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专题03运算能力课之分式方程的应用综合专练（解析版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．（2021·河北）暑假期间，某科幻小说的销售量急剧上升．某书店分别用600元和
800元两次购进该小说，第二次购进的数量比第一次多40套，且两次购书时，每套书
的进价相同．若设书店第一次购进该科幻小说x套，由题意列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根据第一次进书的总钱数÷第一次购进套数＝第二次进书的总钱数÷第二次购进套数列
方程可得．
【详解】
若设书店第一次购进该科幻小说x套，
由题意列方程正确的是 ，
故选：C．
【点睛】
本题考查由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是理解题意找到题目蕴含的相等关
系．
2．（2021·全国八年级专题练习）石家庄某活动小组到教育基地游学，租用面包车的
车费为180元．出发时又增加了2名同学，结果每名同学比原来少摊了3元车费．若
设该活动小组原有x人，则所列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
根据总费用÷总人数为人均分摊费用，计算两次的分摊费用，后根据题意列出方程即可
【详解】
设该活动小组原有x人，则出发后的人数为（x+2）人，根据题意，得
1，
故选B
【点睛】
本题考查了分式方程解应用题，熟练掌握列分式方程的基本要领是解题的关键．
3．（2021·福建八年级期末）一家工艺品厂按计件方式结算工资．小鹿去这家工艺品
厂打工，第一天工资60元，第二天比第一天多做了5件，工资为75元．设小鹿第一
天做了 件，根据题意可列出方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据题意列分式方程即可
【详解】
解：由题意可知，每件工艺品的单价不变，则有
故选：A
【点睛】
本题考查分式方程的实际问题，正确寻找等量关系是关键
4．（2021·河南八年级期中）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买橡多少”问题：
“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽，每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”，其大
意为：现请人代买一批橡，这批橡的价钱为6210文．如果每株橡的运费是3文，那么
少拿一株橡后，剩下的橡的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株橡，
设这批橡的数量为x株，则符合题意的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
根据单价=总价÷数量结合少拿一株椽后剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，即可
得出关于x的分式方程，此题得解．
【详解】
解：依题意，得： ．
2故选：B．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的
关键．
5．（2021·江苏）5G网络引领时代发展．5G网络峰值速率为4G网络峰值速率的10
倍，在峰值速率下传输100兆数据，5G网络比4G网络快9秒，求这两种网络的峰值
速率．设4G网络的峰值速率为每秒传输x兆数据，根据题意，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
根据4G网络速度-5G网络速度=9秒可列方程．
【详解】
解：由4G网络的峰值速率为每秒传输x兆数据，依题意，可列方程是
，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的
相等关系．
6．（2021·重庆八年级期末）我国西北地区某村的耕地面积为 ，森林面积
，为了治理该地区的土地沙化问题，该村决定退耕还林，计划将部分耕地改为
种植树木，使得耕地面积与森林面积之比为4∶7．设有 的耕地改为种植树木，那
么x满足的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
设有 的耕地改为种植树木，则改完后耕地面积为（70-x）hm2，森林面积为
（20+x）hm2，根据耕地面积与森林面积之比为4∶7列方程即可得答案．
【详解】
设有 的耕地改为种植树木，
3∴改完后耕地面积为（70-x）hm2，森林面积为（20+x）hm2，
∵耕地面积与森林面积之比为4∶7，
∴ ，
故选：A．
【点睛】
本题考查分式方程的应用，正确得出等量关系是解题关键．
二、填空题
7．（2021·重庆八年级期末）为积极响应党和国家精准扶贫战略计划，某公司在农村
租用了720亩土地种植了枇杷、李子和沃柑三种果树．为达到最佳种植收益，要求种
植枇杷树的面积是李子树面积的2倍，沃柑树的面积不超过枇杷树面积的 倍，且枇
杷树的面积不超过270亩．到水果采摘季节时，该公司聘请当地农民进行采摘，每人
每天可以采摘0.4亩枇杷，或者采摘0.5亩李子，或者采摘0.6亩沃柑．若该公司聘请
一批农民依次采摘完三种水果恰好用了20天，则种植沃柑的面积是______亩．
