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专题 10.1 二元一次方程组及其解法【十大题型】
【人教版2024】
【题型1 二元一次方程（组）的概念】..................................................................................................................2
【题型2 由二元一次方程组的解求参数】..............................................................................................................3
【题型3 二元一次方程组的错解或遮挡复原问题】.............................................................................................4
【题型4 同解方程组】..............................................................................................................................................5
【题型5 判断二元一次方程组的解的情况】.........................................................................................................5
【题型6 构造二元一次方程组求解】......................................................................................................................6
【题型7 已知一个方程组的解求另一个方程组的解】.........................................................................................6
【题型8 换元法解二元一次方程组】......................................................................................................................7
【题型9 由二元一次方程组的解的情况求参数】.................................................................................................8
【题型10 二元一次方程组与二元一次方程的综合求值】.....................................................................................8
知识点1：二元一次方程组的相关概念
1. 二元一次方程的定义
定义：方程中含有两个未知数（一般用x和y），并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫做二元
一次方程.
【易错点剖析】
（1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数.
（2）“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1.
（3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式.
2.二元一次方程的解
定义：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解.
【易错点剖析】
二元一次方程的每一个解，都是一对数值，而不是一个数值，一般要用大括号联立起来，即二元一次
方程的解通常表示为 的形式.
3. 二元一次方程组的定义
定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组. 此外，组成
1
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学科网（北京）股份有限公司方程组的各个方程也不必同时含有两个未知数.例如，二元一次方程组 .
【易错点剖析】
（1）它的一般形式为 （其中 ， ， ， 不同时为零）．
（2）更一般地，如果两个一次方程合起来共有两个未知数，那么它们组成一个二元一次方程组．
（3）符号“ ”表示同时满足，相当于“且”的意思．
4. 二元一次方程组的解
定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.
【易错点剖析】
（1）方程组中每个未知数的值应同时满足两个方程，所以检验是否是方程组的解，应把数值代入两个方
程，若两个方程同时成立，才是方程组的解，而方程组中某一个方程的某一组解不一定是方程组的解.
（2）方程组的解要用大括号联立；
{2x+y=5¿¿¿¿
（3）一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组 无解，而方程组
{x+y=−1¿¿¿¿
的解有无数个.
【题型1 二元一次方程（组）的概念】
【例1】（23-24七年级上·重庆·期末）已知方程(m−3)x|m−2)+2y3−2n=10是关于x、y的二元一次方程．
则m+n= ．
{ xy=1 ) {x=1)
{1
+
1
=1)
【变式1-1】（23-24七年级下·河北石家庄·期中）在方程组 、 、 x y 、
x+2y=3 y=1
x+ y=1
{ x=2 ) {x+ y=5)
、 中，是二元一次方程组的有（ ）
3 y−x=1 y=7+z
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【变式1-2】（22-23七年级下·吉林长春·期末）下列方程中，是二元一次方程的为（ ）
A．3x+2=−7 B．x+3=5 y C．x−y D．2xy=1
2
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学科网（北京）股份有限公司【变式1-3】（23-24七年级下·山东烟台·期末）请写出一个关于x，y的二元一次方程，使其满足x的系数
是大于2的整数，y的系数是小于−1的整数，且x=1，y=3是这个二元一次方程的解．这个方程可以是
．
【题型2 由二元一次方程组的解求参数】
{ax−by=1
)
【例2】（22-23七年级下·江苏盐城·期末）已知关于x，y的二元一次方程组 的解为
2ax+by=3
{ x=1 )
，那么代数式a−2b的值为（ ）
y=−1
A．−2 B．2 C．3 D．−3
{ x+ y=2 ) {x=a)
【变式2-1】（2023·江苏无锡·一模）若二元一次方程组 的解为 ，则a−b=
3x−5 y=4 y=b
．
{ x+2y= 1 k )
【变式2-2】（23-24七年级下·山东聊城·期末）若方程组 2 中，x的值与y的值的和为3，
3x+4 y=k+2
则k的值为 ．
{x+2y=6−3a)
【变式2-3】（22-23七年级下·重庆开州·期末）已知关于x，y的方程组 ，给出下列说
x−y=6a
法：
①当a=1时，方程组的解也是x+ y=a+3的解；
②若2x+ y=3，则a=−1；
③无论a取何值，x，y的值不可能互为相反数；
④x，y都为自然数的解有5对．
以上说法中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
知识点2：二元一次方程组的解法
1.解二元一次方程组的思想
消元
二元一次方程组 一元一次方程
转化
2.解二元一次方程组的基本方法：代入消元法和加减消元法
（1）用代入消元法解二元一次方程组的一般过程：
①从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有x（或y）的代数式表示y（或x），
3
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学科网（北京）股份有限公司y=ax+b x=ay+b
即变成 （或 ）的形式；
②将
y=ax+b
（或
x=ay+b
）代入另一个方程（不能代入原变形方程）中，消去y（或x），得
到一个关于x（或y）的一元一次方程；
③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值；
④把x（或y）的值代入
y=ax+b
（或
x=ay+b
）中，求y（或x）的值；
{
⑤用“ ”联立两个未知数的值，就是方程组的解.
