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专题 04 相似三角形的四种基本模型
模型一、A字型（8字型）
例1．（基本模型）如图，已知D是BC的中点，M是AD的中点．求 的值．
【答案】
【详解】如图，过点D作BN的平行线交AC于点H．
在 中，
因为M为AD的中点， ，
所以N为AH的中点，即 ．
在 中，因为D为BC的中点， ，所以H为CN的中点，即 ，
所以 ．所以 ．
例2．（培优）如图， 中，点D在 边上，且 ．
（1）求证： ；
（2）点E在 边上，连接 交 于点F，且 ， ，求 的度数．
（3）在（2）的条件下，若 ， 的周长等于30，求 的长．
【答案】（1）见解析；（2） ＝60°；（3）AF＝11
【详解】（1）证明：∵∠BDC＝90°＋ ∠ABD，∠BDC=∠ABD+∠A，
∴ ∠A＝90°－ ∠ABD．
∵∠BDC＋∠BDA＝180°，
∴∠BDA＝180°－∠BDC＝90°－ ∠ABD．
∴ ∠A＝∠BDA＝90°－ ∠ABD．
∴DB＝AB．
解：（2）如图1，作CH＝BE，连接DH，
∵∠AFD＝∠ABC，∠AFD＝∠ABD＋∠BAE，∠ABC＝∠ABD＋∠DBC，
∴∠BAE＝∠DBC．∵由（1）知，∠BAD＝∠BDA，
又∵∠EAC＝∠BAD－∠BAE，∠C＝∠ADB－∠DBC，
∴∠CAE＝∠C．
∴AE＝CE．
∵BE＝CH，
∴BE＋EH＝CH＋EH．
即BH＝CE＝AE．
∵AB＝BD，
∴△BDH≌△ABE．
∴BE＝DH．
∵BE＝CD，
∴CH＝DH＝CD．
∴△ 为等边三角形．
∴∠ADCCBH ＝60°．
（3）如图2，过点A作AO⊥CE，垂足为O．
∵DH∥AE，
∴∠CAE＝∠CDH＝60°，∠AEC＝∠DHC＝60°．
∴△ACE是等边三角形．
设AC＝CE＝AE＝x，则BE＝16－x，
∵DH∥AE，
∴△BFE∽△BDH．
∴ ．
∴ ，．
∵△ABF的周长等于30，
即AB＋BF＋AF＝AB＋ ＋x－ =30，
解得AB＝16－ ．
在Rt△ACO中，AC＝ ，AO＝ ，
∴BO＝16－ ．
在Rt△ABO中，AO2＋BO2＝AB2，
即 ．
解得 （舍去） ．
∴AC＝ ．
∴AF＝11．
【变式训练1】如图，点O是△ABC边BC上一点，过点O的直线分别交AB，AC所在直线于点M，N，且
＝m， ＝n．
（1）若点O是线段BC中点．
①求证：m+n＝2；
②求mn的最大值；
（2）若 ＝k（k≠0）求m，n之间的关系（用含k的代数式表示）．【答案】（1）①证明见解析；②mn有最大值1；（2）n＝k﹣km+1．
【详解】解：设AM＝a，AN＝b.
∵ ＝m， ＝n，
∴AB＝am，AC＝bn，
∴MB＝MA﹣AB＝a﹣am＝（1﹣m）a，CN＝AC﹣AN＝bn﹣b＝（n﹣1）b.
（1）①若点O是线段BC中点，
如图1，过点B作BH∥AC交MN于H，
∴∠OBH＝∠OCN.
在△OBH与△OCN中，
，
∴△OBH≌△OCN（ASA），
∴BH＝CN＝（n﹣1）b.
∵BH∥AN，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
∴1﹣m＝n﹣1，
∴m+n＝2；
②由①知，m+n＝2，
∴m＝2﹣n，
∴mn＝（2﹣n）n＝﹣n2+2n＝﹣（n﹣1）2+1，
∴当n＝1时，mn有最大值1；
（2）若 ＝k（k≠0），
如图2，过点B作BG∥AC交MN于G，∴∠OBG＝∠OCN.
在△OBG与△OCN中，
，∴△OBG∽△OCN，
∴ ＝ ，即 ＝k，∴BG＝ b.
∵BG∥AN，∴ ＝ ，即 ＝ ，∴1﹣m＝ ，∴n＝k﹣km+1.
