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专题08 数轴上动点返回
1．已知数轴上点A与点B相距12个单位长度，点A在原点的右侧，到原点的距离为22个单位长
度，点B在点A的左侧，点C表示的数与点B表示的数互为相反数，动点P从A出发，以每秒1
个单位的速度向终点C移动，设移动时间为t秒．
（1）点A表示的数为______，点C表示的数为______．
（2）用含t的代数式表示P与点A的距离： ______．
（3）当点P运动到B点时，点Q从A点出发，以每秒3个单位的速度向C点运动，Q点到达C点
后，再立即以同样的速度返回，回到点A处停止运动．
①在点Q运动过程中，请求出点Q运动几秒后与点P相遇?
②在点Q从点A向点C运动的过程中，P、Q两点之间的距离能否为3个单位?如果能，请求出此
时点P表示的数；如果不能，请说明理由．
【答案】（1）22， -10；（2）t；（3）①点Q运动6或13秒后与点P相遇；②点P表示的数5.5
或2.5．
【解析】
【分析】
试题分析：（1）根据：数轴上点A与点B的距离为12个单位长度，点A在原点的右侧，到原点的
距离为22个单位长度，点B在点A的左侧，点C表示的数与点B表示的数互为相反数，可以确定
A、C点对应的数；
（2）因为动点P从A出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动，且移动时间为t秒，所以
PA=t；
（3）①设运动时间是t秒，根据点Q追上点P时，点Q运动的路程=点P运动的路程，列出关于t
的方程，求出方程的解即可得到结果．
②分情况讨论：点Q从A点向点C运动时，又分点Q在点P的后面与点Q在点P的前面；点Q从C
点返回到点A时，又分点Q在点P的后面与点Q在点P的前面．
【详解】
解：（1）由分析可知，点A表示的数为22，点C表示的数为-10；
（2） ；
（3）①Ⅰ）在点Q向点C运动过程中，设点Q运动x秒与点P相遇，根据题意得
，
解得 ．
Ⅱ）在点Q向点A运动过程中，设点Q运动x秒与点P相遇，根据题意得，
解得 ．
答：点Q运动6或13秒后与点P相遇；
②分两种情况：
如果点Q在点P的后面，那么 ，解得 ，此时点P表示的数是5.5；
如果点Q在点P的前面，那么 ，解得 ，此时点P表示的数是2.5．
答：点P表示的数5.5或2.5．
【点睛】
此题考查一元一次方程的应用，数轴，列代数式，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出
的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
2．如图，数轴上有A，B两点，AB＝12，原点O是线段AB上的一点，OA＝2OB，
（1）写出A，B两点所表示的实数；
（2）若点C是线段AB上一点，且满足AC＝CO+CB，求C点所表示的实数；
（3）若动点P，Q分别从A，B同时出发，向右运动，点P的速度为每秒2个单位长度，点Q的
速度为每秒1个单位长度，设运动时间为t秒，当点P与点Q重合时，P，Q两点停止运动．
①当t为何值时，2OP﹣OQ＝4；
②当点P到达点O时，动点M从点O出发，以每秒3个单位长度的速度也向右运动，当点M追上
点Q后立即返回，以同样的速度向点P运动，遇到点P后再立即返回，以同样的速度向点Q运动，
如此往返，直到点P，Q停止时，点M也停止运动，求在此过程中，点M行驶的总路程和点M最
后位置在数轴上对应的实数．
【答案】（1）A表示-8，B表示4；（2） ；（3）①1.6秒或8秒；②点M行驶的总路程为24
和点M最后位置在数轴上对应的实数为16
【解析】
【分析】
（1）由AO=2OB可知，将12平均分成三份，AO占两份为8，OB占一份为4，由图可知，A在原
点的左边，B在原点的右边，从而得出结论；
（2）分两种情况：①点C在原点的左边，即在线段OA上时，②点C在原点的右边，即在线段
OB上时，分别根据AC=CO+CB列式即可；（3）①分两种情况：点P在原点的左侧和右侧时，OP表示的代数式不同，OQ=4+t，分别代入
2OP-OQ=4列式即可求出t的值；
②点M运动的时间就是点P从点O开始到追到点Q的时间，设点M运动的时间为t秒，列式为t
（2-1）=8，解出即可解决问题．
