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专题 05 乘法公式与因式分解七大重难考点
实战训练
一．平方差公式的灵活运用
1．下列运算中，不能用平方差公式运算的是（ ）
A．（﹣b﹣c）（﹣b+c） B．﹣（x+y）（﹣x﹣y）
C．（x+y）（x﹣y） D．（x+y）（2x﹣2y）
试题分析：能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两项平方项，符号相反，对各选项分
析判断后利用排除法．
答案详解：解：A、（﹣b﹣c）（﹣b+c）符合平方差公式的特点，能用平方差公式计算，故本
选项不符合题意；
B、﹣（x+y）（﹣x﹣y）＝（x+y）（x+y），不符合平方差公式的特点，不能用平方差公式计算，
故本选项符合题意；
C、（x+y）（x﹣y）符合平方差公式的特点，能用平方差公式计算，故本选项不符合题意；
D、（x+y）（2x﹣2y）＝2（x+y）（x﹣y）符合平方差公式的特点，能用平方差公式计算，故本
选项不符合题意．所以选：B．
2．计算：20192﹣2017×2021＝ 4 ．
试题分析：根据平方差公式即可求出答案．
答案详解：解：20192﹣2017×2021
＝20192﹣（2019﹣2）（2019+2）
＝20192﹣20192+22
＝4．
所以答案是：4．
3．利用乘法公式简便计算．
（1）2020×2022﹣20212．
（2）3.6722+6.3282+6.328×7.344．
试题分析：（1）运用平方差公式计算即可；
（2）运用完全平方公式计算即可．
答案详解：解：（1）原式＝（2021﹣1）×（2021+1）﹣20212．
＝20212﹣1﹣20212
＝﹣1；
（2）原式＝3.6722+6.3282+2×3.672×6.328
＝（2.672+6.328）2
＝102
＝100．
4．某同学在计算3（4+1）（42+1）时，把3写成4﹣1后，发现可以连续运用两数和乘以这两数差
公式计算：
3（4+1）（42+1）＝（4﹣1）（4+1）（42+1）＝（42﹣1）（42+1）＝162﹣1＝255．
1 1 1 1 1
请借鉴该同学的经验，计算：(1+ )(1+ )(1+ )(1+ )+
．
2 22 24 28 215
试题分析：原式变形后，利用平方差公式计算即可得到结果．
1 1 1 1 1 1
答案详解：解：原式＝2（1− ）（1+ ）（1 + ）（1 + ）（1 + ）+
2 2 22 24 28 215
1 1
＝2（1− ）+
216 215
＝2．
5．阅读下面的材料并填空：1 1 1 1 1 1 1 3
①（1− ）（1+ ）＝1− ，反过来，得1− =（1− ）（1+ ）= ×
2 2 22 22 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 2 4
②（1− ）（1+ ）＝1− ，反过来，得1− =（1− ）（1+ ）＝ ×
3 3 32 32 3 3 3 3
1 1 1 1 1 1 3 5
③（1− ）（1+ ）＝1− ，反过来，得1− = （ 1− ）（ 1+ ） = ×
4 4 42 42 4 4 4 4
利用上面的材料中的方法和结论计算下题：
1 1 1 1 1 1
（1− ）（1− ）（1− ）……（1− ）（1− ）（1− ）
22 32 42 20162 20172 20182
试题分析：直接利用平方差公式计算进而结合已知规律得出答案．
1 1 1 1 1 1 1 3
答案详解：解：①（1− ）（1+ ）＝1− ，反过来，得1− =（1− ）（1+ ）= ×
2 2 22 22 2 2 2 2
，
1 1 1 1 1 1 2 4
②（1− ）（1+ ）＝1− ，反过来，得1− =（1− ）（1+ ）= × ，
3 3 32 32 3 3 3 3
1 1 1 1 1 1 3 5
③（1− ）（1+ ）＝1− ，反过来，得1− =（1− ）（1+ ）= ×
4 4 42 42 4 4 4 4
利用上面的材料中的方法和结论计算下题：
1 1 1 1 1 1
（1− ）（1− ）（1− ）……（1− ）（1− ）（1− ）
22 32 42 20162 20172 20182
1 3 2 4 3 2017 2019
= × × × × ×⋯× ×
2 2 3 3 4 2018 2018
2019
= ．
4036
2 4 1 1
所以答案是： ， ，（1− ）（1+ ）．
3 3 4 4
二．完全平方公式的灵活运用
6．在学习完全平方公式后，我们对公式的运用作进一步探讨．请你阅读例题的解题思路：
例：已知a+b＝4，ab＝3，求a2+b2的值．
解：∵a+b＝4，ab＝3，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝42﹣2×3＝10．
