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考点巩固卷 15 空间中的平行垂直与共线面问题
（六大考点）
考点01：判断平行与垂直的有关命题
①要证线∥面，条件为3个，其中必有《线 面》
②要证线⊥面，条件为2个，其中必有《线∥线或面∥面》
③要证线∥线（面∥面），条件为2或3个，其中必有《两个线⊥面》
④要证线⊥线（面⊥面），条件为2个，其中必有《⊥、∥（ ）》
⑤要证线⊥线（面⊥面），条件为3个，其中必有《 》
1．设 是两个平面， 是两条直线，则下列命题为真命题的是（ ）A．若 ， ， ，则
B．若 ， ， ，则
C．若 ， ， ， ，则
D．若 ， ，则
2．已知平面 满足 ，下列结论正确的是（ ）
A．若直线 ，则 或
B．若直线 ，则 与 和 相交
C．若 ，则 ，且
D．若直线 过空间某个定点，则与 成等角的直线 有且仅有4条
3．已知a，b是不同的直线， ， 是不同的平面，下列说法中正确的是（ ）
A．若 ， 平面 ，则 平面
B．若 平面 ， 平面 ，则
C．若 平面 ， 平面 ，平面 平面 ，则
D．若 平面 ， 平面 ， ，则平面 平面
4．设 是三个不同平面，且 ，则 是 的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．下列说法正确的是（ ）
A．若直线l,m,n两两相交，则直线l,m,n共面
B．若直线 与平面 所成的角相等，则直线 互相平行
试卷第2页，共3页C．若平面 上有三个不共线的点到平面 的距离相等，则平面 与平面 平行
D．若不共面的4个点到平面 的距离相等，则这样的平面 有且只有7个
6．已知直线 和平面 ，则下列判断中正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
7．已知直线 、 、 与平面 、 ，下列命题正确的是（ ）
A．若 ， ，则
B．若 ， ，则
C．若 ， ，则
D．若 ， ， ，则
8．已知 ， 是两条不同的直线， ， ， 是三个不同的平面，下列命题为真命题的是
（ ）
A．若 ， ，则 B．若 ， ， ，则
C．若 ， ，则 D． ， ， ，则
9．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）
A．若 ， ，则
B．若 ， ， ，则
C．若 ， ， ，则
D．若 ， ， ，则
10．设 ， 是两个平面， ， ， 是三条直线，则下列命题为真命题的是（ ）A．若 ， ， ，则
B．若 ， ， ，则
C．若 ， ， ，则
D．若 ， ，则
考点02：空间中证明平行的五种思路
方法一：中位线型：
例1、如图⑴，在底面为平行四边形的四棱锥 中，点 是 的中点.求证：
平面 .
分析：
方法二：构造平行四边形
例2、如图⑵, 平行四边形 和梯形 所在平面相交， // ，求证：
//平面 .
分析：过点 作 // 交 于 ， 就是平面
与平面 的交线，那么只要证明 // 即可。
试卷第4页，共3页方法三：作辅助面使两个平面是平行
例3、如图⑶，在四棱锥 中，底面 为菱形， 为 的中点， 为
的中点，证明：直线
分析：：取 中点 ，连接 ，只需证平面 ∥平面 。
方法四：利用平行线分线段成比例定理的逆定理证线线平行。
例4、已知公共边为AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不在同一平面内，P，Q分别是对角
线AE，BD上的点，且AP＝DQ（如图）．求证：PQ∥平面CBE．
例5．如图⑸，已知三棱锥 ， 是 , , 的重心.(1)
求证： ∥面 ；
方法五：（向量法）所证直线与已知平面的法向量垂直，关键：建立空间坐标系（或找空
间一组基底）及平面的法向量。例 6、如图⑹，在四棱锥 中，底面 为正方形，侧棱 底面
分别为 的中点．证明 平面 ；
分析：因为侧棱 底面 ，底面 是正方形，所以很容易建立空间直
角坐标系及相应的点的坐标。
证明：如图，建立空间直角坐标系 ．
设 ，则
， ．
因为 轴垂直与平面 ，故可设平面的法向量为 =（0，1，0）
则： =0因此 ，所以 平面 ．
11．正方体 的棱长为1，E、F、G分别为BC， ， 的中点，有下述
四个结论，其中正确的结论是（ ）
试卷第6页，共3页①点C与点B到平面AEF的距离相等； ②直线 与平面AEF平行；
③平面AEF截正方体所得的截面面积为 ； ④直线 与直线EF所成的角的余弦值为
.
