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专题03运算方法之因式分解综合压轴题专练（解析版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1．△ABC的三边a，b，c为互不相同的整数，且abc+ab+ac+bc+a+b+c＝119，则
△ABC的周长为__．
【答案】12
【分析】
将原式变形后进行因式分解可得到（a+1）（b+1）（c+1）＝120，再利用三角形的三
边关系以及三边都是互不相同的整数这两个条件加以分析即可得出答案．
【详解】
解：∵abc+ab+ac+bc+a+b+c＝119
∴ab（c+1）+a（c+1）+b（c+1）+（c+1）＝120
（a+1）（b+1）（c+1）＝120
∵a，b，c为互不相同的整数，且是△ABC的三边
∴a+1，b+1，c+1也是互不相同的正整数，且都大于1．
故可分为以下6种情况：
（1）120＝3×4×10，即△ABC的三边长分别为2，3，9；由三角形的三边关系可知不
合题意，舍去．
（2）120＝3×2×20，即△ABC的三边长分别为2，1，19；由三角形的三边关系可知不
合题意，舍去．
（3）120＝3×8×5，即△ABC的三边长分别为2，7，4；由三角形的三边关系可知不合
题意，舍去．
（4）120＝6×4×5，即△ABC的三边长分别为5，3，4；即a+1+b+1+c+1＝6+4+5，
a+b+c＝12．
（5）120＝6×2×10，即△ABC的三边长分别为5，1，9；由三角形的三边关系可知不
合题意，舍去．
（6）120＝12×2×5，即△ABC的三边长分别为11，1，4；由三角形的三边关系可知不
合题意，舍去．
（7）120＝2×4×15，即△ABC的三边长分别为2，4，15；由三角形的三边关系可知不
合题意，舍去．
综上可知，△ABC的周长为12．
故答案为12．
1【点睛】
本题主要考查因式分解的应用及三角形三边关系，掌握三角形三边关系并分情况讨论
是解题的关键．
2．多项式 的最小值为________．
【答案】18．
【分析】
利用公式法进行因式分解，根据非负性确定最小值．
【详解】
解： ，
= ，
= ，
∵ ，
∴ 的最小值为18；
故答案为：18．
【点睛】
本题考查了因式分解和非负数的性质，解题关键是熟练运用乘法公式进行因式分解，
根据非负数的性质确定最值．
3．若实数a，b满足 ，则代数式 的值为_______________．
【答案】6．
【分析】
将所求代数式中的 因式分解，再把 代入，化简即可．
【详解】
解： ，
把 代入得 ，
再把 代入得 ；
故答案为：6．
【点睛】
本题考查了求代数式的值和因式分解以及整式计算，解题关键是熟练利用因式分解把
所求代数式变形，然后整体代入求值．
4．如果一个两位数a的个位数字与十位数字都不是零，且互不相同，我们称这个两位
2数为“跟斗数”，定义新运算：将一个“跟斗数”的个位数字与十位数字对调，把这
个新两位数与原两位数的和与11的商记 ，例如：a=13，对调个位数字与十位数
字得到新两位数31，新两位数与原两位数的和，31+13=44，和与11的商44÷11=4，所
以 ．根据以上定义，回答下列问题：
（1）计算： ____________．
（2）若一个“跟斗数”b的十位数字是k，个位数字是2(k+1)，且 ，则“跟斗
数”b=____________．
（3）若m，n都是“跟斗数”，且m+n=100，则 ____________．
【答案】5 26 19
【分析】
（1）根据题意直接将数值代入即可．
（2）根据题意写出“跟斗数”是含有k的式子，再利用 ，列方程求解即可．
（3）根据m+n=100，解设未知数用还有x，y的式子表示m、n为m=10x＋y，
n=10(9-x)＋(10-y)，根据题意列式子化简即可．
【详解】
解：（1）
（2）∵一个“跟斗数”b的十位数字是k，个位数字是2(k＋1)，且 ，
∴
解得k=2，
∴2(k＋1)=6，∴b=26．
（3）∵m，n都是“跟斗数”，且m＋n=100，设m=10x＋y，则n=10(9-x)＋(10-y)，
∴
3【点睛】
本题考查新定义的数，按照题意正确代入是关键，本题是中考的常见题型
5．如图是 A 型卡片（边长a的正方形）、B 型卡片（长为 a、宽为 b的长方形）、
C 型卡片（边长为 b的正方形）．现有 4张 A卡片，11张 B卡片，7张 C卡片，选
用它们无缝隙、无重叠地拼正方形或长方形，下列说法正确的是__________．（只填
