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专题12 将军饮马与勾股定理
【例题讲解】
请阅读下列材料：问题：如图1，点A、B在直线l的同侧，在直线l上找一点P，使得AP＋BP的
值最小．小明的思路是：如图2，作点A关于直线l的对称点 ，连接 ，则 与直线l的交
点P即为所求．
请你参考小明同学的思路，探究并解决下列问题：
(1)如图3，在图2的基础上，设 与直线l的交点为C，过点B作 ，垂足为D，若CP＝
1，PD＝2，AC＝1，写出AP＋BP的值；
(2)将（1）中的条件“AC＝1”去掉，换成“ ”，其它条件不变，写出此时AP＋BP的
值；
(3)请结合图形，求出 的最小值．
(1)解：如图2，
∵AA′⊥l，AC＝1，PC＝1，
∴△APC为等腰直角三角形，
∴PA＝ ，∠APO=45°，
∵作点A关于直线l的对称点 ，
∴PA′＝PA＝ ，∠A′PC=∠APC=45°，∵ ，
∴∠B=90°-∠BPD=90°-45°=45°，∴∠BPD=∠B，∴PD=BD=2，
∴BP= ，∴AP+PB＝ +2 ＝3 ；
(2)解：作A′E∥l，交BD的延长线于E，如图3，
∵A′C⊥l，BD⊥l，
∴∠A′CD=∠EDC=90°，
∵A′E∥l，∴A′C⊥A′E，∴∠CA′E=90°，
∴∠A′CD=∠EDC=∠CA′E=90°，，
∴四边形A′EDC是矩形，
∴A′E＝DC＝PC+PD＝3，DE＝A′C＝AC，
∵BD＝4﹣AC，∴BD+AC＝BD+DE＝4，即BE＝4，在RT A′BE中，A′B＝ ＝5，
△
∴AP+BP＝5，
(3)解：如图3，设AC＝2m﹣2，PC＝1，则PA＝ ；设BD＝8﹣2m，PD＝2，则PB＝
，∵DE＝A′C＝AC=2m﹣2，
∴BE＝BD+DE＝2m-2+8-2m=6，A′E＝CD＝PC+PD＝3，
∴PA+PB＝A′B＝ ＝ ．
即 的最小值为 ．
【综合解答】
1．如图所示，有一个长、宽各2米，高为3米的无盖长方体纸盒放在桌面上，一只昆虫从顶点
要爬到顶点 ，那么这只昆虫爬行的最短路程为（ ）
A．3米 B．4米 C．5米 D．6米
【答案】C
【解析】
【分析】
分别画出三个路径的示意图，利用勾股定理求出路程，再从中找出最短路程即可．
【详解】
解：由题意，有以下三个路径：
①如图，路径一：则这只昆虫爬行的路程为 （米）；
②如图，路径二：
则这只昆虫爬行的路程为 （米）；
③如图，路径三：
则这只昆虫爬行的路程为 （米）；
因为 ，
所以这只昆虫爬行的最短路程为5米，
故选：C．
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，正确画出三个路径的示意图是解题关键．
2．如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B在棱上且离点C的距离为5，一只蚂蚁如果
要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（ ）A．25 B．5 C． D．5
【答案】A
【解析】
【分析】
要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体侧面展开，然后利用两点之间
线段最短解答．
【详解】
只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第1个图
∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，
∴BD=CD+BC=10+5=15，AD=20，
在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：
∴ ；
只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第2个图：
∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，
∴BD=CD+BC=20+5=25，
在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：
