文档内容
第 01 讲 变量与函数
【题型1：变量与常量】
【题型2：函数定义】
【题型3：函数的关系式】
【题型4：函数自变量取值范围】
【题型5：求自变量的值或函数值】
【题型6：从函数的图像获取信息】
【题型7：动点问题的函数图像】
知识点1：变量与常量
定义：在一个变化过程中，我们称数值发生改变的量为变量，数值始终不变的量为常量．
一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x和 y，并且对于x的每一个确定的值，y
都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是因变量，y 是x 的函数．如
果 当 x=a时，y=b ，那么b叫做当自变量 x的值为a 时的函数值．
【题型1：变量与常量】
【典例1】骆驼被称为“沙漠之舟”，它的体温随时间的变化而发生较大的变化．其中，
因变量是（ ）
A．骆驼 B．沙漠 C．体温 D．时间
【答案】C
【分析】根据函数的定义：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且
对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说y是x的函数，
其中x是自变量，y是因变量．即可得出答案．
本题考查函数的定义．熟记并理解函数的定义是解决此题的关键．
【详解】∵它的体温随时间的变化而发生较大的变化，
∴因变量是体温．
故选：C．【变式1-1】你知道为什么冬天电瓶车电池不耐用？因为电瓶车通常使用铅酸电池和锂电池，
这两种电池的最佳使用温度都是25摄氏度左右．随着温度降低，电池中的化学物质活
性降低，从而导致电池不耐用．在这个变化过程中，自变量是（ ）
A．化学物质 B．温度 C．电池 D．电瓶车
【答案】B
【分析】本题考查了变量，掌握相关定义是解题关键．在一个变化的过程中，数值发生
变化的量称为变量．若一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而变化，那么我们
称前一个变量为因变量，后一个变量为自变量，据此即可作答．
【详解】解：由题意可知，在这个变化过程中，自变量是温度，
故选：B．
【变式1-2】在利用太阳能热水器来加热水的过程中，热水器里的水温随所晒时间的长短而
变化，这个问题中因变量是（ ）
A．水的温度 B．太阳光强弱 C．所晒时间 D．热水器的容积
【答案】A
【分析】本题主要考查常量与变量的知识，解题的关键是对函数的定义以及对自变量和
因变量的认识和理解，难度不大．函数的定义：设在某变化过程中有两个变量x、y，
如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一的值与它对应，那么称y是x
的函数，x叫自变量．函数关系式中，某特定的数会随另一个（或另几个）会变动的数
的变动而变动，就称为因变量．
【详解】解：根据函数的定义可知，水温是随着所晒时间的长短而变化，可知水的温度
是因变量，所晒时间为自变量．
故选：A．
【变式1-3】 你知道为什么冬天电瓶车电池不耐用？因为电瓶车通常使
用铅酸电池和锂电池，这两种电池的最佳使用温度都是25摄氏度左右．随着温度降低，
电池中的化学物质活性降低，从而导致电池不耐用．在这个变化过程中，自变量是（
）
A．温度 B．化学物质活性 C．电池 D．电瓶车
【答案】A
【分析】本题考查了变量，掌握相关定义是解题关键．在一个变化的过程中，数值发生
变化的量称为变量．若一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而变化，那么我们称前一个变量为因变量，后一个变量为自变量，据此即可作答．
【详解】解：自变量是温度，因变量是化学物质的活性．
故选：A．
知识点2：函数定义
像 这样，用关于自变量的数学式子表示
函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法，这种式子叫做函数的解析式
【题型2：函数定义】
【典例2】下列图形中不能表示y是x的函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了函数的概念，熟练掌握对于自变量x的每一个值，因变量y都
有唯一的值与它对应，是解题的关键．根据函数的概念：对于自变量x的每一个值，因
变量y都有唯一的值与它对应，逐项判断即可．
【详解】解：A．对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以y
是x的函数，不符合题意；
B．对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以y是x的函数，不
