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期末重难点真题特训之易错必刷题型（99题33个考点）专练
【精选最新考试题型专训】
易错必刷题一、求二次根式的值
1．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）当 时，二次根式 的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本题主要考查二次根式求值，将 代入二次根式，直接求解即可．
【详解】解：当 时，
故选：B．
2．（23-24八年级下·全国·课后作业）（1）当a为 时， ＋1的值最小，为 ；
（2）当a为 时， 的值最大，为 ．
【答案】 1 2
【分析】本题主要考查二次根式的性质：
（1）根据 即可求出 的值，以及所求式子的最小值；
（2）根据 即可求出 的值，以及所求式子的最大值．
【详解】解：（1）∵ ，
∴ ，
∴ 的最小值为1，
此时 ，解得 ．
所以，当 时， 的值最小，为1．
故答案为： ；1；（2）∵ ，
∴ ，
∴ 的最大值为2．
此时 ，解得 ．
所以，当 时， 的值最大，为2．
故答案为： ，2
3．（23-24八年级下·湖北黄冈·期中）若实数x，y满足 ，求 的值．
【答案】
【分析】根据被开方数是非负数，可得 ， 的值，根据代数式求值，可得答案．
【详解】解：由题意，得
， ，
解得 ，
当 时， ．
当 ， 时， ．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，利用被开方数是非负数得出 ， 的值是解题关键．
易错必刷题二、二次根式有意义的条件
1．（23-24八年级下·湖南益阳·阶段练习）若式子 在实数范围内有意义，则 的取值范围是（
）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数得出 ，求解即可．
【详解】解：由题意得： ，解得： ，
故选：D．
2．（23-24八年级下·湖北孝感·期中）要使二次根式 有意义，则整数 的值可以为 （填写一
个整数值即可）．
【答案】2（大于等于2的整数即可）
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于求出a
的取值范围即可得到答案．
【详解】解：∵要使二次根式 有意义，
∴ ，
∴ ，
∴符合题意的整数 的值可以为2，
故答案为：2（大于等于2的整数即可）．
3、（23-24八年级下·甘肃武威·期中）已知 满足 ，求 的值．
【答案】
【分析】本题考查分式有意义的条件，二次根式有意义的条件；根据被开方数大于等于0，分母不等于0
列式求出x，再求出y，然后代入代数式进行计算即可得解．
【详解】解：依题意，得： ，
解得： ；
又 ；
即 ；
∴ ；
；
故 ．
∴ 的值为 ．易错必刷题三、二次根式的化简求值
1．（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）已知 ，化简二次根式 的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查二次根式的性质，根据二次根式的性质进行化简，判断即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
故选A．
2．（23-24八年级下·黑龙江绥化·阶段练习）已知 ，化简 的结果是 ．
【答案】5
【分析】本题考查的是二次根式以及绝对值的化简，根绝未知数的值化简是解决本题的关键.
根据 ，判断 ， 的正负，进行化简，合并同类项，得出结果.
【详解】解：∵
∴ .
故答案为：5
3．（23-24八年级下·山东烟台·期中）求代数式 的值，其中 ，如图是小亮和小芳的
解答过程：
(1)__________的解法是错误的；
(2)求代数式 值，其中 ．
解：原式 解：原式
【答案】(1)小亮
(2)2027【分析】（1）根据二次根式的性质和 得出答案即可；
（2）先根据 和二次根式的性质进行计算，再合并同类项，最后代入求出答案即可．
本题考查了二次根式的化简求值和二次根式的性质，完全平方公式，能熟记当 时， ，当
时， 是解此题的关键．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∴小亮的解法是错误的；
（2）∵
∴
．
．
易错必刷题四、二次根式的运算
1．（23-24八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据二次根式的运算法则进行计算即可求解．【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项正确，符合题意；
D. ，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
2．（2024·广东揭阳·一模）计算： ．
【答案】7
【分析】本题考查二次根式混合运算，熟练掌握二次根式混合运算法则是解题的关键．
先根据平方差公式和二次根式乘法法则计算，再计算加减即可．
【详解】解：原式
．
故答案为：7．
3．（23-24八年级下·安徽滁州·期中）（1）计算： ．
（2）计算： ．
【答案】（1） ；（2）
【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算．
（1）根据二次根式性质进行化简，然后根据二次根式加减运算法则进行计算即可；
（2）根据平方差公式和完全平方公式，结合二次根式运算法则进行计算即可．
【详解】解：（1）．
（2）
．
易错必刷题五、分母有理化
1．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）我们知道形如 ， 的数可以化简，其化简的目的主要
是把原数分母中的无理数化为有理数．如： ， ．这样
的化简过程叫做分母有理化．我们把 叫做 的有理化因式， 叫做 的有理化因式．利用有
理化因式，可以得到如下结论：① ；②设有理数a，b满足 ，则
；③ ；④已知 ，则 ；以
上结论正确的有（ ）
A．①③ B．①② C．①④ D．③④
【答案】A
【分析】本题考查了二次根式的混合运算．利用有理化因式进行变形计算后即可判断．
【详解】 ，故①正确；∴ ，故②错误；
，
，
∴ ，故③正确；
∵ ， ，
∴ ，故④错误；
故选：A
2．（23-24七年级下·上海·阶段练习）分母有理化： ．
【答案】 /
【分析】本题考查了分母有理化，分子分母同时乘以 ，即可求解．
【详解】解： ，
故答案为： ．
3．（23-24八年级下·广东珠海·期中）小明在解决问题：已知 ，求 的值．他是这样分
析与解答的：
因为 ，所以所以 ，即 ．所以 ．
所以 ．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
(1)计算： ______；
(2)计算： ；
(3)若 ，求 的值．
【答案】(1)
(2)9
(3)5
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
（1）分子，分母都乘以 即可化简；
（2）先分母有理化，再算加减即可；
（3）小根据例子求出 ，得到 ，再变形计算代数式的值即可．
【详解】（1） ．
故答案为： ；
（2）（3）∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
．
易错必刷题六、勾股定理的证明方法
1．（23-24八年级下·重庆九龙坡·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一．据《周髀算经》记载，勾
股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算
经》内的勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一个证明．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（
）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，完全平方公式的应用，根据面积公式，逐项推理论证判断即可．
【详解】解：A．大正方形面积为： ，也可以看做是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：
，∴ ，可以证明勾股定理，故本选项不符合题意；B．梯形的面积为： ，也可看作是2个直角三角形和一个等腰直角三角形组
成，则其面积为： ，∴ ，可以证明勾股定理，故本选项
不符合题意；
C．大正方形的面积为： ，也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：
，∴ ，∴ 故本选项不符合题意；
D．图形中不涉及直角三角形，故无法证明勾股定理，故本选项符合题意；
故选：D．
2．（23-24八年级上·吉林长春·期末）人们很早就发现直角三角形的三边 满足的关系 ，我
国汉代“赵爽弦图”（如图）就巧妙的利用图形面积证明了这一关系．下列几何图形中，可以正确的解释
直角三角形三边这一关系的图有 ．（直接填写图序号）
【答案】 /
【分析】③本题④考④查③了勾股定理的证明方法，解题的关键是理解题意，掌握利用等面积法进行证明．分别求
出①②③④的面积，进行化简即可得．
【详解】解：①长方形的面积： ，
② ，
③ ，
整理，得 ，
④ ，整理，得 ，
故答案为：③④．
3．（23-24八年级下·广西玉林·期中）勾股定理在数学和许多其他领域中都有广泛的应用，勾股定理是一
个非常重要的数学定理，它在几何学、三角学、物理学、工程学等多个领域都有重要的应用．关于勾股定
