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第 03 讲 解一元二次方程——公式法
课程标准 学习目标
1. 学会利用根的判别式判断根的情况，同时根据根的
①根的判别式
情况利用根的判别式求值。
②公式法解一元二次方程
2. 掌握公式法解一元二次方程。
③根与系数的关系
3. 掌握根与系数的关系。
知识点01 根的判别式
1. 根的判别式：
用配方法解一元二次方程 ，可将方程化成 。由配方
法解方程可知，根据 与0的大小关系可以确定方程的根的情况。确定 与0的大小关系
只需要确定 与0的大小关系。我们把 叫做一元二次方程的根的判别式。用
符号 来表示。
①若 方程有两个不相等的实数根 。
②若 方程有两个相等的实数根 。
③若 方程没有实数根 。题型考点：①计算根的判别式的值判断方程的根的情况。②根据方程的根的情况求值
【即学即练1】
1．一元二次方程x2+3x﹣1＝0的根的情况是（ ）
A．无实数根 B．有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
【解答】解：∵Δ＝32﹣4×1×（﹣1）＝13＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：D．
【即学即练2】
2．已知方程（k﹣3）x2+2x+1＝0有两个实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜4 B．k≤4 C．k＜4且k≠3 D．k≤4且k≠3
【解答】解：∵方程（k﹣3）x2+2x+1＝0有两个实数根，
∴ ，
解得：k≤4且k≠3．
故选：D．
知识点02 利用公式法解一元二次方程——求根公式
1. 求根公式：
由 可知， 。 。我们把它
叫做一元二次方程的求根公式。
① 时，一元二次方程有两个不相等的实数根。即 ；
。
② 时，一元二次方程有两个相等的实数根。即 。
③ 时，一元二次方程没有实数根。
2. 公式法解一元二次方程的步骤：
①将一元二次方程化成 一般形式 ，并确定 的值。
②计算 的值，确定一元二次方程的根的情况。
③根据根的情况把 的值带入相应的求根公式求解。题型考点：①根据求根公式确定 的值。②利用公式法解一元二次方程。
【即学即练1】
3．用公式法解方程x2﹣4x﹣11＝0时，Δ＝（ ）
A．﹣43 B．﹣28 C．45 D．60
【解答】解：x2﹣4x﹣11＝0，
∵a＝1，b＝﹣4，c＝﹣11，
∴Δ＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣11）＝60．
故选：D．
【即学即练2】
4．下列方程中，以x＝ 为根的是（ ）
A．x2﹣5x﹣c＝0 B．x2+5x﹣c＝0 C．x2﹣5x+4c＝0 D．x2+5x+c＝0
【解答】解：A．此方程的根为x＝ ，不符合题意；
B．此方程的根为x＝ ，符合题意；
C．此方程的根为x＝ ，不符合题意；
D．此方程的根为x＝ ，不符合题意；
故选：B．
【即学即练3】
5．利用公式解可得一元二次方程式3x2﹣11x﹣1＝0 的两解为a、b，且a＞b，求a值为何（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：3x2﹣11x﹣1＝0，
这里a＝3，b＝﹣11，c＝﹣1，
∴Δ＝（﹣11）2﹣4×3×（﹣1）＝133＞0，
∴x＝ ＝ ，
∵一元二次方程式3x2﹣11x﹣1＝0 的两解为a、b，且a＞b，
∴a的值为 ．
故选：D．
【即学即练4】
6．用公式法解方程：（1）：x2+2x﹣6＝0．
【解答】解：这里a＝1，b＝2，c＝﹣6，
∵Δ＝22﹣4×1×（﹣6）＝28＞0，
∴x＝ ＝﹣1± ，
解得：x ＝﹣1+ ，x ＝﹣1﹣ ．
1 2
（2）：2x（x﹣3）＝（x﹣1）（x+1）．
【解答】解：2x（x﹣3）＝（x﹣1）（x+1），
化简为x2﹣6x+1＝0，
∵a＝1，b＝﹣6，c＝1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝36﹣4＝32＞0，
∴ ，
∴ ， ．
知识点03 根与系数的关系
1. 根与系数的关系：
由公式法可知，若一元二次方程的 时，一元二次方程有两个不相等的实数根，分别是
