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第 01 讲 整式的乘法——幂的运算
课程标准 学习目标
1. 掌握同底数幂的乘法和除法运算法则，熟练并加以
应用。
①同底数幂的乘法与除法
2. 掌握幂的乘方与积的乘法的运算法则，熟练并加以
②幂的乘方与积的乘方
应用。
③0指数幂与负整数指数幂
3. 掌握0次幂与负整数指数幂的计算法则，熟练并加
以应用。
知识点01 同底数幂的乘法
1. 同底数幂的概念：
底数 的幂叫做同底数幂。
2. 同底数幂的乘法：
同底数幂相乘，底数 ，指数 。
即 。（m、n都是正整数）
推广： 。（m、n...p都是正整数）
底数可以是数，可以是式子。若底数是多项式时，用括号括起来看成整体。指数是1时不能忽略。
3. 同底数幂的乘法的逆运算：。（m、n都是正整数）
题型考点：①同底数幂的乘法计算。②利用运算法则求值。③同底数幂的逆运算。
【即学即练1】
1．计算
（1）a2•a4 （2）22×23×2 （3）4×27×8
（4）（﹣a）2•（﹣a）3 （5）（x﹣2y）2（x﹣2y）3 （6）（x﹣2y）2（2y﹣x）3．
【即学即练2】
2．若2m•2n＝32，则m+n的值为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【即学即练3】
3．10x＝a，10y＝b，则10x+y+2＝（ ）
A．2ab B．a+b C．a+b+2 D．100ab
知识点02 幂的乘方
1. 幂的乘方的运算：
幂的乘方的运算法则，底数 ，指数 。
即 。（m、n都是正整数）
推广： 。（m、n...p都是正整数）
2. 逆运算：
= 。（m、n都是正整数）
题型考点：①幂的乘方的运算。②利用运算法则与逆运算求值。
【即学即练1】
4．计算：
（1）（102）3； （2）﹣（a2）4； （3）（x3）5•x3；
（4）[（﹣x）2]3； （5）（﹣a）2（a2）2； （6）x•x4﹣x2x3．【即学即练2】
5．若a+3b﹣2＝0，则3a•27b＝ ．
【即学即练3】
6．若3×9m×27m＝321，则m＝ ．
【即学即练4】
7．已知：am＝2，an＝5，则a3m+2n＝ ．
知识点03 积的乘方
1. 轴对称与轴对称图形的性质：
积的乘方等于乘法的积。即把积中的每一个因式分别 ，再把所得的幂 。
即： 。（m为正整数）
推广： 。（m为正整数）
2. 逆运算：
。（m为正整数）
题型考点：①积的乘方的运算。②利用运算法则与逆运算求值。
【即学即练1】
8．计算：
（1）（﹣5ab）3； （2）﹣（3x2y）2；
（3）（﹣1 ab2c3）3； （4）（﹣xmy3m）2．
【即学即练2】
9．如果（am•bn•b）3＝a9b15，那么m，n的值等于（ ）
A．m＝9，n＝﹣4 B．m＝3，n＝4 C．m＝4，n＝3 D．m＝9，n＝6
【即学即练3】
10．若ax＝2，bx＝3，则（a2b）2x＝ ．
【即学即练4】11．计算（ ）2017×1.52016×（﹣1）2017＝ ．
12．
知识点04 同底数幂的除法
1. 同底数幂的除法运算法则：
同底数幂相除，底数 ，指数 。
即： 。（a≠0，m、n为正整数，且m＞n）
推广： 。（a≠0，m、n、p为正整数且m＞n+p）
2. 逆运算：
。（a≠0，m、n为正整数）。
题型考点：①同底数幂的除法运算。②运用运算法则与逆运算求值。
【即学即练1】
12．计算
（1）a7÷a4 （2）（﹣m）8÷（﹣m）3 （3）（xy）7÷（xy）4
（4）x2m+2÷xm+2 （5）（x﹣y）5÷（y﹣x）3 （6）x6÷x2•x
【即学即练2】