序号）
①可拼成边长为 的正方形；
②可拼成边长为 的正方形；
③可拼成长、宽分别为 、 的长方形；
④用所有卡片可拼成一个大长方形．
【答案】①③④
【分析】
①②③利用完全平方公式和多项式乘多项式法则求出要拼成的图形的面积，各项系数
即为各型号卡片的个数．
④所有卡片面积和为4a2+11ab+7b2，将此多项式因式分解即可．
【详解】
①（a+2b）2=a2+4ab+4b2，要用A型卡片1张，B型卡片4张，C型卡片4张，
所以可拼成边长为a+2b的正方形．
②（2a+3b）2= ，要用A型卡片4张，B型卡片12张，C型卡片9张，
因为B型卡片只有11张，C型卡片只有7张，
所以不能拼成边长为2a+3b的正方形．
③（2a+4b）（2a+b）=
可得A型卡片4张，B型卡片10张，C型卡片4张，
所以可拼成长、宽分别为 的长方形．
④所有卡片面积和为4a2+11ab+7b2=（4a+7b）（a+b）．
4所以所有卡片可拼长长为（4a+7b），宽为（a+b）的长方形．
故答案为：①③④．
【点睛】
本题主要考查了整式乘法、分解因式与几何图形之间的联系，解题时注意利用数形结
合和熟记公式是解题的关键．
二、解答题
6．代数中的很多等式可以用几何图形直观表示，这种思想叫“数形结合”思想．如：
现有正方形卡片A类、B类和长方形C类卡片若干张，如果要拼成一个长为 ，
宽为 的大长方形，可以先计算 ，所以需要A、
B、C类卡片2张、2张、5张，如图2所示
（1）如果要拼成一个长为 ，宽为 的大长方形，那么需要A、B、C类卡片
各多少张？并画出示意图．
（2）由图3可得等式：____________；
（3）利用（2）中所得结论，解决下面问题，已知 ， ，
的值；
（4）小明利用2张A类卡片、3张B类卡片和5张长方形C类卡片去拼成一个更大的
长方形，那么该长方形的较长的一边长为________（用含a、b的代数式表示）
【答案】（1）A、B、C三类卡片各需要1张、3张、4张，图见解析；（2）
；（3）45；（4）
【分析】
（1）首先计算出 ，再根据计算结果对应的卡片类型得出
结论；
5（2）根据图形面积的就算方式 即可得出结论；
（3）根据题意找到 ，再通过带值即可求出；
（4）利用因式分解的计算过程可得， ，即可得出结论．
【详解】
解：（1）如下图：A、B、C三类卡片各需要1张、3张、4张；
（2）
（3）
（4） ，
较长的边为： ．
【点睛】
本题考查了代数中的等式问题，解题的关键是掌握因式分解、具备数形结合的思想．
7．若将自然数中能被3整除的数，在数轴上的对应点称为“3倍点”，取任意的一个
“3倍点”P，到点P距离为1的点所对应的数分别记为a，b．定义：若数K＝a2＋b2
－ab，则称数K为“尼尔数”．例如：若P所表示的数为3，则a＝2，b＝4，那么K
＝22＋42－2×4＝12；若P所表示的数为12，则a＝11，b＝13，那么K＝132＋112－
13×11＝147，所以12，147是“尼尔数”．
（1）请直接判断6和39是不是“尼尔数”，并且证明所有“尼尔数”一定被9除余
3；
（2）已知两个“尼尔数”的差是189，求这两个“尼尔数”．
【答案】（1）6不是尼尔数，39是尼尔数，证明见解析；（2）这两个尼尔数分别是
228，39或1092,309．
【分析】
（1）根据“尼尔数”的定义，设P表示的数为x（x是能被3整除的自然数），则
，分别令 ， ，解方程，判断x的解是不是能被3整除的
自然数即可；证明所有“尼尔数”一定被9除余3时，可设P表示的数为3m，则K可
6化为9m2＋3，由m为整数得9m2＋3被9除余3；
（2）设这两个尼尔数分别是K ，K ，将两个“尼尔数”所对应的“3倍点数”P，P
1 2 1 2
分别记为3m，3m，则K －K ＝9m2－9m2＝189，m2－m2＝21，再根据m，m 都是
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
整数，可解出m，m，从而得到K ，K ．
1 2 1 2
【详解】
(1)设P表示的数为x（x是能被3整除的自然数），则 ， ，
，
令 ，得 ，令 ，得 ，
∴6不是尼尔数，39是尼尔数．
证明：设P表示的数为3m，则a＝(3m－1)，b＝(3m＋1)，
K＝(3m－1)2＋(3m＋1)2－(3m－1)(3m＋1)＝9m2＋3，
∵m为整数，∴m2为整数，
∴9m2＋3被9除余3；
(2)设这两个尼尔数分别是K ，K ，将两个“尼尔数”所对应的“3倍点数”P，P 分
1 2 1 2
别记为3m，3m.
