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专题19线段和角的定值问题（原卷版）
第一部分 教学案
类型一 线段中的定值问题
1
1．（2019秋•北仑区期末）如图，C为射线AB上一点，AB＝30，AC比BC的 多5，P、
4
Q两点分别从A、B两点同时出发，分别以2个单位/秒和1个单位/秒的速度在射线AB
上沿AB方向运动，当点P运动到点B时，两点同时停止运动，运动时间为t（s），M
1
为BP的中点，N为MQ的中点，以下结论：①BC＝2AC；②AB＝4NQ；③当BP=
2
BQ时，t＝12；④M，N两点之间的距离是定值．其中正确的结论 （填写序号）
2．（2020秋•东西湖区期末）如图，已知直线l上有两条可以左右移动的线段：AB＝a，
CD＝b，且a，b满足|a﹣2|+（b﹣6）2＝0．M为线段AB的中点，N为线段CD中点．
（1）求线段AB、CD的长；
（2）若线段AB以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时线段CD以每秒1个单位长
的速度也向右运动，在运动前A点表示的数为﹣2．BC＝6，设运动时间为t秒，求t为
何值时，MN＝4；
（3）若将线段CD固定不动，线段AB以每秒2个单位长度的速度向右运动，在运动前
AD＝36，在线段AB向右运动的某一个时间段内，始终有MN+BC为定值，求出这个定
值，并求出t的取值范围．3．（2020秋•遵化市期末）如图，已知线段AB＝m，CD＝n，线段CD在直线AB上运动
（点A在点B的左侧，点C在点D的左侧），若|m﹣12|+（6﹣n）2＝0．
（1）求线段AB，CD的长；
（2）若点M，N分别为线段AC，BD的中点，BC＝4，求线段MN的长；
（3）当CD运动到某一时刻时，点D与点B重合，点P是线段AB的延长线上任意一点，
PA-PB PA+PB
下列两个结论：① 是定值，② 是定值，请选择你认为正确的一个并
PC PC
加以说明．
4．（2018秋•江夏区期末）已知，如图所示，一条直线上依次有A、B、C三个点．
（1）若BC＝10，AC＝3AB，求AB的长；
BC
（2）若点D是射线CB上一点，点M为BD中点，点N为CD中点，求 的值；
MN
（3）当点P在线段BC的延长线上运动时，点E是AP的中点，点F是BC的中点（E，
EF EF
F不重合）．下列结论中：① 是定值；② 是定值，其中只有一个结
AC+BP AC-BP
论正确，请选择正确结论并求出其值．
5．（越秀区期末）已知线段AB＝8（点A在点B的左侧）
（1）若在直线AB上取一点C，使得AC＝3CB，点D是CB的中点，求AD的长；
（2）若M是线段AB的中点，点P是线段AB延长线上任意一点，请说明PA+PB﹣2PM
是一个定值．6．（2020秋•奉化区校级期末）如图，已知直线l有两条可以左右移动的线段：AB＝m，
CD＝n，且m，n满足|m﹣4|+（n﹣8）2＝0．
（1）求线段AB，CD的长；
（2）线段AB的中点为M，线段CD中点为N，线段AB以每秒4个单位长度向右运动，
线段CD以每秒1个单位长度也向右运动，若运动6秒后，MN＝4，求线段BC的长；
（3）将线段CD固定不动，线段AB以每秒4个单位速度向右运动，M、N分别为AB、
CD中点，BC＝24，在线段AB向右运动的某一个时间段t内，始终有MN+AD为定值．
求出这个定值，并直接写出t在哪一个时间段内．
7．（2022秋•平南县月考）如图AB＝48，C为线段AB的延长线上一点，M，N分别是
AC，BC的中点．
（1）若BC＝10，求MN的长；
（2）若BC的长度为不定值，其它条件不变，MN的长还是定值吗？若是，请求出MN
的长；若不是，请说明理由．类型二 角中的定值问题
8．（2017秋•宁海县期末）如图，已知在同一平面内OA⊥OB，OC是OA绕点O顺时针方
向旋转 （ ＜90°）度得到，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC．
（1）若 ＝60即∠AOC＝60°时，则∠BOC＝ °，∠DOE＝ °．
（2）在α 的α变化过程中，∠DOE的度数是一个定值吗？若是定值，请求出这个值；若
不是定值α，请说明理由．
α
9．（2020秋•平山区校级期中）已知∠AOB＝110°，∠COD＝40°，OE平分∠AOC，OF
平分∠BOD．