理的证明方法到现在为止有500多种，勾股定理常见的一些证明方法是：几何证明、代数证明、向量证明、
复数证明、面积证明等．当两个全等的直角三角形按图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，以
下是利用图1证明勾股定理的完整过程：将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中 ，求
证：
证明：连接 ，过点D作 交 延长线于点F，则
又∵
∴
请参照上述证明方法，利用图2完成下面的证明．
将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中 ，求证： ．
【答案】见解析
【分析】本题考查了勾股定理的证明． 连接 ，过点B作 边上的高 ，则 ，仿照已知材
料中的方法，利用五边形面积的不同表示方法解答即可．
【详解】证明：连接 ，过点B作 边上的高 ，则 ．∵
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
易错必刷题七、用勾股定理解三角形
1．（23-24八年级上·四川宜宾·期末）如图，两个边长为1的正方形整齐地排列在数轴上形成一个大的长
方形，以O点为圆心，以长方形的对角线长度为半径作圆与数轴有两个交点，其中点 表示的数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查实数与数轴，勾股定理，根据勾股定理求出 ，据此可得答案．
【详解】解：由勾股定理得 ，∴点Р表示的数是 ．
故选B．
2．（23-24八年级下·北京·期中）若直角三角形两条直角边的边长之和为17，面积是30，则该直角三角形
的斜边长为 ．
【答案】13
【分析】本题主要考查了勾股定理和完全平方公式的变形求值，设一条直角边长为x，另一条直角边长为
，则 ，由完全平方公式的变形推出 ，则由勾股定理可得
答案．
【详解】解：设一条直角边长为x，另一条直角边长为 ，
由题意得： ，
∴ ，
∴ ，
∴斜边 ，
故答案为：13．
3．（23-24八年级下·福建福州·期中）如图，在 中， ， 于点 ， ，求
的长．
【答案】
【分析】本题考查了垂线的定义以及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据垂线的定义得出 ，在 中，根据勾股定理求出 ，再根据线段的和差
求出 ，然后在 中，利用勾股定理即可求出 的值．
【详解】解： ，
在 中，
，
在 中， ．
易错必刷题八、勾股定理与折叠问题
1．（23-24八年级下·广东中山·期中）如图，在 中， ， ， ，将它的锐角
翻折，使得点 落在边 的中点 处，折痕交 边于点 ，交 边于点 ，则 的长为（ ）
A．3 B．4 C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了折叠的性质、勾股定理，由题意得出 ，由折叠的性质可得 ，
则 ，再勾股定理计算即可得出答案．
【详解】解： 点 为 的中点，
，
由折叠的性质可得： ，
设 ，则 ，
由勾股定理可得： ，
，解得： ，
，
故选：D．
2．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，在长方形 中， ， ，将此长方形沿 折
叠，使点 与点 重合，则 的长度为 ．
【答案】6
【分析】本题考查勾股定理与折叠问题．折叠得到 ，设 ，利用勾股定理进行求解即可，掌
握折叠的性质和勾股定理，是解题的关键．
【详解】解：∵折叠，
∴ ，
设 ，
∵在长方形 中， ， ，
∴ ，
由勾股定理得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：6．
3．（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·阶段练习）如图， 中， ， ， ，将
折叠，使 点与 的中点 重合，折痕为 ，求线段 的长．【答案】
【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，折叠得到 ，设 ，在 中，利用勾股定理
进行求解即可．
【详解】解：∵折叠，
∴ ，
∵ 为 的中点，
∴ ，
设 ，则： ，
∵ ，
∴由勾股定理，得： ，
解得： ；
∴ ．
易错必刷题九、勾股定理的应用
1．（23-24八年级下·河北·期中）如图，一个长为 的梯子 斜靠在一竖直的墙上，这时梯子的底端
距墙 ，若梯子的顶端下滑 至点 处，则梯子的底端滑动的距离 为（ ）
A．4m B．6m C．8m D．15m
【答案】C【分析】本题考查了勾股定理的应用，关键是掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
先求出下滑后梯子底端距离墙角的距离，再计算梯子底端滑动的距离．
【详解】解；下滑前梯子顶端距离墙角的距离为 ，
顶端下滑后梯子底端距离墙角的距离为 ，
．
故选：C．
2．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，一棵垂直于地面的大树在离地面3米处折断，树的顶端
落在离树干底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是 米．
【答案】8
【分析】本题考查了勾股定理的应用，运用勾股定理即可求出斜边，从而得出这棵树折断之前的高度．
【详解】解： 一棵垂直于地面的大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树干底部4米处，
折断部分长为 ，
折断之前的高度为 （米），
故答案为：8．
3．（23-24八年级下·河南周口·期中）交通安全是社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速、超载、不
按规定行驶．某中学八年级数学活动小组的同学进行了测试汽车速度的实验．如图，先在笔直的公路l旁
选取一点P，在公路l上确定点 ，使得 ， 米， ．这时，一辆轿车在公路l
上由B向A匀速驶来，测得此车从B处行驶到A处所用的时间为3秒，并测得 ．此路段限速每
小时80千米，试判断此车是否超速？请说明理由（参考数据： ）．
【答案】此车超速，理由见解析.
【分析】本题主要考查勾股定理与实际问题；根据 ， 米， ，可知 的长，，在 中，可求出 的长，从而确定 的长度，根据速度等于路程除以时间可以算
出汽车的速度，再与此路段限速每小时 千米比较，由此即可求解．
【详解】此车超速．
理由： ， ，
是等腰直角三角形．
米．
在 中， ，
．
米．
由勾股定理得 米，
米．
汽车的速度 （米/秒） 千米/小时 千米/小时．
答：此车超速．
易错必刷题十、勾股定理的最短路径问题
1．（23-24八年级下·北京·期中）如图，在桌面上放置一个正方体，正方体的棱长为 ，点 为一条棱
的中点，蚂蚁在正方体表面爬行，从点 爬到点 的最短路程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查平面展开最短路径问题，勾股定理，关键是知道两点之间线段最短，找到起点终点是解
题的关键．
正方体侧面展开为长方形，确定蚂蚁爬行的起点和终点，根据两点之间线段最短，根据勾股定理可求出最
短路径长．【详解】解：如图，
它运动的最短路程 ．
故选：C．
2．（23-24八年级下·湖南邵阳·期中）如图，点 是正方体的一个顶点，点 是正方体一条棱的中点，已
知正方体的棱长为3cm．一只蚂蚁如果要沿着正方体表面从 点爬到 点，需要爬行的最短距离为
．
【答案】
【分析】正方体侧面展开为长方形，由两种爬行的路线确定蚂蚁爬行的起点和终点，根据两点之间线段最
短和勾股定理可求出两种路径长，比较即可．本题考查平面展开最短路径问题，关键是知道两点之间线段
最短，找到起点终点，根据勾股定理求出答案．
【详解】解：如图，
按图1的路线爬行 ，
按图1的路线爬行 ，
∵
爬行的最短距离为 ．故答案为： ．
3．（23-24八年级下·广西南宁·阶段练习）问题情境：如图①，一只蚂蚁在一个长为 ，宽为 的
长方形地毯上爬行，地毯上堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且等于宽 ，木块从正面看是一
个边长为 的等边三角形，求一只蚂蚁从点 处到达点 处需要走的最短路程．
数学抽象：将蚂蚁爬行过的木块的侧面“拉直”“铺平”，“化曲为直”，连接 ．
(1)线段 的长即蚂蚁从点 处到达点 处需要走的最短路程，依据是______；
(2)问题解决：求出这只蚂蚁从点 处到达点 处需要走的最短路程．
【答案】(1)两点之间线段最短
(2)这只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程为 ．
【分析】本题考查平面展开—最短路径问题，两点之间线段最短，勾股定理，要注意培养空间想象能力．
（1）根据题意画出三棱柱木块的平面展开图，结合两点之间线段最短即可求解；
（2）根据题意可得，展开图中 等于长方形地毛毯的长和三角形一条边长之和，展开图中 等于长方
形地毛毯的宽，根据勾股定理计算 的长即可求解．
【详解】（1）
解：如图所示，
线段 的长即蚂蚁从点 处到达点 处需要走的最短路程，依据是两点之间线段最短，
故答案为：两点之间线段最短；
（2）
解：根据题意可得：展开图中的 ， ．
在 中，由勾股定理可得： ，
即这只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程为 ．易错必刷题十一、勾股定理的逆定理