1 2
∴K －K ＝9m2－9m2＝189，
1 2 1 2
∴m2－m2＝21，
1 2
∵m，m 都是整数，
1 2
∴ ，
∴ ，
∴ .
∴这两个尼尔数分别是228，39或1092,309．
【点睛】
本题考查了因式分解的应用、方程的整数解问题、学生的阅读理解能力以及知识的迁
移能力，理解“尼尔数”的定义是解题的关键．
8．若一个四位自然数满足个位数字与百位数字相同，十位数字与千位数字相同，我们
称这个四位自然数为“双子数”．将“双子数” 的百位、千位上的数字交换位置，
7个位、十位上的数字也交换位置，得到一个新的双子数 ，记 为
“双子数” 的“双11数”．
例， ， ，则
（1）计算3636的“双11数” __________．
（2）已知两个“双子数” 、 ，其中 ， （其中 ，
， ， 且 、 、 、 都为整数），若 的“双11数” 能
被17整除，且 、 的“双11数”满足 ，令
，求 的值．
【答案】（1）18；（2）G（p，q）的值为51或17．
【分析】
（1）直接根据“双子数”m的“双11数”的计算方法即可得出结论；
（2）先根据“双11数”F（p）能被17整除，进而判断出p为8989，求出F（q）=2
（c+d），再根据F(p)+2F(q)-(4a+3b+2d+c)=0，得出d= ，进而求出c，d，即可
得出结论．
【详解】
解：（1）由题意知，
3636的“双11数” ，
故答案为：18；
（2）∵“双子数”p， ，
∴F（p）=2（a+b），
∵“双11数”F（p）能被17整除，
∴a+b是17的倍数，
∵1≤a＜b≤9，
∴3≤a+b＜18，
8∴a+b=17，
∴a=8，b=9，
∴“双子数”p为8989，F（p）=34，
∵“双子数”q， ，
∴F（q）=2（c+d），
∵F（p）+2F（q）-（4a+3b+2d+c）=0，
∴34+2×2（c+d）-（4×8+3×9+2d+c）=0，
∴3c+2d=25，
∴ ，
∵1≤c≤9，1≤d≤9，c≠d，c、d都为整数，
∴c为奇数，1≤c＜9，
当c=1时，d=11，不符合题意，舍去，
当c=3时，d=8，
∴“双子数”q为3838，
∴ ，
当c=5时，d=5，不符合题意，舍去，
当c=7时，d=2，
∴“双子数”q为7272，
∴ ，
∴G（p，q）的值为51或17．
【点睛】
本题是新定义题目，主要考查了完全平方数，整除问题，理解和运用新定义是解本题
的关键．
9．对于一个四位数n，将这个四位数n千位上的数字与十位上的数字对调，百位上的
数字与个位上的数字对调后可以得到一个新的四位数 ，将交换后的数与原数求和后
再除以101，所得的商称为原数的“一心一意数”，记作F（n）＝ ，如n＝
5678，对调数字后得 ＝7856，所以F（n）＝ ＝134．
（1）直接写出F（2021）＝ ；
（2）求证：对于任意一个四位数n，F（n）均为整数；
9（3）若s＝3800＋10a＋b，t＝1000b＋100a＋13（1≤a≤5，5≤b≤9，a、b均为整数），
当3F（t）－F（s）的值能被8整除时，求满足条件的s的所有值．
【答案】（1）41；（2）见解析；（3）3816或3847或3829
【分析】
（1）根据题意列式计算即可；
（2）设n＝1000a＋100b＋10c＋d，则 ＝1000c＋100d＋10a＋b，（a、b、c、d为整
数且a≠0），然后根据题意列式计算即可证明；
（3）先求得F（s）＝10a＋b＋38，F（t）＝10b＋a＋13，进而可求得3F（t）－F
（s）＝29b－7a＋1，再根据3F（t）－F（s）的值能被8整除，可得5b＋a＋1的值能
被8整除，再根据1≤a≤5，5≤b≤9可得27≤5b＋a＋1≤51，进而可得5b＋a＋1＝32，
40，48，由此可求得 或 或 ，最终即可求得满足条件的s的所有值．
【详解】
解：（1）F（2021）＝ ＝41，
故答案为：41；
（2）设n＝1000a＋100b＋10c＋d，则 ＝1000c＋100d＋10a＋b，（a、b、c、d为整
数且a≠0）
所以F（n）＝
＝
＝10a＋b＋10c＋d，
∵a、b、c、d为整数且a≠0，
∴10a＋b＋10c＋d为整数，
∴对于任意一个四位数n，F（n）均为整数；
（3）∵s＝3800＋10a＋b，t＝1000b＋100a＋13（1≤a≤5，5≤b≤9，a、b均为整数），
∴F（s）＝
＝
＝10a＋b＋38，
F（t）＝
10＝
＝10b＋a＋13，