与 。
①求 。
②求 。
2. 根与系数的关系的推广应用：
① ； ② ；
③ ； ④ ；
⑤ 。
题型考点：根据根与系数的关系求式子的值。
【即学即练1】
7．若x ，x 是方程x2﹣6x﹣7＝0的两个根，则（ ）
1 2
A．x +x ＝6 B．x +x ＝﹣6 C．x x ＝ D．x x ＝7
1 2 1 2 1 2 1 2【解答】解：∵x ，x 是方程x2﹣6x﹣7＝0的两个根，
1 2
∴x +x ＝6，x x ＝﹣7，
1 2 1 2
故选：A．
【即学即练2】
8．方程x2﹣2x﹣24＝0的根是x ，x ，则x x ﹣x ﹣x 的值为（ ）
1 2 1 2 1 2
A．22 B．﹣22 C．﹣26 D．26
【解答】解：∵方程x2﹣2x﹣24＝0的根是x ，x ，
1 2
∴x x ＝﹣24，x +x ＝2，
1 2 1 2
则原式＝x x ﹣（x +x ）＝﹣24﹣2＝﹣26．
1 2 1 2
故选：C．
【即学即练3】
9．已知一元二次方程x2﹣5x﹣6＝0的两根分别为a，b，则 的值为（ ）
A．﹣ B． C． D．﹣
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣5x﹣6＝0的两根分别为a，b，
∴a+b＝5，ab＝﹣6，
则原式＝ ＝ ＝﹣ ，
故选：D．
【即学即练4】
23．关于x的方程x2﹣2x+2m﹣1＝0有实数根，方程的两根分别是x 、x ，且 ，则m值是
1 2
（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵关于x的方程x2﹣2x+2m﹣1＝0有实数根，方程的两根分别是x 、x ，
1 2
∴x +x ＝2，x •x ＝2m﹣1，
1 2 1 2
∵Δ＝（﹣2）2﹣4（2m﹣1）＝8（1﹣m）≥0，
∴m≤1，
∵ ，
∴ + ＝（x •x ）2，
1 2
∴4﹣2（2m﹣1）＝（2m﹣1）2，
整理得：4m2＝5，解得 ，
∵m≤1，
∴ ，
故选：B．
题型01 根据一元二次方程的根的情况求值
【典例1】
若一元二次方程mx2+2x+1＝0有实数解，则m的取值范围是（ ）
A．m≥﹣1 B．m≤1 C．m≥﹣1且m≠0 D．m≤1且m≠0
【解答】解：∵一元二次方程mx2+2x+1＝0有实数解，
∴Δ＝22﹣4m≥0，且m≠0，
解得：m≤1且m≠0，
故选：D．
变式1：
若关于x的方程（m+1）x2﹣3x+2＝0有两个实数根，则m＝（ ）
A．m＜ B．m＜ 且m≠﹣1 C．m≤ D．m≤ 且m≠﹣1
【解答】解：∵关于x的方程（m+1）x2﹣3x+2＝0有两个实数根，
∴m+1≠0且Δ≥0，
∴m≠﹣1且（﹣3）2﹣4（m+1）×2≥0，
解得m≤ 且m≠﹣1，
故选：D．
变式2：
对于实数a，b定义运算“ ”为a b＝b2﹣ab，例如：3 2＝22﹣3×2＝﹣2，则关于x的方程（k﹣3）
x＝k﹣1的根的情况，下列说法正确的是（ ）
⊗ ⊗ ⊗
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
⊗
C．没有实数根 D．无法确定
【解答】解：∵（k﹣3） x＝k﹣1，
∴x2﹣（k﹣3）x＝k﹣1，
⊗∴x2﹣（k﹣3）x﹣k+1＝0，
∴Δ＝[﹣（k﹣3）]2﹣4×1×（﹣k+1）＝（k﹣1）2+4＞0，
∴关于x的方程（k﹣3） x＝k﹣1有两个不相等的实数根．
故选：A．
⊗
题型02 根与系数的关系
【典例1】
方程x2﹣2x﹣1＝0的根为x x ，则x x ﹣（x +x ）的值为（ ）
1 2 1 2 1 2
A． B．1 C．﹣3 D．
【解答】解：∵方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根为x ，x ，
1 2
∴x +x ＝2，x x ＝﹣1，
1 2 1 2
则原式＝﹣1﹣2＝﹣3．
故选：C．
【典例2】
已知m，n是一元二次方程x2+3x+1＝0的两根，则 的值是（ ）
A． B．3 C．﹣3 D．
【解答】解：∵m，n是一元二次方程x2+3x+1＝0的两根，
∴m+n＝﹣3，mn＝1，
∴ ＝ + ＝ ＝ ＝ ＝﹣3．
故选：C．
【典例3】
若x ，x 是方程x2﹣3x﹣2023＝0的两个实数根，则代数式 ﹣2x +x 的值等于（ ）