1．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）由a，b，c组成的三角形是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．根据勾股定理逆定理，
验证四个选项中数据是否满足“较小两边平方的和等于最大边的平方”，由此即可得出结论．
【详解】解：A． ， ，
，
由线段 ， ， 组成的三角形不是直角三角形，故A不符合题意；
B． ， ，
，
由线段 ， ， 组成的三角形不是直角三角形，故B不符合题意；
C． ， ，
，
由线段 ， ， 组成的三角形是直角三角形，故C符合题意；
D． ， ，
，
由线段 ， ， 组成的三角形不是直角三角形，故D不符合题意．
故选：C．
2．（23-24八年级下·广西河池·期中）若a，b，c是 的三边，且 ，则
的面积为 ．
【答案】60
【分析】此题考查了勾股定理的逆定理，绝对值，偶次方，算术平方根等知识点，熟练掌握这些性质，得到三角形的三边长是解题的关键． 先根据非负数的性质得到 的三边a、b、c的长，再根据勾股定理
的逆定理可知 为直角三角形，再根据三角形的面积公式即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ， ， ，
解得 ， ， ，
∵ ，
∴ 是直角三角形，
∴ 的面积为 ．
故答案为60．
3．（23-24八年级下·福建龙岩·阶段练习）边长为1的正方形的顶点称为格点，如图1，图2中点A，B，
C，D，E均为格点．
(1)在图1中， 的度数为______；
(2)如图1，请仅用无刻度直尺作图，在 上取一点M，使 ；
(3)在图2中，请仅用无刻度直尺作图，作 ， ，并直接写出 的面积为______．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)2，图见解析
【分析】本题考查了作图，勾股定理及其逆定理：
（1）利用勾股定理的逆定理即可求解；
（2）取个点 ，连接 、 ， 与 相交于 ，进而可求解；
（3）利用勾股定理，取 、 ，再连接 即可求解；
熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．【详解】（1）解： ， ， ，
，即： ，
，
故答案为： ．
（2）取个点 ，连接 、 ， 与 相交于 ，
， ，
， ，
，
，
如图所示，点 即为所求：
（3） ， ，则：
如图所示， 即为所求：
，
故答案为：2．
易错必刷题十二、平行四边形的性质
1．（23-24八年级下·山西吕梁·期中）周末乐乐去爸爸的机械加工厂帮忙，发现了爸爸新注册的机械加工
商标如图，在平行四边形 中， 平分 ， ，则 度数是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，解题的关键是是掌握平行四边形对边互相平行，
对角相等．
先根据平行四边形的性质得出 ， ，即可推出 ，根据角平分线的定义
得出 ，最后结合平行性的性质，即可解答．
【详解】解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
故选：D．
2．（23-24八年级下·北京·期中）如图，在平行四边形 中， 平分 ，交 边于 ，
， ，则 的长为 ．
【答案】2
【分析】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定等知识点．先根据平行四边形的性质可得
， ，根据平行线的性质可得 ，再根据角平分线的定义可得
，从而可得 ，然后根据等腰三角形的判定可得 ，最后根据
即可得．
【详解】解： 四边形 是平行四边形， ，
， ，，
平分 ，
，
，
，
，
故答案为：2．
3．（2024八年级下·全国·专题练习）如图， 中，点 、 在 上， ， ．
(1)求证： ；
(2)求证： ．
【答案】(1)详见解析
(2)详见解析
【分析】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练运用平行四边形的性质、全等三
角形的判定与性质是解题的关键．
（1）根据平行四边形的性质、平行线的性质求出 ， ，根据垂直的定义求出
，利用 即可证明 ；
（2）根据全等三角形的性质得出 ，根据“内错角相等，两直线平行”即可得解．
【详解】（1）证明： 四边形 是平行四边形，
， ，
，
， ，
，
在 和 中，
，；
（2）证明： ，
，
∴ ．
易错必刷题十三、平行四边形的判定
1．（23-24八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）在四边形 中，对角线 ， 相交于点O，将下列条
件中的任意两个进行组合，可以判定它是平行四边形的有（ ）组．（1） ；（2） ；
（3） ；（4）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】C
【分析】本题考查了平行四边形的判定，解答此类题的关键是要突破思维定势的障碍，运用发散思维，多
方思考，探究问题在不同条件下的不同结论，挖掘它的内在联系，向“纵、横、深、广”拓展，从而寻找
出所得的结论．在四边形中如果有：①四边形的两组对边分别平行；②一组对边平行且相等；③两组对边
分别相等；④对角线互相平分；⑤两组对角分别相等．则四边形是平行四边形．根据平行四边形的判定方
法，进行解答即可．
【详解】解：能推出四边形 是平行四边形的有：
（1）（2）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
（1）（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
（1）（4）∵ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴四边形 为平行四边形；
（2）（4）∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 为平行四边形；
综上分析可知，共有4组，
故选：C．
2．（2024·浙江宁波·模拟预测）在《圆锥曲线论》中有一个著名的“阿波罗尼奥斯定理”，这个定理可以
表述为：平行四边形对角线的平方和等于各边的平方和． 如图，在 中， ， ， ，
D是 的中点，则 的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，熟练运用阿波罗尼奥斯定理是解题的关键．
延长 到E，使 ，连接 ， ，根据线段中点的定义得到 ，推出四边形 是平
行四边形，得到 ， ，根据阿波罗尼奥斯定理解方程即可得出结论．
【详解】解：延长 到E，使 ，连接 ， ，
点D是 的中点，
，
，
四边形 是平行四边形，
， ，由阿波罗尼奥斯定理得： ，
，
，
，
故答案为： ．
3．（2024八年级下·北京·专题练习）如图，在平行四边形 中，F是 的中点，延长 到点E．使
，连接 、 ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ， ．求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定以及性质，平行线的性质以及勾股定理解三角形等知识点．
（1）由平行四边形的性质得出 ，且 ，由中点的定义得出 ，结合已知条件即
可得出 ，进一步证明四边形 是平行四边形，再由平行四边形的性质可得出 ．
（2）过点C作 于点H．由平行线的性质得出 ，则 ，由勾股定理求出
，由平行四边形的性质得出 ，即可求出 ，再利用勾股定理即可求出 ．
【详解】（1）证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，且 ，
∵F是 的中点，
∴ ，又∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ；
（2）如图，过点C作 于点H．
在 中， ， ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ， ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
由（1）可知，四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
在 ，根据勾股定理得：
．
易错必刷题十四、三角形的中位线
1．（23-24八年级下·湖北荆门·期中）如图，在四边形 中， 为对角线， ， ，E、
F分别是边 的中点，则 的取值范围是（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查三角形中位线定理，三角形三边关系定理；添加辅助线，构造中位线，得出线段之间的
数量关系是解题的关键．取 的中点H，连接 、 ，根据三角形中位线定理分别求出 、 ，
根据三角形的三边关系解答即可．
【详解】解：取 的中点H，连接 、 ，
∵E、H分别为 、 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
同理可得： ，
在 中， ，即 ，
当点H在 上时， ，
∴ ，
故选：B．
2．（23-24八年级下·北京西城·期中）如图，在 中， ，在边 上截取 ，连接
，过点A作 于点E．已知 ，如果F是边 的中点，连接 ，那么 的长
是 ．【答案】1
【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形三线合一的性质和中位线的性质，熟练掌握以上知识点并运用
数形结合的思想是解题关键．根据勾股定理确定 的长度，进而确定 的长度；再根据等腰三角形三线
合一的性质确定E为 中点，再根据中位线的性质求出 的长度．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴E为 中点， ．