符合题意；
C．对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以y是x的函数，不
符合题意；
D．对于存在自变量x的一个值，因变量y有2个值与它对应，所以y不是x的函数，符
合题意；
故选：D．【变式2-1】下列曲线中，表示y是x的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据函数的定义，逐项判断即可求解，
本题主要考查了函数的基本概念，解题的关键是：熟练掌握如果x取任意一个量，y都
有唯一的一个量与x对应，那么相应地x就叫做这个函数的自变量或如果y是x的函数，
那么x是这个函数的自变量．
【详解】解：A．对于每一个自变量x的取值，因变量y只有一个值与之相对应，所以y
是x的函数故本选项不符合题意；
B．对于每一个自变量x的取值，因变量y不止一个值与之相对应，所以y不是x的函数
故本选项不符合题意；
C．对于每一个自变量x的取值，因变量y不止一个值与之相对应，所以y不是x的函数
故本选项不符合题意；
D．对于每一个自变量x的取值，因变量y不止一个值与之相对应，所以y不是x的函数
故本选项不符合题意；
故选：A．
【变式2-2】下列选项中，y不是x的函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查函数的概念，掌握函数的定义是解题的关键．根据函数的定义“如果
在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么y是x的函数”判断即可．
【详解】解：根据函数的定义，A中y不是x的函数，B、C、D中y是x的函数，
∴A符合题意，B、C、D不符合题意．
故选：A．
【变式2-3】下列选项中，不能表示某函数图像的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了函数的概念，根据函数的概念可以判断哪个选项中的图象是y与x
的函数图象，解题的关键是正确理解函数的概念，利用数形结合的思想解答．
【详解】解：A、y与x不是一一对应的，不符合函数的定义，符合题意；
B、y与x是一一对应的，符合函数的定义，不符合题意；
C、y与x是一一对应的，符合函数的定义，不符合题意；
D、y与x是一一对应的，符合函数的定义，不符合题意；
故选：A．
【题型3：函数的关系式】
【典例3】某文具店老板购进一批荧光笔，销量x（支）与销售额y（元）的关系如下表所
示：
销量x/支 1 2 3 4 5 …
销售额y/ 3 6 9 12 15 …
元
则销售额y与销量x的函数关系式为（ ）A．y=3x B．y=6x C．y=9x D．y=12x
【答案】A
【分析】此题考查的是函数的表示方法，观察表格中的数据发现：销售额是销售数量的
3倍，据此列出函数关系式；
【详解】解：表格中的数据发现：销售额是销售数量的3倍，
∴销售额y与销量x的函数关系式为y=3x
故选：A．
【变式3-1】表中给出的统计数据，表示皮球从高度xcm落下时与反弹到高度ycm的关系：
x/cm 40 50 60 80 100
y/cm 25 30 35 45 55
用含x的代数式表示y，正确的是（ ）
1
A．y=x−15 B．y= x
2
1
C．y=2x−10 D．y= x+5
2
【答案】D
【分析】本题考查了用关系式表示变量间的关系，观察表格中的数据得出x每增加10，
y增加5，从表格中的数据得出规律，得出关系式即可．
【详解】解：由表格中的数据可知，当x每增加10，y增加5，
1
∵ ×40+5=25，
2
1
×50+5=30，
2
1
×60+5=35，
2
1
×80+5=45，
2
1
×100+5=55，
2
1
∴y= x+5，
2
故选：D．
【变式3-2】某农户想要用棚栏围成一个长方形鸡场，如图所示，鸡场的一边靠墙，号外三边用棚栏围成，若棚栏的总长为20m，设长方形靠墙的一边长为xm，面积为ym2，当
x在一定范围内变化时，y随x的变化而变化，则y与x满足的函数关系是（ ）
20
A．y=20x B．y=20−2x C．y= D．y=x(20−2x)
x
【答案】D
【分析】本题考查根据实际问题列函数关系式，利用长方形面积等于长乘宽计算即可．
【详解】由题意得：长方形靠墙的一边长为xm，则平行墙的边长为(20−2x)m，
∴面积y=x(20−2x)，
故选：D．
【变式3-3】某机床要加工一批机器毛绒玩具，每小时加工的件数与加工的时间如下表：
每小时加工件数（件） 30 20 18 9 …
加工时间（小时） 12 18 20 40
用x表示每小时加工毛绒玩具的件数，用y表示加工时间，用式子表示y与x之间的关
系为 ．
【答案】xy=360
【分析】本题考查了反比例关系的意义，工作总量、工作时间、工作效率三者关系，