（1）如图1，当OB、OC重合时，∠AOE﹣∠BOF＝ ；
（2）如图2，当∠COD从图1所示位置绕点O以每秒3°的速度顺时针旋转t秒（0＜t＜
10），在旋转过程中∠AOE﹣∠BOF的值是否会因t的变化而变化，若不发生变化，请
求出该定值；若发生变化，请说明理由．
10．、如图，已知∠AOC＝80°，∠BOD＝30°，若OM平分∠AOB，ON平分∠COD．
（1）如图1，当OC与OB重合时，求∠MON的度数；
（2）如图2，当∠BOD从图1位置开始绕点O顺时针旋转m（0＜m＜90）时，∠BOM
﹣∠DON的值是否为定值？若是定值，求出∠BOM﹣∠DON的值；若不是定值，请说
明理由；
（3）如图2，当∠BOD从图1位置开始绕点O顺时针旋转m（30＜m＜70）时，满足
∠AOD+∠MON＝7∠BOD，求m的值．
11．（2022秋•沁阳市期末）已知∠AOB＝110°，∠COD＝40°，OE平分∠AOC，OF平分
∠BOD．
（1）如图1，当OB、OC重合时，∠AOE﹣∠BOF＝ ；
（2）如图2，当∠COD从图1所示位置绕点O以每秒3°的速度顺时针旋转t秒（0＜t＜10），在旋转过程中∠AOE﹣∠BOF的值是否会因t的变化而变化，若不发生变化，请
求出该定值；若发生变化，请说明理由．
（3）在（2）的条件下，当∠COF＝17°时，t＝ 秒．
12．（2021秋•宿豫区期末）如图，将两块直角三角尺的 60°角和90°角的顶点A叠放在一
起．将三角尺ADE绕点A旋转，旋转过程中三角尺ADE的边AD始终在∠BAC的内部
在旋转过程中，探索：
（1）∠BAE与∠CAD的度数有何数量关系，并说明理由；
（2）试说明∠CAE﹣∠BAD＝30°；
（3）作∠BAD和∠CAE的平分线AM、AN，在旋转过程中∠MAN的值是否发生变化？
若不变，请求出这个定值；若变化，请求出变化范围．
13．（2022秋•晋州市期中）如图所示，以直线AB上的一点O为端点，在直线AB的上方
作射线OP，使∠BOP＝68°，将一块直角三角尺（∠MON＝90°）的直角顶点放在点O
处，且直角三角尺在直线AB的上方．设∠BOM＝n°（0＜n＜90）．
（1）当n＝30时，求∠PON的大小；（2）当OP恰好平分∠MON时，求n的值；
（3）当n≠68时，嘉嘉认为∠AON与∠POM的差为定值，淇淇认为∠AON与∠POM
的和为定值，且二人求得的定值相同，均为 22°，老师说，要使两人的说法都正确，需
要对n分别附加条件．请你补充这个条件：
当n满足 时，∠AON﹣∠POM＝22°；
当n满足 时，∠AON+∠POM＝22°．
14．（2021秋•迁安市期末）如图1，把∠APB放置在量角器上，P与量角器的中心重合，
射线PA、PB分别对准刻度 117°和153°，将射线PA绕点P逆时针旋转 90°得到射线
PC．
（1）∠APB＝ 度；（2）求出∠CPB的度数；
（3）小红在图1的基础上，在∠CPB内部任意做一条射线PD，并分别做出了∠CPD和
∠BPD的平分线PE和PF，如图2，发现PD在∠CPB内部的不同位置，∠EPF的度数
都是一个定值，请你求出这个定值．15．（2022秋•硚口区期末）∠AOB与它的补角的差正好等于∠AOB的一半
（1）求∠AOB的度数；
（2）如图1，过点O作射线OC，使∠AOC＝4∠BOC，OD是∠BOC的平分线，求
∠AOD的度数；
（3）如图2，射线OM与OB重合，射线ON在∠AOB外部，且∠MON＝40°，现将
∠MON绕O顺时针旋转n°，0＜n＜50，若在此过程中，OP平分∠AOM，OQ平分
∠AOP-∠BOQ
∠BON，试问 的值是定值吗？若是，请求出来，若不是，请说明理由．
∠POQ16．（2019秋•莆田期末）定义：若 ﹣ ＝90°，且90°＜ ＜180°，则我们称 是 的差余
角．例如：若 ＝110°，则 的差余角 ＝20°．
（1）如图1，点O在直线AB上，α射β线OE是∠BOC的α 角平分线，若∠CβOE是α∠AOC
的差余角，求∠αBOE的度数α； β
（2）如图2，点O在直线AB上，若∠BOC是∠AOE的差余角，那么∠BOC与∠BOE
有什么数量关系；
（3）如图3，点O在直线AB上，若∠COE是∠AOC的差余角，且OE与OC在直线
∠AOC-∠BOC
AB的同侧， 请你探究是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请
∠COE
说明理由．