【变式训练2】矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12．将矩形折叠，使点A落在点P处，折痕为DE．
（1）如图①，若点P恰好在边BC上，连接AP，求 的值；
（2）如图②，若E是AB的中点，EP的延长线交BC于点F，求BF的长．
【答案】（1） ；（2）BF＝3．
【详解】解：（1）如图①中，取DE的中点M，连接PM．
∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠C＝90°，
由翻折可知，AO＝OP，AP⊥DE，∠2＝∠3，∠DAE＝∠DPE＝90°，在Rt△EPD中，∵EM＝MD，∴PM＝EM＝DM，∴∠3＝∠MPD，∴∠1＝∠3+∠MPD＝2∠3，
∵∠ADP＝2∠3，∴∠1＝∠ADP，
∵AD∥BC，∴∠ADP＝∠DPC，∴∠1＝∠DPC，
∵∠MOP＝∠C＝90°，∴△POM∽△DCP，
∴ ，∴ ．
（2）如图②中，过点P作GH∥BC交AB于G，交CD于H．则四边形AGHD是矩形，设EG＝x，则BG＝4﹣x
∵∠A＝∠EPD＝90°，∠EGP＝∠DHP＝90°，
∴∠EPG+∠DPH＝90°，∠DPH+∠PDH＝90°，
∴∠EPG＝∠PDH，∴△EGP∽△PHD，
∴ ，∴PG＝2EG＝3x，DH＝AG＝4+x，
在Rt△PHD中，∵PH2+DH2＝PD2，
∴（3x）2+（4+x）2＝122，
解得：x＝ （负值已经舍弃），
∴BG＝4﹣ ＝ ，
在Rt△EGP中，GP＝ ，
∵GH∥BC，∴△EGP∽△EBF，
∴ ，∴ ，∴BF＝3．
模型二、X（8）字型X字型（平行） 反X字型（不平行）
例1．（基本模型）已知：如图，在 ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，点F在边AB上，
BC2=BF•BA，CF与DE相交于点G． △
（1）求证：DF•AB=BC•DG；
（2）当点E为AC中点时，求证：2DF•EG=AF•DG．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【详解】证明：（1）∵BC2=BF•BA，
∴BC：BF=BA：BC，
而∠ABC=∠CBF，∴ ，
∵DE∥BC，∴ ，∴ ，
∴DF：BC=DG：BA，∴DF•AB=BC•DG；
（2）作AH∥BC交CF的延长线于H，如图，∵DE∥BC，∴AH∥DE，
∵点E为AC的中点， 为 的中位线，∴AH=2EG，
∵AH∥DG，
∴ ，∴ ，∴ ，
即2DF•EG=AF•DG．例2．（培优）如图1，ΔABC中，AB=AC，点D在BA的延长线上，点E在BC上，DE=DC，点F是DE
与AC的交点．
（1）求证：∠BDE=∠ACD；
（2）若DE=2DF，过点E作EG//AC交AB于点G，求证：AB=2AG；
（3）将“点D在BA的延长线上，点E在BC上”改为“点D在AB上，点E在CB的延长线上”，“点F
是DE与AC的交点”改为“点F是ED的延长线与AC的交点”，其它条件不变，如图2．
①求证：AB·BE=AD·BC；
②若DE=4DF，请直接写出SΔABC:SΔDEC的值．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）①见解析；② ．
【详解】（1）证明：∵AC=AB，
∴∠ACB=∠B，
∵DC=DE，
∴∠DCE=∠DEC，
∴∠ACD+∠ACB=∠B+∠BDE，
∴∠BDE=∠ACD；
（2）证明：如图1，∵EG∥AC，
∴∠DAC=∠DGE，∠BEG=∠ACB，
由（1）知：∠DCA=∠BDE，
∵DC=DE，
∴△DCA≌△EDG（AAS），
∴AD=EG，
∵∠B=∠ACB=∠BEG，
∴EG=BG=AD，
∴DG=AB，
∵DE=2DF，AF∥EG，
∴ ，
∴DG=2AD=2AG，
∴AB=DG=2AG；
（3）解：①如图2，过点E作EG∥AC，交AB的延长线于点G，
则有∠A=∠G，
∵AB=AC，CD=DE，
∴∠ACB=∠ABC，∠DCE=∠DEC，
∴∠ACD+∠DCE=∠EDG+∠DEC，
∴∠ACD=∠EDG，
在△DCA和△EDG中，∵ ，
∴△DCA≌△EDG（AAS）．∴DA=EG，
∵AC∥EG，∴△ACB∽△GEB，
∴ ，
∵EG=AD，AC=AB，∴AB•BE=AD•BC；
②如图3，过A作AH⊥BC于H，过D作DP⊥BC于P，则AH∥PD，
∵AF∥EG，
∴ ，
∵DE=4DF，
∴ ，
设AF=a，则EG=AD=4a，DG=16a，
∵∠ACB=∠ABC，∴∠GBE=∠BEG，∴BG=EG=4a，∴BD=12a，
∵AH∥PD，
∴ ，