【详解】
解：（1）∵AB=12，AO=2OB，
∴AO=8，OB=4，
∴A点所表示的实数为-8，B点所表示的实数为4；
（2）设C点所表示的实数为x，
分两种情况：①点C在线段OA上时，则x＜0，如图1，
∵AC=CO+CB，
∴8+x=-x+4-x，
解得：x= ；
②点C在线段OB上时，则x＞0，如图2，
∵AC=CO+CB，
∴8+x=4，
x=-4（不符合题意，舍）；
综上所述，C点所表示的实数是 ；
（3）①当0＜t＜4时，如图3，
AP=2t，OP=8-2t，BQ=t，OQ=4+t，
∵2OP-OQ=4，
∴2（8-2t）-（4+t）=4，
解得：t= =1.6，当点P与点Q重合时，如图4，
2t=12+t，t=12，
当4＜t＜12时，如图5，
OP=2t-8，OQ=4+t，
则2（2t-8）-（4+t）=4，
解得：t=8，
综上所述，当t为1.6秒或8秒时，2OP-OQ=4；
②当点P到达点O时，8÷2=4，此时，OQ=4+t=8，即点Q所表示的实数为8，
如图6，设点M运动的时间为t秒，
由题意得：2t-t=8，
解得：t=8，
此时，点P表示的实数为8×2=16，所以点M表示的实数也是16，
∴点M行驶的总路程为：3×8=24，
答：点M行驶的总路程为24和点M最后位置在数轴上对应的实数为16．
【点睛】
本题考查了数轴上两点的距离、数轴上点的表示、一元一次方程的应用，比较复杂，要认真理清
题意，并注意数轴上的点，原点左边表示负数，右边表示正数，在数轴上，两点的距离等于任意
两点表示的数的差的绝对值．
3．如图，O为原点，在数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，且a，b满足
．(1)a＝________，b＝__________．
(2)若点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动的时间为t秒．
①当点P运动到线段OB上，且PO＝2PB时，求t的值．
②若点P从点A出发，同时，另一动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，
到达点O后立即原速返回向右匀速运动，当PQ＝1时，求t的值．
【答案】(1) ，6
(2)①6；② ， ，
【解析】
【分析】
（1）根据绝对值的非负性、平方的非负性解题；
（2）①由PO＝2PB列方程解题；②分两种情况讨论：点Q到达原点之前PQ＝1，或点Q到达原
点返回之后PQ＝1，根据题意列方程解题即可．
(1)
解：
故答案为：-2，6．
(2)
①根据题意得， PO＝2PB
②分两种情况讨论：
第一种情况：点Q到达原点之前PQ＝1，
点P表示的数为： ，点Q表示的数为：第二种情况：点Q到达原点返回之后PQ＝1，
点P与点Q相遇时，即 ，
此时点P、Q表示的数均为 ，
此时点Q到达原点还需要 秒，
当点Q在原点时，点P表示数
当点Q由原点返回，向右匀速运动时，PQ＝1
（舍去）
即当点Q到达原点返回之后PQ＝1，
综上所述，当PQ＝1时， ， ， ．
【点睛】
本题考查数轴上的动点、一元一次方程的应用、绝对值的非负性等知识，掌握相关知识是解题关
键．
4．已知数轴上有 、 、 三个点，分别表示有理数 、 、10，动点 从 出发，以每秒1
个单位长度的速度向终点 移动，设移动时间为 秒．若用 ， ， 分别表示点 与点 、
点 、点 的距离，试回答以下问题．
(1)当点 运动10秒时， ______， ______， ______；
(2)当点 运动了 秒时，请用含 的代数式表示 到点 、点 、点 的距离： ______，
______， ______；(3)经过几秒后，点 到点 、点 的距离相等？此时点 表示的数是多少？
(4)当点 运动到 点时，点 从 点出发，以每秒3个单位长度的速度向 点运动， 点到达
点后，再立即以同样的速度返回，运动到终点 ．在点 开始运动后， 、 两点之间的距离能
否为4个单位长度？如果能，请直接写出点 表示的数；如果不能，请说明理由．
【答案】(1)
(2) ， ，
(3)
(4)能，
【解析】
【分析】
（1）根据题意求得 时， 点的位置，进而求得两点距离；
（2）先表示出 点的位置表示的数，进而求得两点距离；
