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期末重点强化二 轴对称复习学案（解析版）
考点1 轴对称
1．（2023春•湛江期末）下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A．矩形 B．菱形
C．平行四边形 D．正方形
【思路引领】结合选项根据轴对称图形的概念求解即可．
【解答】解：A、矩形是轴对称图形，本选项错误；
B、菱形是轴对称图形，本选项错误；
C、平行四边形不是轴对称图形，本选项正确；
D、正方形是轴对称图形，本选项错误．
故选：C．
【总结提升】本题考查了轴对称图形的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重
合．
2．（2023春•仓山区校级期中）如图，直线l，m相交于点O，P为这两条直线外一点，且OP＝2.8．若点
P关于直线l，m对称点分别是点P 、P ，则P ，P 之间的距离可能是（ ）
1 2 1 2
A．0 B．5 C．6 D．7
【思路引领】由对称得OP ＝OP＝2.8，OP＝OP ＝2.8，再根据三角形任意两边之和大于第三边，即可
1 2
得出结果．
【解答】解：连接OP ，OP ，P P ，
1 2 1 2
∵点P关于直线l，m的对称点分别是点P ，P ，
1 2
∴OP ＝OP＝2.8，OP＝OP ＝2.8，
1 2
OP +OP ＞P P ，
1 2 1 2
0＜P P ＜5.6，
1 2故选：B．
【总结提升】本题考查线段垂直平分线的性质，解本题的关键熟练掌握对称性和三角形边长的关系．
3．（2023春•衡山县期末）如图，AD所在直线是△ABC的对称轴，点E，F是AD上的两点，若BD＝3，
AD＝6，则图中阴影部分的面积是 9 ．
【思路引领】根据△CEF和△BEF关于直线AD对称，得出S△BEF ＝S△CEF ，根据图中阴影部分的面积是
1
S 求出即可．
2 △ABC
【解答】解：∵△ABC关于直线AD对称，
∴B、C关于直线AD对称，
∴△CEF和△BEF关于直线AD对称，BC＝2BD＝2×3＝6，AD⊥BC，
∴S△BEF ＝S△CEF ，
1 1
∵△ABC的面积是： ×BC×AD= ×6×6=18，
2 2
1
∴图中阴影部分的面积是 S =9．
2 △ABC
故答案为：9．
【总结提升】本题考查了轴对称的性质．通过观察可以发现是轴对称图形，且阴影部分的面积为全面积
的一半，根据轴对称图形的性质求解．其中看出三角形 BEF与三角形CEF关于AD对称，面积相等是
解决本题的关键．
4．（2023春•高邮市期中）如图，在△ABC中，将∠B、∠C按如图所示的方式折叠，点B、C均落于边
BC上的点Q处，MN、EF为折痕，若∠A＝82°，则∠MQE＝ 82 ° ．【思路引领】由折叠的性质可知：∠B＝∠MQB，∠C＝∠EQC，根据三角形的内角和为180°，可求出
∠B+∠C的度数，进而得到∠MQB+∠EQC的度数，问题得解．
【解答】解：∵线段MN、EF为折痕，
∴∠B＝∠MQB，∠C＝∠EQC，
∵∠A＝82°，
∴∠B+∠C＝180°﹣82°＝98°，
∴∠MQB+∠EQC＝∠B+∠C＝98°，
∴∠MQE＝180°﹣98°＝82°，
故答案为：82°．
【总结提升】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大
小不变，位置变化，对应边和对应角相等，解题的关键是利用整体思想得到∠MGB+∠EGC的度数．
5．（2023春•长安区期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠BCD＝50°，点B关
于CD对称的点是点E，则∠ACE+∠BAC的度数大小为 60 ° ．
【思路引领】根据轴对称的性质可知∠BCD＝∠ECD，根据CD⊥AB，∠BCD＝50°，得∠DCA的度数，
再根据∠ACE＝∠DCE﹣∠DCA，∠BAC＝50°从而求得答案．
【解答】解：在Rt△ABC中，
∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠BCD＝50°，
∵B关于CD对称点是E，
∴∠BCD＝∠ECD＝50°，
∴∠DCA＝90°﹣∠BCD＝90°﹣50°＝40°，
∠B＝90°﹣∠BCD＝40°∴∠ACE＝∠DCE﹣∠DCA＝50°﹣40°＝10°，
∠BAC＝90°﹣∠B＝50°，
∴∠ACE+∠BAC＝10°+50°＝60°．
故答案为：60°．
【总结提升】本题考查了轴对称的性质，直角三角形性质，数形结合是解题的关键．
6．（2023春•盐都区期中）如图，将长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点C、B分别落在点C'、B'的位置，
G为C'B'和AB的交点，再沿AB边将∠B'折叠到∠H处，最后将∠D折叠到∠D'处，恰好点D'在直线CF
上（折痕是FM），已知∠AMD'＝32°，则∠HEF＝ 42 ° ．
【思路引领】沿MF折叠，由∠AMD'＝32°，可得∠DMF＝∠D'MF＝74°，同时可得∠DFM＝∠D'FM＝
16°，则∠CFE＝∠C'FE＝74°，∠FEB＝106°，∠FEG＝74°再沿EF折叠，则∠FEB'＝106°，则∠B'EG
＝∠FEB'﹣∠FEG＝106°﹣74°＝32°，沿AB折叠可得∠B'EG＝∠HEG＝32°，所以∠HEF＝∠FEG﹣
∠HEG＝74°﹣32°＝42°．
【解答】解：由题可得：沿MF折叠，∠AMD'＝32°，
∴∠DMF＝∠D'MF＝74°，
∴∠DFM＝∠D'FM＝16°，
∴∠CFE＝∠C'FE＝74°，∠FEB＝106°，∠FEG＝74°，
∵沿EF折叠，
∴∠FEB'＝106°，
∴∠B'EG＝∠FEB'﹣∠FEG＝106°﹣74°＝32°，
∵沿AB折叠，
∴∠B'EG＝∠HEG＝32°，
∴∠HEF＝∠FEG﹣∠HEG＝74°﹣32°＝42°．
故答案为：42°．
【总结提升】本题考查图形折叠的性质，熟练掌握折叠前后对应角相等是解此题的关键．
考点2 垂直平分线
7．（2023春•驿城区校级期中）如图，在△ABC中，BC＝8，AB的垂直平分线交BC于D，AC的垂直平分线交BC与E，则△ADE的周长等于（ ）
A．6 B．7 C．8 D．12
【思路引领】根据线段的垂直平分线的性质得到DB＝DA，EA＝EC，根据三角形的周长公式计算．
【解答】解：∵线段AB的垂直平分线交BC于点D，
∴DB＝DA，
∵线段AC的垂直平分线交BC于点E，
∴EA＝EC，
∴△ADE的周长＝AD+DE+EA＝DB+DE+EC＝BC＝8，
故选：C．
【总结提升】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点
的距离相等是解题的关键．
8．（2023春•白银期中）如图，在△ABC中，BC＝9，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，
△BCE的周长为21，则AC的长为（ ）
A．6 B．9 C．10 D．12
【思路引领】由AB的垂直平分线交AB边于点D，交AC边于点E，可得AE＝BE，又由△BCE的周长
等于21，即可求得AC+BC＝21，然后由BC＝9，求得AC的长．
【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，
∵△BCE的周长等于21，
∴BE+CE+BC＝AE+CE+BC＝AC+BC＝21．
∵△ABC中，BC＝9，∴AC＝21﹣9＝12．
故选：D．
【总结提升】此题考查了线段垂直平分线的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想与转化思想的
应用．
9．（2022秋•平城区校级期末）近年来，高速铁路的规划与建设成为各地政府争取的重要项目，如图，
A，B，C三地都想将高铁站的修建项目落户在当地，但是，国资委为了使A，B，C三地的民众都能享
受高铁带来的便利，决定将高铁站修建在到 A，B，C 三地距离都相等的地方，则高铁站应建在
（ ）
A．AB，BC两边垂直平分线的交点处
B．AB，BC两边高线的交点处
C．AB，BC两边中线的交点处