正确掌握相关性质内容是解题的关键．观察表格数据，发现30×12=360，
20×18=360，18×20=360，9×40=360，结合工作时间×工作效率=工作总量，
且工作总量不变，即可作答．
【详解】解：由表格数据，得30×12=360，20×18=360，18×20=360，
9×40=360，
∴这批毛绒玩具共360件，
∵工作总量不变，都是360件，
∴加工时间与每小时加工件数乘积都是360，即乘积不变，
∴xy=360，
故答案为：xy=360．知识点3：自变量取值范围和函数值
初中阶段，在一般的函数关系中自变量的取值范围主要考虑以下四种情况：
（1）函数关系式为整式形式：自变量取值范围为任意实数；
（2）函数关系式为分式形式：分母0
（3）函数关系式含算术平方根：被开方数0；
（4）函数关系式含0指数：底数0。
【题型4：函数自变量取值范围】
❑√x+1
【典例4】函数y= +(x−2) 0 的自变量x的取值范围是（ ）
x+2
A．x≥−1 B．x>2 C．x≥−1且x≠2 D．x≠−1且x≠−2
【答案】C
【分析】本题考查了零次幂，二次根式有意义，分式有意义，根据零次幂的底数不能
为0、分母不能为0，被开方数为非负数进行列式计算，即可作答．
❑√x+1
【详解】解：∵y= +(x−2) 0
x+2
∴x+1≥0,x+2≠0,x−2≠0，
解得x≥−1且x≠2，
故选：C
【变式4-1】函数y=❑√x−2，自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥2 B．x>2 C．x≤2 D．x<2
【答案】A
【分析】本题主要考查了求自变量的取值范围，二次根式有意义的条件，根据二次根
式有意义的条件是被开方数大于等于0进行求解即可．
【详解】解：根据题意，得x−2≥0，
解得x≥2，
故选：A．
❑√5−x
【变式4-2】函数y= 中的自变量x的取值范围是（ ）
xA．x>0 B．x≤5 C．x>0且x≠5 D．x≤5且x≠0
【答案】D
【分析】本题考查了求函数的自变量的取值范围，根据分式的分母不等于0和二次根
{5−x≥0)
式的被开方数为非负数，列出不等式组 ，解不等式，即可求解．
x≠0
{5−x≥0)
【详解】解：∵
x≠0
∴x≤5且x≠0
故选：D．
x
【变式4-3】在函数y= +3中，自变量x的取值范围是 ．
x−2
【答案】x≠2
【分析】本题主要考查自变量得取值范围的知识点．当函数表达式是分式时，考虑分
式的分母不能为0．根据分式有意义的条件是分母不为0；分析原函数式可得关系式
x−2≠0，解得答案．
【详解】解：根据题意得x−2≠0，
解得：x≠2；
故答案为：x≠2．
【题型5：求自变量的值或函数值】
【典例5】根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入x的值是−2，则输出y的值是
（ ）
A．9 B．7 C．−4 D．−8
【答案】D
【分析】本题主要考查了求函数值，当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的
值；当已知函数解析式，给出函数值时，求相应的自变量的值就是解方程．
依据题意，输入x的值是−2时，输出y的值即可．【详解】解：∵−2<0，
当x=−2时，y=−2−6=−8，
故选：D．
3
【变式5-1】变量y与x之间的关系式为y= x+2，当自变量x=2时，因变量y的值是
2
（ ）
A．−2 B．−1 C．1 D．5
【答案】D
【分析】本题考查求函数值，熟练掌握求函数值的方法是解决本题的关键．将自变量
x=2代入该函数解析式进行计算求解．
【详解】解：当自变量x=2时，
3
因变量y= ×2+2=5，
2
故选：D．
❑√x−2
【变式5-2】已知函数f(x)= ，那么f(3)= ．
2x
【答案】x≥2
【分析】本题考查了求函数自变量的取值范围，根据被开方数是非负数且分母不等于
0列式求解即可．
【详解】解：由题意，得
x−2≥0且2x≠0，
解得x≥2．
故答案为：x≥2．
【变式5-3】某人购进一批苹果到集贸市场零售，已知卖出的苹果质量x(kg)与售价y
（元）之间的关系如下表：
质量
1 2 3 4
x/kg
售价y/ 1.2+0.1 2.4+0.1 3.6+0.1 4.8+0.1
元
则y与x的关系式为 ，若卖出苹果10kg，售价为 元．
【答案】 y=1.2x+0.1 12.1
【分析】本题考查了函数关系式，解题的关键是从表中所给信息中推理出x与y的关
系，推理时要注意寻找规律．再代入求值．根据表中所给信息，判断出卖出1千克苹果(1.2+0.1)元，每增加1千克增加1.2元，
列出函数关系式即可；再代入已知量，可求未知量．
【详解】由表中信息可知，卖出1千克苹果(1.2+0.1)元，每增加1千克增加1.2元，