【答案】330
【分析】
设种植李子树x亩，则种植枇杷树2x亩，沃柑树(720-3x)亩，根据沃柑树的面积不得超
过枇杷树面积的 倍，且种植枇杷树的面积不得超过270亩”，即可得出关于x的一元
一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，设有a个农民来采摘，根据工作时间=总
工作量÷工作效率结合恰好20天能采摘完，即可用含x的代数式表示出a值，结合a为
正整数即可得出x为10的倍数，由x的取值范围即可确定x的值，进而可求出2x的值．
【详解】
解：设种植李子树x亩，则种植枇杷树2x亩，沃柑树(720-3x)亩，依题意，得：
，
解得：124 ≤x≤135．
设有a个农民来采摘，则 ，
整理，得：x+600=10a，
4∴a=60+ ，
∵a为正整数，
∴ 为整数，
∴x为10的倍数，
又∵124 ≤x≤135，
∴x=130，
∴a=73，经检验符合题意，
∴720-3x=330．
故答案为：330．
【点睛】
本题考查了一元一次不等式组的应用，分式方程的应用，以及二元一次方程的应用，
根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组（或方程）是解题的关键．
8．（2021·江苏八年级期中）甲､乙两名工人生产同一种零件，甲每小时比乙多生产8
个，甲生产168个零件与乙生产144个零件所用的时间相同，设乙每小时生产 个零
件，根据题意可得方程___________
【答案】
【分析】
设乙每小时生产 个，则甲每小时生产 个，根据甲生产168个零件与乙生产144
个零件所用的时间相同列方程．
【详解】
解：由题意可得乙每小时生产 个，则甲每小时生产 个，
故可列方程为 ．
【点睛】
此题考查分式方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
9．（2021·全国八年级专题练习）从甲地到乙地有20站，并且任何相邻两站之间的距
离相同．快车和慢车每小时从甲地各发一趟，快车整点发车，慢车发车时间晚半小时．
快车每站车费5元，慢车每站车费2元，但快车的速度是慢车速度的2倍．快车从甲
地到乙地共需2小时．上午九点半，一位只有70元钱的旅客在甲地乘车，若忽略车进
出站上下乘客的时间，但旅客等车时间要计算在内，这位旅客从甲地到乙地所需的最
5短时间为__小时．
【答案】3
【分析】
从甲地到乙地，快车整点出发，慢车晚半个小时，旅客9：30分上车必须坐慢车，
从10：00点钟后整点发车可以看一个追及相遇问题，
计算出慢车与后面不同整点发出的快车相遇的站点，方可上快车才能节省时间，
同时还考虑旅客只带70元钱够车费，方能到达终点的时间最短．
【详解】
解：∵从甲地到乙地有20站，快车共需2小时，
∴快车从上一站点到下一站点的时间为 ，
又∵快车的速度是慢车速度的2倍；
∴从甲地到乙地有20站，慢车共需4小时，
∴慢车从上一站点到下一站点的时间为 ．
由题意可知：
①当9：30旅客坐上慢车后，与第1辆10：00钟发出的快车相遇于第x个站点，则有：
，
解得：x＝5；
∴此刻10：00发出的快车行了 小时，慢车行了1个小时；
即相遇时刻为10：30分．
②当10：30旅客坐慢车继续前行，需过 小时，快车将在11：00发出追及慢车相遇
于
第y个站点，则有：
，
解得：y＝10，
∴此刻11：00发出的快车行了1小时，慢车行了2个小时；
即相遇时刻为12：00分．
③当12：00旅客坐慢车继续前行，此刻甲地快车发出追及慢车相遇于第z个站点，则
有：
，
6解得：z＝20，
∴此刻相遇刚好在终点．
由上可知：
旅客要从慢车坐上快车在第①和第②次相遇时坐上快车节省时间．
（Ⅰ）第①种情况旅客坐慢车相遇快车后上快车，从甲地到乙地的总时间为：
（小时）；
又∵快车每站车费5元，慢车每站车费2元，
∴此种方式的总费用：2×5+15×5＝75（元），
又∵旅客只有70元钱，
∴75＞70，
即此时相遇后坐快车钱不够，不合题意舍去．
（Ⅱ）第②情况旅客坐慢车相遇快车后上快车，从甲地到乙地的总时间为：
（小时）．
此种方式的总费用：5×10+2×10＝70（元）
即此种情况节约时间，旅客所带的钱够花．
故答案为3．
【点睛】
本题考查了分式方程的应用，理解题意列出方程，分类讨论是解题的关键．
三、解答题
10．（2021·辽宁）某市的一项工程，甲、乙两公司合做，12天可以完成；如果甲、乙
两公司单独完成此项工程，乙公司所用时间是甲公司的1.5倍．
（1）甲，乙两公司单独完成此项工程，各需多少天？
（2）若乙公司单独工作 天后，再由甲、乙两公司合做完成这项工程，还需要多少天？
（不用写解题过程，用含 的代数式表示结果即可）
【答案】（1）甲乙两公司单独完成此工程各需要20天，30天；（2）还需要合做
天.
【分析】
（1）设甲公司单独完成此工程x天，则乙公司单独完成此项工程1.5x天，根据甲做的
工作量＋乙做的工作量＝工作总量建立方程求出其解即可；
（2）设甲、乙两公司还需要合做y天完成这项工程，根据甲做的工作量＋乙做的工作
量＝乙公司单独工作 天后剩余的工作量即可建立方程求出其解．
7【详解】
解：（1）设甲公司单独完成此工程x天，则乙公司单独完成此项工程1.5x天，
根据题意，得， ，
解得，x＝20，
经检验，x＝20是方程的解且符合题意，
∴乙公司单独完成需要的时间为1.5x＝30天．
答：甲乙两公司单独完成此工程各需要20天，30天；
（2）设甲、乙两公司还需要合做y天完成这项工程，
根据题意，得， ，
解得，y= .
