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第 04 讲 提公因式法分解因式
课程标准 学习目标
1. 掌握因式分解的概念，并能够判断运算属于因式分
①分解因式的概念
解。
②公因式的概念与求法
2. 能求出一个式子的公因式与剩余部分。
③提公因式分解因式
3. 能够熟练的运用提公因式的方法分解因式。
知识点01 分解因式的概念
1. 分解因式的概念：
把一个多项式写成几个整式的 积 的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的 ，也
叫做把这个多项式 。与整式的乘法互为逆运算。
左边是一个多项式，右边是几个整式的积的形式，即右边的加减号必须在括号内。且左右两边必须相
等。
题型考点：①判断式子的运算属于因式分解。
【即学即练1】
1．下列等式从左到右的变形不是因式分解的是（ ）
A．x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y） B．a2+4ab+4b2＝（a+2b）2
C．a2﹣2a+1＝a（a﹣2）+1 D．ma+mb﹣mc＝m（a+b﹣c）【即学即练2】
2．下列各式从左到右，是因式分解的是（ ）
A．（y﹣1）（y+1）＝y2﹣1
B．x2y+xy2﹣1＝xy（x+y）﹣1
C．（x﹣2）（x﹣3）＝（3﹣x）（2﹣x）
D．x2﹣4x+4＝（x﹣2）2
知识点02 公因式
1. 公因式的概念：
多项式中各项都有的 叫做这个多项式的公因式。如多项式 ，各项都有一个
公因式 ，则它就是这个多项式的公因式。
2. 公因式的求法：
公因式＝系数的 ×相同字母（式子）的 。若多项式首项为负号，则公因
式为 。
3. 多项式提取公因式后的另一个因式的求法：
多项式提取公因式后，另一个因式＝多项式的每一项÷ 。
题型考点：①判断多项式的公因式。②求多项式提取公因式的另一个因式。
【即学即练1】
3．多项式3a2b2﹣15a3b3﹣12a2b2c的公因式是（ ）
A．3a2b2 B．﹣15a3b3 C．3a2b2c D．﹣12a2b2c
【即学即练2】
4．多项式﹣8x2y3z+12xy2z3﹣24x3yz2的公因式是（ ）
A．﹣xyz B．﹣4x3y3z3 C．﹣4xyz D．﹣x3y3z3
【即学即练3】
5．把2（x﹣3）+x（3﹣x）提取公因式（x﹣3）后，另一个因式是（ ）
A．x﹣2 B．x+2 C．2﹣x D．﹣2﹣x
【即学即练3】
6．若（x+y）3﹣xy（x+y）＝（x+y）•A，则A为（ ）
A．x2+y2 B．x2﹣xy+y2 C．x2﹣3xy+y2 D．x2+xy+y2
知识点03 提公因式分解因式
1. 提公因式分解因式：
一般地，如果多项式的各项都有 ，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成 与
另一个因式的 的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。题型考点：①提公因式分解因式。
【即学即练1】
7．分解因式b2（x﹣2）+b（2﹣x）正确的结果是（ ）
A．（x﹣2）（b2+b） B．b（x﹣2）（b+1）
C．（x﹣2）（b2﹣b） D．b（x﹣2）（b﹣1）
【即学即练2】
8．分解因式：
（1）6m2n﹣15n2m+30m2n2 （2）x（x﹣y）2﹣y（x﹣y）
【即学即练3】
9．因式分解：
（1）3x2﹣6xy+x； （2）﹣4m3+16m2﹣28m；
（3）18（a﹣b）2﹣12（b﹣a）3．
题型01 判断因式分解
【典例1】
下面式子从左边到右边的变形中是因式分解的是（ ）A．a（m+n）＝am+an B．x2﹣1＝（x﹣1）2
C．﹣a2+3a＝﹣a（a+3） D．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）
【典例2】
下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A．（x+2）＝x2+4x+1
B．3a（b+c）＝3ab+3ac
C．x2﹣4y2＝（x+2y）（x﹣2y）
D．（x﹣1）（y﹣1）＝xy﹣x﹣y+1
【典例3】
下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．x2+2x+3＝（x+1）2+2 B．15x2y＝3x•5xy