所以，卖出的苹果数量x（千克）与售价y（元）之间的关系是：y=1.2x+0.1．
当x=10时，y=1.2×10+0.1=12.1．
故答案为：y=1.2x+0.1， 12.1．
知识点4：函数的图像
对于在某一变化过程中的两个变量，把自变量x与因变量y的每对对应值分别作为点的
横坐标与纵坐标，在坐标平面内描出这些点，这些点所组成的图形就是它们的图象（这个
图象就叫做平面直角坐标系）。它是我们所表示两个变量之间关系的另一种方法，它的显
著特点是非常直观。不足之处是所画的图象是近似的、局部的，通过观察或由图象所确定
的因变量的值往往是不准确的。
理解图像：a.认真理解图象的含义，注意选择一个能反映题意的图象；b.从横轴和纵轴
的实际意义理解图象上特殊点的含义（坐标），特别是图像的起点、拐点、交点
【题型6：从函数的图像获取信息】
【典例6】为了体验大学校园文化，小华利用周末骑电动车从家出发去西安交大，当他骑
了一段路时，想起要帮在交大读书的张浩买一本书，于是原路返回到刚经过的新华书
店，买到书后继续前往交大，如图是他离家的距离与时间的关系示意图，请根据图中
提供的信息回答下列问题：
(1)小华家离西安交大的距离是多少？(2)小华在新华书店停留了多长时间？
(3)买到书后，小华从新华书店到西安交大骑车的平均速度是多少？
(4)本次去西安交大途中，小华一共行驶了多少米？
【答案】(1)4800米
(2)小华在新华书店停留了8分钟
(3)450（米/分）
(4)6800（米）
【分析】本题考查了从函数图象中获取信息，能够看懂图象是解题关键；
（1）直接根据起点和终点信息即可解题；
（2）找到离家距离不变的时间段即可解题；
（3）先算出新华书店去西安交大的路程和时间，再根据速度公式进行计算即可；
（4）从家到西安交大发现中间有路程是重复的，把重复的路程加上加到西安交大的距
离即可．
【详解】（1）解：根据函数图象，可知小华家离西安交大的距离是4800米；
（2）解：24−16=8（分钟）
∴小华在新华书店停留了8分钟．
（3）解：小华新华书店去西安交大的路程为4800−3000=1800米，所用时间为
28−24=4分钟，
∴小华从新华书店到西安交大骑车的平均速度是：1800÷4=450（米/分）．
（4）解：根据函数图象，小华一共行驶了4800+2×(4000−3000)=6800（米）．
【变式6-1】2025年央视春晚在重庆设立分会场，场地在来福士对面的规划展览馆，很多
明星将参与春晚彩排，家住长嘉汇购物公园旁的小西，在寒假某一天，先从家跑步去
规划展览馆拍照打卡，再去面馆打包“重庆小面”，最后回家．小西家、面馆、规划
展览馆在一条直线上．小西离开家的距离y与时间x之间的函数关系如图所示．下列结
论正确的是（ ）
A．小西从家到规划展览馆的速度是250m/minB．小西在面馆停留时间为30min
C．小西从面馆到家的速度是70 m/min
D．小西从规划展览馆到面馆的速度90 m/min
【答案】D
【分析】本题考查了从函数图形获取信息，根据函数图象逐项分析即可．
【详解】解：A．小西从家到规划展览馆的速度是1200÷5=240(m/min)，故不正确；
B．小西在面馆停留时间为49−39=10(min)，故不正确；
C．小西从面馆到家的速度是840÷(63−49)=60 (m/min)，故不正确；
D．小西从规划展览馆到面馆的速度(1200−840)÷(39−35)=90 (m/min)，故正确；
故选D．
【变式6-2】匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满，在注水过程中，水面高度ℎ随时
间t的变化规律如图所示，（图中OPMN为一折线），这个容器的形状是下图中的
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了根据函数图像解决实际问题，判断出函数图像中每段图像变
化不同的原因是解题的关键．根据注水量一定，根据函数图像的走势即可得到答案．
【详解】解：注水量一定，函数图象的走势是陡、稍平、稍陡，那么水面高度就相应
的变化，跟所给容器的粗细有关，从下到上依次是细、粗、稍粗，
所以这个容器的形状是B项中的图形，
故选：B．
【变式6-3】小明从家出发骑自行车去上学，当他以往常的速度骑了一段路后，突然想起要
买圆规，于是又折回到刚经过的文具店，买到圆规后继续骑车去学校．如图是他本次上学过程中离家距离与所用时间的关系图，根据图象回答下列问题：
(1)小明家到学校的路程是 米；
(2)小明在文具店停留了 分钟；
(3)本次上学途中，小明一共行驶了 米；
(4)交通安全不容忽视，我们认为骑自行车的速度超过15千米/时就超过了安全限度．
通过计算说明：在整个上学途中哪个时间段小明的骑车速度最快，最快速度在安全限