故甲、乙两公司还需要合做 天完成这项工程.
【点睛】
本题是一道工程问题的运用题，考查了列分式方程和一元一次方程解实际问题的运用，
解答时根据甲的工作效率＋乙的工作效率＝合作一天的工作效率为等量关系建立方程
是关键．
11．（2021·湖南师大附中博才实验中学八年级期末）永兴冰糖橙是湖南省永兴县特产，
中国地理标志产品，眼下，正值永兴冰糖橙销售旺季，某商家看准商机，第一次用
4800元购进一批永兴冰糖橙，销售良好，于是第二次又用12000元购进一批永兴冰糖
橙，但此时进价比第一次涨了2元，所购进的数量恰好是第一次购进数量的两倍．
（1）求第一次购进永兴冰糖橙的进价；
（2）实际销售中，两次售价均相同，在销售过程中，由于消费者挑选后，果品下降，
第一批永兴冰糖橙的最后100千克八折售出，第二批永兴冰糖橙的最后800千克九折
售出，若售完这两批永兴冰糖橙的获利不低于8700元，则售价至少为多少元？
【答案】（1）第一次购进永兴冰糖橙的进价为8元/千克；（2）售价至少为15元．
【分析】
（1）设第一次购进永兴冰糖橙的进价为x元/千克，根据“第一次用4800元购进一批
永兴冰糖橙，销售良好，于是第二次又用12000元购进一批永兴冰糖橙，但此时进价
比第一次涨了2元，所购进的数量恰好是第一次购进数量的两倍．”可列出方程组，
即可求解；
（2））设售价为y元，根据“第一批永兴冰糖橙的最后100千克八折售出，第二批永
兴冰糖橙的最后800千克九折售出，若售完这两批永兴冰糖橙的获利不低于8700
8元，”列出不等式，即可求解．
【详解】
（1）设第一次购进永兴冰糖橙的进价为x元/千克，根据题意得：
，
解得：x＝8，
经检验，x＝8是原方程的解，
答：第一次购进永兴冰糖橙的进价为8元/千克；
（2）第一次购进数量 （千克），第二次购进数量 （千
克），
设售价为y元，根据题意得：
（600﹣100）y+100×0.8y+（1200﹣800）y+800×0.9y﹣4800﹣12000≥8700，
解得：y≥15，
则售价至少为15元．
【点睛】
本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是明确题意，
准确找到数量关系．
12．（2021·江西南昌市·八年级期末）“垃圾分一分，环境美十分”，分类垃圾桶成为
我们生活中的必备工具．某学校开学初购进A型和B型两种分类垃圾桶，购买A型垃
圾桶花费了2500元，购买B型垃圾桶花费了2000元，且购买A型垃圾桶数量是购买
B型垃圾桶数量的2倍，已知购买一个B型垃圾桶比购买一个A型垃圾桶多花30元．
（1）求购买一个A型垃圾桶，B型垃圾桶各需多少元？
（2）由于实际需要，学校决定再次购买与第一次同样数量的A型和B型两种分类垃圾
桶，恰逢市场对这两种垃圾桶的售价进行调整，A型垃圾桶售价比第一次购买时提高
了10%，B型垃圾桶按第一次购买时售价的9折出售，第二次购买A型和B型两种分
类垃圾桶一共花了多少钱？
【答案】（1）购买一个A型垃圾桶需50元，则购买一个B型垃圾桶需80元；（2）
4550元
【分析】
（1）设购买一个A型垃圾桶需x元，则购买一个B型垃圾桶需 元，根据“购
买A型垃圾桶数量是购买B型垃圾桶数量的2倍”这一等量关系列分式方程解题即可；
（2）根据“A型垃圾桶售价比第一次购买时提高了10%，B型垃圾桶按第一次购买时
9售价的9折出售”，列式计算即可．
【详解】
.解：（1）设购买一个A型垃圾桶需x元，则购买一个B型垃圾桶需 元
由题意得：
解得：
经检验 是原方程的解， ．
∴购买一个A型垃圾桶需50元，则购买一个B型垃圾桶需80元
（2） （元）
∴第二次购买A型和B型两种分类垃圾桶一共花了4550元
【点睛】
此题考查了分式方程的实际应用，找准等量关系式是关键．
13．（2021·河南平顶山市·八年级期末）在精准扶贫工作中，某校党支部给结对帮扶的
贫困家庭赠送甲、乙两种树苗．已知用2250元购买甲树苗的棵数恰好与用1800元购
买乙树苗的棵数相同，且甲树苗的单价比乙树苗的单价多9元．
（1）求出甲、乙两种树苗的单价各是多少元？
（2）若该校党支部计划用不超过4000元的资金购买甲、乙两种树苗共100棵，求甲
种树苗最多能购买多少棵？
【答案】（1）乙种树苗的单价为36元，甲种树苗的单价为45元；（2）甲种树苗最
多能购买44棵
【分析】