请结合例题解答问题．
若a+b＝7，ab＝10，求a2+b2的值．
试题分析：根据完全平方公式即可解答．答案详解：解：∵a+b＝7，
∴（a+b）2＝72，
∴a2+2ab+b2＝49，
∵ab＝10，
∴a2+b2＝49﹣2ab＝49﹣20＝29，
即a2+b2的值是29．
7．阅读下列解答过程：
1
已知：x≠0，且满足x2﹣3x＝1．求：x2+
的值．
x2
解：∵x2﹣3x＝1，∴x2﹣3x﹣1＝0
1 1
∴x−3− =0，即x− =3．
x x
1 1
∴x2+ =(x− ) 2+2= 32+2＝11．
x2 x
请通过阅读以上内容，解答下列问题：
已知a≠0，且满足（2a+1）（1﹣2a）﹣（3﹣2a）2+9a2＝14a﹣7，
1 a2
求：（1）a2+
的值；（2） 的值．
a2 5a4+a2+5
1
试题分析：（1）根据题意可得a− =2，再利用完全平方公式计算即可；
a
（2）根据倒数的定义和完全平方公式计算即可．
答案详解：解：（1）（2a+1）（1﹣2a）﹣（3﹣2a）2+9a2＝14a﹣71﹣4a2﹣（9﹣
12a+4a2）+9a2﹣14a+7＝0，
整理得：a2﹣2a﹣1＝0
1
∴a− =2，
a
1 1
∴a2+ =(a− ) 2+2=4+2=6；
a2 a
a2 5a4+a2+5
（2）解： 的倒数为 ，
5a4+a2+5 a25a4+a2+5 5 1
∵ =5a2+ +1=5(a2+ )+1=5×6+1=31，
a2 a2 a2
a2 1
∴ = ．
5a4+a2+5 31
8．若m+n＝7，mn＝12，求m2﹣mn+n2的值．
试题分析：首先把m2﹣mn+n2加上2mn﹣2mn，把m2+2mn+n2利用完全平方公式因式分解，进一
步整体代入计算即可．
答案详解：解：m2﹣mn+n2+2mn﹣2mn
＝m2+2mn+n2﹣3mn
＝（m+n）2﹣3mn；
把m+n＝7，mn＝12代入得：
原式＝72﹣3×12＝13．
9．已知（x+y）2＝25，（x﹣y）2＝1，求x2+y2与xy的值．
试题分析：已知等式利用完全平方公式化简，相加减即可求出所求式子的值．
答案详解：解：∵（x+y）2＝x2+2xy+y2＝25①，（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2＝1②，
∴①+②得：2（x2+y2）＝26，即x2+y2＝13；
①﹣②得：4xy＝24，即xy＝6．
10．回答下列问题
1 1 1
（1）填空：x2+ = （x+ ）2﹣ 2 ＝（x− ）2+ 2
x2 x x
1 1
（2）若a+ =5，则a2+ = 2 3 ；
a a2
1
（3）若a2﹣3a+1＝0，求a2+
的值．
a2
试题分析：（1）根据完全平方公式进行解答即可；
（2）根据完全平方公式进行解答；
1
（3）先根据a2﹣3a+1＝0求出a+ =3，然后根据完全平方公式求解即可．
a
答案详解：解：（1）2、2．
（2）23．
（3）∵a＝0时方程不成立，∴a≠0，
∵a2﹣3a+1＝0
1
两边同除a得：a﹣3+ =0，
a
1
移项得：a+ =3，
a
1 1
∴a2+ =（a+ ）2﹣2＝7．
a2 a
三．数形结合----多项式与图形的面积的美妙融合
11．我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如
图1可以得到（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．请解答下列问题：
（1）写出图2中所表示的数学等式 （ a + b + c ） 2 ＝ a 2 + b 2 + c 2 + 2 a b + 2 b c + 2 c a ；
（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c＝6，ab+bc+ac＝8，求a2+b2+c2
的值．
试题分析：（1）直接求得正方形的面积，然后再根据正方形的面积＝各矩形的面积之和求解即
可；
（2）将a+b+c＝6，ab+bc+ac＝8，代入（1）中得到的关系式，然后进行计算即可．
答案详解：解：（1）∵正方形的面积＝各个矩形的面积之和＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca，
∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca．
（2）由（1）可知：a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2（ab+bc+ca），
∵a+b+c＝6，ab+bc+ac＝8，
∴a2+b2+c2＝62﹣2×8＝36﹣16＝20．