1 2 1 2
A．2029 B．2028 C．2027 D．2026
【解答】解：∵x ，x 是方程x2﹣3x﹣2023＝0的两个实数根，
1 2
∴ ﹣3x ﹣2023＝0，x +x ＝3，
1 1 2
∴ ﹣3x ＝2023，
1
∴ ﹣2x +x ＝ ﹣3x +x +x ，＝2﹣23+3＝2026．
1 2 1 1 2
故选：D．
【典例4】已知m，n是一元二次方程x2+3x﹣1＝0的两根，则 的值是（ ）
A．﹣3 B．3 C． D．﹣1
【解答】解：∵m，n是一元二次方程x2+3x﹣1＝0的两根，
∴m+n＝﹣3，mn＝﹣1，
∵
＝
＝
＝
＝
＝ ，
当m+n＝﹣3时，原式＝ ．
故选：C．
题型03 根的情况与根与系数的关系
【典例1】
已知关于x的方程x2+2x+m＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围．
（2）若两个实数根分别是x ，x ，且 ，求m的值．
1 2
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0有两个不相等的实数根．
∴Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×1×m＞0，
即m＜1；
（2）由根与系数的关系可知：x +x ＝﹣2，x •x ＝m，
1 2 1 2
∵ ，
∴（m﹣1）2﹣4＝0
∴m﹣1＝±2，
解得m＝3或m＝﹣1，
而m＜1，∴m的值为﹣1．
【典例2】
已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2+m＝0．
（1）求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根；
（2）设该方程的两个实数根为a，b，若（2a+b）（a+2b）＝20，求m的值．
【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（2m+1）]2﹣4（m2+m）
＝4m2+4m+1﹣4m2﹣4m
＝1＞0，
∴无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根；
（2）解：∵该方程的两个实数根为a，b，
∴a+b＝ ＝2m+1，ab＝ ＝m2+m，
∵（2a+b）（a+2b）
＝2a2+4ab+ab+2b2
＝2（a2+2ab+b2）+ab
＝2（a+b）2+ab，
∴2（a+b）2+ab＝20，
∴2（2m+1）2+m2+m＝20，
整理得：m2+m﹣2＝0，
解得：m ＝﹣2，m ＝1，
1 2
∴m的值为﹣2或1．
1．一元二次方程x2+2＝2x根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．只有一个实数根
【解答】解：∵x2+2＝2x，
∴x2﹣2x+2＝0，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×2＝4﹣8＝﹣4＜0，∴方程没有实数根．
故选：C．
2．已知关于x的一元二次方程x2+6+c+c＝0的一个根是x＝1，则方程x2+6x﹣c＝0的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．有一个根是x＝1
【解答】解：把x＝1代入方程x2+6x+c＝0得1+6+c＝0，
解得c＝﹣7，
所以方程x2+6x﹣c＝0化为x2+6x+7＝0，
∵Δ＝62﹣4×7＝8＞0，
∴方程x2+6x﹣c＝0有两个不相等的实数根．
故选：C．
3．关于x的一元二次方程（a+1）x2﹣2x+3＝0有实数根，则整数a的最大值是（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
【解答】解：根据题意得：Δ＝4﹣12（a+1）≥0，且a+1≠0，
解得：a≤﹣ ，a≠﹣1，
则整数a的最大值为﹣2．
故选：A．
4．若一元二次方程x2+bx+4＝0的两个实数根中较小的一个根是m（m≠0），则b+ ＝（ ）
A．m B．﹣m C．2m D．﹣2m
【解答】解：∵x2+bx+4＝0的两个实数根中较小的一个根是m，
∴ ＝m，
解得：b+ ＝﹣2m，
故选：D．
