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第 01 讲 二次函数的相关概念
1. 理解二次函数的概念；
2. 会根据简单的实际应用列二次函数解析式；
3. 能根据二次函数定义求参数。
知识点 1 ：二次函数的概念
1. 二次函数的概念:
一般地，形如y=ax²+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）的函数， 叫做二次函数.
其中x是自变量，a，b，c分别表示函数解析式的二次项系数、一次项系数、常
数项．
注意：二次函数的判断方法：
①函数关系式是整式；
②化简后自变量的最高次数是2；
③二次项系数不为0．
2. 二次函数 的结构特征：
⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量 的二次式， 的最高次数是2．
⑵ 是常数， 是二次项系数， 是一次项系数， 是常数项
注意：二次函数除了一般式y=ax²+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）外，
还有y=ax²，y=ax²+bx，y=ax²+c。
知识点 2 ：二次函数的值
根据题意把x值代入函数解析式，求出y值即可。【题型1二次函数的判段】
【典例1】（2023•江都区模拟）下列函数是二次函数的是（ ）
A．y＝2x B．y＝ C．y＝x2 D．y＝
【答案】C
【解答】解：A、该函数不符合二次函数的定义，故本选项不符合题意；
B、该函数不符合二次函数的定义，故本选项不符合题意；
C、该函数符合二次函数的定义，故本选项符合题意；
D、该函数的右边不是整式，它不是二次函数，故本选项不符合题意；
故选：C．
【变式1-1】（2022秋•河池期末）下列函数中，是二次函数的是（ ）
A．y＝3x﹣1 B．y＝x3+2
C．y＝（x﹣2）2﹣x2 D．y＝x（4﹣x）
【答案】D
【解答】解：A、y＝3x﹣1是一次函数，不符合题意；
B、y＝x3+2中，x的次数是3，不是二次函数，不符合题意；
C、y＝（x﹣2）2﹣x2可化为y＝﹣4x+4是一次函数，不符合题意；
D、y＝x（4﹣x）可化为y＝4x﹣x2，是二次函数，符合题意．
故选：D．
【变式1-2】（2023九上·亳州期末）下列各式中，y是x的二次函数的是
（ ）
1
A．y=3x−1 B．y= C．y=3x2+x−1D．y=2x3−1
x2
【答案】C
【解析】解：A、y=3x-1是一次函数，故此选项不合题意；
1
B、y= 不是二次函数，故此选项不合题意；
x2
C、y=3x2+x-1是二次函数，故此选项符合题意；D、y=2x3-1不是二次函数，故此选项不合题意；
故答案为：C．
【变式1-3】（2022九上·佛山月考）下列四个函数中是二次函数的是（ ）
2 5
A．y=3x−2 B．y= +2 C．y=x2−1 D．y=
x2 x
【答案】C
【解析】A．自变量的次数为1，不是二次函数，不符合题意；
B．分母中含有未知数，不是二次函数，不符合题意；
C．符合二次函数的定义，是二次函数，符合题意；
D．分母中含有未知数，不是二次函数，不符合题意．
故答案为：C．
【题型2 利用二次函数的概念含参数取值范围】
【典例2】（2022秋•普兰店区期末） 是二次函数，则m的值是
（ ）
A．m＝0 B．m＝﹣1 C．m＝1 D．m＝±1
【答案】B
【解答】解：∵ 是二次函数，
∴m2+1＝2且m﹣1≠0，
解得m＝±1且m≠1，
∴m＝﹣1．
故选：B．
【变式2-1】（2022九上·汽开区期末）若函数y=(m−2)x2+5x+6是二次函数，
则有（ ）
A．m≠0 B．m≠2 C．x≠0 D．x≠2
【答案】B
【解析】解：由题意得，m−2≠0，
解得m≠2．
故答案为：B．
【变式2-2】（2023九上·诸暨期末）已知y关于x的二次函数解析式为y=(m−2)x|m|，则m=（ ）
A．±2 B．1 C．-2 D．±1
【答案】C
【解析】解：∵y关于x的二次函数解析式为y=(m−2)x|m| ，
∴|m|=2且m-2≠0，
解之：m=±2，m≠2，
∴m=-2.