A．①④ B．②③ C．①②③ D．①②③④
12．如图，正方体 中，M是 的中点，则（ ）
A．直线 与直线 相交，直线 平面
B．直线 与直线 平行，直线 平面
C．直线 与直线AC异面，直线 平面
D．直线 与直线 垂直，直线 ∥平面
13．在如图所示的正方体或正三棱柱中，M，N，Q分别是所在棱的中点，则满足直线BM
与平面CNQ平行的是（ ）
A． B． C．D．
14．在正方体 中， 是棱 的中点， 是侧面 内的动点，且
平面 ，如图所示，下列说法不正确的是（ ）
A．点 的轨迹是一条线段
B． 与 是异面直线
C． 与 不可能平行
D．三棱锥F−ABD 的体积为定值
1
15．在正方体 中，P是平面 内的一动点，M为线段 的中点，
则下列说法错误的是（ ）
A．平面PAM内任意一条直线都不与 平行
B．平面 和平面 的交线不与平面 平行
C．平面 内存在无数条直线与平面PAM平行
D．平面PAM和平面 的交线不与平面 平行
试卷第8页，共3页16．如图，在正方形 中，M，N分别是 ， 的中点，则直线AM
与平面BND的位置关系是（ ）．
A．垂直 B．平行 C．相交但不垂直 D．无法确定
17．如图，在三棱柱 中，点 、 、 、 分别为 、 、 、
的中点，G为 的重心，从 、 、 、 中取一点作为 使得该棱柱恰有2条棱与
平面 平行，则 为（ ）
A．K B．H C．G D．
18．如图，在正方体 中， 是棱 的中点， 是侧面 内的动点，
且 与平面 的垂线垂直，则下列说法不正确的是（ ）A． 与 不可能平行
B． 与 是异面直线
C．点 的轨迹是一条线段
D．三棱锥 的体积为定值
19．如图，已知四棱柱 的底面为平行四边形，E，F，G分别为棱
的中点，则（ ）
A．直线 都与平面 平行
B．直线 都与平面 相交
试卷第10页，共3页C．直线 与平面 平行，直线 与平面 相交
D．直线 与平面 相交，直线 与平面 平行
20．如图，在棱长为 的正方体 中，点 在线段 上运动，则下列命题
中错误的是（ ）
A．直线 和平面 所成的角为定值
B．点 到平面 的距离为定值
C．异面直线 和 所成的角为定值
D．直线 和平面 平行
考点03：空间中异面直线垂直情况
第一步：将所求直线中的一条用刻度尺进行平移然后与另一条直线衔接出现三角形
第二步：将三角形画到草稿纸上并利用空间图求出各边的长
第三步：利用余弦定理求出待求角
第四步：检查若求出的角为锐角或直角则即为所求，若求出的角为钝角则补角即为所求
21．在正三棱柱 中，已知 ，则异面直线 与 所成角的余弦
值为（ ）A． B． C． D．
22．已知正四棱锥 的所有棱长均为 为棱 的中点，则异面直线 与 所
成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
23．下列说法正确的是（ ）
A．正方体各面所在平面将空间分成27个部分
B．过平面外一点，有且仅有一条直线与这个平面平行
C．若空间中四条不同的直线 满足 ，则
D．若 为异面直线， 平面 平面 ，且 与 相交，若直线 满足
，则 必平行于 和 的交线
24．如图，在直三棱柱 中， 为等腰直角三角形，且
，则异面直线 与 所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
试卷第12页，共3页25．如图，已知正四棱锥 的所有棱长均相等， 为棱 的中点，则异面直线
与 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
26．如图，点N为正方形ABCD的中心， 为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M
是线段EB的中点，则（ ）
A．DM≠EN，且直线DM、EN是异面直线
B．DM＝EN，且直线DM、EN是异面直线
C．DM≠EN，且直线DM、EN是相交直线
D．DM＝EN，且直线DM、EN是相交直线
27．如图，在正四棱柱 中， ，则异面直线 与 所成角的
余弦值为（ ）
7
A． B． C． D．
1728．正八面体可由连接正方体每个面的中心构成，如图所示，在棱长为2的正八面体中，