（1）乙种树苗的单价为x元，则甲种树苗的单价为(x+9)元，由用2500元购买甲树苗
的棵数恰好与用2000元购买乙树苗的棵数相同列出分式方程，解方程，得出方程的解
要注意验根；
（2）设购买甲种树苗a棵，则购买乙种树苗(100﹣a)棵，根据购买甲、乙两种树苗的
费用不超过4000元，列出不等式求解即可．
【详解】
解：（1）设乙种树苗的单价为x元，则甲种树苗的单价为(x+9)元，
由题意，得： ，
解得：x＝36，
经检验x＝36是原方程的根，
∴x+9＝36+9＝45，
10答：乙种树苗的单价为36元，甲种树苗的单价为45元．
（2）设购买甲种树苗a棵，则购买乙种树苗(100﹣a)棵，
根据题意得：45a+36(100﹣a)≤4000，
解得：a≤44 ，且a为正整数，
∴a的最大值为44，
答：甲种树苗最多能购买44棵．
【点睛】
本题考查了分式方程及一元一次不等式的应用，解题的关键是找准数量关系列出方程
和不等式．
14．（2021·广东佛山市·八年级期末）为打造绿色生态公园，明湖公园计划购买甲、乙
两种树苗．已知一棵甲种树苗比一棵乙种树苗贵4元，购买甲种树苗的费用和购买乙
种树苗的费用分别是7000元和5000元．
（1）若两种树苗购买的棵数一样多，求甲、乙两种树苗的单价；
（2）根据（1）中两种树苗的单价，若两种树苗共购买1100棵，且购买两种树苗的总
费用不超过12000元，求甲种树苗最多购买多少棵．
【答案】（1）甲种树苗的单价为14元，乙种树苗的单价为10元；（2）250棵
【分析】
（1）设甲种树苗的单价为x元，则乙种树苗的单价为（x-4）元，然后根据题意列出方
程求解即可得到答案；
（2））设甲种树苗购买m棵，则乙种树苗购买了（1100-m）棵，然后根据总花费不超
过12000元，列出不等式求解即可.
【详解】
解：（1）设甲种树苗的单价为x元，则乙种树苗的单价为（x-4）元，由题意得：
解得：x=14
经检验x=14是原方程的解，x-4=10
答：甲种树苗的单价为14元，乙种树苗的单价为10元．
（2）设甲种树苗购买m棵，则乙种树苗购买了（1100-m）棵，由题意得：
，
整理得：
解得：
答：甲种树苗最多购买250棵．
11【点睛】
本题主要考查了一元一次不等式和分式方程的实际应用，解题的关键在于能够熟练掌
握相关知识进行求解.
15．（2021·沙坪坝区·重庆一中八年级月考）阳春三月催新芽，植树造林正当时，为提
升人们的环保意识，传播普及“植绿、护绿、爱绿”的生态文明意识，同时又为大家
创造亲身体验劳动的乐趣，感受美化环境的意义．开心农场在3月初推出了植树活动．
农场购入甲、乙两种树苗，购买甲种树苗花费了4000元，购买乙种树苗花费了5400
元，已知购买一棵甲种树苗比购买一棵乙种树苗多花4元，且购买的乙种树苗的数量
是购买的甲种树苗的数量的1.5倍．
（1）求购买一棵甲种树苗、一棵乙种树苗各需要多少元？
（2）适逢植树节在周末，且天气晴好，不断有客户预约参加植树活动，于是农场决定
第二次购入甲、乙两种树苗共300棵．在第二次购买中，一棵甲种树苗的价格比第一
次购买时的价格降低了12.5%，一棵乙种树苗的价格比第一次购买时的价格减少了4
元．如果第二次购买甲、乙两种树苗的总费用不超过10000元，那么该农场第二次最
多可购买甲种树苗多少棵？
【答案】（1）购买一棵甲种树苗需要40元，购买一棵乙种树苗需要36元；（2）该
农场第二次最多可购买甲种树苗133棵．
【分析】
（1）设购买一棵乙种树苗需要x元，则购买一棵甲种树苗需要(x＋4)元，根据“购买
的乙种树苗的数量是购买的甲种树苗的数量的1.5倍”，即可得出关于x的分式方程，
解之即可得出结论；
（2）设设该农场第二次购买甲种树苗y棵，则购买乙种树苗（300－y）棵，根据总价
＝单价×数量结合总费用不超过10000元，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取
其中的最大值即可得出结论．
【详解】
解：（1）设购买一棵乙种树苗需要x元，则购买一棵甲种树苗需要(x＋4)元，
由题意，得： ，
解得：x＝36，
经检验：x＝36是原方程的解，
∴x＋4＝40，
答：购买一棵甲种树苗需要40元，购买一棵乙种树苗需要36元；
（2）40×（1－12.5%）＝35（元），
1236－4＝32（元），
设该农场第二次可购买甲种树苗y棵，
由题意，得：35y＋32（300－y）≤10000，
