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专题07 双等腰旋转模型
【模型说明】
【例题精讲】
例1．（基本模型）在 ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以
AD为一边在AD的右侧作 ADE，使AD=AE，∠DAE =∠BAC，连接CE．
（1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC=90°，则∠BCE= 度；
（2）设 ， ．
①如图2，当点在线段BC上移动，则 ， 之间有怎样的数量关系？请说明理由；
②当点在直线BC上（线段BC之外）移动，则 ， 之间有怎样的数量关系？请直接写出
你的结论．
【答案】（1）90；（2） ，见解析；② 或
【详解】解：（1）∵ ，
∴ ，
∵AB=AC，AD=AE，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中∴ ，
∴
（2） 或 ．
理由：①∵ ，
∴ ．
即 ．
在 和 中
，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
②如图：
∵ ，
∴ ．
即 ．
在 和 中，
∴ ． ∴ ．
∵ ， ， ， ．
综上所述：点D在直线BC上移动，α+β＝180°或α＝β．
例2．（坐标系综合）已知：平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，点B在第二象
限，将OB绕O点顺时针转60°至OA．
（1）如图1，试判定 ABO的形状，并说明理由．
（2）如图1，若点E为y轴的正半轴上一动点，以BE为边作等边 BEG，延长GA交x轴
△
于点P，问：AP与AO之间有何数量关系，试证明你的结论．
△
（3）如图2，若BC⊥BO，BC＝BO，作BD⊥CO ，AC、DB交于E，补全图形，并证明：
AE＝BE+CE．
【答案】（1）等边三角形，理由见解析；（2）AP＝2AO，证明见解析；（3）见解析
【详解】解：（1）如图1，△AOB为等边三角形，理由是：∵将绕OB绕O点旋转至OA
∴∠AOB=60°，
∵AO＝AB∴△AOB为等边三角形；
（2）AP＝2AO，理由为：
证明：∵△AOB与△BGE都为等边三角形，
∴BE＝BG，AB＝OB，∠EBG＝∠OBA＝60°，
∴∠EBG+∠EBA＝∠OBA+∠EBA，即∠ABG＝∠OBE，
在△ABG和△OBE中，
∴△ABG≌△OBE（SAS），
∴∠BAG＝∠BOE＝60°，
∴∠GAO＝∠GAB+∠BAO＝120°，
∵∠GAO为△AOP的外角，且∠AOP＝90°，
∴∠APO＝30°
在Rt AOP中，∠APO＝30°，
则AP＝2AO．
△
（3）补全图形，
在AC上截取AM＝EC，连接BM，可得AM+EM＝CE+EM，即AE＝CM，
∵△AOB 为等边三角形，△BOC为等腰直角三角形，
∴∠OBC＝90°，∠ABO＝60°，
∵D为CO的中点，
∴BD平分∠OBC，即∠CBD＝∠OBD＝45°，
∴∠ABD＝105°，∠ABC＝150°，
∴∠BAC＝∠BCA＝15°，
∴∠AEB＝15°+45°＝60°，
在△ABE和△CBM 中，
∵∴△ABE≌△CBM （SAS），
∴BM＝BE，
∴△BEM为等边三角形，
∴BE＝EM，
∴AE＝AM+EM＝CE+BE；
例3．（培优综合）在Rt ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点D是直线AB上的一点，连
接CD，将线段CD绕点C逆时针旋转90°，得到线段CE，连接EB．
△
（1）操作发现
如图1，当点D在线段AB上时，请你直接写出AB与BE的位置关系为 ；线段
BD、AB、EB的数量关系为 ；
（2）猜想论证
当点D在直线AB上运动时，如图2，是点D在射线AB上，如图3，是点D在射线BA上，
请你写出这两种情况下，线段BD、AB、EB的数量关系，并对图2的结论进行证明；
（3）拓展延伸
若AB＝5，BD＝7，请你直接写出△ADE的面积．
【答案】（1）AB⊥BE，AB＝BD+BE；（2）图2中BE＝AB+BD，图3中，BD＝AB+BE，
证明见解析；（3）72或2
【详解】解：（1）如图1中，
∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACD＝∠BCE，