∴ ，
又∵F是 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ．
故答案为：1．
3．（2024八年级下·全国·专题练习）如图， 中， ， ， 平分 ， ，
延长 交 于点 ， 是 的中点，求 的长．
【答案】
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质以及三角形的中位线定理．根据 平分 ，
，运用 易证明 ．根据全等三角形的性质，得 ， ，从而在
中，根据三角形的中位线定理就可求解．
【详解】解： ，，
又 平分 ，
，
在 和 中，
，
，
， ，
，
又 是 的中点，
，
是 的中位线，
．
易错必刷题十五、矩形的性质
1．（23-24八年级下·重庆江津·阶段练习）如图，在矩形 中对角线 、 相交于点 ，
，则 的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了矩形的性质，等边对等角的性质以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的
和的性质，熟记各性质是解题的关键．
根据矩形的对角线互相平分且相等可得 ，再根据等边对等角可得 ，然后根据三角
形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
【详解】解：∵矩形 的对角线 ， 相交于点 ，
∴ ，∴ ，
∴ ．
故选D．
2．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）如图，E、F、G、H分别是矩形 各边的中点，且四边形
的周长为 ，则矩形 的对角线 的长为 ．
【答案】 /8厘米
【分析】本题考查矩形的性质、三角形的中位线性质，先根据矩形性质得到 ，再利用三角形的中
位线性质得到 ，进而利用四边形的周长公式求得 即可．
【详解】解：连接 ，
∵四边形 是矩形，
∴ ，
∵E、F、G、H分别是矩形 各边的中点，
∴ ， ，
∴ ，
∵四边形 的周长为 ，
∴ ，
∴ ，
即矩形 的对角线 的长为 ，
故答案为： ．
3．（23-24九年级上·陕西咸阳·期中）如图，矩形 的对角线 相交于点 ，点 ， 在上，且 ．
(1)求证： ；
(2)若 ，求矩形 的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理；
（1）由矩形的性质得出 ， ， ， ，证出 ，由 证明
，即可得出 ，进而即可得证；
（2）证出 是等边三角形，得出 ， ，在 中，由勾股定理求出 ，
即可得出矩形 的面积．
【详解】（1）证明： 四边形 是矩形，
， ， ， ，
，
，
在 和 中，
，
（ ），
，
；
（2）解： ， ， ，
，
，
是等边三角形，，
，
在 中， ，
矩形 的面积 ．
易错必刷题十六、矩形的判定
1．（23-24八年级下·广西南宁·期中）如图，已知四边形 是平行四边形， 是它的两条对角
线，下列条件中能判定这个平行四边形为矩形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了矩形的判定．熟练掌握矩形的判定是解题的关键．
根据矩形的判定对各选项进行判断作答即可．
【详解】解：当 时，四边形 是矩形，故A符合要求；
，不能判定平行四边形 为矩形，故B不符合要求；
，不能判定平行四边形 为矩形，故C不符合要求；
，不能判定平行四边形 为矩形，故D不符合要求；
故选：A．
2．（23-24八年级下·湖北荆州·期中）已知平行四边形ABCD的对角线交于点O，分别添加下列条件：①
；② ；③ ；④ 中的一个，能使平行四边 为矩形的条件的序
号是 ．
【答案】①③④
【分析】本题主要考查了矩形的判定，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，对角线相等的平行四边
形是矩形等判定方法一一判定即可．
【详解】解：①∵有一个角是直角的平行四边形是矩形，∴此项成立；
②∵菱形是平行四边形，它的对角线也互相垂直，但它不是矩形，∴此项不成立；③∵对角线相等的平行四边形是矩形，∴此项成立；
④∵平行四边形的对角线互相平分，由 可得它的对角线相等，∴此项成立．
故答案为：①③④．
3．（23-24九年级上·陕西汉中·阶段练习）如图,在 中,点E,F分别在 , 上,连接 , , ,
,且 ．请从以下三个选项中:① ;② ;③ ,选择一个合适的选项作为已知
条件,使四边形 是矩形．（不再添加其他线条和字母）．
(1)你添加的条件是: ;（填序号，填一个即可）
(2)添加条件后,请证明四边形 是矩形．
【答案】(1)①（或②）
(2)证明见解析
【分析】本题考查矩形的判定及平行四边形判定及性质．
（1）根据题意 ,先分析平行四边形的性质有哪些,思考平行四边形和矩形的区别,可知“对角线相等
的平行四边形为矩形”继而解出本题;
（2）根据（1）所得结论证明出 是矩形即可．
【详解】（1）解:根据平行四边形性质与判定,矩形的判定,选择①（或②）,选择其中一个序号填写即可．
（2）解:证明:若选①判定如下:
∵四边形 是平行四边形,
∴ , , ,
∵ ,
∴在 和 中,
,
∴ ,
∴ ,∵ ,
∴ 为平行四边形,
∵ ,
∴ 为矩形;
若选② 判定如下:
解:∵四边形 是平行四边形,
∴ ,
∵ ,
∴ 为平行四边形,
∵ ,
∴ 为矩形．
易错必刷题十七、菱形的性质
1．（23-24八年级下·广东汕头·期中）如图，在菱形 中， ， ，E、F为垂足，
，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题主要考查了中垂线的性质；菱形的性质．依题意，首先推出 是等边三角形，然后可知
， ， ，故可得 ．
【详解】解：连接 ．， ，
，
是等边三角形，
，
又 ， ，
，
，
又 ，
．
故选：B．
2．（23-24八年级下·天津滨海新·期中）如图，在菱形 中， ， ，则边 上的高
的长是 ．
【答案】
【分析】由对角线 ， 交于点 ，则 为直角三角形，在 中，已知 ， ，根据勾
股定理即可求得 的长，根据菱形面积不同的计算方法可以求得 的长度，即可解题．本题考查了菱形
面积的计算方法，考查了勾股定理在直角三角形中的运用，本题中根据勾股定理计算 的值是解题的关
键．
【详解】解：∵四边形 是菱形，对角线 ， 交于点 ，
为直角三角形
∵ ， ，
则 ． ，，
菱形的面积根据边长和高可以计算，根据对角线长也可以计算，
即 ，
解得： ，
故答案为：9.6．
3．（23-24八年级下·广西防城港·期中）如图，在 中，对角线 与 相交于点 ，
．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了菱形的性质与判定；
（1）根据已知条件得出 ，即可证明平行四边形 是菱形，根据菱形的性质，即可得证；
（2）在 中，勾股定理求得 ，进而根据菱形的性质即可求解．
【详解】（1）证明： ，
，
四边形 是平行四边形，
平行四边形 是菱形，
；
（2）解：由（1）可知， 是菱形， ，
，
，在 中， ，
，
，
，
．
易错必刷题十八、菱形的判定
1．（2024·上海金山·二模）在四边形 中， ， ，对角线 、 相交于点 ．下
列说法能使四边形 为菱形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质以及等腰三角形的判定等知识．证明
，得 ，再证明 ，则四边形 是平行四边形，然后由菱形的判定即可
得出结论．
【详解】解：能使四边形 为菱形的是 ，理由如下：
如图，∵ ，
，
，
，
，
，
，
四边形 是平行四边形，
又 ，
平行四边形 为菱形，
故选：C．
2．（23-24八年级下·河北廊坊·期中）如图，在平行四边形 中，对角线 与 交于点O．（1）添加一个条件 ，则可判定四边形 是菱形；
（2）若 ， ，则 与 的周长之差为 ．
【答案】 2
【分析】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定，熟练掌握性质和坡度是解题的关键．
（1）根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，添加一个条件即可；
（2）根据平行四边形的性质，结合三角形的周长表达式，计算即可．
【详解】（1）根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，可以添加一个条件 ，
故答案为： ；
（2）∵平行四边形 中，对角线 与 交于点O， ， ，
∴ ， ， ，
∴ 与 的周长之差为 ，
故答案为：2．
3．（23-24八年级下·湖北宜昌·期中）如图，在平行四边形 中，F是对角线的交点，E是边 的中
点，连接 ．
(1)求证： ；
(2)当 与 满足________时，四边形 是菱形，并证明你的结论；
【答案】(1)见解析
(2) ，证明见解析
【分析】本题考查平行四边形的性质，菱形的判定，三角形中位线定理．
（1）根据平行四边形的性质，结合三角形中位线定理求证即可；
（2）根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，补充条件并证明即可．
【详解】（1）∵在平行四边形 中，F是对角线的交点，∴ ，
∵E是边 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
即
（2）当 时，四边形 是菱形，证明如下：
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵四边形 是平行四边形，
∴四边形 是菱形．
易错必刷题十九、正方形的性质
1．（23-24八年级下·广东珠海·期中）在正方形 中，E是对角线 上一点，且 ，则 的