解得：y≤ ，
∴y的最大整数值为133，
答：该农场第二次最多可购买甲种树苗133棵．
【点睛】
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等
量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
16．（2021·重庆巴蜀中学）我国地大物博，物产丰富，福建莆田枇杷和广东徐闻菠萝
就是我国驰名中外的水果名品，恰逢三月新上市，一水果店主购进一批莆田枇杷用去
2000元，同时购进一批徐闻菠萝用去2800元，因徐闻菠萝比莆田枇杷每箱多15元，
使得徐闻菠萝比莆田批把的箱数少20%．
（1）莆田枇杷和徐闻菠萝每箱的单价各是多少钱？
（2）四月份因进价变化，水果店主也调整了相应的进货量，据统计：莆田枇杷每箱单
价上涨6元，徐闻菠萝每箱单价下降 ，购进莆田枇杷的箱数下降 箱，购进徐闻
菠萝的箱数上升10%，四月份的总进价比三月份的总进价增加的资金数不超过466元，
求 的最小值．
【答案】（1）枇杷每箱20元，菠萝每箱35元；（2）10
【分析】
（1）设该水果店主购进莆田枇杷每箱的单价是x元，购进徐闻菠萝每箱的单价是
(x+15)元，根据数量=总价÷单价结合徐闻菠萝比莆田批把的箱数少20%，即可得出关
于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）根据数量=总价÷单价可求出购进莆田枇杷的数量，进而可求出购进徐闻菠萝的数
量，由利润=销售收入-成本结合四月份的总进价比三月份的总进价增加的资金数不超
过466元，，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，取其
中的最ih 值即可得出结论．
【详解】
解：设该水果店主购进莆田枇杷每箱的单价是x元，购进徐闻菠萝每箱的单价是(x+15)
元，根据题意得，
13整理得，
解得，
经检验， 是原方程的根，
∴
∴枇杷每箱20元，菠萝每箱35元；
（2）∵枇杷每箱单价上涨6元，
∴枇杷每箱单价变为26元，
∵菠萝每箱单价下降 ，
∴菠萝每箱单价变为
∵购进莆田枇杷的箱数下降 箱，购进徐闻菠萝的箱数上升10%，
∴购进莆田枇杷的箱数为（100- ）箱，购进徐闻菠萝的箱数为（
箱，
依题意得，
解得，
∴ 的最小值为10
【点睛】
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等
量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量间的关系，正确列出关于m的一元一次
不等式．
17．（2021·上海）在疫情防控常态化背景下，每周需要对面积为4800平方米的仓库
进行一次全面消毒工作．最初采用人工操作完成消毒任务．为提高效率采用机器人消
毒，机器人消毒每分钟消毒面积比人工操作多60平方米，并且提前40分钟完成消毒
任务．求人工操作每分钟消毒面积为多少平方米．
【答案】60平方米
【分析】
根据题意得出“人工操作所需的时间－机器从消毒所需的时间＝40分钟”，设人工操
作每分钟消毒面积为x平方米，则机器人消毒每分钟消毒面积为（x＋60）平方米，则
可列出方程 ，求解后即可．
【详解】
解：设人工操作每分钟消毒面积为x平方米，则机器人消毒每分钟消毒面积为（x＋
1460）平方米，根据题意得：
，
则 ，
解得 （不合题意，舍去）， ，
经检验， 是原方程的解．
所以，人工操作每分钟消毒面积为60平方米．
【点睛】
本题考查了分式方程的应用，根据题意找出等量关系，并列出方程进行求解是解题的
关键．
18．（2021·重庆一中八年级期中）3月12日是植树节，重庆市第一实验中学开展了
“我与自然——一实农场”的活动：初一、初二年级以班级为单位，各自开辟了一块
菜园种植蔬菜．初二某班学生经商量计划购买番茄苗和茄子苗共100株，经了解茄子
苗的单价是番茄苗单价的 ，若花80元购进番茄苗，则购买茄子苗需要90元．
（1）求番茄苗和茄子苗的单价；
（2）班长在购买菜苗时了解到，在当前种植条件下，番茄的成活率为 ，一株番茄
苗大约能结8个番茄，茄子的存活率为 ，一株茄子苗大约能结5个茄子，班长决
定再多购买番茄和茄子苗共20株，但是不能超过预算210元，且番茄苗的总数量不低