12．我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如
图1可以得到（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．请解答下列问题：（1）写出图2中所表示的数学等式；
（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知 a+b+c＝12，ab+bc+ac＝47，求
a2+b2+c2的值；
（3）小明同学打算用x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张相邻两边长为分别为
a、b的长方形纸片拼出了一个面积为（5a+8b）（7a+4b）长方形，那么他总共需要多少张纸片？
试题分析：（1）直接求得正方形的面积，然后再根据正方形的面积＝各矩形的面积之和求解即
可；
（2）将a+b+c＝12，ab+bc+ac＝47代入（1）中得到的关系式，然后进行计算即可；
（3）长方形的面积xa2+yb2+zab＝（5a+8b）（7a+4b），然后运算多项式乘多项式法则求得
（5a+8b）（7a+4b）的结果，从而得到x、y、z的值，代入即可求解．
答案详解：解：（1）∵正方形的面积＝各个矩形的面积之和＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca，
∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca．
（2）由（1）可知：a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2（ab+bc+ca）＝122﹣47×2＝50．
（3）∵长方形的面积＝xa2+yb2+zab＝（5a+8b）（7a+4b）＝35a2+76ab+32b2，
∴x＝35，y＝32，z＝76，
∴x+y+z＝143．
答：那么他总共需要143张纸片．
13．如图1是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四
块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）．（1）图2中的阴影部分的面积为 （ b ﹣ a ） 2 ；
（2）观察图2请你写出 （a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是 （ a + b ） 2 ﹣（ a ﹣ b ） 2 ＝
4 ab ；
9
（3）根据（2）中的结论，若x+y＝5，x•y= ，则x﹣y＝ ± 4 ；
4
（4）实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式．如图 3，你有什么发现？ （ a + b ） •
（ 3 a + b ）＝ 3 a 2 + 4 a b + b 2 ．
试题分析：（1）阴影部分为边长为（b﹣a）的正方形，然后根据正方形的面积公式求解；
（2）在图2中，大正方形有小正方形和4个矩形组成，则（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab；
9
（3）由（2）的结论得到（x+y）2﹣（x﹣y）2＝4xy，再把x+y＝5，x•y= 得到（x﹣y）2＝16，
4
然后利用平方根的定义求解；
（4）观察图形得到边长为（a+b）与（3a+b）的矩形由3个边长为a的正方形、4个边长为a、b
的矩形和一个边长为b的正方形组成，则有（a+b）•（3a+b）＝3a2+4ab+b2．
答案详解：解：（1）阴影部分为边长为（b﹣a）的正方形，所以阴影部分的面积（b﹣a）2；
（2）图2中，用边长为a+b的正方形的面积减去边长为b﹣a的正方形等于4个长宽分别a、b
的矩形面积，
所以（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab；
（3）∵（x+y）2﹣（x﹣y）2＝4xy，
9
而x+y＝5，x•y= ，
4
9
∴52﹣（x﹣y）2＝4× ，
4
∴（x﹣y）2＝16，
∴x﹣y＝±4；
（4）边长为（a+b）与（3a+b）的矩形面积为（a+b）（3a+b），它由3个边长为a的正方形、
4个边长为a、b的矩形和一个边长为b的正方形组成，
∴（a+b）•（3a+b）＝3a2+4ab+b2．
所以答案是（b﹣a）2；（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab；±4；（a+b）•（3a+b）＝3a2+4ab+b2．
四．因式分解--一提净，二公式，三十字，四分组
14．请先观察下列算式，再填空：32﹣12＝8×1，52﹣32＝8×2．
