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专题 10 与圆有关的最值问题
隐圆模型汇总
固定线段AB所对同侧动角∠P=∠C，则A、B、C、P四点共圆
若P为动点，但AB=AC=AP，则B、C、P三点共圆，A圆心，AB半径
固定线段AB所对动角∠C恒为90°，则A、B、C三点共圆，AB为直径
例1．如图，点P是边长为6的等边 内部一动点，连接BP，CP，AP，满足 ，D为AP的中
点，过点P作 ，垂足为E，连接DE，则DE长的最小值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】D
【详解】解：如图所示，∵PE⊥AC，∴ 是直角三角形，∵D为AP的中点，∴DE= AP，∴当AP最小时，DE最小．
∵ 是等边三角形，∴∠1+∠PBC=60º，
∵∠1=∠2，∴∠2+∠PBC=60º，∴∠BPC=180º-(∠2+PBC)=120º，
∴点P在 的外接圆的 上，
找出 的外心点O并作出其外接圆，点P的运动轨迹就是 ，
∴当 时，AP有最小值，延长AP与BC交于点F，
此时∠PFC=90º，∠PBC=∠PCB=30º，FC= BC= =3，∴PF=FC·tan∠PFC=3× = ，
AF= = =3 ，∴AP的最小值=AF-PF=3 - =2 ，
∴DE的最小值= AP= ×2 = ．故选：D．
例2．如图， 中， ， ， ，P是 内部的一个动点，满足
，则线段CP长的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D【详解】 ， ，
， ， ，
取AB的中点O，以点O为圆心， 为直径作圆，连接OP，
， 点P在以AB为直径的 上，连接OC交 于点P，
当点O、点P、点C三点共线时，PC最小
在 中， ， ， ， ，
， 最小值为
故选：D．
【变式训练1】如图，在正方形ABCD中，BC=2，点P，Q均为AB边上的动点，BE⊥CP，垂足为E，则
QD+QE的最小值为（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】D
【详解】解：如图，∵BE⊥CP，∴点E在以BC为直径的圆上，
作点E关于AB的对称点F，∴QE=QF，∴QD+QE= QD+QF，
连接DF，当Q为DF与AB交点时，QD+QE最小．作半圆Ｈ与以BC为直径的半圆关于AB对称，连接DH，交半圆Ｈ与Ｆ，此时DF＝QD+QE,且为最小值，
此时CD=2，BH=1，HC=3，在 中， ， ．
故选：D
【变式训练2】如图，正方形ABCD的边长为8，P是边CD上的一动点，EF⊥BP交BP于G，且EF平分
正方形ABCD的面积，则线段GC的最小值是___．
【答案】
【详解】解：正方形ABCD中，BC=CD=8， ，连接BD，交EF于点O，如图所示：则 ，
在 中，由勾股定理，得： ，
∵EF平分正方形ABCD的面积，∴EF一定经过正方形得中心，即点O是正方形的中心，
∴ ,
∵EF⊥BP交BP于G，∴ ，
∴以OB为直径作 ，如上图，则点G在 上， ,
∴连接CM，如上图，则点G在CM与 的交点处时，CG的值最小，此时， ,
过点M 作MN⊥BC于点N，如上图，则 ，
在 中， ， ，
∴ ,
在 中，由勾股定理，得： ，
∴ ，即 的最小值是 ．故答案为： ．
【变式训练3】如图，△ABC中，∠ABC＝45°，∠BCA＝75°，BC＝6﹣2 ，点P是BC上一动点，
PD⊥AC于D，PE⊥AB于E，在点P的运动过程中，线段DE的最小值为（ ）
A．3 ﹣3 B． C．4 ﹣6 D．2
【答案】B
【详解】解：如下图所示，以AP为直径作 ，连接OD，过D作DM⊥AP于M．∵PD⊥AC于D，PE⊥AB于E，∴∠ADP＝90°，∠AEP＝90°．
∴∠ADP+∠AEP＝180°．∴A、D、P、E四点共圆，且直径为AP．
∵∠ABC＝45°，∠BCA＝75°，∴∠BAC＝60°．
∴DE是 中60°圆周角所对的弦．∴当 直径最小时，DE取得最小值．
∴当AP⊥BC时，DE取得最小值．
∵∠ABC＝45°，∴∠BAP=45°．∴∠APE=45°，∠ABC=∠BAP．∴∠BAP=∠APE，AP=BP．∴AE=PE．
∵∠ADE和∠APE都是 所对的圆周角，∴∠ADE＝∠APE＝45°．∴∠ADE＝∠ABC＝45°．
∵∠EAD＝∠CAB，∴△AED∽△ACB．∴ ＝ ．
设AE＝2x，则PE＝2x．∴ ．∴OA＝OD＝ x， ．
∴ ．
∵∠BAC=60°，∠BAP=45°，∴∠DAP＝∠BAC﹣∠BAP＝15°．
∵∠DOP和∠DAP分别是 所对的圆心角和圆周角，∴∠DOP＝2∠DAP＝30°．
∴DM＝ OD＝ ．∴ ．∴AM＝OA+OM＝ ．
∴AD＝ ＝ ．
∵ ，∴ ．∴DE＝ ．∴线段DE的最小值为 ．故选：B．
【变式训练4】如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，点D为△ABC所在平面内一