则有（ ）
A．直线 与 是异面直线 B．平面 平面
C．该几何体的体积为 D．平面 与平面 间的距离为
29．已知各棱长都为1的平行六面体 中，棱 、 、 两两的夹角均
为 ，则异面直线 与 所成角为（ ）
A． B． C． D．
30．如图，已知四边形ABCD是菱形， ，点E为AB的中点，把 沿DE
折起，使点A到达点P的位置，且平面 平面BCDE，则异面直线PD与BC所成角的
余弦值为（ ）
试卷第14页，共3页A． B． C． D．
考点04：空间中证明垂直的两种情况
证明垂直：线线垂直 线面垂直 面面垂直
必记结论：①特殊的平行四边形 边长之比1:2，夹角为 ，则对角线与边垂直
②特殊的直角梯形 边长之比1:1:2,对角线与腰垂直
③等腰三角形三线合一，三线与底垂直
④直径所对的圆周角为直角
⑤菱形和正方形：对角线互相垂直
⑥特殊的矩形：边长之比1:2或1： 有明显的直角关系
31．如图所示，在正方体 中，M是棱 上一点，平面 与棱 交
于点N.给出下面几个结论，其中所有正确的结论是（ ）
①四边形 是平行四边形；②四边形 可能是正方形；③存在平面 与直
线 垂直；④任意平面 都与平面 垂直.A．①② B．③④ C．①④ D．①②④
32．如图，边长为 的正方形ABCD所在平面与矩形ABEF所在的平面垂直， ，N
为AF的中点， ，则三棱锥 外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
33．如图，在三棱柱 中，侧棱 底面 ， ， ，三
棱柱外接球的球心为 ，点 是侧棱 上的一动点.下列说法正确的个数是（ ）
①直线 与直线 是异面直线；②若 ，则 与 一定不垂直；③若
，则三棱锥 的体积为 ；④ 三棱柱 外接球的表面积的
最大值为 .
A． B． C． D．
试卷第16页，共3页34．已知四棱柱 的底面 为正方形，侧棱与底面垂直，点 是侧棱
上的点，且 .若点 在侧面 （包括其边界）上运动，
且总保持 ，则动点 的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
35．在三棱锥 中， ，平面 经过 的中点E，并且
与BC垂直，当α截此三棱锥所得的截面面积最大时，此时三棱锥 的外接球的表面
积为（ ）
A． B． C． D．
36．坡度是地表单元陡缓的程度，通常把坡面的垂直高度和水平方向的距离的比叫做坡度，
就是坡面与水平面成角的正切值．如图所示，已知斜面 的坡度是1，某种越野车的
最大爬坡度数是30°，若这种越野车从D点开始爬坡，则行驶方向 与直线 的最大夹
角的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°37．如图，正方体 的棱长为 ， 在棱 上运动(不含端点)，则下列说
法错误的是（ ）
A． 为 中点时，三棱锥 体积不变
B．平面 与平面 所成二面角为
C． 运动到 的中点时， 上存在点 ，使 平面
D．侧面 中不存在直线与 垂直
38．如图，边长为3的正方形 所在平面与矩形 所在的平面垂直， ．
为 的中点， ，则三棱锥 外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
39．定义两个向量 与 的向量积 是一个向量，它的模 ，它的方
试卷第18页，共3页向与 和 同时垂直，且以 的顺序符合右手法则（如图），在棱长为2的正四面体
中，则 （ ）
A． B．4 C． D．
40．中国古代数学著作《九章算术》记载了一种被称为“曲池”的几何体，该几何体的上、
下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如图所示的曲
池，它的高为2， ， 、 ， 均与曲池的底面 垂直，底面扇环对应的两
个圆的半径分别为1和2，对应的圆心角为 ，则图中四面体 的体积为（ ）．
A． B．1 C． D．
考点05：空间中多线共点处理技巧41．如图，在正四棱柱 中， ， ，E为 的中点，经过BE
的截面与棱 ， 分别交于点F，G，直线BG与EF不平行．证明：直线BG，EF，
共点.