度内吗？
【答案】(1)1800
(2)3
(3)3000
(4)在12～15分钟时间段小明的骑车速度最快，不在安全限度内．
【分析】本题考查从函数的图象中获取信息，解题的关键是利用数形结合的思想解答．
（1）根据函数图象中的数据可以得到小明家到学校的路程和在书店停留的时间；
（2）根据函数图象中的数据可以得到小明在书店停留的时间；
（3）根据函数图象中的数据可以得到本次上学途中，小明一共行驶的路程；
（4）根据题意和函数图象可以得到各段内对应的速度，从而可以解答本题．
【详解】（1）解：由图象可得，小明家到学校的路程是1800米，
故答案为：1800；
（2）解：小明在书店停留了12−9=3（分钟），
故答案为：3；
（3）解：本次上学途中，小明一共行驶了：
1200+(1200−600)+(1800−600)=1200+600+1200=3000（米），
故答案为：3000；
（4）解：当时间在0～6分钟内时，速度为：1200÷6=200（米/分），当时间在6～9分钟内时，速度为：(1200−600)÷(9−6)=200（米/分），
当时间在12～15分钟内时，速度为：(1800−600)÷(15−12)=400（米/分），
15千米/时=250米/分，
∵400>250，
∴在12～15分钟时间段小明的骑车速度最快，不在安全限度内．
【题型7：动点问题的函数图像】
【典例7】如图（1）在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=60°，动点P从A点出发，以
1cm/s的速度沿着A→B→C→D的方向不停移动，直到点P到达点D后才停止．
已知△PAD的面积S（单位：cm2）与点P移动的时间t（单位：s）的函数关系如图（
2）所示，则点P从开始移动到停止移动一共用了（ ）s．
A．6 B．7 C．4+3❑√3 D．4+2❑√3
【答案】D
【分析】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，矩形的判定与性质，掌握知识
点的应用是解题的关键．
根据图（2）判断出AB、BC的长度，过点B作BE⊥AD于点E，然后求出梯形
ABCD的高BE，再根据t=2时△PAD的面积求出AD的长度，过点C作CF⊥AD于
点F，然后求出DF的长度，利用勾股定理列式求出CD的长度，然后求出
AB、BC、CD的和，再根据时间=路程÷速度计算即可得解．
【详解】解：由图（2）可知，t在2到4秒时，△PAD的面积不发生变化，
∴在AB上运动的时间是2秒，在BC上运动的时间是4−2=2（秒），
∵动点P的运动速度是1cm/s，
∴AB=2cm，BC=2cm，
如图，过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD于点F，∴∠BEF=∠CFE=∠BEA=∠DFC=90°，
∵AD∥BC，
∴∠BEF+∠CBE=180°，
∴∠BEF=∠CFE=∠CBE=90°，
∴四边形BCFE是矩形，
∴BE=CF，BC=EF=2cm，
∴∠A=60°，
∴∠ABE=30°，
1
∴AE= AB=1cm，
2
∴BE=❑√AB2−AE2=❑√22−12=❑√3(cm)，
1 1
∴ ×AD×BE=3❑√3，即 ×AD×❑√3=3❑√3，
2 2
∴AD=6cm，
∴DF=AD−AE−EF=6−1−2=3(cm)，
在Rt△CDF中，CD=❑√CF2+DF2=❑√3+9=2❑√3(cm)，
∴动点P运动的总路程为AB+BC+CD=2+2+2❑√3=4+2❑√3(cm)，
∵动点P的运动速度是1cm/s，
∴点P从开始移动到停止移动一共用了(4+2❑√3)÷1=4+2❑√3(秒)，
故选：D．
【变式7-1】如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A→B匀速运动到点B，图
2是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M为曲线部分的最低
点且图象是轴对称图形，则△ABC的面积是（ ）A．30 B．36 C．60 D．72
【答案】C
【分析】本题考查动点问题的函数图象，根据图象可知点P在BC上运动时，此时BP
不断增大，而从C向A运动时，BP先变小后变大，从而可求出BC与AC的长度．
【详解】解：根据图象可知点P在BC上运动时，此时BP不断增大，
由图象可知：点P从B向C运动时，BP的最大值为13，即BC=13，
由于M是曲线部分的最低点，
∴此时BP最小，即BP⊥AC，BP=12，
∴由勾股定理可知：PC=❑√BC2−BP2=5，
由于图象的曲线部分是轴对称图形，
∴PA=5，
∴AC=10，
1
∴△ABC的面积为： ×10×12=60．
2
故选C．