∴3F（t）－F（s）＝3（10b＋a＋13）－（10a＋b＋38）
＝29b－7a＋1，
∵3F（t）－F（s）的值能被8整除，
∴29b－7a＋1的值能被8整除，
∴24b－8a＋5b＋a＋1的值能被8整除，
∴5b＋a＋1的值能被8整除，
∵1≤a≤5，5≤b≤9，
∴27≤5b＋a＋1≤51，
∵5b＋a＋1的值能被8整除，
∴5b＋a＋1＝32，40，48，
∴ 或 或 ，
∴s＝3816或3847或3829．
【点睛】
本题考查了因式分解的应用以及有理数的整除，利用代数式的值进行相关分类讨论，
得出结果是解决本题的关键．
10．已知若干张正方形和长方形硬纸片如图1所示．
（1）若用1张边长为a的正方形，2张边长为b的正方形，3张边长分别为a和b的长
方形拼成一个新的长方形（如图2）．请用两种不同的方法计算图2长方形的面积并根
据你的计算结果可以得到怎样的等式；
（2）请通过拼图的方式画出一个面积为 的长方形示意图，并写出其因
式分解的结果；
（3）在（2）的条件下，若拼成的长方形周长为66，图1中小长方形的面积为24，则
11拼成的长方形面积是多少？
【答案】(1) ；（2）画图见解析， ；（3）
266．
【分析】
(1)用面积和差和长方形面积公式分别计算即可；
(2)根据算式可知用2张边长为a的正方形，2张边长为b的正方形，5张边长分别为a
和b的长方形拼成一个新的长方形即可，根据面积的不同求法可写成因式分解结果；
(3)根据题意列出方程，求出 即可．
【详解】
解：(1)用面积和差计算得： ；
用长方形面积公式计算得： ；
可得等式为： ；
(2) 根据算式可知用2张边长为a的正方形，2张边长为b的正方形，5张边长分别为a
和b的长方形拼成一个新的长方形，如图所示：
根据面积公式可得， ；
(3) （2）中拼成的长方形周长为66，则 ，
解得， ，
∴ ，即 ，
图1中小长方形的面积为24，则 ，
则 ，
；
拼成的长方形面积是266．
【点睛】
本题考查的是多项式乘多项式、因式分解的应用，树立数形结合思想，利用面积法列
12出等式是解题的关键．
11．材料一：一个整数的各个数位上的数字之和能被9整除，则这个整数能被9整除；
材料二：已知一个各位数字都不为零的四位数 ，百位
和十位上的数字之和是千位和个位上的数字之和的两倍，则称这个四位数为“双倍
数”．将这个“双倍数” 的各位数字颠倒过来就变成新的“双倍数” ，记
．
例如 ， ，所以2461不是“双倍数”： ，
，所以2685是“双倍数”， ，
（1）判断2997，6483是否为“双倍数”，并说明理由；
（2）若 ， 均为“双倍数”， 的千位数字是5，个位数字大于2， 的百位数字是
7，且 能被9整除， 是完全平方数，求 的最大值．
【答案】（1）2997是“双倍数”，6483不是“双倍数”；理由见解析；（2） 的最
大值7791．
【分析】
（1）利用题干中“双倍数”定义计算即可求解；
（2）设s的个位数字是d，十位数字是c，则百位数字是10+2d-c（d＞2），可得
s=5000+100（10+2d-c）+10c+d且5+10+2d-c+d+c=15+3d能被9整除，依此可得d=4或
d=7，利用“双倍数”的定义和F（m）的公式，分类讨论计算出F（s）和F（t），依
据已知和数位上数字的特征计算后，比较大小，取最大值即可．
【详解】
解：（1）∵ ，
∴2997是“双倍数”，
∵ ，
∴6483不是“双倍数”；
（2）设s的个位数字是d，十位数字是c，则百位数字是10+2d-c（d＞2），
∴s=5000+100（10+2d-c）+10c+d且5+10+2d-c+d+c=15+3d能被9整除，
13∵d＞2，
∴d=4或d=7，
①d=4时，有10+2d=2×（5+4）=18，
∴此时十位数，百位数均为9，
∴s=5994，s′=4995，
F（s）=（s+s′）÷111=99，
设t=1000a+700+10b+ -a，则t′=1000（ + -a）+100b+70+a，
∴F（t）=（t+t′）÷111= b+ ，
则4F（s）+F（t）=4×99+ b+ = b+ ，
∵ b+ ，是完全平方数，且b是整数，
∴b=9，
∴t的十位数字是9，
则7+9=16，
∴千位和个位上的数字之和是8，
∴t的最大值是7791；
②d=7时，有10+2d=2×（5+7）=24，
∵百位和十位上的数字之和最大为18，
∴不符合题意．
综上所述，t的最大值是7791．
【点睛】