于茄子苗总数量的 ，班长最终应该如何购买，才能使所结的果实数量最多．
【答案】（1）番茄苗的单价为2元/株，则茄子苗的单价为1.5元/株；（2）当茄子苗
为60株，番茄苗为60株时，才能使所结的果实数量最多．
【分析】
（1）设番茄苗的单价为x元/株，则茄子苗的单价为 x元/株，根据等量关系，列出分
式方程，即可求解；
（2）设购买茄子苗y株，则购买番茄苗(120-y)株，根据数量关系，列出不等式组，求
出y得范围，再结合要使所结果数量多，番茄苗要尽量多，茄子苗尽量少，即可得到
答案．
【详解】
解：（1）设番茄苗的单价为x元/株，则茄子苗的单价为 x元/株，
15由题意得： ，解得：x=2，
经检验，x=2是方程的解，且符合题意，
x= ×2=1.5，
答：番茄苗的单价为2元/株，则茄子苗的单价为1.5元/株；
（2）设购买茄子苗y株，则购买番茄苗(120-y)株，
由题意得： ，解得： ，
∵y取正整数，
∴y=60，61，62，63，64，65，66，67，68，
∵番茄的成活率为 ，一株番茄苗大约能结8个番茄，茄子的存活率为 ，一株
茄子苗大约能结5个茄子，
∴要使所结果数量多，番茄苗要尽量多，茄子苗尽量少，
∴当茄子苗为60株，番茄苗为60株时，才能使所结的果实数量最多．
【点睛】
本题主要考查分式方程以及一元一次不等式组的实际应用，根据数量关系，列出方程
和不等式组是解题的关键．
19．（2021·广东九年级一模）广州某公交线路日均运送乘客总量为15600人次，实施
5G快速公交智能调度后，每趟车平均运送乘客量比智能调度前增加了 ．若日均
运送乘客总量保持不变，则每日发车数量比智能调度前减少26趟．求实施智能调度前
每趟车平均运送乘客量为多少人次．
【答案】实施智能调度前每趟车平均运送乘客量为100人次
【分析】
设实施智能调度前每趟车平均运送乘客量为 人次，根据“每日发车数量比智能调度
前减少26趟”列方程求解可得.
【详解】
解：设限行期间这路公交车每天运行 车次，
，
解得： ，
经检验 是原分式方程的根，
答：实施智能调度前每趟车平均运送乘客量为100人次.
16【点睛】
本题考查了分式方程的应用，根据题意正确列分式方程是解题的关键．
20．（2021·全国八年级期末）“七一”建党节前夕，某校决定购买 ， 两种奖品，
用于表彰在“童心向党”活动中表现突出的学生．已知 奖品比 奖品每件多25元预
算资金为1700元，其中800元购买 奖品，其余资金购买 奖品，且购买 奖品的数
量是 奖品的3倍．
（1）求 ， 奖品的单价；
（2）购买当日，正逢该店搞促销活动，所有商品均按原价八折销售，学校调整了购买
方案：不超过预算资金且购买 奖品的资金不少于720元， ， 两种奖品共100件．
求购买 ， 两种奖品的数量，有哪几种方案？
【答案】（1）A， 奖品的单价分别是40元，15元；（2）购买A奖品23件，B奖品
77件；购买A奖品24件，B奖品76件；购买A奖品25件，B奖品75件．
【分析】
（1）设B奖品的单价为x元，则A奖品的单价为(x+25)元，根据“购买 奖品的数量
是 奖品的3倍”，列出分式方程，即可求解；
（2）设购买A奖品a件，则购买B奖品(100-a)件，列出一元一次不等式组，即可求解．
【详解】
（1）解：设B奖品的单价为x元，则A奖品的单价为(x+25)元，
由题意得： ，解得：x=15，
经检验：x=15是方程的解，且符合题意，
15+25=40，
答：A， 奖品的单价分别是40元，15元；
（2）设购买A奖品a件，则购买B奖品(100-a)件，
由题意得： ，解得：22.5≤a≤25，
∵a取正整数，
∴a=23，24，25，
答：购买A奖品23件，B奖品77件；购买A奖品24件，B奖品76件；购买A奖品25
件，B奖品75件．
【点睛】
本题主要考查分式方程以及一元一次不等式组的实际应用，找准数量关系，列出方程
和不等式组，是解题的关键．
1721．（2021·江苏）江苏南沿江城际铁路，是江苏境内正在建设的一条铁路线路．设计
时速350公里，起于南京南站，经南京市、句容市、常州市、江阴市、张家港市、常
熟市、太仓市，引入太仓站后利用沪通铁路进入上海枢纽，是沪宁通道的第二条城际
铁路（如图）．在修筑某长度为1000米的标地时，中铁四局工程队在修筑了400米后，
引进了新设备，效率比原来提高了20%，结果共用5天完成了任务，问引进新设备之
前，工程队每天改造多少米?