度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角定理，熟练掌握知识点是解题的关键．
根据正方形得到 ，由等边对等角以及三角形内角和定理得到 ．
【详解】解：∵四边形 是正方形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选：D．2．（23-24八年级下·福建莆田·期中）如图，在正方形 中，点E，F分别是 的中点，
相交于点M，G为 上一点，N为 的中点．若 ，则线段 的长度为
．
【答案】 /
【分析】本题考查了三角形中位线的性质和勾股定理的应用，正方形的性质，矩形的判定与性质；构造三
角形是破解本题的关键．根据条件正方形边长为4，由勾股定理求出线段 长，利用中位线得到 长
即可．
【详解】解：连接 ， ，
点 ， 分别是 ， 的中点，
四边形 是矩形，
是 的中点，
在正方形 中， ， ，
，
在 中，由勾股定理得，
，
在三角形 中， 是 的中点， 是 的中点，
是三角形 的中位线，
．故答案为： ．
3．（23-24八年级下·内蒙古·阶段练习）如图，在 中， ， 于 ，将 沿
折叠为 ，将 沿 折叠为 ，延长 和 相交于点 ．
(1)求证：四边形 为正方形；
(2)若 ， ，求 的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查了正方形的判定及性质、折叠的性质及勾股定理：
（1）由折叠的性质可得到的条件是：① ，② ，且
；由②可判定四边形 是矩形，由 可证得四边形 是正方形；
（2）设 ，由折叠的性质可得： （即正方形的边长为x）， ，
；进而可用x表示出 的长，即可在 中，由勾股定理求得 的长，进而可求
出 的长；
熟练掌握正方形的判定是解题的关键．
【详解】（1）证明： ，
；
由折叠可知， ， ，
， ，
；
；
四边形 是正方形．
（2） 四边形 是正方形，
，又 ， ， ，
设 的长为 ，则 ， ．
在 中，由勾股定理得： ，
即 ，
解得 ，
， ．
易错必刷题二十、正方形的判定
1．（2024·湖南岳阳·一模）如图，在菱形 中，对角线 、 交于点 ，添加下列一个条件，能
使菱形 成为正方形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了正方形四边形的判定，关键是掌握正方形的判定方法．
根据正方形的判定来添加合适的条件．
【详解】解：要使菱形成为正方形，只要菱形满足以下条件之一即可，（1）有一个内角是直角，（2）对
角线相等．
即 或 ．
故选：B．
2．（23-24八年级下·河南焦作·期中）如图，在菱形 中，对角线 相交于点O，不添加任何
辅助线，请你添加一个条件 ，使四边形 是正方形（填一个即可）．
【答案】 （答案不唯一）【分析】本题考查了正方形的判定：先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；先判定四边
形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角．根据有一个直角的菱形为正方形添加条件．
【详解】解： 四边形 为菱形，
当 时，四边形 为正方形．
故答案为： ．
3．（23-24八年级下·江苏宿迁·阶段练习）已知：如图，在 中， ，D点是 的中点，
分别是 的角平分线．
(1)请直接写出 之间的数量关系： ；
(2)求证：四边形 是矩形；
(3)当 满足条件 时，四边形 是正方形．（直接填空即可）
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3) （答案不唯一）
【分析】
本题主要考查了矩形的判定，正方形的判定，等腰三角形的性质与判定，直角三角形的性质等等：
（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到 ；
（2）由三线合一定理得到 ，再由有三个角是直角的四边形是矩形即可证明结论；
（3）根据有一组邻边相等的矩形是正方形，只需要满足 ，而由三线合一定理可得
，则只需要满足 即可．
【详解】（1）解：∵在 中， ，D点是 的中点，
∴ ，
故答案为： ；
（2）证明：∵ ， 分别是 的角平分线，
∴ ，又∵ ，
∴四边形 是矩形；
（3）解：当 满足条件 时，四边形 是正方形，理由如下：
∵ ， 分别是 的角平分线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴矩形 是正方形，
故答案为： （答案不唯一）；
易错必刷题二十一、中点四边形
1．（2024八年级下·江苏·专题练习）如图，在四边形 中， 、 、 、 分别是边 、 、
、 的中点．请你添加一个条件，使四边形 为菱形，应添加的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了中点四边形，以及菱形的判定，熟练掌握三角形中位线定理是解本题的关键．应添加
的条件为 ，理由为：根据 、 、 、 分别为 、 、 、 的中点，利用三角形中位
线定理及 ，等量代换得到四条边相等，确定出四边形 为菱形．
【详解】解：应添加的条件是 ，理由为：
、 、 、 分别为 、 、 、 的中点，且 ，， ， ， ，
，
∴四边形 为菱形，
故选：D．
2．（2023·辽宁沈阳·模拟预测）如图，在四边形 中， ，连接 ，点 、 、 、
分别为 、 、 、 的中点，若 ， ，则四边形 的周长为 ．
【答案】
【分析】本题考查的是中点四边形．连接 ，根据勾股定理求出 ，再根据三角形中位线定理分别求出
、 、 、 ，计算即可．
【详解】解：连接 ，
是 的中点， ，
，
，
点 、 、 、 分别为 、 、 、 的中点，
是 的中位线， 是 的中位线， 是 的中位线， 是 的中位线，
， ， ， ，四边形 的周长为 ，
故答案为： ．
3．（23-24八年级下·江苏扬州·期中）如图，点E、F、G、H分别是四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA
的中点，顺次连接E、F、G、H得四边形EFGH．
(1)求证：四边形EFGH是平行四边形．
(2)当四边形ABCD分别是菱形、矩形、正方形时，相应的平行四边形EFGH一定是“菱形、矩形、正方
形”中的哪一种？请将你的结论填入下表：
矩
四边形ABCD 菱形 正方形
形
平行四边形EFGH
【答案】(1)见解析
(2)矩形，菱形，正方形
【分析】（1）连接BD，点E、F、G、H分别是四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，可得EH和
FG为中位线，根据中位线的性质即可求证．
（2）由（1），根据矩形，菱形，正方形的判定即可求解．
【详解】（1）证明：如图，连接BD，
∵E、H分别是AB、AD中点，
∴EH//BD，EH＝ BD，同理FG//BD，FG＝ BD，
∴EH//FG，且EH＝FG，
∴四边形EFGH是平行四边形．
（2）连接AC，BD，如图所示：
当四边形ABCD是菱形时，
∴AC⊥BD，
∵FG//BD，EH//FG，
∴EH⊥EF，
∴平行四边形EFGH是矩形，
当四边形ABCD是矩形时，
AC=BD，则EH=EF，
∴平行四边形ABCD是菱形，
当四边形ABCD是正方形时，AC=BD且AC⊥BD，则EH=EF且EH⊥EF，
∴平行四边形EFGH是正方形，
故答案为：矩形，菱形，正方形．
【点睛】本题考查了中点四边形、平行四边形的判定、三角形的中位线的性质，菱形的判定，矩形的判定
及正方形的判定，熟练掌握其各判定定理是解题的关键．
易错必刷题二十二、变量与函数
1．（23-24七年级下·陕西西安·期中）第四届铁一陆港运动会男子100米决赛在风雨操场上进行，随着一
声发令枪响，健儿们像离弦的箭一般冲了出去．看着赛场上激烈的角逐，求知小组的同学也展开了激烈的
讨论：声音传播的速度和什么有关系呢?好学的小陆同学利用五一假期查阅资料，找到声音在空气中传播
的速度与空气温度关系的一些数据（如下表）：
温度
声速下列说法错误的是（ ）
A．在这个变化中，自变量是温度，因变量是声速
B．温度越高，声速越快
C．当空气温度为 时， 声音 可以传播
D．当温度每升高 ， 声速增加
【答案】C
【分析】本题主要考查了函数的定义，表格表示自变量与因变量．根据自变量、因变量的定义，以及声音
在空气中传播的速度与空气温度关系逐一判断即可．
【详解】解：∵在这个变化中，自变量是温度，因变量是声速，
∴选项A说法正确，不符合题意；
∵根据数据表，可得温度越低，声速越慢，温度越高，声速越快，
∴选项B说法正确，不符合题意；
由列表可知，当空气温度为 时，声速为 ，
声音 可以传播
∴选项C说法不正确，符合题意；
∵ ， ， ， ， ，
∴当温度每升高 ，声速增加 ，
∴选项D说法正确，不符合题意．
故选：C．
2．（23-24八年级下·河北张家口·期中）某同学参加了马拉松7.5公里健康跑项目，他从起点开始以平均每
分钟x公里的速度跑了10分钟，此时他离健康跑终点的路程为y公里，则y与x的函数表达式是 ．
【答案】
【分析】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式即可．根据题意可知：总路
程-已跑的路程=离终点的路程，然后列出相应的代数式即可．
【详解】解：由题意可得，他从起点开始以平均每分钟x公里的速度跑了10分钟，此时他离健康跑终点的
路程为 公里，
∴ ．
故答案为： ．
3．（23-24七年级下·河北保定·期中）莲池区某学校门口道路中间的隔离护栏平面示意图如图所示，假如
每根立柱宽为 米，立柱间距为3米．立柱根数 1 2 3 4 5
护栏总长度
（米）
(1)根据如图所示，将表格补充完整；