∴ ；
只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第3个图：∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，
∴AC=CD+AD=20+10=30，
在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：
∴ ；
∵25＜ ＜ ，
∴蚂蚁爬行的最短距离是25，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查两点之间线段最短，关键是将长方体侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答．
3．如图，点 ， 分别为 轴、 轴上的动点， ，点 是 的中点，点 ， ，
过 作 轴．点 为直线 上一动点，则 的最小值为（ ）
A． B．9 C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
作 关于 的对称点 ，连接 ，交 于点 ，连接 ，根据 ，求得
的最小值，进而求得 的最小值
【详解】
解：如图，作 关于 的对称点 ，连接 ，交 于点 ，连接 ，， ，
当 共线时， 最短
则 的最小值为
是直角三角形，点 是 的中点，
点 ， ，
即 的最小值为9
故选B
【点睛】
本题考查了轴对称的性质求线段和最小值，图形与坐标，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一
半，掌握轴对称的性质求最值问题是解题的关键．
4．如图，在边长为2的正方形ABCD中，连接对角线AC，将△ADC沿射线CA的方向平移得到
△A'D'C'，分别连接BC'，AD'，BD'，则BC'＋BD'的最小值为________．【答案】
【解析】
【分析】
构造平行四边形将线段 转为 ，利用最短路径即可解决问题．
【详解】
如图，连接 ，当等腰 在直线上运动时，点 运动轨迹为直线 ，
，且 ，
四边形 为平行四边形，
，
作点 关于直线DD'对称到点 ，
，
构造 ，根据勾股定理，得
．
故答案为 ．
【点睛】
本题考查动态几何，轴对称 最短路线问题，正方形的性质，平移的性质，解决本题的关键是掌
握平行四边形的性质以及最短路径．
5．已知△ABC的面积等于3，AB=3，则AC+BC的最小值等于___________．
【答案】5
【解析】
【分析】
由△ABC的面积等于3，AB=3，可知AB边上的高为2，过点C作CD∥AB，作点A关于CD的对称
点 ，交CD于点D，连接 ，此时与CD的交点为点C，连接AC，利用轴对称的性质以及勾股定理即可求解．
【详解】
解：过点C作CD∥AB，作点A关于CD的对称点 ，连接 ，交CD于点D，连接 ，此时与
CD的交点为点C，连接AC，此时AC+BC的值最小，如图，
由题可知， ， ，
∴ ，
∴AC+BC的最小值 ，
在 中， ，
∴AC+BC的最小值=5．
故答案为5．
【点睛】
本题主要考查了轴对称的性质、最短路径问题以及勾股定理．
6．如图，菱形ABCD的边长为4，∠BAD＝120°，E是边CD的中点，F是边AD上的一个动点，
将线段EF绕着点E顺时针旋转60°得到线段EF'，连接AF'、BF'，则△ABF'的周长的最小值是
________________．【答案】4+2
【解析】
【分析】
取AD中点G，连接EG，F'G，BE，作BH⊥DC的延长线于点H，利用全等三角形的性质证明
∠F'GA＝60°，点F'的轨迹为射线GF'，易得A、E关于GF'对称，推出AF'＝EF'，得到BF'+AF'＝
BF'+EF'≥BE，求出BE即可解决周长最小问题．
【详解】
解：取AD中点G，连接EG，F'G，BE，作BH⊥DC的延长线于点H，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝AD，
∵∠BAD＝120°，
∴∠CAD＝60°，
∴△ACD为等边三角形，
又∵DE＝DG，
∴△DEG也为等边三角形．
∴DE＝GE，
∵∠DEG＝60°＝∠FEF'，
∴∠DEG﹣∠FEG＝∠FEF'﹣∠FEG，
