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专题 14.3 乘法公式及其应用
【典例1】数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片
是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为a的长方形．并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片
两张拼成如图 2 的大正方形．利用图 2 正方形面积的不同表示方法，可以验证公式：（a+b）2＝
a2+2ab+b2．
（1）类似的，请你用图1中的三种纸片拼一个图形验证：（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2，请画出图形．
（2）已知：a+b＝5，a2+b2＝13，求ab的值；
（3）已知（2021﹣a）2+（a﹣2020）2＝4043，求（2021﹣a）（a﹣2020）的值；
（4）已知（a﹣2020）2+（a﹣2022）2＝64，求（a﹣2021）2的值．
【思路点拨】
（1）结合算式拼图即可；
(a+b) 2−(a2+b2 )
（2）由（a+b）2＝a2+2ab+b2可推导出ab= 进行计算即可；
2
(a+b) 2−(a2+b2 )
（3）由ab= 代入计算即可；
2
(x2+ y2 )−(x−y) 2
（4）设a﹣2020＝x，a﹣2022＝y，则x﹣y＝2，由（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，可推得xy=
2
，代入即可计算出结果为31．
【解题过程】
解：（1）如图，可以验证：（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2；（2）∵（a+b）2＝a2+b2+2ab
∴2ab＝（a+b）2﹣（a2+b2），
(a+b) 2−(a2+b2 )
∴ab= =，
2
又∵a+b＝5，a2+b2＝13，
52−13
∴ab= =6；
2
（3）设2021﹣a＝x，a﹣2020＝y，则x+y＝1，
∵（2021﹣a）2+（a﹣2020）2＝4043，
∴x2+y2＝4043，
∵（x+y）2＝x2+2xy+y2，
(x+ y) 2−(x2+ y2 ) 1−4043
∴xy= = =−2021，
2 2
即（2021﹣a）（a﹣2020）＝xy＝﹣2021；
（4）设a﹣2020＝x，a﹣2022＝y，则x﹣y＝2，
∵（a﹣2020）2+（a﹣2022）2＝64，
∴x2+y2＝64，
∵（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，
(x2+ y2 )−(x−y) 2 64−22
∴xy= = =30
2 2
∵x﹣y＝2，
∴（a﹣2021）2＝（a﹣2021）（a﹣2021）＝（x﹣1）（y+1）＝xy+x﹣y﹣1＝30+2﹣1＝31．
1．（2021春•莱山区期末）如果用平方差公式计算（x﹣y+5）（x+y+5），则可将原式变形为（ ）
A．[（x﹣y）+5][（x+y）+5] B．[（x+5）﹣y][（x+5）+y]
C．[（x﹣y）+5][（x﹣y）﹣5] D．[x﹣（y+5）][x+（y+5）]
2．（2021秋•安居区期末）若x2+2（m﹣1）x+4是一个完全平方式，则m的值等于（ ）A．2 B．3 C．2或﹣2 D．﹣1或3
3．（2021秋•南安市期中）设a＝192×918，b＝8882﹣302，c＝10532﹣7472，则数a，b，c按从小到大的顺
序排列，结果是（ ）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a
4．（2021春•常德期末）如图，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形，把余下的部分拼成
一个长方形（无重叠部分），通过计算两个图形中阴影部分的面积，可以验证的一个等式是（ ）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．a（a﹣b）＝a2﹣ab
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．a（a+b）＝a2+ab
5．（2021春•镇江期中）小妍将（2020x+2021）2展开后得到a x2+b x+c ；小磊将（2021x﹣2020）2展开
1 1 1
后得到a x2+b x+c ，若两人计算过程无误，则c ﹣c 的值为（ ）
2 2 2 1 2
A．4041 B．2021 C．2020 D．1
6．（2021•宝安区模拟）如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么这个正整数就称为“智慧
数”，例如：5＝32﹣22，5就是一个智慧数，则下列各数不是智慧数的是（ ）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
7．（2020秋•凤山县期末）已知x2﹣3x+1＝0，则x2+x﹣2+3值为（ ）
A．10 B．9 C．12 D．3
8．（2021秋•高青县期中）已知长方形的周长为16cm，它两邻边长分别为xcm，ycm，且满足（x﹣y）2﹣
2x+2y+1＝0，则该长方形的面积为（ ）
31 63
A．16cm2 B．15cm2 C． cm2 D． cm2
2 4
9．（2021春•芝罘区期末）已知x+2y＝13，x2﹣4y2＝39，则多项式x﹣2y的值是 ．
10．（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）•…•（232+1）+1的结果的个位数字为 ．
11．（2021秋•莱州市期中）用简便方法进行计算：
（1）20212﹣4040×2021+20202． （2）20002﹣19992+19982﹣19972+…+22﹣12．