D．∠B，∠C两内角的平分线的交点处
【思路引领】根据线段垂直平分线的性质，即可解答．
【解答】解：根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理可得：将高铁站修建在到 A，B，C三地距离都
相等的地方，则高铁站应建在AB，BC两边垂直平分线的交点处，
故选：A．
【总结提升】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
10．（2023秋•安丘市校级月考）如图所示，点P为∠AOB内一点，分别作出P点关于OA、OB的对称点
P ，P ，连接P P 交OA于M，交OB于N，P P ＝25，则△PMN的周长为（ ）
1 2 1 2 1 2
A．23 B．24 C．25 D．26【思路引领】证明△PMN的周长＝P P ，可得结论．
1 2
【解答】解：∵P点关于OA、OB的对称点P ，P ，
1 2
∴NP＝NP ，MP＝MP ，
2 1
∴△PMN的周长＝PN+MN+MP＝P N+NM+MP ＝P P ＝25，
2 1 1 2
故选：C．
【总结提升】本题考查轴对称的性质，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，属于中考常考题型．
11．（2023春•古田县期中）如图，已知△ABC，点P为BC上一点．
（1）尺规作图：作直线EF，使得点A与点P关于直线EF对称，直线EF交直线AC于E，交直线AB
于F；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）连接PE，AP，AP交EF于点O，若OF＝OE请在（1）的基础上说明∠FAO＝∠EPO．
【思路引领】（1）连接AP，作线段AP的垂直平分线，交AC于E，交AB于F，连接EF即可；
（2）由（1）中作图可知EF⊥AP，AO＝OP，再证明△AOF≌△POE，得到∠FAO＝∠EPO．
【解答】解：（1）如图，直线EF即为所作图形；
（2）由（1）可知：EF垂直平分AP，
∴EF⊥AP，AO＝OP，
在△AOF和△POE中，{
AO=OP
)
∠AOF=∠POE ，
FO=OE
∴△AOF≌△POE（SAS），
∴∠FAO＝∠EPO．
【总结提升】本题考查了尺规作图，垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是根据
作图得到垂直平分线的性质，从而证明全等．
考点3 关于对称轴对称点的坐标特点
12．（2023春•景县期中）点M（1，2）关于x轴对称的点的坐标为（ ）
A．（1，﹣2） B．（﹣1，2） C．（﹣1，﹣2） D．（2，1）
【思路引领】根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，可得答案．
【解答】解：点M（1，2）关于x轴对称的点的坐标为（1，﹣2），
故选：A．
【总结提升】本题考查了关于x轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于
x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于 y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；
关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
13．（2023春•遵化市期中）已知点 P （a﹣1，5）和点 P （2，b﹣1）关于x轴对称，则 （a+b）2011的
1 2
值为（ ）
A．0 B．﹣1 C．1 D．（﹣3）2011
【思路引领】根据关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【解答】解：∵点P （a﹣1，5）和P （2，b﹣1）关于x轴对称，
1 2
∴a﹣1＝2，b﹣1＝﹣5，
解得a＝3，b＝﹣4，
∴（a+b）2011＝（3﹣4）2011＝﹣1．
故选：B．
【总结提升】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横