【变式7-2】如图1，在长方形ABCD中，AB：AD=3：5，点P从点A出发以2cm/秒
的速度沿A→B→C→D的路线匀速移动．随着点P的移动，三角形APD的面积会
不断发生变化，它的面积变化情况如图2所示．(1)点P从点A出发，经过多少秒后到达点D？
(2)点P从点A出发，经过多少秒后三角形APD的面积恰好是25cm2？
【答案】(1)点P从点A出发，经过11秒后到达点D
(2)经过2.5秒或8.5秒后三角形APD的面积恰好是25cm2
【分析】本题主要考查动点运动的函数图象问题，根据图2得出AB的长进而求出AD
是解题的关键．
（1）由图2可知，点P运动3秒到达点B，再由点P的运动速度和AB：AD=3：5
进行求解即可；
（2）由（1）中求得的数据，可知长方形的面积，进而可得出点P在BC上运动时，
△APD的面积为定值30，再对点P的位置再AB和CD上进行分类即可．
【详解】（1）解：由图2知，点P运动3秒时到达B点，
又∵点P的运动速度是2cm/秒，
∴AB=2×3=6(cm)．
又∵AB：AD=3：5，
∴AD=10cm．
又∵四边形ABCD是长方形，
∴CD=AB=6cm．
∴AB+BC+CD=6+10+6=22(cm)，
∴22÷2＝11（秒）．
∴点P从点A出发，经过11秒后到达点D．
（2）解：由（1）知，S =6×10=60(cm2)，
长方形ABCD
当点P在BC上运动时，△ADP的面积恒为：60÷2=30(cm2)．
又25<30，故不符合题意；
当点P在边AB上时，
25×2÷10=5(cm)，
5÷2=2.5（秒）．
当点P在边CD上时，
6+10+6−5=17(cm)，
17÷2＝8.5（秒）．
综上所述，经过2.5秒或8.5秒后三角形APD的面积恰好是25cm2．
【变式7-3】已知动点P以2cm/s的速度沿如图1所示的边框以B−C−D−E−F−A的路径运动，记△ABP的面积为s(cm2)，s与运动时间t(s)的关系如图2所示，若AB=6cm，
请回答下列问题：
(1)图1中BC= cm，CD= cm，DE= cm．
(2)求图2中m，n的值；
(3)分别求出当点P在线段BC和DE上运动时s与t的关系式．
【答案】(1)8；4；6
(2)m的值为24cm2，n的值为17s
(3)s=6t(0≤t≤4)；s=6t−12(6≤t≤9)
【分析】本题考查动点问题的函数图像，速度、时间、路程之间的关系，三角形的面
积等知识，采用了数形结合的思想方法．解题的关键是读懂图像信息．
（1）因为点P速度为2cm/s，所以根据图2的时间可以求出线段BC，CD和DE的长
度；
（2）由图像可知m的值就是△ABC的面积，n的值就是运动的总时间，由此即可解决；
（3）先用t表示出点P到AB的水平距离，再根据三角形的面积公式求出面积．
【详解】（1）解：由图2可知，点P从B−C的运动时间为4s，
∴BC=2×4=8(cm)，
由图2可知，点P从C−D的运动时间为：6−4=2(s)，
∴CD=2×2=4(cm)，
由图2可知，点P从D−E的运动时间为9−6=3(s)，
∴DE=2×3=6(cm)．
故答案为：8；4；6．
（2）解：根据题意得：m=S ，
△ABC
1
= AB×BC
2
1
= ×6×8
2=24(cm2)，
n=(BC+CD+DE+EF+FA)÷2
=(BC+DE+AB+FA)÷2
=(8+6+6+8+6)÷2
=17(s)．
∴图2中m的值为24cm2，n的值为17s．
（3）解：由图2可知，点P在BC上运动时，0≤t≤4，
1
∴s= ×6×2t=6t，
2
即s=6t(0≤t≤4)，
由图2可知，点P在DE上运动时，6≤t≤9，
1
∴s= ×6×(2t−4)=6t−12，
2
即s=6t−12(6≤t≤9)．
∴点P在线段BC上运动时s与t的关系式为s=6t(0≤t≤4)，点P在线段DE上运动时s
与t的关系式为s=6t−12(6≤t≤9)．
一、单选题
1．下列图象中，不表示y是x的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D【分析】本题考查函数的概念，设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一
个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，由此即可判断．
【详解】解：A．根据图象知给自变量一个值，有且只有1个函数值与其对应，则y是
x的函数，故该选项不符合题意；
B．根据图象知给自变量一个值，有且只有1个函数值与其对应，则y是x的函数，故
该选项不符合题意；
C．根据图象知给自变量一个值，有且只有1个函数值与其对应，则y是x的函数，故
该选项不符合题意；
D．根据图象知给自变量一个值，有2个函数值与其对应，则y不是x的函数，故该选
项符合题意；
故选：D．