1 13 1
12．（2021秋•玉州区期中）已知x+ = 且0＜x＜1，求x2− 的值．
x 6 x213．（2021秋•仁寿县期末）阅读下列文字，寻找规律，解答下列各小题．
已知x≠1，计算：
（1﹣x）（1+x）＝1﹣x2
（1﹣x）（1+x+x2）＝1﹣x3
（1﹣x）（1+x+x2+x3）＝1﹣x4
（1﹣x）（1+x+x2+x3+x4）＝1﹣x5
（1）观察上式计算：（1﹣x）（1+x+x2+…+xm）＝ ．
（2）计算：
①（1﹣2）（1+2+22+23+…+22022）；
②2+22+23+24+…+2m．
14．（2021秋•长春期末）【知识生成】用两种不同方法计算同一图形的面积，可以得到一个等式，如图
1，是用长为x，宽为y（x＞y）的四个全等长方形拼成一个大正方形，用两种不同的方法计算阴影部分
（小正方形）的面积，可以得到（x﹣y）2、（x+y）2、xy三者之间的等量关系式： ；
【知识迁移】如图2所示的大正方体是由若干个小正方体和长方体拼成的，用两种不同的方法计算大正方
体的体积，我们也可以得到一个等式： ；
【成果运用】利用上面所得的结论解答：
5
（1）已知x＞y，x+y＝3，xy= ，求x﹣y的值；
4
（2）已知|a+b﹣4|+（ab﹣2）2＝0，则a3+b3＝ ．15．（2021秋•花都区期末）如图1，有A型、B型、C型三种不同形状的纸板，A型是边长为a的正方形，
B型是边长为b的正方形，C型是长为b，宽为a的长方形．现用A型纸板一张，B型纸板一张，C型纸板
两张拼成如图2的大正方形．
（1）观察图2，请你用两种方法表示出图2的总面积．
方法1： ；
方法2： ；
请利用图2的面积表示方法，写出一个关于a，b的等式： ．
（2）已知图2的总面积为49，一张A型纸板和一张B型纸板的面积之和为25，求ab的值．
（3）用一张A型纸板和一张B型纸板，拼成图3所示的图形，若a+b＝8，ab＝15，求图3中阴影部分的
面积．
16．（2021春•电白区月考）问题再现：初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积
的方法进行直观推导和解释．
（1）例如：利用图①的几何意义推证，将一个边长为a的正方形的边长增加b，形成两个矩形和两个正方
形，这个大正方形的面积可以用两种形式表示，分别用代数式表示为 或 ，这就验证了乘
法公式 （用式子表达）；
（2）问题提出：
如何利用图形几何意义的方法推证：13+23＝32？如图②，
A表示1个1×1的正方形，即：1×1×1＝13，
B表示1个2×2的正方形，C与D恰好可以拼成1个2×2的正方形，
因此：B，C，D就可以表示2个2×2的正方形，即：2×2×2＝23，
而A，B，C，D恰好可以拼成一个（1+2）×（1+2）的大正方形，
由此可得：13+23＝（1+2）2＝32＝9．尝试解决：请你类比上述推导过程，利用图形几何意义方法推证，然后求值：
13+23+33＝ ．（要求自己构造图形并写出推证过程）．
（3）问题拓广：（要求直接求出具体数值，不必有构造图形、推证过程）
请用上面的表示几何图形面积的方法探究：13+23+33+…+103＝ ．
17．（2021秋•东城区校级期中）老师在黑板上写出了一道思考题：已知a+b＝2，求a2+b2的最小值．
（1）爱思考的小明同学想到了一种方法：先用b表示a，a＝2﹣b；
再把a＝2﹣b代入a2+b2；a2+b2＝ +b2；
再进行配方得到：a2+b2＝2（b﹣ ）2+ ；
根据完全平方式的非负性，就得到了a2+b2的最小值是 ．
（2）请你根据小明的方法，当x+y＝10时，求x2+y2的最小值．
18．（2021秋•十堰期末）阅读、理解、应用．
例：计算：20163﹣2015×2016×2017．
解：设2016＝x，则原式＝x3﹣（x﹣1）•x•（x+1）＝x3﹣x（x2﹣1）＝x＝2016．
请你利用上述方法解答下列问题：
（1）计算：1232﹣124×122；
（2）若M＝123456789×123456786，N＝123456788×123456787，请比较M，N的大小；
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
（3）计算：( + +⋯+ )(1+ + +⋯+ )−(1+ + +⋯+ )( + +⋯+ )．
2 3 2021 2 3 2020 2 3 2021 2 3 202019．（2021秋•西山区校级期中）问题情境：阅读：若x满足（8﹣x）（x﹣6）＝3，求（8﹣x）2+（x﹣
6）2的值．
解：设（8﹣x）＝a，（x﹣6）＝b，则（8﹣x）（x﹣6）＝ab＝3，a+b＝（8﹣x）+（x﹣6）＝2，
所以（8﹣x）2+（x﹣6）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝22﹣2×3＝﹣2．
请仿照上例解决下面的问题：
问题发现
（1）若x满足（3﹣x）（x﹣2）＝﹣10，求（3﹣x）2+（x﹣2）2的值．
类比探究
（2）若x满足（2021﹣x）2+（2020﹣x）2＝2019，求（2021﹣x）（2020﹣x）的值．
拓展延伸
（3）如图，正方形ABCD的边长为x，AE＝10，CG＝20，长方形EFGD的面积为200．四边形NGDH和
MEDQ都是正方形，PQDH是长方形，求四边形MFNP的面积（结果必须是一个具体数值）．
20．（2021•沙坪坝区校级开学）对于任意四个有理数a，b，c，d，可以组成两个有理数对（a，b）与（c，d）．我们规定：（a，b）⊗（c，d）＝a2+d2﹣bc．例如：（1，2）⊗（3，4）＝1²+4²﹣2×3＝11．
（1）若（2x，kx）⊗（﹣2y，y）是一个完全平方式，求常数k的值；
（2）若2x+y＝18，且（3x+y，2x2+3y2）⊗（3，x﹣3y）＝204，求xy的值；
（3）在（2）问的条件下，将长方形ABCD及长方形CEFG按照如图方式放置，其中点E、G分别在边
CD、BC上，连接BD、BF、DF，EG．若AB＝2x，BC＝2nx，CE＝y，CG＝ny，图中阴影部分的面积为
168，求n的值．