17．（2022秋•荔城区期末）如图∠AOB＝120°，把三角板60°的角的顶点放在O处．转动
三角板（其中OC边始终在∠AOB内部），OE始终平分∠AOD．
（1）【特殊发现】如图1，若OC边与OA边重合时，求出∠COE与∠BOD的度数．
（2）【类比探究】如图2，当三角板绕O点旋转的过程中（其中OC边始终在∠AOB内
部），∠COE与∠BOD的度数比是否为定值？若为定值，请求出这个定值；若不为定
值，请说明理由．
（3）【拓展延伸】如图3，在转动三角板的过程中（其中OC边始终在∠AOB内部），
若OP平分∠COB，请画出图形，直接写出∠EOP的度数（无需证明）第二部分 配套作业
1．（2022秋•成都期末）已知点O为数轴原点，点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数
为b，A、B之间的距离记作AB，且|a+4|+（b﹣10）2＝0．
（1）求线段AB的长；
（2）设点P在数轴上对应的数为x，当PA+PB＝20时，求x的值；
（3）如图，M、N两点分别从O、B出发以v 、v 的速度同时沿数轴负方向运动（M在
1 2
线段AO上，N在线段BO上），P是线段AN的中点，若M、N运动到任一时刻时，总
v
2
有PM为定值，下列结论：① 的值不变；②v +v 的值不变．其中只有一个结论是正
v 1 2
1
确的，请你找出正确的结论并求值．
2．（2022秋•江岸区校级月考）已知：如图，一条直线上依次有A、B、C三点．
（1）若BC＝60，AC＝3AB，求AB的长；
BC
（2）若点D是射线CB上一点，点M为BD的中点，点N为CD的中点，求 的值；
MN
（3）当点P在线段BC的延长线上运动时，点E是AP中点，点F是BC中点，下列结
论中：
AC+BP
① 是定值；
EF
AC-BP
②
| |是定值．其中只有一个结论是正确的，请选择正确结论并求出其值．
EF
3．（2016秋•启东市校级月考）如图，线段AB＝24，动点P从A出发，以2个单位/秒的
速度沿射线AB运动，M为AP的中点．
（1）出发多少秒后，PB＝2AM；
（2）当P在线段AB上运动时，试说明2BM﹣BP为定值．
（3）当P在AB延长线上运动，N为BP的中点，下列两个结论：①MN长度不变；
②MN+PN的值不变．选出一个正确的结论，并求其值．
4．（2022秋•高新区期中）如图，线段AB＝12，动点P从A出发，以每秒2个单位的速度
沿射线AB运动，M为AP的中点．
（1）出发多少秒后，PB＝2AM？
（2）当P在线段AB上运动时，试说明2BM﹣BP为定值．
（3）当P在AB延长线上运动时，N为BP的中点，下列两个结论：①MN长度不变；
②MA+PN的值不变，选择一个正确的结论，并求出其值．5．（2021秋•双流区期末）如图，已知直线l上有两条可以左右移动的线段：AB＝m，CD
＝n，且m，n满足|m﹣4|+（n﹣8）2＝0，点M，N分别为AB，CD中点．
（1）求线段AB，CD的长；
（2）线段AB以每秒4个单位长度向右运动，线段CD以每秒1个单位长度也向右运动．
若运动6秒后，MN＝4，求此时线段BC的长；
（3）若BC＝24，将线段CD固定不动，线段AB以每秒4个单位速度向右运动，在线
段AB向右运动的某一个时间段t内，始终有MN+AD为定值．求出这个定值，并直接写
出t在哪一个时间段内．
6．（2021秋•洛川县校级期末）已知∠AOB＝110°，∠COD＝40°，OE平分∠AOC，OF
平分∠BOD．
（1）如图①，当OB、OC重合时，求∠AOE﹣∠BOF的值；
（2）当∠COD从图①所示位置绕点O以每秒3°的速度顺时针旋转t秒（0＜t＜10）；
在旋转过程中∠AOE﹣∠BOF的值是否会因t的变化而变化，若不发生变化，请求出该
定值；若发生变化，请说明理由．7．（2021秋•侯马市期末）已知∠AOB＝110°，∠COD＝40°，OE平分∠AOC，OF平分
∠BOD．
（1）如图，当OB、OC重合时，求∠EOF的度数；
（2）如图，当OB、OC重合时，求∠AOE﹣∠BOF的值；
（3）当∠COD从图示位置绕点O以每秒3°的速度顺时针旋转t秒（0＜t＜10）；在旋
转过程中∠AOE﹣∠BOF的值是否会因t的变化而变化？若不发生变化，请求出该定值；
若发生变化，请说明理由．
8．（2019秋•玄武区校级期末）已知∠AOB＝150°，OC 为∠AOB 内部的一条射线，
∠BOC＝60°．
1