①72﹣52＝8× 3 ；
②92﹣（ 7 ）2＝8×4；
③（ 1 1 ）2﹣92＝8×5；
④132﹣（ 1 1 ）2＝8× 6 ；
…
（1）通过观察归纳，你知道上述规律的一般形式吗？请把你的猜想写出来．
（2）你能运用本章所学的平方差公式来说明你的猜想的正确性吗？
试题分析：（1）从上式中可以发现等式左边：两数的平方差，前一个数比后一个数大 2；等式
右边：前一个因数是8，后一个是等式左边两数的和除4，所以可写成：（2n+1）2﹣（2n﹣1）2
＝8n；
（2）运用平方差公式计算此式，证明它成立．
答案详解：解：
①3；
②7；
③11；
④11，6．
（1）（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n；
（2）原式可变为（2n+1+2n﹣1）（2n+1﹣2n+1）＝8n．
15．因式分解：（1）16x4﹣1．
（2）（m﹣n）（x+3y）﹣（n﹣m）（x﹣y）．
试题分析：（1）用平方差公式因式分解，注意分解要彻底；
（2）用提取公因式法因式分解，注意公因式要提取彻底．
答案详解：解：（1）16x4﹣1
＝（4x2+1）（4x2﹣1）
＝（4x+1）（2x+1）（2x﹣1）；
（2）（m﹣n）（x+3y）﹣（n﹣m）（x﹣y）
＝（m﹣n）（x+3y）+（m﹣n）（x﹣y）
＝（m﹣n）（x+3y+x﹣y）
＝（m﹣n）（2x+2y）
＝2（m﹣n）（x+y）．16．（1）若3a＝6，9b＝2，求32a+4b的值；
1 1
（2）已知xy＝8，x﹣y＝2，求代数式 x3y﹣x2y2+ xy3的值．
2 2
试题分析：（1）直接利用同底数幂的乘法运算法则结合幂的乘方运算法则化简求出答案；
1
（2）首先提取公因式 xy再利用完全平方公式分解因式，进而将已知代入求出答案．
2
答案详解：解：（1）∵3a＝6，9b＝2，
∴32a+4b＝32a×34b＝（3a）2×（32b）2＝36×4＝144；
（2）∵xy＝8，x﹣y＝2，
1
∴原式= xy（x2﹣2xy+y2）
2
1
= xy（x﹣y）2
2
1
= ×8×22
2
＝16．
五．阅读类---化归思想
17．阅读下列材料：
材料1、将一个形如x2+px+q的二次三项式因式分解时，如果能满足 q＝mn且p＝m+n，则可以
把x2+px+q因式分解成（x+m）（x+n）
（1）x2+4x+3＝（x+1）（x+3）（2）x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x+2）
材料2、因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1
解：将“x+y”看成一个整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2
再将“A”还原，得：原式＝（x+y+1）2
上述解题用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题：
（1）根据材料1，把x2﹣6x+8分解因式．
（2）结合材料1和材料2，完成下面小题：
①分解因式：（x﹣y）2+4（x﹣y）+3；
②分解因式：m（m+2）（m2+2m﹣2）﹣3．
试题分析：（1）利用十字相乘法变形即可得；
（2）①根据材料2的整体思想可以对（x﹣y）2+4（x﹣y）+3分解因式；②根据材料1和材料2可以对m（m+2）（m2+2m﹣2）﹣3分解因式．
答案详解：解：（1）x2﹣6x+8＝（x﹣2）（x﹣4）；
（2）①令A＝x﹣y，
则原式＝A2+4A+3＝（A+1）（A+3），
所以（x﹣y）2+4（x﹣y）+3＝（x﹣y+1）（x﹣y+3）；
②令B＝m2+2m，
则原式＝B（B﹣2）﹣3
＝B2﹣2B﹣3
＝（B+1）（B﹣3），
所以原式＝（m2+2m+1）（m2+2m﹣3）
＝（m+1）2（m﹣1）（m+3）．
18．阅读以下材料
材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1
解：将“x+y”看成整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2
再将“A”还原，得原式＝（x+y+1）2
上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答
下列问题：
（1）因式分解：1﹣2（x﹣y）+（x﹣y）2＝ （ 1 ﹣ x + y ） 2 ；
（2）因式分解：（a2﹣4a+2）（a2﹣4a+6）+4；
（3）求证：无论n为何值，式子（n2﹣2n﹣3）（n2﹣2n+5）+17的值一定是一个不小于1的数．
试题分析：（1）将“x﹣y”看成整体，令x﹣y＝A，则原式＝12﹣2A+A2＝（1﹣A）2，再将