（3）根据题意，列一元一次方程，解方程求解即可；
（4）分 点到达 点之前，和 点到达 点之后，两种情形，根据两点距离为 ，建立一元一次
方程解方程求解即可．
(1)
、 、 三个点，分别表示有理数 、 、10，
动点 从 出发，以每秒1个单位长度的速度向终点 移动，设移动时间为 秒，
时， 点表示的数为
当点 运动10秒时， ， ，
故答案为：
(2)
依题意，当点 运动了 秒时，则 ，点 表示的数为 ，
，
故答案为： ， ，
(3)即 或
则无解或
点 表示的数为 ，
(4)
根据题意，设经过 秒后 、 两点之间的距离能否为4个单位长度，
点运动到 点需要的时间为： （秒）
①当点 未到达 点，此时 ，则 点表示的数为 ，点 表示的数为
则
即
解得 或
或
点 表示的数为 或
②当点 从 点返回后，
此时 ，则 点表示的数为 ，点
表示的数为
则
即
解得 ，
点 表示的数为 或综上所述，点 表示的数为
【点睛】
本题考查了数轴上动点问题，数轴上两点距离问题，一元一次方程的应用，数形结合是解题的关
键．
5．探究与发现：|a﹣b|表示 a 与 b 之差的绝对值，实际上也可理解为 a 与 b 两数 在数轴上
所对应的两点之间的距离．如|x﹣3|的几何意义是数轴上表示有理数 x 的点与表示有理数 3 的点
之间的距离．
(1)如图，已知数轴上点 A 表示的数为 8，B 是数轴上位于点 A 左侧一点，且 AB＝20，
则数轴上点 B 表示的数 ；
(2)若|x﹣8|＝2，则 x＝ ．
拓展与延伸：在（1）的基础上，解决下列问题：
(3)动点 P 从 O 点出发，以每秒 5 个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时 间为 t（t
＞0）秒．求当 t 为多少秒时？A，P 两点之间的距离为 2；
(4)数轴上还有一点 C 所对应的数为 30，动点 P 和 Q 同时从点 O 和点 B 出发分别以每 秒 5
个单位长度和每秒 10 个单位长度的速度向 C 点运动，点 Q 到达 C 点后，再立即以 同样的速
度返回，点 P 到达点 C 后，运动停止．设运动时间为 t（t＞0）秒．问当 t 为多 少秒时？P，
Q 之间的距离为 4．
【答案】(1)-12
(2)6或10
(3)当 t 为 秒时，A，P 两点之间的距离为 2
(4)当 t 为 或 或 或 秒时，P，Q 之间的距离为 4．
【解析】
(1)
（1）数轴上点B表示的数=8-20=-12．故答案为：-12．
(2)
∵|x-8|=2，
∴x-8=-2或x-8=2，
∴x=6或x=10．
故答案为：6或10．
(3)
当运动时间为t秒时，点P表示的数为5t，
依题意得：|5t-8|=2，
即5t-8=-2或5t-8=2，
解得：t= 或t=2．
答：当t为 秒或2秒时，A，P两点之间的距离为2．
(4)
P到达C点时间：（30-0）÷5=6（秒），
Q到达C点时间：|-12-30|÷10= （秒）．
当0＜t＜ 时，P、Q都没有到达C点
点P表示的数为5t，点Q表示的数为10t-12，
依题意得：|5t-（10t-12）|=4，
即12-5t=4或5t-12=4，
解得：t= 或t= ；
当 ≤t＜6时，Q已经到达C点，P没有到达C点
点P表示的数为5t，点Q表示的数为-10（t- ）+30=-10t+72，
依题意得：|5t-（-10t+72）|=4，
即72-15t=4或15t-72=4，
解得：t= 或t= ；
当t≥6时，P、Q都已经到达C点点P表示的数为30，点Q表示的数为-10（t- ）+30=-10t+72，
依题意得：30-（-10t+72）=4，
解得：t= （不合题意，舍去）．
答：当 t 为 或 或 或 秒时，P，Q 之间的距离为 4．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用、数轴以及绝对值，解题的关键是：（1）利用数轴上两点间的距
离公式，找出点B表示的数；（2）利用绝对值的定义，去掉绝对值符号；（3）找准等量关系，
正确列出一元一次方程；（4）分0＜t＜ ， ≤t＜6或t≥6三种情况，找出关于t的一元一次方
程．
6．如图，数轴上A，B两点对应的数分别-4，8．有一动点P从点A出发第一次向左运动1个单位