设PD=3h，AH=4h，∵EG∥AC，
∴ ，
设BE=y，BC=4y，
∴S ABC= BC•AH= = =8yh，
△S DCE= CE•PD= = yh，
△
∴S ABC：S DEC=8yh： yh=16：15．
△ △
【变式训练1】 如图，正方形 的边长为 ，点 是射线 上的一个动点，连接 并延长，交射
线 于点 ，将 沿直线 翻折，点 落在点 处．
（1）当 时，如图 ，延长 ，交 于点 ，
① 的长为________；
②求证： ．
（2）当点 恰好落在对角线 上时，如图 ，此时 的长为________； ________；
（3）当 时，求 的正弦值．
【答案】（1）①12；②见解析；（2） ， ；（3） 或 ．
【详解】解： ①如图 ，由 可得： ，∴ ，即 ，
∴ 的长为 ．
故答案为： ．
②证明：∵四边形 为正方形，
∴ ，
∴ ，
由折叠可知： ，
∴ ，
∴ ．
（2）如图2，由折叠可得，∠BAE＝∠CAE，
由AB CD可得，∠BAE＝∠CFE，
∴∠CAE＝∠CFE，
∴FC＝AC，
又∵等腰Rt△ABC中，AC＝ AB＝12 ，
∴CF＝12 ，
即CF的长为12 ，
由折叠可得，BE＝B'E，
∴等腰Rt△CEB'中，CE＝ B'E＝ BE，
∴ ；故答案为： ； ；
①当点 在线段 上时，如图3， 的延长线交 于点 ，
由 可得： ，
∴ ，即 ，
∴ ，
由 ②可知 ．
设 ，则 ，
则 ，
在 中， ，
即 ，
解得： ，
则 ，
∴ ．
②当点 在 的延长线上时，如图4由 可得： ，
∴ ，即 ，
∴ ，
则 ，
设 ，则 ，
在 中， ，
即 ，
解得： ，
则 ，
∴ ．
综上所述：当 时， 的正弦值为 或 ．
【变式训练2】如图1，在矩形ABCO中，OA＝8，OC＝6，D，E分别是AB，BC上一点，AD＝2，CE＝
3，OE与CD相交于点F．
（1）求证：OE⊥CD；
（2）如图2，点G是CD的中点，延长OG交BC于H，求CH的长．
【答案】（1）见解析；（2）CH的长为6．
【详解】（1）∵四边形ABCO是矩形，
∴OA=BC=8，OC=AB=6，
在Rt OCE中，CE=3，
△
∴OE= ，
∵AB∥OC，即AD∥OC，且AD=2，∴ ，
∴ ，
∴PA=4，
∴PO=PA+OA=12，
∴在Rt OPC中，OC=6，
△
∴CP= ，
∵OA∥BC，即OP∥CE，
∴ ，
∴ ，
∴EF= OE= ，
CF= CP= ，
∵( )2+( )2= =9，
∴EF2+CF2=CE2，
∴△CEF是直角三角形，
∴∠CFE=90°，
∴OE⊥CD；
（2）在Rt CBD中，CB=8，BD=AB﹣AD=6﹣2=4，
△
根据勾股定理，得CD= ，
∵点G是CD的中点，
∴CG=DG=2 ，
由（1）知：CP=6 ，∴DP=CP﹣CD=2 ，
∴点G是CP的三等分点，
∵OA∥BC，即OP∥CH，
∴ ，
∴ ，
∴CH=6．
答：CH的长为6．
【变式训练3】已知：矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点P是线段AD上一点，连接CP，点E在对角线
AC上（不与点A，C重合），∠CPE＝∠ACB，PE的延长线与BC交于点F．
（1）如图1，当AP＝2时，求CF的长；
（2）如图2，当PF⊥BC时，求AP的长；
（3）当△PFC是等腰三角形时，求AP的长．
【答案】（1）CF＝ ；（2）AP＝ ；（3）AP的长为6．
【详解】（1）如图1，∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠D＝90°，
∵AB＝6，BC＝8，
∴AC＝ ＝10，Rt△PDC中，∵AP＝2，
∴PD＝CD＝6，
∴PC＝ ＝6 ，
∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB，
∵∠CPE＝∠ACB，
∴∠DAC＝∠CPE，
∵∠PCE＝∠PCA，
∴△CEP∽△CPA，
∴ ，即 ，
∴CE＝7.2，
∴AE＝10﹣7.2＝2.8，
∵AP∥CF，
∴ ，即 ，
∴CF＝ ；
（2）如图2，
∵AD∥BC，PF⊥BC，
∴AD⊥PF，
∴∠APE＝90°，
tan∠DAC＝
设EP＝3x，AP＝4x，则AE＝5x，BF＝AP＝4x，∴CE＝10﹣5x，PD＝8﹣4x，
由（1）知：CP2＝CE•AC，
Rt△PCD中，PC2＝PD2+CD2，
∴PD2+CD2＝CE•AC，
∴62+（8﹣4x）2＝10（10﹣5x），
解得：x＝0（舍）或x＝ ，
∴AP＝4x＝ ；
（3）分三种情况：
当PF＝PC时，如图3，
①
设AP＝x，则PD＝8﹣x，CF＝2PD＝16﹣2x，