即∠DEF＝∠GEF'，
由线段EF绕着点E顺时针旋转60°得到线段EF'，
所以EF＝EF'．
在△DEF和△GEF'中，，
∴△DEF≌△GEF'（SAS）．
∴∠EGF'＝∠EDF＝60°，
∴∠F'GA＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
则点F'的运动轨迹为射线GF'．
观察图形，可得A，E关于GF'对称，
∴AF'＝EF'，
∴BF'+AF'＝BF'+EF'≥BE，
在Rt△BCH中，
∵∠H＝90°，BC＝4，∠BCH＝60°，
∴ ，
在Rt△BEH中，BE＝ ＝ ＝2 ，
∴BF'+EF'≥2 ，
∴△ABF'的周长的最小值为AB+BF'+EF'＝4+2 ，
故答案为：4+2 ．
【点睛】
本题考查了旋转变换，菱形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等边
三角形等知识，解题关键在于学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思
想思考问题．
7．如图，在边长为 的正方形 中，点 、 分别是边 、 上的动点．且 ，连
接 、 ，则 的最小值为___．【答案】
【解析】
【分析】
连接 ，证 ， 的最小值等于 的最小值．作点A关于
的对称点H，连接 ，求出 即可．
【详解】
解：如图1，连接 ，
∵四边形 是正方形，
∴ ．
又∵
的最小值等于 的最小值．
如图2，作点A关于 的对称点H，连接 ，则A、B、H三点共线，连接 与 的交
点即为所求的点E．根据对称性可知
．
在 中， ，
∴ 的最小值为 ．故答案为：
【点睛】
本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、最短路径问题，解题关键是根据正方形的
性质证明三角形全等，利用轴对称得出最短路径为 ．
8．如图， 为线段 上一动点，分别过 ， 作 ， ，连接 ， ，已知
， ， ，设 ．请用含 的代数式表示 的长为_________，根据
上述方法，求出 的最小值为_____．
【答案】 13
【解析】
【分析】
由于△ABC和△CDE都是直角三角形，故AC，CE可由勾股定理求得；若点C不在AE的连线上，
根据三角形中任意两边之和＞第三边知，AC+CE＞AE，故当A、C、E三点共线时，AC+CE的值最
小；于是可作BD=12，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD，使AB=2，ED=3，连接AE交BD于
点C，则AE的长即为代数式 的最小值，然后构造矩形AFDB，Rt△AFE，
利用矩形的直角三角形的性质可求得AE的值．
【详解】
解：AC+CE= ；
当A、C、E三点共线时，AC+CE的值最小；
如右图所示，作BD=12，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD，使AB=2，ED=3，连接AE交BD
于点C，设BC=x，则AE的长即为代数式 的最小值．
过点A作AF∥BD交ED的延长线于点F，得矩形ABDF，
则AB=DF=2，AF=BD=12，EF=ED+DF=3+2=5，
所以AE= =13，
即 的最小值为13，
故答案为： ；13．
【点睛】
本题主要考查了轴对称求最短路线以及勾股定理等知识，本题利用了数形结合的思想，通过构造
直角三角形，利用勾股定理求解．
9．如图，在 中， 是 边上的高，垂足为 ，已知 上方有一动
点 ，且点 到 两点的距离相等，则 的周长最小值为_________________．
【答案】
【解析】
【分析】
取AD的中点H，作HF//BC，作B关于HF的对称点E，连接CE与直线FH交于P，点P即为所
求，然后根据勾股定理求解即可．
【详解】
∵P到AD两点的距离相同，∴P在线段AD的垂直平分线上，
取AD的中点H，作HF//BC，作B关于HF的对称点E，连接CE与直线FH交于P，点P即为所
求
∴∠BFH=90°，BF=EF，EP=BP
∵要使△BCP的周长最小，
∴BP+CP最小，即为CE长，
又∵EF//BC，∠ADC=90°
∴∠FHD=∠HDB=90°