“A”还原，得原式＝（1﹣x+y）2；
（2）将“a2﹣4a”看成整体，令a2﹣4a＝A，则原式＝（A+2）（A+6）+4＝A2+8A+12+4＝
（A+4）2，再将“A”还原，得：原式＝（a2﹣4a+4）2＝（a﹣2）4；
（3）先由（n2﹣2n﹣3）（n2﹣2n+5）+17，运用整体思想，再即可得到式子（n2﹣2n﹣3）（n2
﹣2n+5）+17的值一定是一个不小于1的数．
答案详解：解：（1）将“x﹣y”看成整体，令x﹣y＝A，则
原式＝12﹣2A+A2＝（1﹣A）2，
再将“A”还原，得：
原式＝（1﹣x+y）2；所以答案是：（1﹣x+y）2；
（2）将“a2﹣4a”看成整体，令a2﹣4a＝A，
原式＝（A+2）（A+6）+4＝A2+8A+12+4＝（A+4）2，
将“A”还原，得：
原式＝（a2﹣4a+4）2＝（a﹣2）4；
（3）令n2﹣2n＝A，则
原式＝（A﹣3）（A+5）+17
＝A2+2A﹣15+17＝A2+2A+2
＝（A+1）2+1，
将A＝n2﹣2n还原，
原式＝（n2﹣2n+1）2+1＝（n﹣1）4+1，
因为无论n为何值（n﹣1）4≥0，
所以（n﹣1）4+1≥1，
即式子（n2﹣2n﹣3）（n2﹣2n+5）+17的值一定是一个不小于1的数．
19．教科书中这样写道：“我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”，如果一个多
项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，
再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的
数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问
题或求代数式最大值，最小值等．
例如：分解因式x2+2x﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x
﹣1）；例如求代数式2x2+4x﹣6的最小值.2x2+4x﹣6＝2（x2+2x﹣3）＝2（x+1）2﹣8．可知当x
＝﹣1时，2x2+4x﹣6有最小值，最小值是﹣8，根据阅读材料用配方法解决下列问题：
（1）分解因式：m2﹣4m﹣5＝ （ m + 1 ）（ m ﹣ 5 ） ．
（2）当a，b为何值时，多项式a2+b2﹣4a+6b+18有最小值，并求出这个最小值．
（3）当a，b为何值时，多项式a2﹣2ab+2b2﹣2a﹣4b+27有最小值，并求出这个最小值．
试题分析：（1）根据阅读材料，先将m2﹣4m﹣5变形为m2﹣4m+4﹣9，再根据完全平方公式写
成（m﹣2）2﹣9，然后利用平方差公式分解即可；
（2）利用配方法将多项式a2+b2﹣4a+6b+18转化为（a﹣2）2+（b+3）2+5，然后利用非负数的
性质进行解答；
（3）利用配方法将多项式a2﹣2ab+2b2﹣2a﹣4b+27转化为（a﹣b﹣1）2+（b﹣3）2+17，然后利用非负数的性质进行解答．
答案详解：解：（1）m2﹣4m﹣5
＝m2﹣4m+4﹣9
＝（m﹣2）2﹣9
＝（m﹣2+3）（m﹣2﹣3）
＝（m+1）（m﹣5）．
所以答案是（m+1）（m﹣5）；
（2）∵a2+b2﹣4a+6b+18＝（a﹣2）2+（b+3）2+5，
∴当a＝2，b＝﹣3时，多项式a2+b2﹣4a+6b+18有最小值5；
（3）∵a2﹣2ab+2b2﹣2a﹣4b+27
＝a2﹣2a（b+1）+（b+1）2+（b﹣3）2+17
＝（a﹣b﹣1）2+（b﹣3）2+17，
∴当a＝4，b＝3时，多项式a2﹣2ab+2b2﹣2a﹣4b+27有最小值17．
20．【阅读学习】做整式的乘法运算时借助图形，可以由图形直观的获取结论．
例1：如图1，可得等式：a（b+c）＝ab+ac．
例2：由图2，可得等式：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．
借助几何图形，利用几何直观的方法在解决整式运算问题时经常采用．
【问题解决】
（1）如图3，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为 a+b+c的正方形．从中你
发现的结论用等式表示为 （ a + b + c ） 2 ＝ a 2 + b 2 + c 2 + 2 a b + 2 b c + 2 a c ； ；
（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知 a+b+c＝12，ab+bc+ac＝48．求
a2+b2+c2的值．
【拓展应用】
（3）利用此方法也可以求出一些不规则图形的面积．如图 4，将两个边长分别为a和b的正方