∵AP∥CF，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
由（2）知：用CE•CA＝CP2＝CD2+DP2，
∴ ＝62+（8﹣x）2，
∵x≠0，
∴x2﹣32x+156＝0，
（x﹣6）（x﹣26）＝0，
x＝6或26（舍），
∴AP＝6；当FC＝PC，如图4，连接AF，
②
∴∠CPE＝∠CFP＝∠APE＝∠ACB＝∠PAC，
∴AE＝EP，EF＝CE，
∵∠AEF＝∠PEC，
∴△AEF≌△PEC（SAS），
∴AF＝PC＝CF，
设CF＝AF＝a，则BF＝8﹣a，
Rt△ABF中，由勾股定理得：62+（8﹣a）2＝a2，
解得：a＝ ，
∴CF＝CP＝ ，
设AP＝x，则PD＝8﹣x，
∵CP2＝CD2+DP2，
∴ ，
解得：x＝ （舍）或 ；
当x＝ 时，AP＝CP＝CF＝AF，且AC＝PF
∴四边形AFCP是正方形，此种情况不存在；
当FC＝FP，如图5，P与A重合，
③该情况不符合题意；
综上：AP的长为6．
模型三、子母型
已知：∠ 1=∠2；结论：△ACD ∽△ABC
A
D
1
2
B
C
例1．（基本模型）如图，在△ABC中，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD＝AB，∠DEC＝∠B．
（1）求证：△AED∽△ADC；
（2）若AE＝1，EC＝3，求AB的长．
【答案】（1）见解析；（2）2
【详解】解：（1）证明：∵∠DEC=∠DAE+∠ADE，∠ADB=∠DAE+∠C，∠DEC=∠ADB，∴∠ADE=∠C．
又∵∠DAE=∠CAD，∴△AED∽△ADC．
（2）∵△AED∽△ADC，
∴ ，即 ，
∴AD＝2或AD＝﹣2（舍去）．
又∵AD＝AB，∴AB＝2例2.（培优）在Rt△ABC中，∠ACB= ，点D为AB上一点．
（1）如图1，若CD⊥AB，求证：AC2=9A0D°·AB；
（2）如图2，若AC=BC，EF⊥CD交CD于H，交AC于F，且 ，求 的值；
（3）如图3，若AC=BC，点H在CD上，∠AHD=45°，CH=3DH，则tan∠ACH的值为________．
【答案】（1）见解析；（2） ；（3）
【详解】（1）证明：∵ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ∽ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴设 ，则 （ ），
∵ ， ，
同（1）得： ，
∴ ，
在 中， ，
过 作 于 ，如图2所示：则 ，
在 中， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（3）解：过点 作 于 ，如图3所示：
∵ ，∴设 ，则 （ ），∴ ，
∵ ， ，∴ ，∴
又∵ ，∴ ∽ ，
∴ ， ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ 是等腰直角三角形，∴ ，
∴ ，
∴ ；故答案为： ．
【变式训练1】在矩形 中， ， ， 是 边上一点， 交 于点 ，过点
作 ，交射线 于点 ，交射线 于点 ．
（1）如图 ，当点 与点 重合时，求 的长．
（2）如图 ，当点 在线段 上时，设 ， ，求 与 之间的函数关系式，并写出它的定
义域．
（3）连接 ，当 与 相似时，求线段 的长．
【答案】（1）3；（2） ；（3） 或1
【详解】（1）∵ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
（2）过点 作 ，垂足为点 ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴2x-y=4,
当点 在线段 上时，
∴ ．
（3）∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
当 与 相似时，
①若 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵设 ， ， ，
∴ ．
②若 ，设 与 交于点 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵AB=4，BC=3，则AC=5，
设 ，
由EO∥BC
∴△AEO∽△ABC∴ 即
则 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
综上所述，线段 的长为 或1时 与 相似．
【变式训练2】如图，锐角△ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，垂足为D，E．