坐标互为相反数．
14．（2023秋•双辽市期中）在平面直角坐标系中，已知点 A（m，3）与点B（4，n）关于y轴对称，则
（m+n）2023的值为 ﹣ 1 ．
【思路引领】根据点A（m，3）与点B（4，n）关于y轴对称可以得出m＝﹣4，n＝3，再代入进行计算
即可得到答案．
【解答】解：∵点A（m，3）与点B（4，n）关于y轴对称，
∴m+4＝0，n＝3，
∴m＝﹣4，
∴（m+n）2023＝（﹣4+3）2023＝（﹣1）2023＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【总结提升】本题考查了关于y轴对称的点的特征、求代数式的值，熟练掌握关于y轴对称的点的横坐
标互为相反数，纵坐标相等是解此题的关键．
15．（2021春•天河区校级期中）已知点P（a+1，2a﹣3）关于x轴的对称点在第一象限，则a的取值范围
是（ ）
3 3 3
A．−1＜a＜ B．a＜﹣1 C．− ＜a＜1 D．a＞
2 2 2
【思路引领】根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数先判断出点p在第四象限即可．
【解答】解：∵P（a+1，2a﹣3）关于x轴的对称点在第一象限，
∴点P在第四象限，
{ a+1＞0①)
∴ ，
2a−3＜0②
解不等式①得，a＞﹣1，
3
解不等式②得，a＜ ，
23
所以，不等式组的解集是−1＜a＜ ，
2
3
故a的取值范围为−1＜a＜ ．
2
故选：A．
【总结提升】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，以及象各限内点的坐标的特点，先判断出点
P在第四象限是解题的关键．
考点4 轴对称变换的作图
16．（2023春•攸县期末）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣1，5），B（﹣1，0），C（﹣4，3）．
（1）求出△ABC的面积；
（2）在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A B C ；
1 1 1
（3）写出点A ，B ，C 的坐标．
1 1 1
【思路引领】（1）利用三角形的面积求法即可得出答案；
（2）首先找出A、B、C三点关于y轴的对称点，再顺次连接即可；
（3）根据坐标系写出各点坐标即可．
1
【解答】解：（1）如图所示：△ABC的面积： ×3×5＝7.5；
2
（2）如图所示：
（3）A （1，5），B （1，0），C （4，3）．
1 1 1【总结提升】此题主要考查了作图﹣﹣轴对称变换，关键是找出对称点的位置，再顺次连接即可．
考点5 最短路径
17．（2022秋•松山区期末）如图，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，点P是直线m上一动点，若
AB＝8，AC＝7，BC＝9，则△APC周长的最小值是（ ）
A．15 B．16 C．17 D．15.5
【思路引领】根据垂直平分线的性质BP＝PC，所以△APC周长＝AC+AP+PC＝AC+AP+BP≥AC+AB＝
9．
【解答】解：∵直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，
∴BP＝PC，
∴△APC周长＝AC+AP+PC＝AC+AP+BP，
∵两点之间线段最短，
∴AP+BP≥AB，
∴△APC的周长＝AC+AP+BP≥AC+AB，
∵AC＝7，AB＝8，
∴△APC周长最小为AC+AB＝15，
故选：A．【总结提升】本题主要考查线段垂直平分线的性质定理，以及两点之间线段最短．解题的关键是能得出
AP+BP≥AB．
18．（2022秋•邹城市校级期末）如图，等边△ABC中，BD⊥AC于D，QD＝1.5，点P、Q分别为AB、
AD上的两个定点且BP＝AQ＝2，在BD上有一动点E使PE+QE最短，则PE+QE的最小值为（ ）
A．3.5 B．4 C．5 D．6
【思路引领】作点Q关于BD的对称点Q′，连接PQ′交BD于E，连接QE，此时PE+EQ的值最小．