42．如图，在直三棱柱 中， ， 为线段 上一点，平面
交棱 于点 ．
(1)求证：直线 共点；
(2)若点 为 中点，再从条件①和条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线
试卷第20页，共3页与平面 所成角的正弦值．
条件①：三棱锥 体积为 ；
条件②：三棱柱 的外接球半径为 ．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
43．如图，在正四棱柱 中， ， ，E为 的中点，经过BE
的截面与棱 ， 分别交于点F，G，直线BG与EF不平行．
(1)证明：直线BG，EF， 共点；
(2)当 时，求二面角 的余弦值．
44．如图，已知平面 ，且 ，设在梯形 中， ，且
.求证： 共点．
45．如图，在长方体ABCD－ABC D 中，点E，F分别为棱AA，AB的中点．
1 1 1 1 1(1)求证：四边形EFCD 是梯形；
1
(2)证明：直线DE，DA，CF共点．
1
46．如图所示，在空间四面体 中， 分别是 ， 的中点， 分别是 ，
上的点，且 .求证：
（1） 四点共面；
（2）直线 共点.
考点06：空间中点共面处理技巧
经常利用三角形中位线性质和平行四边形性质
模型1：如图，在四棱锥 中，已知 ， ， ，
， 平面 .
试卷第22页，共3页如图，点 分別为棱 的中点，点 为靠近 的四等分点，求证： 四点
共面；
破解：取 中点 ，连接 ，
为 上靠近 的四等分点， 为 中点，又 为 中点， ；
分别为 中点， ，又 ， ，
四边形 为平行四边形， ，又 ， ，
四点共面；
47．如图，已知平行六面体 的侧棱长为3，底面是边长为4的菱形，且
，点 ， 分别在 和 上．(1)若 ， ，求证： ， ， ， 四点共面；
(2)若 ，点 为线段 上（包括端点）的动点，求直线 与平面 所成
角的正弦值的取值范围．
48．如图，在四棱锥 中，底面ABCD是边长为2的菱形， 为等边三角形，
平面 平面ABCD， ．点E在线段PC上．
(1)若 ，在PB上找一点F，使得E,F,A,D四点共面，并说明理由；
(2)求点A到平面PBC的距离；
(3)若直线AE与平面ABCD所成角的正弦值为 ，求二面角 的余弦值．
49．如图，已知四棱锥 的底面为正方形， 平面 ，
分别为线段 ， 中点.
试卷第24页，共3页(1)证明： 共面；
(2)求直线 与平面 所成角的大小.
50．如图，在长方体 中， ， ，E、F分别是AB、BC
的中点．
(1)证明 、 、 、 四点共面；
(2)求直线 与平面 所成的角的大小．
51．如图，正方体 中，N，E，F分别是 的中点．
(1)求证：E，F，B，D四点共面；
(2)设平面 与平面 交于直线 ，求证： ；
(3)求直线 与平面 所成角的正弦值．
52．如图， 为空间四边形，点 、 分别是 、 的中点，点 、 分别在 、上，且 ， ．求证：
(1) 、 、 、 四点共面；
(2) 、 必相交且交点在直线 上．
53．如图，在四棱柱 中，四边形 为直角梯形， ，
.过点 作 平面 ，垂足为 是 的中点.
(1)在四边形 内，过点 作 ，垂足为 .
（i）求证：平面 平面 ；
（ii）判断 是否共面，并证明.
(2)在棱 上是否存在一点 ，使得 平面 ？若存在，给出证明：若不存在，请
说明理由.
54．如图，在四棱锥 中，底面 是平行四边形，E，M，N分别是 ， ，
的中点.
试卷第26页，共3页(1)求证：M，N，C，D四点共面；
(2)求证： 平面 .
55．四棱锥 中，平面 平面 ， ， ， ，
， ， ，M为PC的中点，N为PD靠近D的三等分点．
(1)证明：A、B、M、N四点共面；
(2)求二面角 的余弦值；
(3)求平面ABMN截四棱锥 所得的上、下几何体的体积比．
56．已知正方体 中， ，点M，N分别是线段 ， 的中点．
(1)求点M到平面 的距离；
(2)判断 ，M，B，N四点是否共面，若是，请证明；若不是，请说明理由．