点，∠BDC＝90°，以AC、CD为边作平行四边形ACDE，则CE的最小值为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：如图，延长AE交BD于点F，连接BE，
∵四边形ACDE是平行四边形，
∴AE∥CD，AC＝ED，∠EAC＝∠CDE，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，∠BDC＝90°，
∴ED＝AB＝AC＝2，∠BAF+∠CAE＝90°，∠CDE+∠EDF＝90°，∠AFB＝∠CDB＝∠DFE＝90°，
∴BC＝ AB＝2 ，∴∠BAF＝∠EDF，
在△AFB和△DFE中， ，
∴△AFB≌△DFE（AAS），∴BF＝EF，∴∠BEF＝45°，∴∠AEB＝135°，
∴点E的运动轨迹为圆的运动轨迹，假设点E所在圆的圆心为M，
连接MB，MA，MC，MC与圆M交于点E′，
则根据圆外的点到圆上的点的距离最值可得：CE′即为CE的最小值，如图，∴∠AMB＝90°，∵AM＝BM，AB＝2，∴∠MBA＝45°，BM＝ AB＝ ，∴∠MBC＝90°，
∴在Rt△MBC中，MC＝ ＝ ＝ ，
∴CE′＝CM﹣ME′＝ ﹣ ．即CE的最小值为 ﹣ ．故选：A．
课后训练
1．如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=6，点E、F分别为AD、DC边上的点，且EF=4，点G为EF的中点，
点P为BC上一动点，则PA+PG的最小值为（ ）
A．6 B．8 C．4 D．10
【答案】B
【详解】解：∵EF=4，点G为EF的中点，∴DG=2，
∴G点的轨迹是以D为圆心，以2为半径的圆弧（一部分），
作A关于BC的对称点 ，连接 ，交BC于P，当G点刚好在直线 上时，此时PA+PG的值最小，
最小值为 的长；∵AB=4，AD=6，∴ ，
∴在Rt△ 利用勾股定理有 ，
∴ ，
∴PA+PG的最小值为8，
故选：B．
2．如图，在矩形ABCD中，AB＝2， ，点E为AB中点，点F为AD边上从A到D运动的一个动
点，联结EF，将 沿EF折叠，点A落在点G处，在运动的过程中，点G运动的路径长为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【详解】解：∵点E为AB中点，点F为AD边上从A到D运动的一个动点，联结EF，将 沿EF折叠，
∴ ，∴G点在以E为圆心，AE长为半径的圆上运动．
当F与D点重合时，如图，则G点运动的路径为 ．
∵AB＝2，点E为AB中点，∴ ，
∵矩形ABCD，∴ ，
∵ ， ， ，∴ ，∴ ．∵将 沿EF折叠，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ．
故选：A．
3．如图，在 中， ， ， ， 是以点 为圆心，3为半径的圆上一点，连
接 ， 是 的中点，则线段 长度的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【详解】作AB的中点E，连接EM、CE、AD，则有AD=3，
∵∠ACB=90°，即在 中， ，
∵E是 斜边AB上的中点，∴ ，
∵M是BD的中点，E是AB的中点，∴ ，∴在 中， ，即 ；
当C、M、E三点共线时有 或者 ；即 ，
∴CM最小值为5，故选：C．
4．如图，点A，B的坐标分别为A(3，0)、B(0，3)，点C为坐标平面内的一点，且BC=2，点M为线段
的中点，连接 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【详解】解：如图，∵点C为坐标平面内一点，BC=2，
∴C在⊙B上，且半径为2，
取OD=OA=3，连接CD，
∵AM=CM，OD=OA，∴OM是△ACD的中位线，∴OM= =CD，
当OM最大时，即CD最大，而D，B，C三点共线时，当C在DB的延长线上时，OM最大，
∵OB=3，OD=3，∠BOD=90°，
∴BD= ，∴CD= ，∴OM= CD= ，即OM的最大值为 ；故选A5．如图，⊙D的半径为2，圆心D的坐标为（3，5），点C是⊙D上的任意一点 ，且CA、CB与
x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最大值为（ ）
A．14 B． C． D．
【答案】D
【详解】解：如图：连接OC
∵ ， 是直角三角形
∵点A、点B关于原点O对称，∴AO=BO
∴OC是Rt△ABC的斜边上的中线，∴ ，
故若要使AB最大，则OC需取最大值，连接OD并延长，交⊙D于点C ，C
1 2
当点C位于点C 时，OC最长
2过点D作 轴于点E
∵点D(3，5)，∴DE=5，OE=3，在Rt△ODE中，根据勾股定理得：
，
故AB的最大值为 ，故选：D
6．如图， 的半径是6，点A是圆上一个定点，点 在 上运动，且 ， ，垂足
为点 ，连接 ，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：设 交 于 ，连接 、 、 ，过 作 于 ，连接 ，
， ，
， 是等边三角形， ， ，
由勾股定理得： ．
， ．
， ，
在 中， ， ，的最小值是 ，
故选D．