(2)设有 根立柱，护栏总长度为 米，则 与 之间的关系式是______．
(3)求护栏总长度为93米时立柱的根数？
【答案】(1) ，
(2)
(3)护栏总长度为93米时立柱的根数为30
【分析】本题主要考查了列函数关系式，求自变量．
（1）根据图示列出式子求解即可．
（2）由题意得y与x之间的关系式为： ；
（3）当 时，代入y与x之间的关系式，求解．
【详解】（1）解：当有3根立柱时， （米），
当有5根立柱时， （米）；
将表格补充完整：
立柱根数 1 2 3 4 5
护栏总长度（米）
（2）解：根据题意得： 与 之间的关系式为：
；
（3）解：当 时， ，解得： ，
即护栏总长度为93米时立柱的根数为30根．
易错必刷题二十三、函数的图象
1．（23-24八年级下·河南南阳·期中）“行走是吾乡”2023河南省自行车公开赛暨环中原自行车公开赛在
南水北调中线工程渠首激情开赛，甲、乙两选手的行程y（千米）随时间x（时）变化的图象（全程）如图
所示，有下列说法：其中，错误的说法是（ ）
A．甲比乙先到达终点 B．第1小时两人都跑了21千米
C．起跑后1小时内，甲在乙的前面 D．两人都跑了 千米
【答案】A
【分析】此题考查了函数图象．解题的关键是根据题意理解各段函数图象的实际意义．由图象可知起跑后
1小时内，甲在乙的前面；在跑了1小时时，乙追上甲，此时都跑了121千米；乙比甲先到达终点；根据
纵坐标，即可求得两人跑的距离，则可求得答案．
【详解】解：根据图象得：
乙比甲先到达终点，故选项A错误，符合题意；
在跑了1小时时，乙追上甲，此时都跑了21千米，故选项B正确，不符合题意；
起跑后1小时内，甲在乙的前面；故选项C正确，不符合题意；
两人都跑了 千米，故选项D正确，不符合题意．
故选：A．
2．（23-24八年级下·北京西城·期中）甲、乙两车从 地开往 地，全程 ；所行的路程与时间的函
数图象如图所示，下列问题：①乙车比甲车早出发 ；②甲车用 追上乙车，此时乙车行驶 ；③
乙车的速度小于甲车速度；④甲车跑完全程比乙车跑完全程少用 ；以上正确的序号是 ．【答案】 /
【分析】①本题③主③要①考查了一次函数的应用，利用图象可得出，甲，乙的速度，以及所行路程等，注意利用
所给数据结合图形逐个分析．
【详解】解：①乙车比甲车早出发 ；由图可知，当 时，乙车横坐标为 ，甲车横坐标为 ，故①正
确；
②甲车追上乙车时行驶了 ，由图可知，甲车用 小时相遇，甲车追上乙车行驶的路程 ，故②
不正确；
③由图中可知乙车行驶全程所用时间比甲车多，则乙车速度小于甲车；故③正确；
④甲车跑完全程比乙车跑完全程少用 ；甲车跑完所用时间 小时；乙车跑完所用时间
小时；
甲车跑完全程比乙车跑完全程少用 ，故④错误；
故答案为①③．
3．（23-24八年级下·北京·期中）小红星期天从家里出发骑车去舅舅家做客，当她骑了一段路时，想起要
买个礼物送给表弟，于是又折回到刚经过的一家商店，买好礼物后又继续骑车去舅舅家，以下是她本次去
舅舅家所用的时间与离家距离之间的关系示意图．根据图中提供的信息回答下列问题：
(1)小红家到舅舅家的距离是_______米，小红在商店停留了_______分钟；
(2)本次去舅舅家的行程中，小红一共行驶了_______米，一共用了_______分钟．
(3)请再写出一条从图中得到的信息：________．【答案】(1)
(2)
(3)小红在 骑车速度为 ，(答案不唯一)
【分析】本题考查了一次函数的应用以及一次函数图象，解题的关键是：（1）观察函数图象，找出各数
据；（2）将各路程段路程相加．
（1）观察函数图象，可知小红家到舅舅家的距离是1500米，小红在商店停留的时间为4分钟，此题得解；
（2）将各路程段路程相加，即可求出本次去舅舅家的行程中，小红一共行驶的路程，再根据函数图象可
找出小红一共用的时间．
（3）根据图象和速度=路程差÷时间差，即可算出速度
【详解】（1）解：由图象得：小红家到舅舅家的距离是1500米．
小红在商店停留的时间为 (分钟)．
故答案为： ．
（2）本次去舅舅家的行程中，小红一共行驶的路程为 2700(米)．
由图象得：小红一共用时14分钟．
故答案为： ．
（3）观察函数图象，可知小红在 骑车速度为 ，(答案不唯一)．
易错必刷题二十四、正比例函数
1．（2024·陕西西安·模拟预测）正比例函数 图象上一点P到x轴的距离与y轴距离之比为2，
且y的值随x值的增大而减小，则k的值为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了正比例函数图象的性质，点到坐标轴的距离，设 ，根据点到x轴的距
离为纵坐标的绝对值，点到y轴的距离为横坐标的绝对值可得 ，则 ，再由y的值随x值的增大而减小，得到 ，则 ．
【详解】解；设 ，
∵点P到x轴的距离与y轴距离之比为2，
∴ ，
∴ ，
∵y的值随x值的增大而减小，
∴ ，
∴ ，
故选：A．
2．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）若点 ， 都在正比例函数 的图象上，则
（填“ ”“ ”或“ ”）．
【答案】
【分析】此题考查了正比例函数的增减性．由正比例函数 可得y随x的增大而减小，然后根据点
， 即可求解．
【详解】解：∵正比例函数 ， ，
∴y随x的增大而减小，
∴点 ， 都在正比例函数 的图象上，且 ，
∴ ，
故答案为： ．
3．（23-24八年级下·江苏南通·期中）已知 与 成正比例，且当 时， ．
(1)求y与x的函数关系式；
(2)设点 在（1）中函数的图象上，求a的值．
【答案】(1) ；(2) ．
【分析】本题考查的是成正比例的含义，利用待定系数法求解函数解析式，掌握求解的方法是解本题的关
键；
（1）根据题意设设 ，再利用待定系数法求解函数解析式即可；
（2）把点 代入（1）中的函数解析式即可得到答案．
【详解】（1）解：设 ，
当 时，
，
解得： ，
与x的函数关系式为 ，
即 ；
（2）把 代入 得 ，
∴ ．
易错必刷题二十五、求一次函数的自变量或函数值
1．（23-24七年级下·山东威海·期中）如果函数 与 的图象相交于x轴上，那么
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了一次函数的性质，先根据 求出直线与x轴的交点坐标为 ，把该
交点坐标代入 求出m的值即可．【详解】解：∵直线 与直线 相交于 轴上，
∴ ， ，
∴两直线的交点坐标为 ，
把 代入直线 得， ，
解得 ．
故选：D．
2、（23-24八年级下·四川攀枝花·期中）已知两点 ， 均在直线 上，则
．
【答案】11
【分析】本题考查一次函数图象上点的特征，将 ， 代入直线 ，求出 ， 的值是解
决问题的关键．
【详解】解：将 ， 代入直线 ，
得： ， ，
解得： ， ，
∴ ，
故答案为：11．
3．（23-24八年级下·江苏南通·期中）已知y是x的一次函数，且当 时， ；当 时， ．
(1)求这个一次函数的解析式；
(2)若点 在该一次函数的图象上，求a的值．
【答案】(1)该一次函数的解析式为
(2)【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式及一次函数图象上点的坐标特征；
（1）设一次函数解析式为 ，再把两组对应值代入得到 的方程组，然后解方程组即可；
（2）把 代入（1）中的解析式得到 的方程，然后解方程即可．
【详解】（1）解：设该一次函数的解析式为 ，
分别把 代入 得：
解得：
所以，该一次函数的解析式为 ．
（2）把 代入 ，
得： ，
解得：
a的值：
易错必刷题二十六、求一次函数解析式
1．（2024·陕西咸阳·二模）如图，若直线 与x轴交于点 ，与y轴正半轴交于点B，且
的面积为6，则该直线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【分析】本题考查了待定系数法求一次函数关系式．先利用三角形面积公式求出 得到 ，然后
利用待定系数法求直线解析式．
【详解】解： ，
，
，解得 ，
，
把 ， 代入 ，
，解得 ，
直线解析式为 ．
故选：B．
2．（23-24九年级下·湖北鄂州·期中）已知一次函数 (k，b为常数，且 )的图象经过点 ，
且y随x的增大而增大，请写出一个符合上述条件的函数解析式： ．
【答案】 （答案不唯一）
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，需注意应先确定x的系数，然后把
适合的点代入求得常数项．根据题意可知 ，这时可任设一个满足条件的k，则得到含x、y、b三个未
知数的函数式，将 代入函数式，求得b，那么符合条件的函数式也就求出．
【详解】解：∵一次函数y随x的增大而增大，
∴ ，
∴可选取1，
那么一次函数的解析式可表示为： ，
把点 代入得： ，
∴要求的函数解析式为： ．
故答案为： （答案不唯一）．3．（23-24八年级上·安徽六安·阶段练习）已知 ， 与 成正比， 与x成正比．当 时，
；当 时，
(1)求y与x的函数关系式；
(2)当 时，求y的值；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1） 与 成正比例，可设 与x成正比例，设 ，利用待定系数法即可
求解．
（2）直接把x的值代入（1）中的函数关系式即可．
此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，关键是掌握要求y与x之间的关系，先找 与x、 与x的
关系，再根据条件，求出y与x之间的关系．
【详解】（1）解：依题意，设
则
∵当 时， ；当 时，
∴
解得
（2）解：∵
∴把 代入 中：
易错必刷题二十七、一次函数的平移问题1．（2024·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，将一次函数 的图像向下平移 个单位长