∵CA＝CB，CD＝CE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，∠CBE＝∠A，
∵CA＝CB，∠ACB＝90°，∴∠A＝∠CBA＝45°，
∴∠CBE＝∠A＝45°，
∴ABE＝90°，
∴AB⊥BE，
∵AB＝AD+BD，AD＝BE，
∴AB＝BD+BE，
故答案为AB⊥BE，AB＝BD+BE．
（2）①如图2中，结论：BE＝AB+BD．
理由：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACD＝∠BCE，
∵CA＝CB，CD＝CE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，
∵AD＝AB+BD，AD＝BE，
∴BE＝AB+BD．
②如图3中，结论：BD＝AB+BE．
理由：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，
∵CA＝CB，CD＝CE，∴△ACD≌△BCE（SAS）∴AD＝BE，
∵BD＝AB+AD，AD＝BE，∴BD＝AB+BE．
（3）如图2中，∵AB＝5，BD＝7，∴BE＝AD＝5+7＝12，
∵BE⊥AD，∴S AED •AD•EB 12×12＝72．
△如图3中，∵AB＝5，BD＝7，∴BE＝AD＝BD﹣AB＝7﹣5＝2，
∵BE⊥AD，∴S AED •AD•EB 2×2＝2．
△
【课后作业】
1．如图，在 中， ，点D在 内， ，
，点E在 外， ．
(1) 的度数为_______________；
(2)小华说 是等腰三角形，小明说 是等边三角形，___________的说法更准确，
并说明理由；
(3)连接 ，若 ，求 的长．
【答案】(1) ；(2)小明，理由见解析；(3)5
【解析】（1）解：∵BD=BC，∠DBC=60° ，
∴△DBC是等边三角形 ，
∴DB=DC，∠BDC=∠DBC=∠DCB=60°．
在△ADB和△ADC中， ，
∴△ADB≌△ADC（SSS），
∴∠ADB=∠ADC ，
∴∠ADB= (360°﹣60°)=150°．
（2）
解：小明的说法更准确，理由如下：
∵∠ABE=∠DBC=60°，
∴∠ABD=∠EBC ，在△ABD和△EBC中 ，
∴△ABD≌△EBC（ASA），
∴AB=BE ．
∵∠ABE=60° ，
∴△ABE是等边三角形．
（3）
解：连接DE，如图所示，
∵∠BCE=150°，∠DCB=60° ，
∴∠DCE=90°，
∵∠EDB=90°，∠BDC=60° ，
∴∠EDC=30° ，
∴ ．
∵△ABD≌△EBC，∴ ．
2．[发现]：（1）如图1．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，过点A作AH⊥BC于点H，
求证：AH= BC．
[拓展]：（2）如图2．在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE=90°，
点D、B、C在同一条直线上，AH为△ABC中BC边上的高，连接CE．则∠DCE的度数为
________，同时猜想线段AH、CD、CE之间的数量关系，并说明理由．
[应用]：（3）在图3、图4中．在△ABC中，AB=AC，且∠BAC=90°，在同一平面内有一
点P，满足PC=1，PB=6，且∠BPC=90°，请求出点A到BP的距离．【答案】（1）证明见解析；（2）∠DCE的度数为90°，CE+2AH=CD，理由见解析；
（3） 或 ．
【详解】解：发现：（1）证明：
∵AH⊥BC，∠BAC=90°，
∴∠AHC=90°=∠BAC．
∴∠BAH+∠CAH=90°，∠BAH+∠B=90°．
∴∠CAH=∠B，
在 ABH和 CAH中，
△ △
，
∴△ABH≌△CAH．（AAS）．
∴BH=AH，AH=CH．
∴AH= BC．
拓展：∠DCE的度数为90°，
线段AH、CD、CE之间的数量关系为：CE+2AH=CD，
理由如下：
∵∠DAB+∠BAE=90°，∠EAC+∠BAE=90°，
∴∠DAB=∠EAC，
∵AD=AE，AB=AC，
∴△ADB≌△AEC（SAS），
∴∠ABD=∠ACE，∵AB=AC，∠BAC=90°
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠ABD=135°，
∴∠DCE=90°；
∵D、B、C三点共线，
∴DB+BC=CD，
∵DB=CE，AH= BC，
∴CE+2AH=CD．
应用：点A到BP的距离为： 或 ．
理由如下：
如图3，过点A作AH⊥BP于点H，连接AP，作∠PAD=90°，交BP于点D，
∴∠BAC=∠DAP=90°，
∴∠BAD=∠CAP，
∵∠BDA=∠APC=90°+∠APD，
∴△APC≌△ADB（AAS），
∴BD=CP=1，
∴DP=BP-BD=6-1=5，
∵AH⊥DP，
∴AH= DP= ；
如图4，过点A作AH⊥BP于点H，
作∠PAD=90°，交PB的延长线于点D，
∴∠BAC=∠DAP=90°，∴∠BAD=∠CAP，∵∠BAC=90°，∠BPC=90°，∴∠ACP+∠ABP=180°，∴∠ACP=∠ABD，
∵AB=AC，∴△APC≌△ADB（AAS），
∴BD=CP=1∴DP=BP+BD=6+1=7．
∵AH⊥DP，∴AH= DP= ．
综上所述：点A到BP的距离为： 或 ．
3．在 中， ，点 是直线 上一点（不与 、 重合），以 为一边在
的右侧作 ，使 ， ，连接 ．
（1）如图，当点 在线段 上，如果 ，则 ______度．
（2）设 ， ．
①如图，当点 在线段 上移动时， 、 之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结
论．
②如图，当点 在线段 的反向延长线上移动时， 、 之间有怎样的数量关系？请说
明理由．
【答案】（1）90；（2）① ，理由见解析；② ，理由见解析【详解】（1）∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵∠DAE=∠BAC，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中
，
∴△BAD≌△CAE（SAS）
∴∠ABC=∠ACE=45°，
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，
故答案为：90；
（2）① ．
理由：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC．
即∠BAD=∠CAE．
在△ABD与△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B=∠ACE．
∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB．
∵∠ACE+∠ACB=β，
∴∠B+∠ACB=β，
∵α+∠B+∠ACB=180°，
∴α+β=180°；
② 当点 在射线 的反向延长线上时， ．
理由如下：
∵ ，
∴ ，
在△ABD与△ACE中，
，
∴ ，∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，即 ．
4．（1）如图①，在直角 中， ， ，点D为 边上一动点（与
点B不重合），连接 ，将 绕点A逆时针旋转 ，得到 ，那么 之
间的位置关系为__________，数量关系为__________；
（2）如图②，在 中， ， ，D，E（点D，E不与点B，C重
合）为 上两动点，且 ．求证： ．
（3）如图③，在 中， ， ， ， ，D，E
（点D，E不与点B，C重合）为 上两动点，若以 为边长的三角形是以
为斜边的直角三角形时，求 的长．
【答案】（1）CE⊥BD；CE=BD；（2）见解析；（3） ．
【详解】解：（1）CE与BD位置关系是CE⊥BD，数量关系是CE=BD
∵ 绕点A逆时针旋转 ，得到
∴
∴ ，
∴
∵BA=CA，AD=AE
∴
∴ 且CE=BD
∵
∴ ，即CE⊥BD
故答案为：CE⊥BD；CE=BD；
（2）如图②，把 绕点A顺时针旋转 ，得到 ，连接DG，则
∴AG=AE，BG=CE，
∵ ，
∴
在 和 中，
∴
∴ED=GD
∵
∴
即
（3）如图③，把 绕点A顺时针旋转 ，得到 ，
∴
∴AF=AE， ，EC=BF，
∵ ，AB=AC
∴
∴
∵ ，
∴ ，且AF=AE，AD=AD
∴
∴DF=DE
∵以BD、DE、EC为边的三角形是直角三角形∴以BD、DF、BF为边的三角形是直角三角形
∴ 是直角三角形
若 ，且
∴BF=2BD=EC，
∵
∴
∴
∴
若 ，且
∴BD=2BF=2EC，
∵
∴
∴BD=2，
∴