【答案】180米
【分析】
设引进新设备之前，工程队每天改造x米，则引进新设备之后，工程队每天改造
（1+20%）x米，利用工作时间=工作总量÷工作效率，即可得出关于x的分式方程，解
之经检验后即可得出结论．
【详解】
解：设引进新设备之前，工程队每天改造x米，则引进新设备之后，工程队每天改造
（1+20%）x米，
依题意得： ，
解得：x=180，
经检验，x=180是原方程的解，且符合题意．
18答：引进新设备之前，工程队每天改造180米．
【点睛】
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
22．（2021·重庆八年级期末）端午节前，某商店用8000元购进一批粽子礼盒，很快
售完，于是商店又用20000元购进了第二批粽子礼盒，所购数量是第一批购进量的两
倍，但每个礼盒的进价贵了20元．
（1）第二批粽子礼盒每个的进价为多少元？
（2）商店将第二批粽子礼盒的进价提高50%后售出，端午节过后，第二批粽子礼盒
还有部分没有售出，商店准备把没有售出的粽子礼盒打八折促销，在端午节后的一周
之内，剩余的粽子礼盒也全部售完．售完后，经核算，第二批粽子礼盒的总的利润率
不低于40%（不考虑其他因素）．请求出打折销售部分粽子礼盒的数量最多是多少盒？
【答案】（1）100元；（2）66盒
【分析】
（1）设第二批粽子礼盒每个进价x元，则可得第一批粽子礼盒每个进价为(x-20)元，
根据等量关系：所购第二批粽子礼盒数=第一批所购数量×2，即可列出分式方程，解方
程即可；
（2）设打折后销售部分粽子礼盒的数量为y盒，根据（1）可求得第二批粽子的售价
及所购数量，根据不等关系：第二批粽子礼盒中已经卖了的粽子礼盒所获利润+剩余粽
子礼盒打折销售所获利润≥20000(1+40%)，列出不等式，解不等式即可求得最大的整
数．
【详解】
（1）设第二批粽子礼盒每个进价x元
由题意得：
解得：x=100
经检验，x=100是原方程的解，且符合题意．
即第二批粽子礼盒每个进价100元．
（2）设打折后销售部分粽子礼盒的数量为y盒，由（1）知，第二批礼盒售价为100×
（1+50%）=150（元），第二批礼盒数量为20000÷100=200（盒）
由题意得：
解不等式得：
由于y为整数，所以y的最大值为66
故打折销售部分粽子礼盒的数量最多是66盒.
19【点睛】
本题是方程与不等式的综合题，既考查了分式方程的应用，也考查了不等式的应用，
抓住等量关系与不等量关系是解决本题的关键．
23．（2021·江苏）在“慈善一日捐”活动中，甲、乙两校教师各捐款30000元，若乙
校教师比甲校教师人均多捐20元，给出如下三个信息：
①甲校教师的人数比乙校的教师人数多 ；
②甲、乙两校教师人数之比为 ；
③乙校比甲校教师人均捐款多 ．
请从以上三个信息中选择一个作为条件，求甲、乙两校教师的人数各有多少人？
你选择的条件是_____（填序号），并根据你选择的条件给出求解过程．
【答案】序号①（或②或③），甲校教师有30人，乙校教师25人，过程见解析
【分析】
选择①时，用教师人数关系设未知数，用人均捐款数关系列分式方程；选择②时，用
比例关系设未知数，用人均捐款数关系列分式方程；选择③同理．
【详解】
解：序号①或②或③
选择①设乙校教师x人，则甲校教师1.2x人，根据题意得：
解得：
经检验， 是原方程的解，且符合实际意义，
答：甲校教师有30人，乙校教师25人。
选择②设甲校6k人，则乙校5k人，根据题意得：
解得：
经检验， 是原方程的解，且符合实际意义，
答：甲校教师有30人，乙校教师25人。
选择③设甲校x人，则甲校人均捐款 元，乙校人均捐款 元，根据题意得：
解得：
20经检验， 是原方程的解，且符合实际意义，
答：甲校教师有30人，乙校教师25人。
【点睛】
本题考查了分式方程的应用．利用分式方程解应用题时，一般题目中会有两个相等关
系，这时要根据题目所要解决的问题，选择其中的一个相等关系作为列方程的依据，
而另一个则用来设未知数．
24．（2021·山西八年级期末）今年是中国共产党建党100周年，为了更好地了解党的
知识，学校计划用400元购买某种红色经典书籍（每本价格相同），“五一”期间，
书店推出优惠政策：该系列丛书8折销售．这样，学校比原计划多买了8本．求每本
书的原价和学校实际购买图书的数量．
【答案】每本书的原价为12.5元，学校实际购买图书40本
【分析】
设每本书的原价为x元，根据题意列出分式方程，求解检验即可．
【详解】
解：设每本书的原价为x元，
根据题意： ，
解得x＝12.5，
经检验x＝12.5是原方程的解，且符合题意，
则 （本）．
答：每本书的原价为12.5元，学校实际购买图书40本．
【点睛】
本题主要考查分式方程的实际应用，根据题意列出分式方程是解决问题的关键．
25．（2021·广东八年级期末）端午节是我国传统节日，粽子是端午节必不可少的美食，