（1）求证：△ACD∽△ABE；
（2）若将点D，E连接起来，则△AED和△ABC能相似吗？说说你的理由．
【答案】（1）见详解；（2）相似，理由见详解；
【详解】证明：（1）∵CD，BE分别是AB，AC边上的高，
∴∠ADC＝∠AEB＝90°．∵∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABE
（2）连接DE，
∵△ACD∽△ABE,
∴AD：AE＝AC：AB．
∴AD：AC＝AE：AB．
∵∠A＝∠A．
∴△AED∽△ABC，
【变式训练3】已知正方形 的边长为4，点 在边 上，点 在边 上，且 ， 和
交于点 ．
（1）如图，求证：
①
②
（2）连接 并延长交 于点 ，
①若点 为 的中点（如图），求 的长．
②若点 在 边上滑动（不与点 重合），当 取得最小值时，求 的长．
【答案】（1）①证明见解析；②证明见解析；（2）① ；②
【详解】（1）证明：①∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=4，∠ABC=∠BCD=90°，
在 ABE和 BCF中，
△ △
，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴AE=BF；
②由①得： ABE≌△BCF，
∴∠BAE=∠CB△F，
∵∠CBF+∠ABF=90°，
∴∠BAE+∠ABF=90°，
∴∠AGB=90°，
∴AE⊥BF；
（2）解：①如图2所示：
∵E为BC的中点，
∴CF=BE= BC=2，
∴BF= ，
由（1）得：AE⊥BF，
∴∠BGE=∠ABE=90°，
∵∠BEG=∠AEB，
∴△BEG∽△AEB，
∴ ，设GE=x，则BG=2x，
在Rt△BEG中，由勾股定理得：x2+（2x）2=22，
解得：x= ，
∴BG=2× = ，
∵AB∥CD，
∴ ，即 ，
解得：BH= ；
②由（1）得：∠AGB=90°，
∴点G在以AB为直径的圆上，
设AB的中点为M，
由图形可知：当C、G、M在同一直线上时，CG为最小值，如图3所示：
∵AE⊥BF，
∴∠AGB=90°，
∴GM= AB=BM=2，
∵AB∥CD，
∴ =1，
∴CF=CG，
∵CF=BE，∴CF=CG=BE，
设CF=CG=BE=a，则CM=a+2，
在Rt△BCM中，由勾股定理得：22+42=（a+2）2，
解得：a=2 -2，即当CG取得最小值时，BE的长为2 -2．
模型四、旋转型
例1．（基本模型）在同一平面内，如图①，将两个全等的等腰直角三角形摆放在一起，点A为公共顶点，
．如图②，若△ABC固定不动，把△ADE绕点A逆时针旋转，使AD、AE与边BC的
交点分别为M、N点M不与点B重合，点N不与点C重合 ．
【探究】求证： ．
【应用】已知等腰直角三角形的斜边长为4．
(1) 的值为______．
(2)若 ，则MN的长为______．
【答案】(1)8
(2)
【探究】利用三角形外角的性质可证 ，又由 ，可证明结论；
【应用】（1）首先求出等腰直角三角形的直角边长，再由 ，得 ，则
；
（2）由 ，得 ，由（1）知 ，得 ，从而得出答案．
（1）
∵△ABC为等腰直角三角形， ，
∴ ，同理， ，
∵ ，，
∴ ，∴ ；
（2）
（1）∵等腰直角三角形的斜边长为4，
∴ ，∵ ，
∴ ，∴ ，∴ ，
故答案为：8；
（2）∵ ，∴ ，∵ ，
∴ ，∴ ，
故答案为： ．
例2．（培优）【问题发现】如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为斜边BC上一点（不与
点B，C重合），将线段AD绕点A顺时针旋转90°得到AE，连接EC，则线段BD与CE的数量关系是
______，位置关系是______；
【探究证明】如图2，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，将△ADE绕
点A旋转，当点C，D，E在同一条直线上时，BD与CE具有怎样的位置关系，说明理由；
【拓展延伸】如图3，在Rt△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝2CD＝4，过点C作CA⊥BD于A．将△ACD绕
点A顺时针旋转，点C的对应点为点E．设旋转角∠CAE为 （0°＜ ＜360°），当C，D，E在同一条直
线上时，画出图形，并求出线段BE的长度．
【答案】BD＝CE，BD⊥CE； BD⊥CE，理由见解析；图见解析，
【详解】解：（1）BD＝CE，BD⊥CE；