本题主要考查了完全平方数，因式分解的应用，本题是阅读型题目，准确理解题意并
能熟练应用题干中的定义和公式是解题的关键．
12．对于一个三位正整数（各位数字均不为0），若满足十位数字是个位数字与百位
数字之和，则称该三位正整数为“夹心数”．将“夹心数” 的百位、个位数字交换
位置，得到另一个“夹心数” ，记 ， ．
例如： ， ．
， ．
（1）计算 __________； __________．
14（2）对“夹心数” ，令 ，当 时，求 的值．
（3）若“夹心数” 满足 与 均为完全平方数，求 的值．
【答案】（1）3，6；（2）m=121；（3）m=121，583，484．
【分析】
（1）根据题中的定义和例题提供的算法，即可算出结果；
（2）设 代入 并进行化简后，
根据 s=36的已知条件，求出a、b的值，即可求出m的值；
（3）结合（2）的相关结论，求出a、b的值，即可求出符合条件的m的值．
【详解】
解：（1）
故答案为：3；6．
（2）设
则
∴
∵s=36，
∴
∵ 且 a、 b、a+b都是正整数，
∴
∴ ，解得， ．
∴
（3）由（2）得，
∵a、b、a+b都是1到9的正整数，
15∴
∵ 是完全平方数，
∴
又∵ 是偶数，
∴ 不合题意，舍去．
∴
当a+b=2时，a=b=1，此时， ，符合题意；
当a+b=8时，
若a=7，b=1，此时， 不合题意，舍去；
若a=6，b=2，此时， 不合题意，舍去；
若a=5，b=3，此时， 符合题意；
若a=4，b=4，此时， 符合题意．
∵
∴符合条件的
【点睛】
本题考查了新定义运算、因式分解、方程组、不等式等知识点和分类讨论的数学思想，
围绕新定义的运算法则进行计算是解题的基础，分类讨论时做到不重复不遗漏是关键．
13．对任意一个三位数 ，如果 满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，则
称这个数为“特异数”，将 的百位数字调到个位可以得到一个新的三位数，不断重
复此操作共可得到两个不同的新三位数，把这两个新数与原数 的和与 的商记为
．例如， 是“特异数”，不断将 的百位数字调到个位可得 ， ，
．
（1）求 ， ；
16（2）已知 ， （ ， ， 为整数），若 、 均为
“特异数”，且 可被 整除，求 的最大值．
【答案】（1）F（456）=15，F（321）=6；（2）F(s)•F(t)的最大值为384．
【分析】
（1）根据F（m）的定义式，分别将m=456和m=321代入F（n）中，即可求出结论．
（2）由s=100x+32，t=256+y结合F（s）+F（t）可被 整除，即可得出关于x，y的二
元一次方程，解出x，y的值，再根据“特异数”的定义结合F（m）的定义式，即可
求出F（s），F（t）的值，求出最大值即可．
【详解】
解：（1）F（456）=(456+564+645)÷111=15，
F（321）=(321+213+132)÷111=6；
（2）∵ 、 均为“特异数”， ， ，
∴F(s)=(100x+32+320+x+203+x) ÷111=5+x(1 )，
∵ ，
∴ ，
当1 时，
F(t)= ÷111=13+y，
当5 时，
F(t)= ÷111=4+y( )，
∴F(s)+ F(t)= ，
由于 可被 整除， ，
①当 时， 或 ，
∴当且当 时成立，则F(s)•F(t)=(5+x)• (13+y)= ；
②当 、7、8、9时， 或 或15，
∴当 时， ， 或 ， 或 ， ，
此时F(s)•F(t)=81或77或72；
当 时， ， 或 ， ，
此时F(s)•F(t)=384或143；
17综上，F(s)•F(t)的最大值为384，此时 ， ．
【点睛】
本题考查了因式分解的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）根据F
（m）的定义式，求出F（456），F（321）的值，（2）根据s=100x+32，t=256+y结
合F（s）+F（t）可被 整除，得出x，y的二元一次方程组．
14．阅读理解：
在教材中，我们有学习到 ，又因为任何实数的平方都是非负数，
所以 ，即 ．例如，比较整式 和 的大小关系，因为
，所以 请类比以上的解题过程，解决下列问题：
（初步尝试）比较大小： ______ ； _____
（知识应用）比较整式 和 的大小关系，并请说明理由．
（拓展提升）比较整式 和 的大小关系，并请说明理由．