2．嘉琪的爸爸到单位附近的加油站加油，如图是他所用加油机上的数据显示牌，则数据中
的变量是（ ）
A．金额 B．数量 C．单价 D．金额和数量
【答案】D
【分析】本题考查常量与变量，解题的关键是正确理解常量与变量，本题属于基础题
型．根据常量与变量的定义即可判断．
【详解】解：常量是固定不变的量，变量是变化的量，
单价7.38是不变的量，而金额是随着数量的变化而变化，
变量是：金额与数量．
∴故选：D．
y(cm)
3． 在一定范围内，弹簧挂重物后会伸长，测得弹簧长度 最长为
20cm，与所挂物体质量x(kg)间有下面的关系：
x(kg) 0 1 2 3 4 …
y(cm) 8 8.5 9 9.5 10 …下列说法不正确的是（ ）
A．x与y都是变量，x是自变量，y是因变量
B．所挂物体为6kg时，弹簧长度为11cm
C．在弹性限度内，物体每增加1kg，弹簧长度就增加0.5cm
D．挂30kg物体时，弹簧长度一定比原长增加15cm
【答案】D
【分析】本题考查了变量、自变量、因变量的概念，认真审题能从题目中抽取出有效
信息是解题的关键．弹簧长度随所挂物体的重量的变化而变化，由表格数据可知物体
每增加1kg，弹簧长度就增加0.5cm，可以计算当所挂物体为6kg或30kg时弹簧的长
度，但应注意弹簧的最大长度为20cm．
【详解】解：A．因为弹簧长度随所挂物体的重量的变化而变化，所以x是自变量，y
是因变量．故本选项正确，不符合题意；
B．当所挂物体为6kg时，弹簧的长度为8+0.5×6=11cm．故本选项正确，不符合题
意；
C．从表格数据中分析可知，物体每增加1kg，弹簧长度就增加0.5cm．故本选项正确，
不符合题意；
D．当所挂物体为30kg时，弹簧长度为8+0.5×30=23cm>20cm．故本选项不正确，
符合题意．
故选：D．
❑√x+3
4．函数y= 中，自变量x的取值范围是（ ）
x−2
A．x≥3且x≠−2 B．x≥3且 x≠2
C．x≥−3且 x≠−2 D．x≥−3且 x≠2
【答案】D
【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，根据被开方数是非负数且分母不等于零
列式求解即可．
【详解】解：由题意，得
x+3≥0且x−2≠0，
解得x≥−3且 x≠2．
故选D．
5．某学习小组做了一个实验：从一幢100m高的楼顶随手放下一个苹果，测得有关数据如下：
下落时间t(s) 1 2 3 4
下落高度ℎ(m) 5 20 45 80
则下列说法错误的是（ ）
A．苹果每秒下落的高度越来越大 B．苹果每秒下落的高度不变
C．苹果下落的速度越来越快 D．下落时间是自变量，下落高度是因变量
【答案】B
【分析】本题考查了函数关系的理解，理解表格信息，掌握自变量，因变量的数量关
系是解题的关键．
根据表格信息，判定苹果每秒下落的高度和速度的数量关系，理解自变量，因变量的
概念即可求解．
【详解】解：根据表格信息可得，第一秒时，下落高度为5m，第二秒时，下落高度
为20−5=15(m)，第三秒时，下落高度为45−20=25(m)，第四秒时，下落高度为
80−45=35(m)，
A、苹果每秒下落的高度越来越大，正确，不符合题意；
B、苹果每秒下落的高度不变，错误，符合题意；
C、苹果下落的速度越来越快，由上述计算可得，该选项正确，不符合题意；
D、随着时间的变化，高度也在变化，故下落时间是自变量，下落高度是因变量，正
确，不符合题意；
故选：B ．
6．如图，在等腰△ABC中，AC=BC，动点P从点B出发，沿BC→CA运动至点A停止，
设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，若y关于x的函数图象如图所示，则AB的
值为（ ）
A．❑√10 B．5 C．❑√7 D．3
【答案】A
【分析】本题考查了从函数图象获取信息，等腰三角形的性质，勾股定理，过A作AD⊥BC于点D，由图象可知：AC=BC=5，S =7.5，通过面积求出AD=3，
△ABC
最后再通过勾股定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：过A作AD⊥BC于点D，由函数图象可知：AC=BC=5，S =7.5，
△ABC
∴∠ADC=∠ADB=90°，
1
∴S = BC×AD=7.5，
△ABC 2
1
∴ ×5×AD=7.5，
2
∴AD=3，
∴CD=❑√AC2−AD2=❑√52−32=4，
∴BD=BC−CD=5−4=1，
∴AB=❑√AD2+BD2=❑√32+12=❑√10，
故选：A．
7．某厂家要生产一批货物，每天生产的个数与生产的天数之间的关系如下表所示：
每天生产的个数 500 600 800 1000 1200 …
生产的天数 24 20 15 12 10 …