（2）BD⊥CE．理由如下：在Rt△ABC和Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠AEC＝45°，∵∠CAB＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，∴△CEA≌△BDA，
∴∠BDA＝∠AEC＝45°，∴∠BDE＝∠BDA＋∠ADE＝90°，∴BD⊥CE．
（3）如图所示，过点A作AF⊥CE，垂足为点F．
根据题意可知，Rt△ABC∽Rt△AED，∠BAC＝∠EAD，
∴ ，∴ ．
∵∠BAC＝∠EAD＝90°，∴∠BAE＝∠CAD，∴△BAE∽△CAD，
∴∠BEA＝∠CDA，∠BEC＋∠DEA＝∠DEA＋90°，∴∠BEC＝90°，∴BE⊥CE．
在旋转前，在Rt△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝2CD＝4，∴ ，∵AC⊥BD，
∴ ，∴ ．∴ ，
在Rt△ACD中，CD边上的高 ，旋转后，得 ，
，∴ ．
【变式训练1】如图，等腰三角形ABC和等腰三角形ADE，其中AB＝AC，AD＝AE．(1)如图1，若∠BAC＝90°，当C、D、E共线时，AD的延长线AF⊥BC交BC于点F，则∠ACE＝______；
(2)如图2，连接CD、BE，延长ED交BC于点F，若点F是BC的中点，∠BAC＝∠DAE，证明：
AD⊥CD；
(3)如图3，延长DC到点M，连接BM，使得∠ABM＋∠ACM＝180°，延长ED、BM交于点N，连接AN，
若∠BAC＝2∠NAD，请写出∠ADM、∠DAE它们之间的数量关系，并写出证明过程．
【答案】(1)22.5°；(2)见解析(3)∠DAE+2∠ADM=180°，详见解析
【解析】（1）解：∵△ABC为等腰三角形，∠BAC=90°，∴∠ABC=∠ACB=45°，
由三角形外角性质知，∠ADE=∠ACE+∠DAC，∠AED=∠ECB+∠B，
∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED，∴∠ACE+∠DAC=∠ECB+∠B，
∵AF⊥BC，∴∠BAF=∠CAD=45°，∴∠ACE=∠BCE，
又∠ACB=45°，∴∠ACE=22.5°，故答案为：22.5°．
（2）解：连接AF，过A作AH⊥EF于H，如图所示，
∵∠BAC=∠DAE，AD=AE，AB=AC，
∴∠CAF=∠BAF=∠DAH=∠EAH，
∴∠CAD=∠HAF，由△ACF∽△ADH知，
∴ ，∴△ACD∽△AFH，∴∠ACD=∠AFH，∴∠CDF=∠CAF，
∵∠ADE=∠AED=90°－ ∠DAE，∴∠ADE+∠CDF=90°，
故∠ADC=90°，即AD⊥CD．
（3）解：将AN绕A逆时针旋转∠BAC的度数，交MD延长线于Q，
∵∠BAC=∠QAN，∴∠QAC=∠BAN，
∵∠ABM+∠ACM=180°，∠ACM+∠ACQ=180°，∴∠ABM=∠ACQ，
∵AB=AC，∴△ACQ≌△ABN，∴AN=AQ，
∵∠BAC=2∠NAD=∠NAQ，∴∠QAD=∠NAD，
又AD=AD，∴△AND≌△ADQ，∴∠AND=∠ADQ，
即∠ADM+∠MDN=∠ADE+∠EDQ，∴∠ADM=∠ADE，
∵AD=AE，
∴∠DAE+2∠ADE=180°，
即∠DAE+2∠ADM=180°．
【变式训练2】［问题发现］
(1)如图1，在Rt△ABC中， ， ，点 为 的中点，以 为一边作正方形 ，
点 与点 重合，已知 ．请直接写出线段 与 的数量关系；
［实验研究］(2)在（1）的条件下，将正方形 绕点 旋转至如图2所示的位置，连接 ， ， ．请猜想线段
和 的数量关系，并证明你的结论；
［结论运用］
(3)在（1）（2）的条件下，若 的面积为8，当正方形 旋转到 ， ， 三点共线时，请求出
线段 的长．
【答案】(1)
(2) ，证明见解析
(3)线段 的长为 或
【解析】（1）
解： ， ，
，
四边形 是正方形，
， ，
，
， ，
点 与点 重合，
， ， ，
；
，
，
，
；
（2）
解： ．
证明：由（1）得， ，四边形 是正方形，
， ，
，
，
，
，
，
，
；
（3）
解：如图1， ， ，点 为 的中点，
， ，
，
的面积为8，
，
，
，
，
点 与点 重合，四边形 是正方形，
；
如图2， 、 、 三点共线且点 在线段 上，，
，
，
．
，
；
如图3， 、 、 三点共线且点 在线段 上，
则 ，
．
，
，
综上所述，线段 的长为 或 ．模型五、一线三垂直型
E
E
A
E
A
A
B C D B C D B C D
例1．（模型探究）【感知】如图①，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），
．易证 ．（不需要证明）
