＝ ．
（3）文字语言：数轴上什么数到1的距离和它到3的距离的和大于4．
图形语言：
答案：x＞4，x＜0．
（4）文字语言：
数轴上什么数到1，2，3，4，5距离之和最小值．
图形语言：
答案：6．