故答案为：C.
【变式2-3】（2022秋•开封期末）已知函数y＝（m+1）x|m|+1﹣2x+1是二次函数，
则m＝ ．
【答案】1．
【解答】解：由二次函数的定义可知，当 时，该函数是二次函数，
∴ ，
∴m＝1，
故答案为：1．
【题型3 二次函数的一般形式】
【典例3】（2022秋•济南期末）二次函数y＝x2﹣6x﹣1的二次项系数、一次项
系数和常数项分别是（ ）
A．1，﹣6，﹣1 B．1，6，1 C．0，﹣6，1 D．0，6，﹣1
【答案】A
【解答】解：二次函数y＝x2﹣6x﹣1，
∴二次项系数、一次项系数、常数项分别是1，﹣6，﹣1．
故选：A．
【变式 3-1】（2022 秋•玉州区期中）函数 y＝3x2﹣6x+1 的一次项系数是
（ ）
A．﹣6 B．1 C．3 D．6
【答案】A
【解答】解：函数y＝3x2﹣6x+1的一次项系数是﹣6．故选：A．
【变式3-2】（2022九上·汕尾期中）二次函数y=x2−6x−1的二次项系数、一
次项系数和常数项分别是（ ）
A．1，-6，-1 B．1，6，1 C．0，-6，1 D．0，6，-1
【答案】A
【解析】解：二次函数y=x2−6x−1，
∴二次项系数、一次项系数、常数项分别是1，-6，-1．
故答案为：A．
【变式3-3】（2022九上·北仑期中）二次函数y=5x(x−1)的一次项系数是（
）
A．1 B．-1 C．2 D．-5
【答案】D
【解析】解：y=5x（x-1）=5x2-5x，
∴一次项的系数为-5.
故答案为：D.
【题型4 二次函数的函数值】
【典例4】若点A(−1,y )在抛物线y=2x2上，则y = .
1 1
【答案】2
【解答】解：∵若点A(−1,y )在抛物线y=2x2上，
1
y=2×（-1）2=2，
1
故答案为：2
【变式 4-1】若点 A(3,y)在抛物线 y＝3x2﹣6x+1 上，则 y=
.
【答案】10
【解答】解：∵若点A(3，y)在抛物线y＝3x2﹣6x+1上，
y=3×32-6×3+1=10，
故答案为：10
【变式4-2】（2022九上·富阳期中）对于二次函数y＝x2－2mx－3，当x＝2时
的函数值与x＝8时的函数值相等时，m＝ ．
【答案】5
【解析】解：∵当x＝2时的函数值与x＝8时的函数值相等，∴4-4m-3=64-16m-3
解之：m=5
故答案为：5
【题型5 根据实际问题列出二次函数】
【典例5】（2022秋•西湖区期末）在一个边长为1的正方形中挖去一个边长为
x（0＜x＜1）的小正方形，如果设剩余部分的面积为 y，那么y关于x的函数
表达式为（ ）
A．y＝x2 B．y＝1﹣x2 C．y＝x2﹣1 D．y＝1﹣2x
【答案】B
【解答】解：设剩下部分的面积为y，则：y＝1﹣x2（0＜x＜1），
故选：B．
【变式5-1】（2021秋•珠晖区校级月考）现有一根长为 50cm的铁丝，把它弯
成一个矩形，设矩形的面积为ycm2，一边长为xcm，则y与x之间的函数表
达式为（ ）
A．y＝x（50﹣x） B．y＝x（50﹣2x） C．y＝x（25﹣2x）D．y＝x（25﹣
x）
【答案】D
【解答】解：由题意得：矩形的另一边长＝50÷2﹣x＝25﹣x，
∴y＝x（25﹣x）．
故选：D．
【变式5-2】（2021九上·邗江月考）一台机器原价50万元，如果每年的折旧率
是x，两年后这台机器的价格为y万元，则y与x的函数关系式为
．
【答案】y＝50（1−x）2
【解答】解：由题意得：两年后的价格为：50×（1−x）×（1−x）＝50（1−x）
2，
故y与x的函数关系式是：y＝50（1−x）2．
故答案为：y＝50（1−x）2．
【变式5-3】（2021秋•江油市期末）n个球队参加篮球比赛，每两队之间进行
一场比赛，比赛的场次数m与球队数n（n≥2）之间的函数关系是 ．【答案】m＝ n2﹣ n．
【解答】解：m＝ n（n﹣1）＝ n2﹣ n，
故答案为：m＝ n2﹣ n
1．（2023•立山区一模）下列函数是二次函数的是（ ）