【探究】如图②，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合）， ．若
， ， ，求AP的长．
【拓展】如图③，在 中， ， ，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），连结
CP，作 ，PE与边BC交于点E，当 是等腰三角形时，直接写出AP的长．
【答案】【探究】3；【拓展】4或 ．
【详解】探究：证明：∵ 是 的外角，
∴ ，
即 ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ， ，∴ ，
解得： ；
拓展：∵AC=BC，
∴∠A=∠B，
∵∠CPB是 APC的外角，
∴∠CPB=∠△A+∠PCA，即∠CPE+∠EPB=∠A+∠PCA，
∵∠A=∠CPE，
∴∠ACP=∠BPE，
∵∠A=∠B，
∴△ACP∽△BPE，
当CP=CE时，∠CPE=∠CEP，
∵∠CEP＞∠B，∠CPE=∠A=∠B，
∴CP=CE不成立；
当PC=PE时， ACP≌△BPE，
则PB=AC=8，△
∴AP=AB-PB=12 8=4；
当EC=EP时，∠CPE=∠ECP，
∵∠B=∠CPE，
∴∠ECP=∠B，
∴PC=PB，
∵△ACP∽△BPE，
∴ ，
即 ，
解得： ，
∴AP=AB PB= ，
综上所述：△CPE是等腰三角形时，AP的长为4或 ．
例2．（培优）问题提出（1）如图1，在矩形 中， ，点E为 的中点，点F在 上，过点E作 交
于点G．若 ，则 的面积为_________．
问题探究
（2）如图2，在矩形 中， ，点P是 边上一动点，点Q是 的中点将．
沿着 折叠，点A的对应点是 ，将 沿着 折叠，点D的对应点是 ．请问是否存在这
样的点P，使得点P、 、 在同一条直线上？若存在，求出此时 的长度；若不存在，请说明理由．
问题解决
（3）某精密仪器厂接到生产一种特殊四边形金属部件的任务，部件要求：如图3，在四边形 中，
，点D到 的距离为 ，且 ．若过点D作 ，过点A作 的
垂线，交 于点E，交 的延长线于点H，过点C作 于点F，连接 ．设 的长为 ，
四边形 的面积为 ．
①根据题意求出y与x之间的函数关系式；
②在满足要求和保证质量的前提下，仪器厂希望造价最低．已知这种金属材料每平方厘米造价60元，请你
帮忙求出这种四边形金属部件每个的造价最低费用．
【答案】（1） ；（2）存在， 或 ；（3）① ；
②963.3元．
【详解】解：（1）∵四边形 是矩形，
∴ ．
∵ ，∴ ．
∵点E为 的中点，
∴
故答案为： ；
（2）存在，理由如下：
∵四边形 是矩形，
∴ ．
∵Q是 的中点，∴ ．
由折叠的性质得： ，
当点P、 、 三点在同一条直线上时， ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得： 或 ；
（3）①根据题意做出辅助线，如图所示．由题意得： ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ，
∴ ．
由 ，则 ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴
；
②由①知， ，当 时，四边形 的面积取得最小值为 ，
∴最低造价为 （元），
∴四边形金属部件每个的造价最低费用约为963.3元．
【变式训练1】问题提出：
（1）如图①，矩形ABCD中，AD＝6．点E为AD的中点．点F在AB上，过点E作EG AB交FC于点
G．若EG＝7．则S EFC＝ ．
△
问题探究：
（2）如图②．已知矩形ABCD纸片中．AB＝9，AD＝6，点P是CD边上一动点．点Q是BC的中点．将
△ADP沿着AP折叠，在纸片上点D的对应点是 ，将△QCP沿着PQ折叠．在纸片上点C的对应点是 ．
请问是否存在这样的点P．使得点P、 、 在同一条直线上？若存在，求出此时DP的长度．若不存在，
请说明理由．
问题解决：
（3）某精密仪器厂接到生产一种特殊四边形金属部件的任务．部件要求：如图③，四边形ABCD中，AB
＝4厘米，点C到AB的距离为5厘米，BC⊥CD．且BC＝ CD．在满足要求和保证质量的前提下，仪器
厂希望造价最低，已知这种金属材料每平方厘米造价50元．请问这种四边形金属部件每个的造价最低是多
少元？（ ≈1.73）
【答案】（1）21；（2）存在，6或3；（3）802.75元
【详解】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴CD∥AB，BC＝AD＝6，
∵EG∥AB，∴CD∥EG∥AB，
∵点E为AD的中点，
∴S EFC＝S EGC+S EGF＝ ×EG× BC+ ×EG× BC＝ ×EG×BC＝ ×7×6＝21，