∴四边形BDHF是矩形，
∴BF=DH=EF= ，∠FBD=90°，
∴
∵ ，
∴ ，
△BCP的周长最小值=
故答案为： ．
【点睛】
本题主要考查了垂直平分线的性质，勾股定理，折叠的性质，平行四边形的性质与判定，解题的
关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
10．如图， ， 、 分别在 、 上，且 ， ，点 、 分别在 、
上，则 的最小值是______．【答案】
【解析】
【分析】
作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，连接M′N′，即为MP+PQ+QN的最小值，由
勾股定理求出M′N′即可．
【详解】
解：作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，连接， ，如图所示：
∴根据轴对称的定义可知：∠N′OQ=∠M′OB=∠AOB=40°， ，
∴ ，
∴当 三点共线时， 有最小值，即 有最小值 ，
过点 作 交 延长线于E，则 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ,
故答案为： ．【点睛】
本题考查了轴对称—最短路径问题，含30度直角三角形的性质，勾股定理，根据轴对称的定义，
找到相等的线段是解题的关键．
11．如图，动点M在边长为4的正方形ABCD内，且AM⊥BM，P是CD边上的一个动点，E是
AD边的中点，则线段PE+PM的最小值为_______．
【答案】
【解析】
【分析】
作点E关于DC的对称点E'，设AB的中点为点O，连接OE'，交DC于点P，连接PE，由轴对称
的性质及90°的圆周角所对的弦是直径，可知线段PE+PM的最小值为OE'的值减去以AB为直径的
圆的半径OM，根据正方形的性质及勾股定理计算即可．
【详解】
解：作点E关于DC的对称点E'，设AB的中点为点O，连接OE'，交DC于点P，连接PE，如图
所示：∵动点M在边长为4的正方形ABCD内，且AM⊥BM，
∴点M在以AB为直径的圆上，OM= AB=2，
∵正方形ABCD的边长为4，
∴AD=AB=4，∠DAB=90°，
∵E是AD的中点，
∴DE= AD= ×4=2，
∵点E与点E'关于DC对称，
∴DE'=DE=2，PE=PE'，
∴AE'=AD+DE'=4+2=6，
在Rt△AOE'中， ，
∴线段PE+PM的最小值为：
PE+PM=PE'+PM=ME'=OE'-OM= ．
故答案为： ．
【点睛】
本题主要考查了轴对称-最短路线问题、圆周角定理的推论、正方形的性质及勾股定理等知识点，
作出辅助线，熟练掌握相关性质及定理，是解题的关键．
12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点M在AC边上，且AM=1，MC=3，动点P在AB边上，连接PC，PM，则PC+PM的最小值是________．
【答案】
【解析】
【分析】
如图所示，作点C关于AB的对称点 ，连接 ， ，则当P、M、 三点共线时，
的值最小，即为 ，证明 即可利用勾股定理求解．
【详解】
解：如图所示，作点C关于AB的对称点 ，连接 ， ，
∴ ，
∴ ，
要使 最小，则 最小，
∴当P、M、 三点共线时， 的值最小，即为
由轴对称的性质可得 ， ，
∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．【点睛】
本题主要考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，轴对称最短路径问题，正确作出辅助线是解
题的关键．
13．如图，将边长为6的正三角形纸片ABC按如下顺序进行两次折叠，展开后，得折痕AD、
BE．(如图①)，点O为其交点．如图②，若P、N分别为BE、BC上的动点．如图③，若点Q在线
段BO上，BQ=1，则QN+NP+PD的最小值=_______．
【答案】
【解析】
【分析】
如图，作点Q关于BC的对称点Q，点D关于BE的对称点D，连接DQ，交BE于P，BC于
1 1 1 1
N，连接BQ，QN、PD，由等边三角形的性质和轴对称的性质可得∠CBE=∠QBN=∠ABE=30°，