13．若3m＝5，3n＝4，则32m﹣n等于（ ）
A． B．6 C．21 D．20
【即学即练3】
14．若3n＝2，3m＝5，则32m+3n﹣1＝ ．
【即学即练4】
15．已知：xm＝4，xn＝2，求x3m﹣4n的值为 ．
知识点05 0次幂与负整数指数幂
1. 0次幂的计算：
任何不等于0的数的0次幂都等于 。即： 。（a≠0）证明：
= 。
∵相等的两数（都不为0）的商等于1
∴ 1
∴ =1
2. 负整数指数幂的计算：
一个数的负整数指数幂等于这个数的正整数指数幂的 。即： 。（a≠0）证明：
= 。
写成分数的形式为计算：
即： = = 。
∴ =
题型考点：①0次幂的计算与负整数指数幂的计算。
【即学即练1】
16．计算：
（1）（﹣5）﹣2； （2）（﹣3）0； （3）10﹣5； （4）（﹣0.25）﹣3．
【即学即练2】
17．计算：（2023﹣ ）0＝ ．
【即学即练3】
π
18．如果（2x+4）0＝1，则x的取值范围是 ．
【即学即练4】
19．若（5﹣2x）x+1＝1，则x＝ ．
【即学即练5】
20．计算： ． ．题型01 幂的运算
【典例1】
计算：
（1）（﹣x）3•x2•（﹣x）4； （2）﹣（﹣a）2•（﹣a）7•（﹣a）4
（3）（﹣b）4•（﹣b）2﹣（﹣b）5•（﹣b）； （4）（﹣x）7•（﹣x）2﹣（﹣x）4•x5．
【典例2】
计算：
（1）（p﹣q）5•（q﹣p）2； （2）（s﹣t）m•（s﹣t）m+n•（t﹣s）（m、n是正整数）；
（3）xn•xn+1+x2n•x（n是正整数）．
【典例3】
计算：
（1）（﹣m）•（﹣m）2•（﹣m）3； （2）（﹣x3）2•（﹣x2）3；
（3）（m﹣n）•（n﹣m）3•（n﹣m）4； （4）（ ）2023×（﹣1.25）2024．【典例4】
计算：
（1）（﹣2x2）3+x2•x4﹣（﹣3x3）2； （2）（a﹣b）2•（b﹣a）4+（b﹣a）3•（a﹣b）3．
【典例5】
．已知n为正整数，且x2n＝3，求下列各式的值：
（1）xn﹣3•x3（n+1）； （ 2）5（x3n）2﹣2（﹣x2）2n．
【典例6】
计算：
（1）（a2）3•（a2）4÷（﹣a2）5； （2）（s﹣t）m•（s﹣t）m+n•（t﹣s）．
【典例7】
计算：
（1）x7÷x3•x4； （2）m•m3+（﹣m2）3÷m2．
题型02 0次幂与负整数指数幂的计算
【典例1】
（ ﹣2023）0＝ ．
【典例2】
π计算：（ ）0+|﹣1|＝ ．
【典例3】
若（x﹣4）0＝1成立，则x应满足的条件是 ．
【典例4】
如果（x﹣1）x+2＝1成立，那么满足它的所有整数x的值是 ．
【典例5】
计算： ＝ ．
【典例6】
计算：20230﹣（﹣27）×3﹣3＝ ．
【典例7】
（﹣2）﹣2+（ ﹣2）0＝ ．
π
题型03 利用运算法则与逆运算求值
【典例1】
已知ax＝3，ay＝5，求：ax+y的值．
【典例2】
如果（3xmym﹣n）3＝27x12y9成立，那么整数m和n的差是多少？
【典例3】
（1）已知am＝3，an＝4，求a2m+3n的值；（2）已知9n+1﹣32n＝72，求n的值．
【典例4】
（1）已知am＝3，an＝2，求a3m+2n的值．
（2）已知2x+3•3x+3＝62x﹣4，求x的值．
【典例5】
（1）若3m＝6，9n＝2，求3m﹣2n的值；
（2）若x2n＝3，求（x3n）2﹣（x2）2n的值．
【典例6】
计算（﹣1 ）2021×（ ）2023的结果等于（ ）
A．1 B．﹣1 C．﹣ D．﹣
【典例7】
（﹣0.125）2013×（﹣8）2014的值为（ ）A．﹣4 B．4 C．﹣8 D．8
题型04 利用幂的运算进行大小比较
【典例1】