度后得到一个正比例函数的图像，若点 在一次函数 的图像上，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查一次函数图像的平移，以及求一次函数的性质．熟练掌握一次函数的平移规则是解题的
关键．根据一次函数 的图像向下平移 个单位长度后得到一个正比例函数的图像，得到 ，
求出 的值，进而得到一次函数的解析式，将点 代入解析式，求出 的值即可．
【详解】解： 将一次函数 的图像向下平移 个单位长度后得到一个正比例函数的图像，
，
解得： ，
一次函数的解析式为： ，
将点 代入得： ，
解得： ，
故选：D．
2．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，长方形 的边 在 轴的正半轴
上，点 和点 的坐标分别为 、 ，过点 的正比例函数 图象上有一点 ，使得点 为
的中点，将 的图象沿 轴向下平移得到 的图象，若点 落在长方形 的内部，则 的取
值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，平移中 在线段 上是解答本题的关键．根据 点坐标得到直线 解析式，过点 作 轴，交 于点 ，则 ， ，将点 坐标代入
可得 的取值范围．
【详解】解： 点 在直线 上，
，
直线 的解析式为 ，
是 的中点，且 ，
，
过点 作 轴，交 于点 ，
， ，
设直线 平移后的解析式为 ，
将点 坐标代入 得， ，
解得 ，
将点 坐标代入 得， ，
解得 ，
，
故答案为： ．
3．（23-24八年级下·河南南阳·期中）已知y与x的函数关系式为
(1)若y是x的正比例函数，求m的值；
(2)若函数 的图象过点 ，求m的值，并写出这个函数的解析式；
(3)若将（2）中的函数图象向上平移3个单位长度经过点 ，求n的值．
【答案】(1)(2) ，
(3)
【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数图象的平移问题，求一次函数值，正比例函数的定
义等等：
（1）根据形如 的函数叫做正比例函数得到 ，解之即可得到答案；
（2）把 代入函数解析式求出m的值即可求出对应的函数解析式；
（3）先根据平移方式求出平移后的解析式，进而求出当 时，x的值即可得到答案．
【详解】（1）解：∵函数 是正比例函数，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵函数 的图象过点 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：函数 的函数图象向上平移3个单位长度后的解析式为 ，
在 中，当 时， ，即 ．
易错必刷题二十八、一次函数的增减性
1．（23-24八年级下·四川遂宁·期中）一次函数 ，函数y随x的增大而减小，且其图象不
经过第一象限，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【分析】本题主要考查了一次函数图象与其系数之间的关系，对于一次函数 （k为常数， ），
当 的图象过一、二、三象限；当 的图象过一、三、四象限；
当 的图象过一、二、四象限；当 的图象过二、三、四象限；
当 时y随x的增大而增大，当 时y随x的增大而增减小，据此可得 ，解之即可．
【详解】解：∵一次函数 ，函数y随x的增大而减小，且其图象不经过第一象限，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
2．（2024·湖北黄石·模拟预测）一次函数 ，若y随x的增大而减小，则m的取值范围为
．
【答案】
【分析】本题主要考查了一次函数的增减性，对于一次函数，当 时，y随x的增大而增大，当 时，
y随x的增大而减小，据此可得 ，解之即可得到答案．
【详解】解：∵一次函数 的函数值y随x的增大而减小，
∴ ，
解得 ．
故答案为： ．
3．（23-24八年级上·安徽合肥·阶段练习）已知一次函数 ，求：
(1) 为何值时， 随着 的增大而减小？
(2) 为何值时，函数图象与 轴的交点在 轴下方？
(3) 为何值时，图象经过第一、三、四象限？
【答案】(1)(2) 且
(3)
【分析】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，熟练掌握一次函数 的性质．当 ， 随
的增大而增大，图象一定过第一、三象限；当 ， 随 的增大而减小，图象一定过第二、四象限；
当 ，图象与 轴的交点在 轴上方；当 ，图象过原点；当 ，图象与 轴的交点在 轴下方．
（1）当 随 的增大而减少时， ，解得即可得出结论；
（2）函数图象与 轴的交点在 轴下方时， ， ，解得即可得出结论；
（3）图象经过第一、三、四象限时， ，解得即可得出结论．
【详解】（1）解：依题意得： ，
解得： ；
（2）解：依题意得： ， ，
解得 且 ；
（3）解：依题意得： ，
解得 ．
易错必刷题二十九、一次函数与方程
1．（23-24七年级下·山东威海·期中）直线 与 的交点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二元一次方程组的解与一次函数图象交点的关系．根据二元一次方程组的解与直线的
交点的关系解答即可．
【详解】解：联立 得： ，
∴直线 与 的交点坐标是 ．故选：C．
2．（23-24七年级下·山东济南·期中）如图，直线 与直线 交于点 ，则方程组
的解是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组，首先求出P点坐标，再根据两函数图象的交点坐标
即为两函数组成的方程组的解．
【详解】解：∵直线 过点 ，
∴ ，
∴ ，
∵直线 与直线 交于点 ，
∴方程组 即 的解为 ．
故答案为： ．
3．（23-24八年级下·北京·期中）已知：直线 与 平行，且经过点 ．
(1)求直线的解析式；
(2)若直线 与直线 相交于点C，求点C的坐标；
(3)求直线m，直线n与x轴围成的三角形面积．【答案】(1)
(2)
(3)3
【分析】本题考查了求一次函数解析式、一次函数图象与坐标轴围成的面积问题，解题关键是熟练掌握一
次函数的图象与性质．
（1）利用待定系数法即可求得函数的解析式；
（2）解两个函数解析式组成方程组即可求解；
（3）首先求出 ，然后利用三角形面积公式求解即可．
【详解】（1）∵直线 与 平行，
∴ ，
∴ ，
将 代入 得， ，
解得 ，
∴ ；
（2）根据题意得：
，解得： ，
则C的坐标是 ；
（3）如图所示，
∵直线 ，
令 ，得 ，
解得 ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴直线m，直线n与x轴围成的三角形面积为3．
易错必刷题三十、一次函数与不等式
1．（23-24八年级下·陕西咸阳·期中）一次函数 （a，b是常数， ）的图象经过点 和点
，则关于x的不等式 的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了一次函数与不等式的关系，根据一次函数与不等式的关系求解，理解数形结合思想是
解题的关键．
【详解】解：如图，关于 的不等式 的解集为 ，
故选：A．
2．（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线 ，（k，b是常
数）经过点 ，则关于x的不等式 的解集为 ．
【答案】 /【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想
解答．根据题意，可知当 时， ，然后再观察函数图象，即可写出不等式 的解集．
【详解】解：由图象可得，
关于x的不等式 的解集为 ．
故答案为： ．
3．（23-24八年级下·广东佛山·期中）如图所示，在同一个坐标系中一次函数 和 的图象，
分别与 轴交于点 ，两直线交于点 ，已知点 坐标为 ，点B坐标为 ，观察图象并回答下
列问题：
(1)关于 的方程 的解是______；关于 的不等式 的解集是______；
(2)直接写出关于 的不等式组 解集是______；
(3)若点 坐标为 ，关于 的不等式 的解集是______．
【答案】(1) ；
(2)
(3)
【分析】本题主要考查一次函数与一元一次不等式、一次函数与一元一次方程，数形结合思想是解题的关
键．
（1）利用直线与 轴的交点即为 时，对应的 的值，进而得出答案；
（2）利用两直线与 轴的交点坐标，结合图象即可得出答案；
（3）利用图象即可求出答案．
【详解】（1）解： 一次函数 和 的图象，分别与 轴交于点 、点 ，关于 的方程 的解是 ，
关于 的不等式 的解集是 ；
（2）解：根据图象可得关于 的不等式组 解集为 ；
（3）解： 点 ，
结合图象可知，不等式 的解集是 ．
易错必刷题三十一、一次函数的实际应用
1．（2024·江苏扬州·一模）漏刻（如图）是我国古代的一种计时工具．据史书记载，西周时期就已经出现
了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．李明依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工
具模型，研究中发现水位h（ ）是时间t（ ）的一次函数，下表是李明记录的部分数据，其中有一
个h的值记录错误，错误的h值为（ ）
t（min） … 2 4 7 12 …
h（cm） … 1.8 2.6 4.2 5.8 …
A．1.8 B．2.6 C．4.2 D．5.8
【答案】C
【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式．不妨设过点
和点 的函数解析式为 ，然后求出函数解析式，再将 和 代入求出相应的函