5．已知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法错误的是（ ）
A．若a﹣b+c＝0，则方程没有实数根
B．当b＝0且方程存在实数根时，两根一定互为相反数
C．若ac＜0，则方程必有两个不相等的实数根
D．若b＝2a+c，则方程有两个不相等的实数根
【解答】解：A．将x＝﹣1代入原方程，得a﹣b+c＝0，则x＝﹣1是原方程的根；
故A中的说法错误；
B．当b＝0且方程存在实数根时， ；
故B中的说法正确；C．若ac＜0，则﹣4ac＞0，∴Δ＝b2﹣4ac＞0，∴方程必有两个不相等的实数根；
故C中的说法正确；
D．若b＝2a+c，则Δ＝b2﹣4ac＝（2a+c）2﹣4ac＝4a2+c2．
∵a≠0
∴4a2+c2＞0，故方程有两个不相等的实数根；
故D中的说法正确．
故选：A．
6．如果4是关于x的一元二次方程x2﹣6x+k＝0的一个根，则方程的另一个根是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：设方程的另一个根为t，
根据根与系数的关系得4+t＝6，
解得t＝2，
所以方程的另一个根为2．
故选：A．
7．已知a，b是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则a2﹣b+2023的值是（ ）
A．2023 B．2021 C．2026 D．2027
【解答】解：∵a，b是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，
∴a2＝3﹣a，a+b＝﹣1，
∴a2﹣b+2023
＝3﹣a﹣b+2023
＝﹣（a+b）+2026
＝1+2026
＝2027，
故选：D．
8．用公式法解关于x的一元二次方程，得 ，则该一元二次方程是 ．
【解答】解：根据 与 ，
可得a＝3，b＝7，c＝1，
从而得到一元二次方程为3x2+7x+1＝0．
故答案为：3x2+7x+1＝0．
9．下面是小明同学解方程x2﹣5x＝﹣4的过程：
∵a＝1，b＝﹣5，c＝﹣4（第一步），
∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×（﹣4）＝41（第二步）．∴x＝ ，（第三步）．
∴x ＝ ，x ＝ （第四步）．
1 2
小明是从第 步开始出错．
【解答】解：原方程化为：x2﹣5x+4＝0，
∴a＝1，b＝﹣5，c＝4．
故答案为：一．
10．如果代数式x2+x+2与5x﹣2的值相等，那么x＝ ．
【解答】解：根据题意得x2+x+2＝5x﹣2，
∴x2﹣4x+4＝0，
∴（x﹣2）2＝0，
∴x ＝x ＝2．
1 2
故答案为：2．
11．已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+2﹣m2﹣m＝0．
（1）求证：无论m为何实数，方程总有两个实数根；
（2）若方程x2﹣3x+2﹣m2﹣m＝0，的两个实数根 、 满足 2+ 2＝9，求m的值．
【解答】（1）证明：Δ＝9﹣4（2﹣m2﹣m）＝4m2 α+4mβ+1＝（ α2mβ+1）2，
∵无论m为何实数，总有（2m+1）2≥0，即Δ≥0，
∴无论m为何实数，方程总有两个实数根；
（2）解：∵方程x2﹣3x+2﹣m2﹣m＝0，的两个实数根 、 ，
∴ + ＝3， ＝2﹣m2﹣m， α β
∴ α 2+β 2＝（ αβ+ ）2﹣2 ＝9﹣2（2﹣m2﹣m）＝5+2m2+2m＝9，
解得m＝1或﹣2．
α β α β αβ
12．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x﹣3m2+m＝0．
（1）求证：无论m为何值，方程总有实数根；
（2）若x ，x 是方程的两个实数根，且 + ＝﹣ ，求m的值．
1 2
【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（2m﹣1）]2﹣4×1×（﹣3m2+m）
＝4m2﹣4m+1+12m2﹣4m
＝16m2﹣8m+1
＝（4m﹣1）2≥0，
∴方程总有实数根；
（2）解：由题意知，x +x ＝2m﹣1，x x ＝﹣3m2+m，
1 2 1 2∵ + ＝ ＝ ＝﹣ ，
∴ ，整理得5m2﹣7m+2＝0，
解得m＝1或m＝．