形拼在一起，B、C、G三点在同一直线上，连接BD和BF，若这两个正方形的边长满足a+b＝
10，ab＝20，请求出阴影部分的面积．试题分析：（1）先用正方形的面积公式表示出面积，再用几个小正方形和小长方形的面积的和
表示大正方形的面积，由两个结果相等即可得出结论．
（2）利用数形结合思想用等面试法探究因式分解，用因式分解结论反求几何面积
答案详解： 解：（ 1）∵正方形面积为（ a+b+c）2，小块四边形面积总和为
a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，
∴由面积相等可得：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，
故可得结论是：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；
所以答案是：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；
（2）由（1）可知a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣（2ab+abc+2ac），
∵a+b+c＝12，ab+bc+ac＝48，
∴a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2（ab+bc+ac）＝144﹣2×48＝48，
故a2+b2+c2的值为48；
（3）∵a+b＝10，ab＝20，
∴（a+b）2＝100∴a2+b2+2ab＝100，
∴a2+b2＝60，
∴S阴影 ＝S两正方形 ﹣S△ABD ﹣S△BFG ，
1 1
＝a2+b2− a2− b（a+b）
2 2
1
= （a2+b2﹣ab）
21
= ×（60﹣20）
2
＝20．
故阴影部分的面积是20．
六．规律类----类比思想
21．有足够多的长方形和正方形卡片，分别记为1号，2号，3号卡片，如图1所示．
（1）如果选取4张3号卡片，拼成如图2所示的一个正方形，请你用2种不同的方法表示阴影
部分的面积．
①方法1： （ m ﹣ n ） 2 方法2： （ m + n ） 2 ﹣ 4 m n
②请写出代数式（m+n）2，（m﹣n）2，4mn这三个代数式之间的等量关系： （ m + n ） 2 ＝（ m
﹣ n ） 2 + 4 m n ．
（2）解决问题：若|a+b﹣6|+|ab﹣4|＝0，求（a﹣b）2的值．
（3）如果选取1张1号，2张2号，3张3号卡片，可拼成一个长方形（不重叠无缝隙），请画
出这个拼出的长方形，根据图形的面积关系得到的等式是： m 2 + 2 n 2 + 3 mn ＝（ m + 2 n ）（ m + n ）
．
试题分析：（1）①从“整体”和“部分”两个方面分别表示阴影部分的面积即可；
②由①中两种方法所表示的面积相等可得答案；
（2）根据非负数的定义可得a+b＝6，ab＝4，再根据（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab进行计算即可；
（3）求出所拼成的长方形的长、宽以及总面积即可．
答案详解：解：（1）①方法1：图2中阴影部分是边长为（m﹣n），因此面积为（m﹣n）2，
方法2：图2阴影部分也可以看作从边长为（m+n）的正方形减去4个长为m．宽为n的长方形
面积，因此有（m+n）2﹣4mn，
所以答案是：（m﹣n）2，（m+n）2﹣4mn；
②由①得（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn，所以答案是：（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn；
（2）∵|a+b﹣6|+|ab﹣4|＝0，|a+b﹣6|≥0，|ab﹣4|≥0，
∵a+b﹣6＝0，ab﹣4＝0，
即a+b＝6，ab＝4，
∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab
＝36﹣16
＝20，
答：（a﹣b）2的值为20；
（3）1张1号，2张2号，3张3号卡片的总面积为m2+2n2+3mn，而1张1号，2张2号，3张3
号卡片可以拼成长为（m+2n），宽为（m+n）的长方形，
所以有m2+2n2+3mn＝（m+2n）（m+n），
所以答案是：m2+2n2+3mn＝（m+2n）（m+n）．
22．王老师在黑板上写下了四个算式：
①32﹣12＝（3+1）（3﹣1）＝8＝8×1；
②52﹣32＝（5+3）（5﹣3）＝16＝8×2；
③72﹣52＝（7+5）（7﹣5）＝24＝8×3；
④92﹣72＝（9+7）（9﹣7）＝32＝8×4；
…
认真观察这些算式，并结合你发现的规律，解答下列问题：
（1）112﹣92＝ 4 0 ；132﹣112＝ 4 8 ．