最小值PE+QE＝PE+EQ′＝PQ′，
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴BA＝BC，
∵BD⊥AC，AQ＝2，QD＝1.5，
∴AD＝DC＝AQ+QD＝3.5，
作点 Q 关于 BD 的对称点 Q′，连接 PQ′交 BD 于 E，连接 QE，此时 PE+EQ 的值最小．最小值
PE+QE＝PE+EQ′＝PQ′，
∵AQ＝2cm，AD＝DC＝3.5，
∴QD＝DQ′＝1.5，
∴CQ′＝BP＝2，
∴AP＝AQ′＝5，
∵∠A＝60°，
∴△APQ′是等边三角形，
∴PQ′＝PA＝5，
∴PE+QE的最小值为5．
故选：C．
【总结提升】本题考查等边三角形的性质和判定，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．
19．（2020秋•丛台区校级期末）A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，使从A到B的路
径AMNB最短的是（假定河的两岸是平行线，桥与河岸垂直）（ ）
A． （BM垂直于a） B． （AM不平行BN）
C． （AN垂直于b）D． （AM平行BN）
【思路引领】过A作河的垂线AH，要使最短，MN⊥直线a，AI＝MN，连接BI即可得出N，作出AM、
MN、BN即可．
【解答】解：根据垂线段最短，得出MN是河的宽时，MN最短，即MN⊥直线a（或直线b），只要
AM+BN最短即可，
即过A作河岸a的垂线AH，垂足为H，在直线AH上取点I，使AI等于河宽．
连接IB交河的b边岸于N，作MN垂直于河岸交a边的岸于M点，所得MN即为所求．
故选：D．
【总结提升】本题考查了最短路线问题，垂线段最短，三角形的三边关系定理的应用，关键是如何找出
M、N点的位置．
20．（2022春•吉州区期末）已知点P在∠MON内．（1）如图1，点P关于射线OM的对称点是G，点P关于射线ON的对称点是H，连接OG、OH、
OP．
①若∠MON＝50°，则∠GOH＝ 100 ° ；
②若PO＝5，连接GH，请说明当∠MON为多少度时，GH＝10；
（2）如图2，若∠MON＝60°，A、B分别是射线OM、ON上的任意一点，当△PAB的周长最小时，求
∠APB的度数．
【思路引领】（1）依据轴对称可得OG＝OP，OM⊥GP，即可得到OM平分∠POG，ON平分∠POH，
进而得出∠GOH＝2∠MON＝2×50°＝100°；②当∠MON＝90°时，∠GOH＝180°，此时点G，O，H在
同一直线上，可得GH＝GO+HO＝10；
（2）设点 P 关于 OM、ON 对称点分别为 P′、P″，当点 A、B 在 P′P″上时，△PAB 周长为
PA+AB+BP＝P′P″，此时周长最小．根据轴对称的性质，可求出∠APB的度数．
【解答】解：（1）①∵点P关于射线OM的对称点是G，点P关于射线ON的对称点是H，
∴OG＝OP，OM⊥GP，
∴OM平分∠POG，
同理可得ON平分∠POH，
∴∠GOH＝2∠MON＝2×50°＝100°，
故答案为：100°；
②∵PO＝5，
∴GO＝HO＝5，
当∠MON＝90°时，∠GOH＝180°，
∴点G，O，H在同一直线上，
∴GH＝GO+HO＝10；
（2）如图所示：分别作点P关于OM、ON的对称点P′、P″，连接OP′、OP″、P′P″，P′P″
交OM、ON于点A、B，
连接PA、PB，则AP＝AP'，BP＝BP“，此时△PAB周长的最小值等于P′P″的长．由轴对称性质可得，OP′＝OP″＝OP，∠P′OA＝∠POA，∠P″OB＝∠POB，
∴∠P′OP″＝2∠MON＝2×60°＝120°，
∴∠OP′P″＝∠OP″P′＝（180°﹣120°）÷2＝30°，
∴∠OPA＝∠OP'A＝30°，
同理可得∠BPO＝∠OP″B＝30°，
∴∠APB＝30°+30°＝60°．
【总结提升】本题主要考查了轴对称﹣﹣最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的
性质定理，多数情况要作点关于某直线的对称点．