【易错点剖析】
(1)用代入法解二元一次方程组时，应先观察各项系数的特点，尽可能选择变形后比较简单或代入后化简
比较容易的方程变形；
(2)变形后的方程不能再代入原方程，只能代入原方程组中的另一个方程；
(3)要善于分析方程的特点，寻找简便的解法.如将某个未知数连同它的系数作为一个整体用含另一个未知数
的代数式来表示，代入另一个方程，或直接将某一方程代入另一个方程，这种方法叫做整体代入法.整体代
入法是解二元一次方程组常用的方法之一，它的运用可使运算简便，提高运算速度及准确率.
（2）用加减消元法解二元一次方程组的一般过程：
①根据“等式的两边都乘以（或除以）同一个不等于0的数，等式仍然成立”的性质，将原方程组化成
有一个未知数的系数绝对值相等的形式；
②根据“等式两边加上（或减去）同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程”的性质，将变形后的
两个方程相加（或相减），消去一个未知数，得到一个一元一次方程；
③解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；
④把求得的未知数的值代入原方程组中比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值；
{
⑤将两个未知数的值用“ ”联立在一起即可.
【易错点剖析】
当方程组中有一个未知数的系数的绝对值相等或同一个未知数的系数成整数倍时，用加减消元法较简
单.
【题型3 二元一次方程组的错解或遮挡复原问题】
{2x+ y=m) {x=3)
【例3】（23-24七年级下·吉林·期末）若方程组 的解为 ，小亮求解时不小心滴上了两
2x−y=10 y=n
4
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学科网（北京）股份有限公司滴墨水，刚好遮住了m和n两数，则这两数分别为（ ）
A．6和4 B．10和0 C．2和−4 D．4和2
{ ax+by=8 )
【变式3-1】（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期末）甲、乙两人同时解方程组 ，甲正确解得
cx−3 y=−2
{ x=1 ) { x=2 )
，乙因为抄错c的值，解得 ，则a+b+c= ．
y=−1 y=−6
{▲x+•y=1)
【变式3-2】（22-23七年级下·河南洛阳·期末）已知 是一个被墨水污染的方程组．圆圆说：
□x−7 y=1
{ x=3 ) {x=−2)
“这个方程组的解是 ，而我由于看错了第二个方程中的x的系数，求出的解是 ．”请你
y=−1 y=1
根据以上信息，把方程组复原出来．
【变式3-3】（22-23七年级下·山东菏泽·期中）甲、乙两人共同解方程组¿由于甲看错了方程①中的a，得
到方程组的解为
{x=−3)
，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为
{x=5)
，试计算a2023+(−
1
b)
2022
y=−1 y=4 10
的值．
【题型4 同解方程组】
【例4】（22-23八年级上·陕西西安·期末）已知关于x，y的方程组¿与关于x，y的方程组¿的解相同，则
m+n的值为 ．
{ x+ y=4 ) { x−y=6 )
【变式4-1】（23-24七年级下·四川遂宁·期中）已知方程组 与 有相同的解，
ax+by=2 bx+ay=−4
则a+b的值为 ．
{2x+5 y=−26) {3x−5 y=36)
【变式4-2】（17-18七年级·湖北十堰·期中）已知方程组 和方程组 的解相
ax−by=−4 bx+ay=−8
同，则b﹣2a的值是 ．
{2x−3 y=3)