（2）小华发现上述算式的规律可以用文字语言概括为：“两个连续奇数的平方差能被8整除”，
如果设两个连续奇数分别为2n+1和2n﹣1（n为正整数），请你用含有n的算式验证小华发现的
规律．
试题分析：（1）根据已知算式写出符合题意的答案；
（2）利用平方差公式计算得出答案．
答案详解：解：（1）112﹣92
＝（11+9）（11﹣9）
＝8×5
＝40；
132﹣112
＝（13+11）（13﹣11）＝8×6
＝48．
所以答案是：40；48；
（2）（2n+1）2﹣（2n﹣1）2
＝（2n+1﹣2n+1）（2n+1+2n﹣1）
＝2×4n
＝8n，
∵n为正整数，
∴两个连续奇数的平方差是8的倍数．
23．阅读下面材料，并回答相应的问题：
通过学习，我们了解了因式分解的两种基本方法：提公因式法，公式法．下面我们将探索因式
分解的其它方法．
（1）请运用多项式乘以多项式的法则填空：
（x+2）（x+3）＝ x 2 + 5 x + 6 ，（x+2）（x﹣3）＝ x 2 ﹣ x + 6 ，
（x﹣2）（x+3）＝ x 2 + x + 6 ，（x﹣2）（x﹣3）＝ x 2 ﹣ 5 x + 6 ．
从特殊到一般，探索规律进行推导，过程如下：
（x+p）（x+q）＝ x 2 + p x + q x + p q
＝x2+ （ p + q ） x+ p q
（2）因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用（1）中的规律，我们可以得到一种因式分
解的新方法： （ x + p ）（ x + q ）＝ x 2 + （ p + q ） x + p q （用字母等式表示）．
利用这种方法，请将下列各式因式分解：
x2+4x+3＝ （ x + 1 ）（ x + 3 ） ，x2+4x﹣5＝ （ x + 1 ）（ x ﹣ 5 ） ，2x2﹣5x+2＝ （ 2 x ﹣ 1 ）（ x
﹣ 2 ） ，3x2﹣x﹣2＝ （ 3 x + 2 ）（ x ﹣ 1 ） ．
试题分析：（1）利用多项式乘多项式的法则进行运算即可；
（2）结合（1）进行分析即可求解．
答案详解：解：（1）（x+2）（x+3）
＝x2+3x+2x+6
＝x2+5x+6，
（x+2）（x﹣3）
＝x2﹣3x+2x﹣6＝x2﹣x+6，
（x﹣2）（x+3）
＝x2+3x﹣2x﹣6
＝x2+x+6，
（x﹣2）（x﹣3）
＝x2﹣3x﹣2x+6
＝x2﹣5x+6，
（x+p）（x+q）
＝x2+px+qx+pq
＝x2+（p+q）x+pq，
所以答案是：x2+5x+6；x2﹣x+6；x2+x+6；x2﹣5x+6；x2+px+qx+pq；（p+q）；pq；
（2）（x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq，
x2+4x+3＝（x+1）（x+3），
x2+4x﹣5＝（x+1）（x﹣5），
2x2﹣5x+2＝（2x﹣1）（x﹣2），
3x2﹣x﹣2＝（3x+2）（x﹣1），
所以答案是：（x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq；（x+1）（x+3）；（x+1）（x﹣5）；（2x﹣
1）（x﹣2）；（3x+2）（x﹣1）．
24．老师在黑板上写了三个算式，希望同学们认真观察，发现规律．请你结合这些算式，解答下列
问题：
请观察以下算式：
①32﹣12＝8×1；
②52﹣32＝8×2；
③72﹣52＝8×3；
………
试写出符合上述规律的第五个算式；
验证：设两个连续奇数为2n+1，2n﹣1（其中n为正整数），并说明它们的平方差是8的倍数；
试题分析：仿照已知等式确定出第五个算式即可；列出两个连续奇数的平方差，分解后即可作出
判断．
答案详解：解：第五个算式为：112﹣92＝8×5；
验证：设两个连续奇数为 2n+1，2n﹣1（其中 n 为正整数），则（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝（2n+1﹣2n+1）（2n+1+2n﹣1）＝2×4n＝8n．
故两个连续奇数的平方差是8 的倍数．
七．乘法公式的综合应用
25．你能化简 （a﹣1）（a99+a98+a97+…+a2+a+1）吗？
我们不妨先从简单情况入手，发现规律，归纳结论．
（1）先填空：（a﹣1）（a+1）＝ a 2 ﹣ 1 ；（a﹣1）（a2+a+1）＝ a 3 ﹣ 1 ；（a﹣1）
（a3+a2+a+1）＝ a 4 ﹣ 1 ；…
由此猜想：（a﹣1）（a99+a98+a97+…+a2+a+1）＝ a 10 0 ﹣ 1
（2）利用这个结论，请你解决下面的问题：
①求2199+2198+2197+…+22+2+1 的值；
②若a7+a6+a5+a4+a3+a2+a+1＝0，则a等于多少？