A．y＝x+ B．y＝3（x﹣1）2 C．y＝ax2+bx+c D．y＝+3x
【答案】B
【解答】解：A、y＝x+ 是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；
B、y＝3（x﹣1）2是二次函数，故本选项符合题意；
C、当a＝0时，y＝ax2+bx+c不是二次函数，故本选项不符合题意；
D、y＝+3x是正比例函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；
故选：B．
2．（2021•饶平县校级模拟）若函数y＝（a﹣1）x2+2x+a2﹣1是关于x的二次
函数，则（ ）
A．a≠1 B．a≠﹣1 C．a＝1 D．a＝±1
【答案】A
【解答】解：由题意得：a﹣1≠0，
解得：a≠1，
故选：A．
3．（2023•郁南县校级模拟）关于x的函数y＝（a﹣b）x2+1是二次函数的条件
是（ ）
A．a≠0 B．a≠b C．b＝0 D．a＝0
【答案】B
【解答】解：当a﹣b≠0，即a≠b，则y＝（a﹣b）x2+1是二次函数．
故选：B．4．（2023•丰台区校级模拟）如图，正方形 ABCD和 O的周长之和为20cm，
设圆的半径为xcm，正方形的边长为ycm，阴影部分的面积为Scm2．当x在
⊙
一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数
关系分别是（ ）
A．一次函数关系，一次函数关系
B．一次函数关系，二次函数关系
C．二次函数关系，二次函数关系
D．二次函数关系，一次函数关系
【答案】B
【解答】解：由题意得，
4y+2 x＝20，
∴2y+ x＝10，
π
π
∴y＝ ，
即y与x是一次函数关系，
∵S＝y2﹣ x2，
即满足二次函数关系，
π
故选：B．
6．（2023•槐荫区一模）一辆经营长途运输的货车在高速公路某加油站加满油
后匀速行驶，下表记录了该货车加满油之后油箱内剩余油量 y（升）与行驶
时间x（小时）之间的相关对应数据，则y与x满足的函数关系是（ ）
行驶时间x（小 0 1 2 2.5
时）
剩余油量y（升） 100 80 60 50
A．正比例函数关系 B．一次函数关系C．反比例函数关系 D．二次函数关系
【答案】B
【解答】解：从表格可看出，货车每行驶一小时，耗油量为 20升，即余油量
y与行驶时间x成一次函数关系．
故选：B．
7．（2023•宝山区一模）如图，用长为12米的篱笆围成一个矩形花圃，花圃一
面靠墙（墙的长度超过12米），设花圃垂直于墙的一边长为 x米，花圃面积
为y平方米，那么y关于x的函数解析式为 ．（不要求写出
定义域）
【答案】y＝x（12﹣2x）．
【解答】解：∵篱笆的总长为12米，花圃垂直于墙的一边长为x米，
∴花圃平行于墙的一边长为（12﹣2x）米．
根据题意得：y＝x（12﹣2x）．
故答案为：y＝x（12﹣2x）．
8．（2022•红安县校级模拟）已知二次函数 y＝﹣x2+bx+3，当x＝2时，y＝3．
则这个二次函数的表达式是 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2+bx+3，当x＝2时，y＝3，
∴3＝﹣22+2b+3，
解得：b＝2，
∴这个二次函数的表达式是：y＝﹣x2+2x+3．
故答案为：y＝﹣x2+2x+3．
1．（2022秋•宣城期末）下列函数中，是二次函数的是（ ）
A． B． C．y＝2x2﹣2x+2 D．y＝2x+2【答案】C
【解答】解；A． ，关系式不是整式，故不是二次函数；
B． ，关系式不是整式，故不是二次函数；
C．y＝2x2﹣2x+2，自变量的次数是2，且二次项的系数不为零，故是二次函
数；
D．y＝2x+2，自变量的次数不是2，是一次函数，不是二次函数；
故选：C．
2．（2021九上·上思期中）下列函数关系中，是二次函数的为（ ）
A．在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体的质量x之间的关系.