△ △ △
故答案为：21；
（2）存在，理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝∠DCB＝90°，AB＝CD＝9，AD＝BC＝6，
∵Q是BC的中点，
∴CQ＝3，
由折叠的性质得：∠DPA＝∠D′PA，∠CPQ＝∠C′PQ，
当点P、D′、C′三点在同一条直线上时，∠DPA+∠D′PA+∠CPQ+∠C′PQ＝180°，
∴∠DPA+∠CPQ＝90°，
∵∠DPA+∠DAP＝90°，
∴∠DAP＝∠CPQ，
∵∠ADP＝∠PCQ＝90°，
∴△ADP∽△PCQ，
∴ ，
即 ，
解得：DP＝6或DP＝3；
（3）如图，过点C作MN∥AB，过点D作MN的垂线，交MN于点E，交BA的延长线于点H，过点B作
BF⊥MN于点F，连接BD，如图③所示：
则BF＝EH＝5cm，
∵DC⊥BC，
∴∠ECD+∠BCF＝90°，
∵BF⊥MN，
∴∠CBF+∠BCF＝90°，
∴∠ECD＝∠CBF，
又∵∠DEC＝∠CFB＝90°，
∴△DEC∽△CFB，∴ ，
设DE＝x，则DH＝5﹣x，
∵BF＝5，BC＝ CD，
∴ ，
∴ ， ，
∴S ABCD＝S EDBF﹣S CED﹣S CFB+S DAB
四边形 四边形
△ △ △
当x＝ cm时，四边形ABCD的面积取得最小值（10+ ）cm2，
∴最低造价为（10+ ）×50≈802.75（元），
∴四边形金属部件每个的造价最低约为802.75元．
【变式训练2】如图，矩形ABCD中，AB＝1，BC＝3，点E是边BC上一个动点（不与点B、C重合），AE
的垂线AF交CD的延长线于点F，点G在线段EF上，满足FG∶GE＝1∶2，设BE＝x．
（1）求证： ；
（2）当点G在△ADF的内部时，用x的代数式表示∠ADG的余切；
（3）当∠FGD＝∠AFE时，求线段BE的长．【答案】（1）见解析；（2） ；（3） ．
【详解】（1）如图，因为AF⊥AE，
∴∠EAF＝∠BAD＝∠ADF＝90°．
∵同角的余角相等，
∴∠DAF＝∠BAE．
∵∠ABE＝∠ADF＝90°．
∴△ADF∽△ABE．
∴ ．
（2）由 ，得DF＝3BE＝3x．
如图，作GH⊥CF于H，那么GH//BC//AD．
根据题意结合平行线分线段成比例得： ．
∵ ， ，∴ ．即GH＝ ，FH＝ ．
在Rt△GHD中，HD＝DF－FH＝ ＝ ＝ ，
∵∠ADG＝∠DGH，
∴cot∠ADG＝cot∠DGH＝ ＝ = ．
（3）当点G在△ADF内部时，很明显∠FGD和∠AFE不相等．所以点G在△ADF外部．
如图，作EM//GD交DC于点M，那么 ．
∴DM＝6x，
∴MC＝1－6x．
如果∠FGD＝∠AFE，那么AF//GD//EM．
∴∠AEM＋∠EAF＝180°．
∴∠AEM＝90°．
∴△ABE∽△ECM．
∴ ．即 ．
整理，得x2－9x＋1＝0．
解得 ， （不符合题意，舍去）．所以BE＝ ．【变式训练3】如图1和图2，在平面直角坐标系中，点C的坐标为（0，4），A是x轴上的一个动点，M
是线段AC的中点．把线段AM以A为旋转中心、按顺时针方向旋转90°得到AB．过B作x轴的垂线、过点
C作y轴的垂线，两直线交于点D，直线DB交x轴于点E．设A点的横坐标为m．
（1）求证：△AOC∽△BEA；
（2）若m=3，则点B的坐标为 ；若m=﹣3，则点B的坐标为 ；
（3）若m＞0，△BCD的面积为S，则m为何值时，S=6？
（4）是否存在m，使得以B、C、D为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，求此时m的值；若不存在，
请说明理由．
【答案】（1）见解析（2） ， ， （3） ， ， （4） ，
，
【详解】解：（1）证明：由题意得：∠MAB=90°
∴∠CAO+∠BAE=90°
又∵∠CAO+∠ACO=90°
∴∠BAE=∠ACO
又∵∠COA=∠AEB=90°
∴ AOC∽△BEA
△（2） 的坐标为 ， 或 ，
由勾股定理得： ，
且相似比为 ， ，
，
点 的坐标为 或 ， ，
故答案为： ， ， ；
（3）①当 时，如图（1）
且相似比为 ，
求得点 的坐标为 ，
，
解得 或4，
②当 时，如图（2）
，
解得 或 （舍去）
， ， ，
（4）①当 时，如图（1）
若
即：
无解，
若 ，同理，解得 或 （不合题意舍去），②当 时，如图（2）
若 ，
即： ，
解得 ，取 ，
若 ，同理，解得 无解，
③当 时，如图（3），
若 ，
即： ，
解得 （不合题意舍去）或 ，
若 ，同理，解得 无解，④当 时，如图（4）
若 ，
，即： ，
则 无解，
若 ，同理，解得 （不合题意舍去）或 （不合题意舍去）；
则 ， ， ．