【答案】[初步尝试]≥，≤；[知识应用] ≥ ；[拓展提升]
【分析】
[初步尝试]两式相减，仿照题干中的方法比较即可；
[知识应用]两式相减，将结果因式分解，再比较即可；
[拓展提升]两式相减，利用完全平方公式变形，再比较即可．
【详解】
解：[初步尝试]
，
∴ ≥ ；
，
∴ ≤ ；
[知识应用]
18=
=
= ≥0
∴ ≥ ；
[拓展提升]
=
=
=
=
当a=1，b= 时，原式=0，
∴ ≥0，
∴ ．
【点睛】
此题考查了因式分解的应用，非负数的性质，以及整式的混合运算，熟练掌握公式和
运算法则是解本题的关键．
15．教科书中这样写道：“我们把多项式 及 叫做完全平方
式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，
使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方
法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项
式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等问题．
例如：分解因式
19求代数式 的最小值， ．
当 时， 有最小值，最小值是 ，
根据阅读材料用配方法解决下列问题：
（1）分解因式： __________．
（2）当x为何值时，多项式 有最大值？并求出这个最大值．
（3）若 ，求出a，b的值．
【答案】（1）（x+1）（x-5）；（2）x=-1，最大值为5；（3）a=2，b=1
【分析】
（1）根据题目中的例子，可以将题目中的式子因式分解；
（2）根据题目中的例子，先将所求式子变形，然后即可得到当x为何值时，所求式子
取得最大值，并求出这个最大值；
（3）将题目中的式子化为完全平方式的形式，然后根据非负数的性质，即可得到a、b
的值．
【详解】
解：（1）x2-4x-5
=（x-2）2-9
=（x-2+3）（x-2-3）
=（x+1）（x-5），
故答案为：（x+1）（x-5）；
（2）∵-2x2-4x+3=-2（x+1）2+5，
∴当x=-1时，多项式-2x-4x+3有最大值，这个最大值是5；
（3）∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴a-2b=0，b-1=0，
∴a=2，b=1．
【点睛】
本题考查非负数的性质、因式分解的应用，解答本题的关键是明确题意，利用因式分
解的方法和非负数的性质解答．
2016．下面是某同学对多项式 因式分解的过程．
解：设 ，
则原式 （第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）
解答下列问题：
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的方法是（ ）
A．提取公因式 B．平方差公式 C．两数和的完全平方公式 D．两数差
的完全平方公式
（2）该同学因式分解的结果是否彻底？（填“彻底”或“不彻底”）．若不彻底，请
直接写出因式分解的最后结果．
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式 进行因式分解．
【答案】（1）C；（2）因式分解不彻底， ；（3）
【分析】
（1）先根据多项式乘以多项式计算，再用完全平方公式因式分解计算即可
（2）利用完全平方公式因式分解即可
（3）模仿给出的步骤，进行因式分解即可
【详解】
（1）∵ ，∴运用了两数和的完全平方公式．故选C．
（2）∵ ，∴因式分解不彻底．
（3）设 ，则原式
．
21【点睛】
本题考查因式分解、完全平方公式、多项式乘以多项式、换元法是解题的关键
17．定义：若一个整数能表示成a2＋b2（a，b是正整数）的形式，则称这个数为“完
美数”．
例如：因为13＝32＋22，所以13是“完美数”；
再如：因为a2＋2ab＋2b2＝（a＋b）2＋b2，所以a2＋2ab＋2b2也是“完美数”．
（1）请直接写出一个小于10的“完美数”，这个“完美数”是 ；
（2）判断53 （请填写“是”或“否”）为“完美数”；
（3）已知M＝x2＋4x＋k（x是整数，k是常数），要使M为“完美数”，试求出符合
条件的一个k值，并说明理由；
（4）如果数m，n都是“完美数”，试说明mn也是“完美数”．
【答案】（1）2或5或8；（2）是；（3）k=5，理由见解答过程；（4）见解析