（1）如图1，若OE平分∠AOB，OD为∠BOC内部的一条射线，∠COD= ∠BOD，
2
求∠DOE的度数；
（2）如图2，若射线OE绕着O点从OA开始以15度/秒的速度顺时针旋转至OB结束、
OF绕着O点从OB开始以5度/秒的速度逆时针旋转至OA结束，运动时间为t秒，当
∠EOC＝∠FOC时，求t的值：
（3）若射线OM绕着O点从OA开始以15度/秒的速度逆时针旋转至OB结束，在旋转
过程中，ON平分∠AOM，试问2∠BON﹣∠BOM在某时间段内是否为定值，若不是，
请说明理由；若是请补全图形，求出这个定值并写出t所在的时间段．（本题中的角均
为大于0°且小于180°的角）
9．（2022秋•云梦县期末）已知∠AOB＝90°，∠COD＝30°，OE平分∠AOC，OF平分
∠BOD．
（1）如图1，当OB、OC重合时，求∠EOF的度数．
（2）当∠COD从图1所示位置绕点O顺时针旋转n°（0＜＜90）时，如图2，∠AOE﹣
∠BOF的值是否为定值？若是定值，求出∠AOE﹣∠BOF的值，若不是，请说明理由．10．（2020秋•江岸区期末）已知如图1，∠AOB＝40°．
1
（1）若∠AOC= ∠BOC，则∠BOC＝ ；
3
（2）如图2，∠AOC＝20°，OM为∠AOB内部的一条直线，ON是∠MOC四等分线，
且3∠CON＝∠NOM，求4∠AON+∠COM的值；
（3）如图3，∠AOC＝20°，射线OM绕着O点从OB开始以5度/秒的速度逆时针旋转
一周至 OB 结束，在旋转过程中，设运动的时间为 t，ON 是∠MOC 四等分线，且
3∠CON＝∠NOM，当t在某个范围内4∠AON+∠BOM会为定值，请直接写出定值，并
指出对应t的范围（本题中的角均为大于0°且小于180°的角）．
11．（2020秋•渝中区校级期末）如图1，∠AOB＝40°，∠COD＝60°，OM、ON分别为
∠AOB和∠BOD的角平分线．
（1）若∠MON＝70°，则∠BOC＝ °；
（2）如图2，∠COD从第（1）问中的位置出发，绕点O逆时针以每秒4°的速度旋转；
当OC与OA重合时，∠COD立即反向绕点O顺时针以每秒6°的速度旋转，直到OC与
OA互为反向延长线时停止运动．整个运动过程中，∠COD的大小不变，OC旋转后的
对应射线记为 OC′，OD旋转后的对应射线记为 OD′，∠BOD′的角平分线记为
ON′，∠AOD′的角平分线记为OP．设运动时间为t秒．
①当OC′平分∠BON′时，求出对应的t的值；
②请问在整个运动过程中，是否存在某个时间段使得|∠BOP﹣∠MON′|的值不变？若
存在，请直接写出这个定值及其对应的t的取值范围（包含运动的起止时间）；若不存
在，请说明理由．12．（2022秋•荔湾区期末）已知∠AOB＝100°，∠COD＝40°，OE平分∠AOC，OF平分
∠BOD．
（1）如图1，当OB，OC重合时，求∠EOF的度数；
（2）如图2，当∠COD从图1所示位置绕点O顺时针旋转n°（0＜n＜90）时，∠AOE
﹣∠BOF的值是否为定值？若是定值，求出∠AOE﹣∠BOF的值；若不是，请说明理由．
13．已知∠AOB＝100°，∠COD＝40°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD．（本题中的角均
为大于0°且小于等于180°的角）．
（1）如图1，当OB、OC重合时，求∠EOF的度数；
（2）当∠COD从图1所示位置绕点O顺时针旋转n°（0＜n＜90）时，∠AOE﹣∠BOF
的值是否为定值？若是定值，求出∠AOE﹣∠BOF的值；若不是，请说明理由．
（3）当∠COD 从图 1 所示位置绕点 O 顺时针旋转 n°（0＜n＜180）时，满足
∠AOD+∠EOF＝6∠COD，则n＝ ．14．如图，两条直线AB、CD相交于点O，且∠AOC＝∠AOD，射线OM（与射线OB重
合）绕O点逆时针方向旋转，速度为15°/s，射线ON（与射线OD重合）绕O点顺时针
方向旋转，速度为12°/s．两射线OM、ON同时运动，运动时间为t秒．（本题出现的
角均指小于平角的角）
（1）图中一定有 个直角；当t＝2时，∠MON的度数为 ，∠BON的度数为
，∠MOC的度数为 ．
（2）当0＜t＜12时，若∠AOM＝3∠AON﹣60°，试求出t的值；
7∠COM+2∠BON
（3）当0＜t＜6时，探究 的值，在t满足怎样的条件是定值，在t
∠MON
满足怎样的条件不是定值．