若每天生产的个数用m（个）表示，生产的天数用t（天）表示，则下列说法正确的是
（ ）
A．这批货物共有1200个
B．生产的天数t会随着每天生产的个数m的增大而增大
C．要想8天完成这批货物的生产任务，则每天需要生产1500个
D．m与t乘积为定值，它们成正比例关系
【答案】C
【分析】本题考查表格表示函数关系，读懂题意，根据四个选项的描述结合表格中数
据逐项验证即可得到答案，理解题意，从表格中把我函数关系是解决问题的关键．
【详解】解：A、由表格可知，每天生产的货物个数为500个，需要生产天数为24天，这批货物的总数为500×24=12000个，故选项错误，不符合题意；
B、由表格可知，生产的天数t会随着每天生产的个数m的增大而减小，故选项错误，
不符合题意；
C、由表格可知，这批货物总数为12000个，若要想8天完成这批货物的生产任务，则
每天需要生产1500个，故选项正确，符合题意；
D、m与t乘积为定值，且mt=12000，m与t成反比例关系，故选项错误，不符合题意；
故选：C．
8．小明和小华是同班同学，也是邻居，某日早晨，小明7：40先出发去学校，走了一段
后，在途中停下吃了早餐，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小华离家后直
接乘公共汽车到了学校．如图是他们从家到学校已走的路程s（米）和所用时间t（分
钟）的关系图．则下列说法中正确的是（ ）
①小明家和学校距离1200米；②小华乘坐公共汽车的速度是240米/分；③小华乘坐公
共汽车后7：50与小明相遇；④小华的出发时间不变，当小华由乘公共汽车变为跑步，
且跑步的速度是100米/分时，他们可以同时到达学校．
A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④
【答案】C
【分析】本题考查函数图象，能明确题意，熟练掌握行程类函数图象的解题方法，确
定图中拐点、交点的意义是解题的关键．直接根据图象可得小明家和学校距离为1200
米，故可判断①；利用小华1200米用时13−8=5（分）可得其速度，故可判断②；利
用图中交点即为相遇，求出小华走500米所用时间，即可求出相遇时间，故可判断③；
利用小华1200米的跑步的速度是100米/分，求出小华到达终点所用时间，即可判断④．
【详解】解：由图象可得，小明家和学校距离为1200米，
故①正确；
小华乘坐公共汽车的速度是1200÷(13−8)=240（米/分），
故②正确；25
小华从出发到与小明相遇的时间为500÷240= （分），
12
25 1
则从7：40到小华与小明相遇所用时间为8+ =10 （分），
12 12
则小华乘坐公共汽车与小明相遇的时间超过了7：50，
故③错误；
小华的出发时间不变，当小华由乘公共汽车变为跑步，且跑步的速度是100米/分，
小华从家到学校的所用时间为：1200÷100=12（分），
则小华到校时间为8：00，
又因为小明到校时间为8：00，
则他们可以同时到达学校，
故④正确；
故正确的为①②④，
故选：C．
二、填空题
9．某粮库需要把晾晒场上的粮食入库保存，每天入库的吨数v与入库所需的天数d之间关
系如下表：
每天入库吨数
500 250 100 50 …
(v)
入库所需天数 1 2 5 10 …
(d)
用式子表示d与v的关系为 ．
500
【答案】d=
v
【分析】本题考查函数关系式，理解表格中入库的天数d与每天入库的吨数v的对应
值的变化规律是正确解答的关键．
根据表格中入库的天数d与每天入库的吨数v的对应值的变化规律进行解答即可．
【详解】解：由表格中入库的天数d与每天入库的吨数v的对应值可得，
500×1=250×2=100×5=50×10，即入库的天数d与每天入库的吨数v的乘积相
等，
所以入库的天数d与每天入库的吨数v成反比例关系，k
设d= ，所以k=dv=500，
v
500
所以入库的天数d与每天入库的吨数v的关系式为d= ，
v
500
故答案为：d= ．
v
10．如果弹簧原长为10cm，每挂1kg重物弹簧伸长0.5cm，假设重物质量为mkg，受力后
的弹簧长度为lcm，则l与m的函数关系式是l= ．
【答案】l=0.5m+10
【分析】本题考查了函数关系式，能够根据题意中的等量关系建立函数关系式是解题
关键．
【详解】解：根据题意得：l=0.5m+10，
故答案为：l=0.5m+10．
9
11．同一温度的华氏度数y（℉）与摄氏度数x（℃）之间的函数关系是y= x+32，如
5
果某一温度的摄氏度数是5℃，那么它的华氏度数是 ℉．
【答案】41
【分析】本题考查的是求函数值，理解函数值的概念并正确代入准确计算是解题的关
键．把x的值代入函数关系式计算求出y值即可．
9
【详解】解：根据题意，当x=5时，y= ×5+32=41，
5
所以它的华氏度数是41℉，
故答案为：41．