数解析式，看是否符合题意，即可解答本题．
【详解】解：设过点 和点 的函数解析式为 ，
则 ，解得 ，
即 ，
当 时， ，
当 时， ，
由上可得，点 不在该函数图象上，与题目中有一个 的值记录错误相符合，
故选： ．
2．（23-24八年级下·江苏南通·期中）如图，直线 分别交x轴、y轴于A，B两点，C是线段
上一点， ，则点C的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，全等三角形的性质和判定，熟练掌握一线三垂直证明
全等是解答本题的关键．
首先得 ， ，作 ，交直线 于点 ，作 ，垂足为点 ，利用 证明
得到 ， ，设 ，则 ， ，将点 代入直线
解析式解出 值即可．
【详解】解：如图，作 ，交直线 于点 ，作 ，垂足为点 ，
，
，，
，
， ，
直线 解析式为直线 ，
， ，
设 则 ， ，
点 在直线 的图象上，
解得：
， ．
故答案为： ．
3．（23-24八年级下·福建泉州·期中）为了迎接“五一”黄金周的到来，某商店计划购进甲、乙两种文创
饰品进行销售，两种饰品的进价和售价如下：
饰品品种 进价（元/件） 售价（元/件）
甲 200
乙 300
已知用6000元购进甲种饰品的数量与用9000元购进乙种饰品的数量相同．
(1)求 的值；
(2)商店计划购进甲、乙两种饰品共300件，其中甲种饰品不少于80件且不超过120件．
①求销售完这两种饰品的最大利润；
②“五一”期间，商店让利销售，将乙种饰品的售价每件降低 元 ，甲种饰品的售价不变，为保
证销售完这两种文创饰品的利润的最小值不低于31800元，求 的最大值．
【答案】(1)a的值为100(2)①销售完这两种饰品的最大利润为41000元；②m的最大值为40
【分析】（1）由题意：用6000元购进甲种饰品的数量与用9000元购进乙种饰品的数量相同．列出分式方
程，解方程即可；
（2）①设购进甲种饰品 件，销售完这两种饰品的总利润为 元，由题意得出 与 的一次函数关系式，
再由一次函数的性质即可得出结论；
②设购进甲种饰品 件，销售完这两种饰品的总利润为 元，由题意得出 与 的一次函数关系式，再由
一次函数的性质结合题意得出一元一次不等式，解不等式即可．
本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等
量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确得出一元一次不等式和一次函数关系式．
【详解】（1）解：由题意得： ，
解得： ，
经检验， 是原方程的解，且符合题意，
∴a的值为100；
（2）解：①设购进甲种饰品x件，销售完这两种饰品的总利润为y元，
由题意得： ，
其中 ，
∵ ，
∴y随x的增大而减小，
∴当 时，y有最大值，最大值y ，
答：销售完这两种饰品的最大利润为41000元；
②设购进甲种饰品x件，销售完这两种饰品的总利润为y元，
由题意得： ，
∵ ，
∴ ，
∴y随x的增大而减小，
∵ ，
∴当 时，y的最小值 ，
解得： ，∴m的最大值为40．
易错必刷题三十二、数据的集中趋势
1．（2024·辽宁大连·一模）已知一组数据如下：12，15，19，8，6，10，则这组数据的中位数为（ ）
A． B． C．11 D．9
【答案】C
【分析】本题主要考查了求一组数据的中位数，一组数据按照从小到大的顺序排列，处在最中间的那个数
据或处在最中间两个数据的平均数即为这组数据的中位数，据此求解即可．
【详解】解：把这组数据从小到大排列为6，8，10，12，15，19，处在最中间的两个数为10，12，则中位
数为 ，
故选：C．
2．（2024八年级下·全国·专题练习）某学校规定学生的音乐成绩由三项组成：乐理知识占 ，演唱技
能占 ，乐器演奏占 ，该校小颖同学乐理知识、演唱技能、乐器演奏三项的得分依次是：95分，
90分，85分，则小颖同学的音乐成绩为 分．
【答案】89
【分析】本题考查了加权平均数，直接利用加权平均数的公式进行计算即可．
【详解】解：小颖同学的音乐成绩为 （分）
故答案为：89．
3．（2024·陕西西安·二模）西安市某校为了了解本校九年级全体学生“体育中考项目”的锻炼情况，随机
抽查了本年级部分学生的体育测试成绩.并将抽查的测试成绩分为 四个等级．【 ：60分至54
分为优秀（含54分）； ：53.9分至45分为良好（包含45分）； ：44.9分至30分为合格（包含30
分）； ：29.9分及以下为不合格】．
如图是根据调查结果进行数据整理后绘制的不完整的统计图：请根据图中提供的信息，解答下列问题：(1)本次共调查了 名学生，并补全条形统计图；
(2)本次调查中，体育测试成绩的中位数落在 等级；
(3)若该校九年级共有1150名学生，达到良好及以上的学生约有多少人？
【答案】(1)50，
(2)C
(3)483人
【分析】本题考查了，中位数，用样本估计整体的知识点，问题的解决关键在于对于数据分析的理解.
（1）根据C所占的百分比，以及C所对应的人数得出总人数，再利用得出的总人数，减去得分为A、C、
D等级的人数，得出等级B的人数，画出统计图；
（2）根据中位数的定义，由于人数为50人，所以找第25名和第26名同学的成绩所在的等级，即可得出
结果.
（3）求出抽取的学生中达到良好及以上的学生所占样本容量的百分比，再用求出的百分比估计总体中达
到良好及以上的学生的人数.
【详解】（1）
由图可知，A等级学生有5人，C等级学生有2人，D等级学生有7人，其中D等级学生占被抽查学生总数
的 ，故本次共调查了 学生，B等级的学生共有 ，补全条形统计图
如下：（2）由（1）可知，本次调查中，被抽查的学生总数为50名，把他们的这次成绩按从小到大的顺序排列后，
第25名和第26名同学成绩的平均数就是这次体育测试成绩的中位数， ， ，故体
育测试成绩的中位数落在C等级.
（3）由题意可知，被抽查学生体育测试成绩达到良好及以上的学生有 占被抽查学生数的
，于是可以估计该校九年级学生这次体育测试成绩达到良好及以上的学生占全校九年
级学生总数的 ，故该校九年级1150名学生中，达到良好及以上的学生约有 .
易错必刷题三十三、数据的波动程度
1．（2024·福建南平·二模）甲、乙两人在相同的条件下，各射击5次，经计算：甲射击成绩的平均数是8
环，方差是 ；乙射击成绩的平均数是8环，方差是 ，且甲射击成绩比乙射击成绩更稳定，则下列判断
一定正确的是（ ）
A． 为正数 B．a小于b
C．甲、乙成绩的众数相同 D．甲、乙成绩的中位数相同
【答案】B
【分析】本题考查了平均数、方差、众数、中位数的意义，解答本题的关键是掌握方差的定义：方差是用
来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；
反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
根据方差、平均数的意义进行判断，平均数相同则总环数相同，方差越大，波动越大即可求出答案．
【详解】解：∵各射击10次，甲射击成绩的平均数是8环，方差是 ；
∴ ，即 为正数或零，故A选项错误，不符合题意；
又∵乙射击成绩的平均数是8环，方差是 ，且甲射击成绩比乙射击成绩更稳定，
∴ ，故B选项正确，符合题意；
∵甲、乙成绩的众数不能确定，可能相同也可能不同，故C选项不一定正确，不符合题意；
∵甲、乙成绩的中位数不能确定，可能相同也可能不同，故D选项不一定正确，不符合题意；
故选：B．
2．（2024·山东德州·一模）将甲、乙两组各10个数据绘制成折线统计图（如图），两组数据的平均数都
是7，设甲、乙两组数据的方差分别为 ，则 ．（“ ”“ ”或“ ”）．【答案】
【分析】本题考查了折线统计图、方差的意义等知识，理解数据波动小的方差小是解题的关键．根据折线
统计图可得甲的数据波动较小，进而根据方差的意义即可求解．
【详解】解：由折线统计图可得，甲的数据波动较小，
则 ．
故答案为： ．
3．（2024·陕西西安·模拟预测）随着快递行业在农村的深入发展，全国各地的特色农产品有了更广阔的销
售空间，不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势，某农产品种植户经过前期调研，
打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作，为此，该种植户收集了10家农产品种植户对两家公司的相关
评价，并整理、描述、分析如下：
配送速度和服务质量得分统计表：
项目 配送速度得分 服务质量得分
统计量 快递公
司 平均数 中位数 平均数 方差
甲 7.8 m 7
乙 8 8 7
(1)补全频数分布直方图，扇形统计图中圆心角α的度数为______；(2)表格中的 ____， _____ （填“ ”“ ”或“ ”）；
(3)综合表中的统计量，你认为该农产品种植户应选择哪家公司？请说明理由．
【答案】(1)图见解析，
(2)7.5，
(3)选择乙公司，理由见解析．
【分析】本题主要考查了频数分布直方图，方差的意义，求中位数，扇形统计图，解题的关键是熟练掌握
扇形统计图的特点．
（1）求出甲公司配送速度得分为9分的频数，补全频数分布直方图即可；用 乘以扇形统计图中“7
分”的百分比，即可得扇形统计图中圆心角α的度数．
（2）根据中位数的定义可得m的值；根据方差的意义可得答案．
（3）根据配送速度和服务质量得分统计表分析即可．
【详解】（1）解：甲公司配送速度得分为9分的频数为 ．
补全频数分布直方图如图所示．
扇形统计图中圆心角α的度数为 ．
（2）解：由频数分布直方图可得， ．
由甲、乙快递公司配送服务质量得分折线统计图知，甲公司的得分数据比乙公司的得分数据波动小，
∴ ．
故答案为： ；＜．
（3）解：选择乙公司．理由：乙公司配送速度得分的平均数和中位数都高于甲公司，说明乙公司的整体配送速度较快（答案不唯
一，合理即可）．