【分析】
（1）2=12+12，5=22+12，8=22+22，这些数都是小于10的“完美数”；
（2）利用53=22+72即可判断；
（3）由M=x2+4x+k得M=（x+2）2+k-4，则使k-4为一个完全平方数即可；
（4）设m=a2+b2，n=c2+d2，则mn=（a2+b2）（c2+d2），进行整理可得：mn=
（ac+bd）2+（ad-bc）2，从而可判断．
【详解】
解：（1）根据题意可得：2=12+12，5=22+12，8=22+22，
故2，5，8都是“完美数”，且都小于10，
故答案为：2或5或8（写一个即可）；
（2）53=22+72，故53是“完美数”，
故答案为：是；
（3）k=5（答案不唯一），
理由：∵M=x2+4x+k
∴M=x2+4x+4+k-4
M=（x+2）2+k-4
则当k-4为完全平方数时，M为“完美数”，如当k-4=1时，解得：k=5．
（4）设m=a2+b2，n=c2+d2，
则有mn=（a2+b2）（c2+d2）
=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2
=a2c2+b2d2+a2d2+b2c2+2abcd-2abcd
=（ac+bd）2+（ad-bc）2
22故mn是一个“完美数”．
【点睛】
本题考查了因式分解的应用，完全平方公式的运用，阅读理解题目表述的意思是本题
的关键．
18．一个三位或者三位以上的整数，从左到右依次分割成三个数，记最左边的数为
a，最右边的数为b，中间的数记为m，若满足m＝a2+b2，我们就称该整数为“空谷”
数．例如：对于整数282．∵22+22＝8，∴282是一个“空谷”数，又例如：对于整数
121451，∵122+12＝145∴121451也是一个“空谷”数．满足m＝2ab，我们就称该整数
为“幽兰”数；例如：对于整数481，∵2×4×1＝8，∴481是一个“幽兰”数，又例如：
对于整数13417，∵2×1×17＝34，∴13417是一个“幽兰”数．
（1）若一个三位整数十位数字为9，且为“空谷”数，则该三位数为 ；若一个
四位整数为“幽兰”数，且中间的数为40，则该四位数为 ；
（2）若 是一个“空谷”数， 是一个“幽兰”数，求a2﹣b2的值．
（3）若一个整数既是“空谷”数，又是“幽兰”数，我们就称该整数为“空谷幽兰”
数．请写出所有的四位“空谷幽兰”数．
【答案】（1）390；4405或5404；（2）136或-136；（3）1021或2082或3183或
4324或5505或6726或7987．
【分析】
（1）根据“空谷”数，“幽兰”数的特点进行分析并解答即可；
（2）据题意可得：a2+b2=586，2ab=570，从而可求得a+b与a-b的值，进而可求a2-b2
的值；
（3）由题意可得：a2+b2=2ab，整理可得a=b，再由这个数是四位数，分析可得出结果．
【详解】
解：（1）∵这个三位数是“空谷”数，且十位数字为9，
∴a2+b2=9，
∴有 ， （不符合题意），
∴这个三位数是390；
∵这个四位数是“幽兰”数，且中间数为40，
∴2ab=40，则ab=20，
∴有 ， ， （不符合题意）， （不符合题意），
23∴这个四位数是：4405或5404；
故答案为：390；4405或5404；
（2）∵ 是一个“空谷”数， 是一个“幽兰”数，
∴a2+b2=586，2ab=570，
∴(a+b)2=a2+b2+2ab=586+570=1156，则a+b=34，
(a-b)2=a2+b2-2ab=586-570=16，则a-b= 4，
∴a2-b2=(a+b)(a-b)=34×4=136或a2-b2=(a+b)(a-b)=34×(-4)=-136；
（3）由题意得： ，则有a2+b2=2ab，整理得：(a-b)2=0，则有a=b；
∵这个整数是一个四位数，
∴1≤a≤9，1≤b≤9，中间数是两位数，
则有：a=b=1时，这个四位数是1021；
a=b=2时，这个四位数是2082；
a=b=3时，这个四位数是3183；
a=b=4时，这个四位数是4324；
a=b=5时，这个四位数是5505；
a=b=6时，这个四位数是6726；
a=b=7时，这个四位数是7987．
综上，这个四位数是1021或2082或3183或4324或5505或6726或7987．
【点睛】
本题主要考查了因式分解的应用，解答的关键是理解清楚题意，灵活运用因式分解进
行解答．
19．材料一：一个正整数x能写成 （a，b均为正整数，且 ），则称x为