【变式4-3】（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）已知关于x 、y的方程组 和
ax+by=−1
{3x+2y=11)
的解相同，求(3a+b) 2024 的值．
2ax+3by=3
【题型5 判断二元一次方程组的解的情况】
【例5】（23-24七年级下·广东肇庆·期末）先阅读下列知识，然后回答后面的问题∶
5
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学科网（北京）股份有限公司二元一次方程组{a x+b y=c )的解的情况有以下三种：当 a b c 时，方程组有无数个解；当
1 1 1 1= 1= 1
a x+b y=c a b c
2 2 2 2 2 2
a b c 时，方程组无解；当a b 时，方程组有唯一解．
1= 1≠ 1 1≠ 1
a b c a b
2 2 2 2 2
{ x+ y=2 ) { 2x+ y=1 )
(1)判断二元一次方程组 的解的情况：___________；判断二元一次方程组 的解
2x+2y=4 4x−2y=3
的情况：___________．
(2)小明在解下面的二元一次方程组时，碰到了一个非常“严重”的问题，发现“10=8”，他知道这是不
可能的，但是又找不到错误的原因，请你解释一下．
{ 2x+ y=5① )
解方程组：
4x+2y=8②
解：由①得y=5−2x，代入②得4x+2(5−2x)=8，得10=8
【变式5-1】（23-24七年级下·山西吕梁·阶段练习）二元一次方程3x+2y=10的解的情况是（ ）
A．无解 B．有且只有一组解 C．有两组解 D．有无数组解
【变式5-2】（22-23七年级下·广西贵港·期中）二元一次方程组¿的解的情况是（ ）
A．无解 B．有无数组解 C．有两组解 D．只有一组解
【变式5-3】（19-20六年级下·上海静安·课后作业）对于方程2x+5y=19的解的情况分析正确的是 （ ）
A．这个方程只有有限个解 B．这个方程只有有限个整数解
C．这个方程只有有限个正整数解 D．以上说法都不对
【题型6 构造二元一次方程组求解】
【例6】（22-23七年级下·福建泉州·阶段练习）关于x，y的二元一次方程(a−1)x+(a+2)y+5−2a=0，
当a取一个确定的值时就得到一个方程，所有这些方程有一个公共解，则这个公共解是（ ）
{ x=3 ) {x=2) {x=−3) {x=1)
A． B． C． D．
y=−1 y=2 y=−1 y=2
【变式6-1】（18-19七年级下·内蒙古呼伦贝尔·期中）如果（x+y-5）2与│3y-2x+10│互为相反数，那么
x、y的值为（ ）
A．x=3，y=2 B．x=2，y=3 C．x=0，y=5 D．x=5，y=0
4 3
【变式6-2】（17-18七年级下·全国·单元测试）已知－ y2m－5xn＋1与 xm＋2yn－2是同类项，则m－n等于(
7 5
)
6
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学科网（北京）股份有限公司A．－1 B．1 C．－7 D．7
【变式6-3】（2020九年级·山东·专题练习）对于实数a、b，定义关于“⊗”的一种运算：a⊗b=2a+b
，例如1⊗3=2×1+3=5．
（1）求4⊗(−3)的值；
（2）若x⊗(−y)=−2，(2y)⊗x=−1，求x+ y的值．
【题型7 已知一个方程组的解求另一个方程组的解】
{3x−my=5) {x=1)
【例7】（23-24七年级下·吉林长春·期中）若关于x、y的二元一次方程组 的解是 ，
2x+ny=6 y=7
则关于 、 的二元一次方程组{3(a+b)−m(a−b)=5)的解是 .