试题分析：（1）原式利用多项式乘多项式法则计算得到结果，归纳总结得到一般性规律，写出
即可；
（2）各项变形后，利用得出的规律计算即可得到结果．
答案详解：解：（1）：（a﹣1）（a+1）＝a2﹣1；（a﹣1）（a2+a+1）＝a3﹣1；（a﹣1）
（a3+a2+a+1）＝a4﹣1；…
由此猜想：（a﹣1）（a99+a98+a97+…+a2+a+1）＝a100﹣1；
所以答案是：a2﹣1；a3﹣1；a4﹣1；a100﹣1；
（2）①∵（2﹣1）（2199+2198+2197+…+22+2+1）＝2200﹣1，
∴2199+2198+2197+…+22+2+1＝2200﹣1；
②∵a8﹣1＝（a﹣1）（a7+a6+a5+a4+a3+a2+a+1）＝0，即a8＝1，
∴a＝±1，
当a＝1时，a7+a6+a5+a4+a3+a2+a+1＝0不成立，
∴a＝﹣1．
26．分解因式x2﹣4y2﹣2x+4y，细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提
取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的
分解因式了，过程为：
x2﹣4y2﹣2x+4y＝（x+2y）（x﹣2y）﹣2（x﹣2y）＝（x﹣2y）（x+2y﹣2）这种分解因式的方法
叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题：
（1）分解因式：a2﹣4a﹣b2+4；（2）△ABC三边a，b，c满足a2﹣ab﹣ac+bc＝0，判断△ABC的形状．
试题分析：（1）应用分组分解法，把a2﹣4a﹣b2+4分解因式即可．
（2）首先应用分组分解法，把a2﹣ab﹣ac+bc＝0分解因式，然后根据三角形的分类方法，判断
出△ABC的形状即可．
答案详解：解：（1）a2﹣4a﹣b2+4
＝a2﹣4a+4﹣b2
＝（a﹣2）2﹣b2
＝（a+b﹣2）（a﹣b﹣2）
（2）∵a2﹣ab﹣ac+bc＝0，
∴a（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝0，
∴（a﹣b）（a﹣c）＝0，
∴a﹣b＝0或a﹣c＝0，
∴a＝b或a＝c，
∴△ABC是等腰三角形．
27．阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．
解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0
∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0，∴n＝4，m＝4．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知x2﹣2xy+2y2+6y+9＝0，求xy的值；
（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2﹣10a﹣12b+61＝0，求△ABC的
最大边c的值；
（3）已知a﹣b＝8，ab+c2﹣16c+80＝0，求a+b+c的值．
试题分析：（1）根据x2﹣2xy+2y2+6y+9＝0，应用因式分解的方法，判断出（x﹣y）2+（y+3）2
＝0，求出x、y的值各是多少，再把它们相乘，求出xy的值是多少即可；
（2）首先根据a2+b2﹣10a﹣12b+61＝0，应用因式分解的方法，判断出（a﹣5）2+（b﹣6）2＝
0，求出a、b的值各是多少；然后根据三角形的三条边的长度的关系，求出△ABC的最大边c的
值是多少即可；
（3）首先根据a﹣b＝8，ab+c2﹣16c+80＝0，应用因式分解的方法，判断出（a﹣4）2+（c﹣8）
2＝0，求出a、c、b的值各是多少；然后把a、b、c的值求和，求出a+b+c的值是多少即可．
答案详解：解：（1）∵x2﹣2xy+2y2+6y+9＝0，∴（x2﹣2xy+y2）+（y2+6y+9）＝0，
∴（x﹣y）2+（y+3）2＝0，
∴x﹣y＝0，y+3＝0，
∴x＝﹣3，y＝﹣3，
∴xy＝（﹣3）×（﹣3）＝9，
即xy的值是9．
（2）∵a2+b2﹣10a﹣12b+61＝0，
∴（a2﹣10a+25）+（b2﹣12b+36）＝0，
∴（a﹣5）2+（b﹣6）2＝0，
∴a﹣5＝0，b﹣6＝0，
∴a＝5，b＝6，
∵6﹣5＜c＜6+5，c≥6，
∴6≤c＜11，
∴△ABC的最大边c的值可能是6、7、8、9、10．
（3）∵a﹣b＝8，ab+c2﹣16c+80＝0，
∴a（a﹣8）+16+（c﹣8）2＝0，
∴（a﹣4）2+（c﹣8）2＝0，
∴a﹣4＝0，c﹣8＝0，
∴a＝4，c＝8，b＝a﹣8＝4﹣8＝﹣4，
∴a+b+c＝4﹣4+8＝8，
即a+b+c的值是8．