某超市在端午节来临前夕，经过市场调研， ， 两种品牌粽子销售较好，B种品牌
粽子比A种品牌粽子贵2元，用960元购买 种粽子的数量是用720元购买 种粽子数
量的2倍．
（1）求 、 两种品牌粽子每个的进价分别为多少元？
（2）若该超市将 种品牌粽子的售价定为6元， 种品牌粽子的售价定为10元，超市
准备用3200元购进 、 两种品牌的粽子进行销售， 种品牌粽子打9折销售， 种
品牌粽子降价2元，总利润不低于1080元，那么至少应购进 种品牌粽子多少个．
【答案】（1） 种品牌和 种品牌粽子的进价分别为4元和6元；（2）200个
【分析】
21（1）设 种品牌粽子每个的进价为 元，则 种粽子每个进价为 元，根据等量
关系“用960元购买 种粽子的数量是用720元购买 种粽子数量的2倍”列分式方程
解决问题；
（2）设购进 种品牌粽子 个，则购进 种品牌粽子 个，根据不等关系“总
利润不低于1080元”,解决问题
【详解】
（1）设 种品牌粽子每个的进价为 元，
则 种粽子每个进价为 元，
由题意得：
解得
经检验 是原方程的根
元
答： 种品牌和 种品牌粽子的进价分别为4元和6元．
（2）设购进 种品牌粽子 个，
则购进 种品牌粽子 个，
则
解得
答：至少要购进 种品牌粽子200个．
【点睛】
本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，根据题意找到题中的等量关系
或者不等关系列分式方程或一元一次不等式是解题的关键．
26．（2021·山西八年级期中）某地在文化广场摆设花坛庆祝中国共产党成立100周年．
采购人员计划分两批从同一花店购买鲜花，由于采购量大，购买第一批时，每盆鲜花
在原价基础上优惠2元，共花费24000元；购买第二批时，商家加大了优惠力度，每
盆鲜花价格为第一批每盆鲜花价格的 ，共花费30000元，且第二批购买数量比第一
批多2000盆．求每盆鲜花的原价是多少元？
【答案】每盆鲜花的原价是10元．
【分析】
22每盆鲜花的原价是x元，根据“第二批购买数量比第一批多2000盆”列得分式方程，
解方程即可求解．
【详解】
解：设每盆鲜花的原价是x元，则购买第一批时价格为(x-2)元，购买第二批时价格为
(x-2)元，
依题意得： ，
解得：x=10，
经检验，x=10是原方程的解，且符合题意，
答：每盆鲜花的原价是10元．
【点睛】
本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的
等量关系，列方程求解，注意检验．
27．（2021·贵州）为庆祝中国共产党建党100周年，某校开展“党史学习”活动，为
给同学们提供学习资料，计划购买《中国共产党简史》和《论中国共产党历史》两种
图书，已知《论中国共产党历史》的单价比《中国共产党简史》的单价多16元，且学
校用1950元购买《中国共产党简史》的数量是用1050元购买《论中国共产党历史》
的数量的三倍．
（1）求两本书的单价；
（2）为让更多同学参加学习活动，学校决定购进这两种书共200本，但总费用不超过
7000元．求最多可购买《论中国共产党历史》的本数．
【答案】（1）每本《中国共产党简史》的价格是26元，每本《论中国共产党历史》
的价格是42元；（2）最多可购买《论中国共产党历史》112本．
【分析】
（1）设每本《中国共产党简史》的价格是x元，则每本《论中国共产党历史》的价格
是（x+16）元，根据数量＝总价÷单价，结合学校用1950元购买《中国共产党简史》
的数量是用1050元购买《论中国共产党历史》的数量的三倍，即可得出关于x的分式
方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设购买《论中国共产党历史》m本，则购买《中国共产党简史》的本数为（200
﹣m）本，根据总费用不超过7000元，列出不等式求解即可．
【详解】
解：（1）设每本《中国共产党简史》的价格是x元，则每本《论中国共产党历史》的
23价格是（x+16）元，
由题意得： ，
＝ ，
8x＝208，
解得：x＝26，
经检验，x＝26是原方程的解，且符合题意，
此时，x+16＝26+16＝42，
∴每本《中国共产党简史》的价格是26元，每本《论中国共产党历史》的价格是42
元；
（2）设购买《论中国共产党历史》m本，则购买《中国共产党简史》的本数为（200
﹣m）本，
由题意，得26（200﹣m）+42m≤7000，
解得：m≤112.5，
∵m为正整数，
∴最多可购买《论中国共产党历史》112本．
【点睛】
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等
量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一次不等式．
2425