1 1
BQ=BQ，BD=BD，PD=PD，NQ=NQ，即可得QD 是QN+NP+PD的最小值，可得△BQQ和
1 1 1 1 1 1 1
△BDD是等边三角形，根据∠CBE=∠QBN=∠ABE=30°，可得∠ABQ =90°，由AD是折痕可得BD=
1 1 1BC，利用勾股定理求出QD 的长即可得答案．
1 1
【详解】
如图，作点Q关于BC的对称点Q，点D关于BE的对称点D，连接DQ，交BE于P，BC于
1 1 1 1
N，连接BQ，QN、PD，
1
∵△ABC是等边三角形，AD、BE是折痕，
∴∠CBE=∠QBN=∠ABE=30°，点D 在AB上，BD= BC=3，∠ABC=60°，
1 1
∴∠ABQ =90°，∠QBQ=60°，
1 1
∵点Q关于BC的对称点D，点D关于BE的对称点D，
1 1
∴BQ=BQ，BD=BD，PD=PD，NQ=NQ，
1 1 1 1
∴△BQQ和△BDD是等边三角形，QD 是QN+NP+PD的最小值，
1 1 1 1
∴BQ=BQ=1，BD=BD=3，
1 1
∴QD= = ．
1 1
故答案为：
【点睛】
本题考查等边三角形的判定与性质、轴对称——最短路径问题，根据轴对称的定义得出相等的线
段是解题关键．
三、解答题(共0分)
14．如图，在平面直角坐标系中，点 在y轴正半轴上，点 在x轴正半轴上，且 ． ．
(1)求AB；
(2)在y轴上是否存在一点P，使得 最小？若存在，请求出 的最小值；
(3)在x轴上是否存在一点M，使 是以AB为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出M点坐
标．
【答案】(1)5
(2)
(3)（8，0）、（-2，0）或（-3，0）．
【解析】
【分析】
（1）根据题意求出a、b的值，运用勾股定理可求AB的值；
（2）首先求出点D的坐标，再作点B关于y轴的对称点 连接 ，求解即可；
（3）根据AB是腰分类讨论即可．
(1)
解：∵
∴a=4，b=3
∴OA=4，OB=3
根据勾股定理可得
∴
所以AB长度为5．
(2)
解：存在点P，使得PB+PD最小值为如图；过点D作 轴，交y轴于点E，作点B关于y轴的对称点 连接 ，过点D作
轴于点F，
∵
∴
在 和 中
∴
∴OB=AE=3，OA=DE=4
∴点D坐标为（4，7）
∵ ，DF=7
根据勾股定理可得
∴
∴PB+PD最小值为 ．
(3)
解：当AB=AM时，点M坐标为（-3，0）
当BA=BM时，点M坐标为（8，0）、（-2，0）
∴使 以AB为等腰三角形的点M的坐标为（8 ，0）、（-2，0）或（-3，0）．
【点睛】
本题是一次函数的综合应用，解题的关键是掌握勾股定理、对称求线段和最小、等腰三角形的判定．
16．问题背景：在 中，已知 ， ， 三边长为 ， ， ，求这个三角形的面
积．
小辉在答题时先建立一个正方形网格（每个小正方形边长为1），再在网格中画出格点 （即
三个顶点都在小正方形的顶点处），如图所示．这样不需求 的高，而借用网格就能计
算出它的面积．我们把上述求 面积的方法叫做构图法．
(1)若 三边的长分别为 ， ， （ ），请运用构图法求出 的面积；
(2)若 三边的长分别为 ， ， （ ， ，且 ），
试运用构图法求出 的面积；
(3)已知 ， 都是正数， ，求 的最小值．
【答案】(1) ；
(2)
(3)
【解析】
【分析】
（1）用三角形所在的长方形的面积减去四个直角三角形的面积即可；
（2）先画出图形，然后再用三角形所在的长方形的面积减去四个直角三角形的面积即可；
（3）由题意可得已知 ， ， ， ， ，当 在一条直线上时，
最小，过点A作AF∥BD，交ED延长线于点F，可得 ，
，最后运用勾股定理解答即可．(1)
解：构造 所示，
．
(2)
解：构造 所示，
．
(3)
解：如图，已知 ， ， ， ， ，当 在一条直线上时，
最小，过点A作AF∥BD，交ED延长线于点F，∴ ， ，
∴ ，
∴AC+CE的最小值为 ，
即 的最小值为 ．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理、求三角形的面积等知识点，灵活应用相关知识成为解答本题的关键．