已知，a＝255，b＝344，c＝433，则a、b、c的大小关系是（ ）
A．b＞c＞a B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．c＞b＞a
【典例2】
已知a＝8131，b＝2741，c＝961，则a、b、c的大小关系是（ ）
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．a＞c＞b
【典例3】
比较下列各题中幂的大小：
（1）比较255，344，533，622这4个数的大小关系；
（2）已知a＝8131，b＝2741，c＝961，比较a、b、c的大小关系；
（3）已知 ， ，比较P，Q的大小关系．
1．下列运算正确的是（ ）
A．（3xy）2＝9x2y2 B．（y3）2＝y5
C．x2•x2＝2x2 D．x6÷x2＝x3
2．若3×32m×33m＝311，则m的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．若am＝5，an＝3，则am+n的值为（ ）A．8 B．11 C．15 D．45
4．计算0.1252023×（﹣8）2022的结果是（ ）
A．﹣0.125 B．0.125 C．8 D．﹣8
5．计算（﹣3a2b）2的结果正确的是（ ）
A．﹣6a4b2 B．6a4b2 C．﹣9a4b2 D．9a4b2
6．若3m+2n＝5，则8m•4n＝（ ）
A．16 B．25 C．32 D．64
7．已知2x＝5，2y＝10，则23x﹣2y的值为（ ）
A． B． C． D．﹣5
8．已知25a•52b＝56，4b÷4c＝4，则代数式a2+ab+3c值是（ ）
A．3 B．6 C．7 D．8
9．已知a＝2555，b＝3444，c＝6222，则a、b、c的大小关系是 （请用字母表示，并用“＜”
连接）．
10．已知2n＝a，5n＝b，20n＝c，那么a、b、c之间满足的等量关系是 ．
11．若（2a﹣1）0＝1成立，a的取值范围是 ．
12．计算：（﹣ ）﹣3+（﹣2023）0＝ ．
13．（1）已知am＝2，an＝3，求am+n的值；
（2）已知9•32x•27x＝317，求x的值．
14．在数学中，我们经常会运用逆向思考的方法来解决一些问题，例如：“若 am＝4，am+n＝20，求an的
值．”这道题我们可以这样思考：逆向运用同底数幂的乘法公式，即 am+n＝am•an，所以20＝4•an，所
以an＝5．
（1）若am＝2，a2m+n＝24，请你也利用逆向思考的方法求出an的值．
（2）下面是小贤用逆向思考的方法完成的一道作业题，请你参考小贤的方法解答下面的问题：
小贤的作业
计算：89×（﹣0.125）9．
解：89×（﹣0.125）9＝（﹣8×0.125）9＝（﹣1）9＝﹣1．
①小贤的求解方法逆用了哪一条幂的运算性质，直接写出该逆向运用的公式： ．
②计算：52023×（﹣0.2）2022．15．规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）：如果ac＝b，那么（a，b）＝c．例如：
∵23＝8，∴（2，8）＝3
（1）根据上述规定，填空：（3，81）＝ ，（4，1）＝ ， ＝ ；
（2）小明在研究这种运算时发现一个现象：（3n，4n）＝（3，4），小明给出了如下的理由：
设（3n，4n）＝x，则（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n，
∴3x＝4，即（3，4）＝x，
∴（3n，4n）＝（3，4）．
请你尝试运用这种方法判断（3，7）+（3，8）＝（3，56）是否成立，若成立，请说明理由．