长度；然后在新的位置第二次运动，向右运动2个单位长度；在此位置第三次运动，向左运动3个
单位长度，…按照如此规律不断地左右运动．
（1）A，B两点之间的距离为 ．
（2）当运动到第2021次时，求点P所对应的有理数．
（3）在数轴上有一动点C从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴向右匀速移动，点C
向右运动到B点立即返回，返回到A点停止．在数轴上有一动点D从点B出发，以每秒1个单位
长度的速度沿着数轴向左匀速移动，到A点停止．设运动时间为t秒．是否存在t使得CD的长度
为2；若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）12；（2）-1015；（3）存在， ， ，10
【解析】
【分析】
（1）根据数轴上A，B两点对应的数分别-4，8，可直接得到A，B两点之间的距离；
（2）当运动到第2021次时，点P所对应的有理数是： ，化
简求值即可；
（3）分三种情况讨论：①当C，D两点没相遇时，②当C，D两点相遇后时，点C没有运动到B点时，③当C，D两点相遇后时，点C运动到B点再返回时，分别列出方程，然后求解即可得到
结果．
【详解】
解：（1）∵数轴上A，B两点对应的数分别-4，8，
∴A，B两点之间的距离为 ，
（2）根据题意可得，当运动到第2021次时，
点P所对应的有理数是：
，
（3）存在，理由如下：
由（1）得： ，
①当C，D两点没相遇时，
依题意得：
解之得： ；
②当C，D两点相遇后时，点C没有运动到B点时，
依题意得：
解之得： ；
③当C，D两点相遇后时，点C运动到B点再返回时，
依题意得：
解之得： ；
综上所述，CD的长度为2时，运动时间为 或 或10．
【点睛】
本题考查的是数轴的性质和数轴上的动点，明确数轴的特点，利用分类讨论的思想、数形结合的
思想解答是解题的关键．
7．数轴上点A表示－8，点B表示6，点C表示12，点D表示18．如图，将数轴在原点O和点
B，C处各折一下，得到一条“折线数轴”．在“折线数轴”上，把两点所对应的两数之差的绝对
值叫这两点间的和谐距离．例如，点A和点D在折线数轴上的和谐距离为 个单位长度．动点M从点A出发，以4个单位/秒的速度沿着折线数轴的正方向运动，从点O运动到点C期间速
度变为原来的一半，过点C后继续以原来的速度向终点D运动；点M从点A出发的同时，点N从
点D出发，一直以3个单位/秒的速度沿着“折线数轴”负方向向终点A运动．其中一点到达终点
时，两点都停止运动．设运动的时间为t秒．
(1)当 秒时，M、N两点在折线数轴上的和谐距离 为________；
(2)当点M、N都运动到折线段 上时，
O、M两点间的和谐距离 ________（用含有t的代数式表示）；
C、N两点间的和谐距离 ________（用含有t的代数式表示）；
________时，M、N两点相遇；
(3)当 ________时，M、N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度；
(4)当 ________时，M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离
相等．
【答案】(1)12
(2)2(t-2)；3t-6；4.4
(3)当t=5.2或3.6秒时，M、N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度；
(4)当t=3.2或8秒时，M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离
相等
【解析】
【分析】
（1）先求得点M表示的数为0，点N表示的数为12，据此即可求解；
（2）先求得点M表示的数为2(t-2)，点N表示的数为18-3t，据此即可求解；
（3）根据题意列出方程|2(t-2) - (18-3t)|=4，即可求解；
（4）分点M在OA上，O−B−C上，CD上三种情况讨论，列出方程求解即可．
(1)解：∵t=2时，点M表示的数为4t-8=0，点N表示的数为18-3t=12，
∴|MN|=|12-0|=12；
故答案为：12；
(2)
点N到达原点的时间为 (秒)，
∵点M、N都运动到折线段O−B−C上，即2