B．距离一定时，火车行驶的时间t与速度v之间的关系
C．等边三角形的周长C与边长a之间的关系
D．圆的面积S与半径之间的关系
【答案】D
【解答】解：A、关系式为：y=kx+b，是一次函数，不符合题意；
s
B、关系式为： t= ，是反比例函数，不符合题意；
v
C、关系式为： C=3a ，是正比例函数，不符合题意；
D、关系式为： S=πr2 ，是二次函数，符合题意.
故答案为：D.
3．（2022秋•禹城市期末）二次函数y＝x2﹣6x﹣1的一次项系数是（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣6 D．6
【答案】C
【解答】解：二次函数y＝x2﹣6x﹣1的一次项系数是﹣6．
故选：C．
4．（2022秋•肇源县期末）有二次函数y＝xm﹣2﹣2x+1，则m的值是（ ）
A．4 B．2 C．0 D．4或2
【答案】A
【解答】解：∵函数y＝xm﹣2﹣2x+1是二次函数，
∴m﹣2＝2，解得m＝4．
故选：A．
5．（2022秋•定远县期末）若y＝（a+1）x|a+3|﹣x+3是关于x的二次函数，则a
的值是（ ）
A．1 B．﹣5 C．﹣1 D．﹣5或﹣1
【答案】B
【解答】解：∵函数y＝（a+1）x|a+3|﹣x+3是关于x的二次函数，
∴|a+3|＝2且a+1≠0，
解得a＝﹣5，
故选：B．
6．（2022秋•济南期末）若函数 y＝（m+1）x2+2x+1是二次函数，则常数 m的
取值范围是（ ）
A．m＝﹣1 B．m＞﹣1 C．m＜﹣1 D．m≠﹣1
【答案】D
【解答】解：根据题意得：m+1≠0，
解得：m≠﹣1．
故选：D．
7．（2022秋•北仑区期中）二次函数y＝5x（x﹣1）的一次项系数是（ ）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣5
【答案】D
【解答】解：∵原二次函数可化为y＝5x2﹣5x，
∴其一次项系数是﹣5．
故选：D．
8．（2022秋•中山市期中）已知函数 y＝（m+3）x2+1是二次函数，则 m的取
值范围为（ ）
A．m＞﹣3 B．m＜﹣3 C．m≠﹣3 D．任意实数
【答案】C
【解答】解：由题意得：
m+3≠0，
∴m≠﹣3，故选：C．
9．（2021春•青秀区校级期末）下列二次函数中，二次项系数是﹣3的是（
）
A．y＝3x2﹣2x+5 B．y＝x2﹣3x+2 C．y＝﹣3x2﹣x D．y＝x2﹣3
【答案】C
【解答】解：A．y＝3x2﹣2x+5二次项系数是3，不合题意；
B．y＝x2﹣3x+2二次项系数是3，不合题意；
C．y＝﹣3x2﹣x二次项系数是﹣3，符合题意；
D．y＝x2﹣3二次项系数是1，不合题意；
故选：C．
10．（2022春•西湖区校级月考）二次函数 y＝2x2﹣3的二次项系数、一次项系
数和常数项分别是（ ）
A．2、0、﹣3 B．2、﹣3、0 C．2、3、0 D．2、0、3
【答案】A
【解答】解：二次函数y＝2x2﹣3的二次项系数是2，一次项系数是0，常数
项是﹣3，
故选：A．
11．（2021秋•永年区期末）二次函数y＝3x﹣ x2的二次项系数是 ，一
次项系数是 ．
【答案】﹣ ；3．
【解答】解：二次函数y＝3x﹣ x2的二次项系数是﹣ ，一次项系数是3．
故答案为：﹣ ；3．
12．（2022秋•驿城区期末）二次函数y＝3x﹣ 的二次项系数是
【答案】﹣ ．
【解答】解：∵二次函数y＝3x﹣ x2＝﹣ x2+3x，∴二次项系数是﹣ ．
故答案为：﹣ ．