“雪松数”，a，b为x的一个平方差分解，在x的所有平方差分解中，若 最大，
则称a，b为x的最佳平方差分解，此时 ．例如： ，24为雪松
数，7和5为24的一个平方差分解， ，因为 ，所以9
和7为32的最佳平方差分解， ．
材料二：若一个四位正整数，它的千位数字与个位数字相同，百位数字与十位数字相
同，但四个数字不全相同，则称这个四位数为“南麓数”，例如4334，5665均为“南
24麓数”．
根据材料回答：
（1）请直接写出两个雪松数，并分别写出它们的一对平方差分解；
（2）试说明10不是雪松数；
（3）若一个数t既是“雪松数”又是“南麓数”，并且另一个“南麓数”的前两位数
字组成的两位数与后两位数字组成的两位数恰好是t的一个平方差分解，请求出所有满
足条件的数t．
【答案】（1） ， ；（2）见解析；（3）2772，5445
【分析】
（1）根据雪松数的特征即可得到结论；
（2）根据题意即可得到结论；
（3）设 ， 均为正整数，且 ，另一个“南麓数”为 ，
均为正整数，且 ，根据“南麓数”的特征即可得到结论．
【详解】
解：（1）由题意可得：
， ；
（2）若10是“雪松数”，
则可设 ， 均为正整数，且 ，
则 ，又 ，
， 均为正整数，
，
，或 ，
解得： 或 ，
与 ， 均为正整数矛盾，
故10不是雪松数；
（3）设 ， 均为正整数，且 ，另一个“南麓数”为 ，
均为正整数，且 ，则 ，
，
25整理得 ，
， ， ， 均为正整数，
，
经探究 ， ，符合题意，
的值分别为：2772，5445．
【点睛】
本题主要考查分解因式的应用，实数的运算，理解新定义，并将其转化为实数的运算
是解题的关键．
20．若一个四位正整数 满足： ，我们就称该数是“交替数”，如对于
四位数3674，∵ ，∴3674是“交替数”，对于四位数2353，
，∴2353不是“交替数”．
（1）最小的“交替数”是________，最大的“交替数”是__________．
（2）判断2376是否是“交替数”，并说明理由；
（3）若一个“交替数”满足千位数字与百位数字的平方差是12，且十位数字与个位
数的和能被6整除．请求出所有满足条件的“交替数”．
【答案】（1）1001，9999；（2）是，理由见解析；（3）满足条件的“交替数”是
4224或4257．
【分析】
（1）根据新定义，即可得出结论；
（2）根据新定义，即可得出结论；
（3）根据题意知 ，求得 和 的值，再根据题意
是6的倍数，结合 ，取舍即可求得所有满足条件的“交替数”．
【详解】
（1）根据题意：一个四位正整数 满足： ，我们就称该数是“交替
数”，
最小的正整数是1，最大的正整数是9，
∵ ， ，
∴最小的“交替数”是1001，最大的“交替数”是9999，
故答案为：1111，9999；
26（2）是，理由如下：
∵ ，
∴2376是“交替数”；
（3）设这个“交替数”为 ， 为正整数，
依题意得： ， ，且 ，
由 ，知 ，且 ， ，
即 或 或 ，
解得： (舍去)，或 或 (舍去)，
∵ ， ， ，
∴ 取1或2或3，
当 取1时，即 ， ， ，
∵ ，即 ，即 ，
∴ ，
解得： ，
∴“交替数”是4224；
当 取2时，即 ， ， ，
∵ ，即 ，即 ，
∴ ，
解得： ，
∴“交替数”是4257；
当 取3时，即 ， ， ，
∵ ，即 ，即 ，
27∴ ，
解得： (不合题意，舍去)；
综上，满足条件的“交替数”是4224或4257．
【点睛】
本题主要考查了新定义，倍数问题，二元一次方程的整数解的求解，平方差公式的应
用，理解新定义是解本题的关键．
21．很久以前，有一位老人临终前，准备将自己所养的7头牛全部分给两个儿子饲养，
大儿先得一半，小儿再得剩余的四分之三，两儿正踌躇不决时，热心的邻居从自家牵
了一头牛参与分配，给大儿分了四头牛，小儿分了三头牛，余下的一头牛邻居又牵回
家了，皆大欢喜，聪明的邻居合理地解决了这个问题．初中数学里也有这种“转化”
的思考方法．例如：先阅读下列多项式的因式分解：
按照这种方法分别把多项式分解因式：
（1） ；
（2） ．
【答案】（1） ；（2） ．
【分析】
（1）根据公式法即可求解；
（2）根据 构造公因式，在提公因式法即可求解；
【详解】
【点睛】
本题考查的是因式分解，掌握提公因式法、公式法是解题的关键．
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