a b
2(a+b)+n(a−b)=6
{2m−3n=7) {m=2
)
【变式7-1】（18-19七年级下·广东江门·阶段练习）若方程组 的解是 ，则方程组
3m+5n=1 n=−1
{2(x+1)−3(y−2)=7)的解是
3(x+1)+5(y−2)=1
【变式7-2】（19-20七年级下·湖北武汉·期中）已知关于x，y的二元一次方程组{a x+b y=c )的解为
1 1 1
a x+b y=c
2 2 2
{x=3)，则关于x，y的方程组{3a
1
x−b
1
y=4c
1
)的解为 ．
y=4 3a x−b y=4c
2 2 2
【变式7-3】（23-24七年级下·浙江宁波·阶段练习）已知关于x，y的二元一次方程ax+by=c的解如表：
x … −4 −3 −2 −1 0 1 …
14 10 8 4
y … 4 2 …
3 3 3 3
关于x，y的二元一次方程mx−ny=k的解如表：
x … −4 −3 −2 −1 0 1 …
11 5 1
y … 4 1 − −2 …
2 2 2
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学科网（北京）股份有限公司则关于x，y的二元一次方程组{a(2x+ y)−b(x−y)=3c+2b)的解是 ．
m(2x+ y)+n(x−y)=3k−2n
【题型8 换元法解二元一次方程组】
【例8】（23-24七年级下·山西晋城·期中）阅读与思考
阅读下列材料，完成后面的任务．
{ 2(m+2)+3 ( n− 2) =1)
3
善于思考的李同学在解方程组 时，采用了一种“整体换元”的解法．
( 2)
7(m+2)+6 n− =2
3
2 2
解：把m+2,n− 看成一个整体，设m+2=x，n− = y．
3 3
原方程组可化为{2x+3 y=1)，解得
{x=0
1,∴
{m+
2
2=0
1,∴
))
原方程组的解为{m=−2)．
7x+6 y=2 y= n− = n=1
3 3 3
任务：
(1)方程组{3x−2y=1 )的解是{x=3)，则方程组{3(a+b)−2(a−b)=1 )的解是______；
9x−2y=19 y=4 9(a+b)−2(a−b)=19
{3(x+ y)−4(x−y)=4
)
(2)仿照上述解题方法，用“整体换元”法解方程组 ．
x+ y x−y
+ =1
2 6
【变式8-1】（23-24八年级上·陕西咸阳·期中）利用换元法解下列方程组：
(1){3(x+ y)−2(6x−y)=1)；
(x+ y)+(6x−y)=7
x+ y x−y
{ + =7 )
2 3
(2) ．
x+ y x−y
− =−1
3 4
【变式8-2】（22-23七年级下·浙江杭州·期中）教材中有这样一道题目：解方程组¿圆圆认为，只要把两个
方程分别去分母，化简，再用加减消元法或代入消元法，可以求解.方方认为，圆圆的方法计算量大，容易
x y
出错，可以把方程组中的 看成一个整体，把 看成一个整体，通过换元解决问题.请参考以上两位同学的
3 7
8
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学科网（北京）股份有限公司思路，任选一种方法，解这个方程组．
【变式8-3】（22-23八年级上·山东济南·期中）利用换元法解下列方程组：
(1)¿
(2)¿
【题型9 由二元一次方程组的解的情况求参数】
{ mx+ y=2m+3 )
【例9】（23-24七年级下·湖南永州·期末）无论m为何值，关于x，y的方程组 都
2024x+ y=n+4045
有解，则n= ．
【变式9-1】（21-22七年级下·福建厦门·期中）关于x，y的二元一次方程kx−(k+9)y=2k+4，当k取一
个确定的值时就得到一个方程，所有这些方程有一个公共解，则这个公共解是 ．
{ y=kx+b )
【变式9-2】（20-21六年级下·上海浦东新·期中）k、b为何值时，关于x、y方程组 有
y=(3k−1)x+2
唯一解？无解？有无数解？
x+2y=5
【变式9-3】（16-17七年级下·浙江杭州·阶段练习）已知关于x，y的方程组{
x−2y+mx+9=0
（1）请写出方程x+2y=5的所有正整数解；
（2）若方程组的解满足x+ y=0，求m的值；
（3）无论实数m取何值，方程x−2y+mx+9=0总有一个公共解，你能把求出这个公共解吗？
（4）如果方程组有整数解，求整数m的值．
【题型10 二元一次方程组与二元一次方程的综合求值】
{2x+ y=4k
)
【例10】（22-23八年级上·四川雅安·期末）若关于x，y的二元一次方程组 的解也是二元
3x+2y=7k
一次方程x+5 y=−66的解，则k的值为 ．
【变式10-1】（20-21八年级上·山西太原·阶段练习）若方程x+2y=5，3x−4 y=−5与kx−y=2有公共
解，则k= ．
{ 4x+ y=9 )
【变式10-2】（2023八年级上·全国·专题练习）已知关于x，y的方程组 （k为常数）
kx−(k−1)y=8
{x=1)
(1)若方程组的解是 ，则k的值为 ；
y=5
(2)若方程组的解满足2x+3 y=7，则k的值为 ；
(3)当k每取一个值时，kx−(k−1)y=8就对应一个方程，而这些方程有一组公共解，请直接写出这组公共
解．
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学科网（北京）股份有限公司【变式10-3】（23-24七年级下·福建泉州·期中）如果关于未知数x和y的二元一次方程组¿ (abef ≠0)的解
满足：x+2y=5，那么关于未知数x 和y 的二元一次方程组¿的解满足（ ）
1 1
A．x +2y =5 B．x + y =5 C．x +2y =10 D．x +4 y =5
1 1 1 1 1 1 1 1
10
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