C．2（x+y）＝2x+2y D．x2﹣6x+9＝（x﹣3）2
【典例4】
下列各式从左到右不属于因式分解的是（ ）
A．x2﹣x＝x（x﹣1） B．x2+2x+1＝x（x+2）+1
C．x2﹣6x+9＝（x﹣3）2 D．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）
题型02 利用因式分解的概念求值
【典例1】
已知在 x2+mx﹣16＝（x+a）（x+b）中，a，b为整数，能使这个因式分解过程成立的 m值的个数有
（ ）
A．4个 B．5个 C．8个 D．10个
【典例2】
若多项式ax2+bx+c可以被分解为（x﹣3）（x﹣2），则a＝ ，b＝ ，c＝ ．
【典例3】
当k＝ 时，二次三项式x2﹣kx+12分解因式的结果是（x﹣4）（x﹣3）．
【典例4】
如果二次三项式3a2+7a﹣k中有一个因式是3a﹣2，那么k的值为 ．
【典例5】
若多项式x2+ax+b分解因式的结果为（x+1）（x﹣2），则a+b的值为 ．
题型03 确定公因式
【典例1】
多项式12ab3c﹣8a2b各项的公因式是（ ）A．4ab2 B．4abc C．2ab2 D．4ab
【典例2】
多项式﹣4a2b2+12a2b2﹣8a3b2c的公因式是（ ）
A．﹣4a2b2c B．﹣a2b2 C．﹣4a2b2 D．﹣4a3b2c
【典例3】
多项式4x（m﹣n）+2y（m﹣n）2的公因式是 ．
【典例4】
多项式﹣6ab2c+18a2b2c3﹣12a3b3c2的公因式是（ ）
A．﹣ab2 B．﹣6a3b2c C．﹣6ab2 D．﹣6ab2c
题型04 提公因式法分解因式
【典例1】
把多项式m（a﹣2）+（a﹣2）分解因式等于（ ）
A．m（a﹣2） B．（a﹣2）（m+1）
C．m（a+2） D．（m﹣1）（a﹣2）
【典例2】
因式分解：
（1）12x2y3﹣3x2y5； （2）（x﹣2）2﹣x+2．
【典例3】
因式分解：
（1）3x2﹣6x+12xy； （2）（x﹣y）3+4x（x﹣y）2．
【典例4】
分解因式：（1）9x3y3﹣21x3y2+12x2y2； （2）y（2a﹣b）+x（b﹣2a）．
【典例5】
因式分解：（1）﹣24x3+12x2﹣28x （2）6（m﹣n）3﹣12（m﹣n）2【典例6】
把下列各式进行因式分解：
（1）x2+xy； （2）﹣4b2+2ab；
（3）3ax﹣12bx+3x； （4）6ab3﹣2a2b2+4a3b．
1．下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ）
A．6a2b2＝3ab•2ab B．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1
C．x2﹣4x+4＝（x﹣2）2 D．x2﹣x﹣4＝x（x﹣1）﹣2
2．下列四个等式从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9 B．a（a﹣b）＝a2﹣ab
C．x2﹣x＝x（x﹣1） D．x2﹣2x+1＝x（x﹣2）+1
3．已知多项式2x2+bx+c分解因式为2（x﹣3）（x+1），则b、c的值为（ ）A．b＝3，c＝﹣1 B．b＝﹣6，c＝2 C．b＝﹣6，c＝﹣4 D．b＝﹣4，c＝﹣6
4．若多项式x2﹣ax﹣1可分解为（x﹣2）（x+b），则a+b的值为（ ）
A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣1
5．下列各组多项式中，没有公因式的是（ ）
A．ax﹣by和by﹣ax B．3x﹣9xy和6y2﹣2y
C．x2﹣y2和x﹣y D．a+b和a2﹣2ab+b2
6．多项式﹣6ab2+24a2b2﹣12a3b2c的公因式是（ ）
A．﹣6ab2c B．﹣ab2 C．﹣6ab2 D．﹣6a3b2c
7．把多项式m2（a﹣2）+m（2﹣a）分解因式等于（ ）
A．（a﹣2）（m2+m） B．（a﹣2）（m2﹣m）
C．m（a﹣2）（m﹣1） D．m（a﹣2）（m+1）
8．已知ab＝﹣3，a+b＝2，则a2b+ab2的值是（ ）
A．6 B．﹣6 C．1 D．﹣1
9．如图，边长分别为a，b的长方形，它的周长为15，面积为10，则3a2b+3ab2＝ ．
10．若多项式x2+mx﹣12分解因式后含有因式x﹣2，则m的值为 ．
11．多项式﹣3x2y3z+9x3y3z﹣6x4yz2的公因式是 ．
12．若20232023﹣20232021＝2024×2023n×2022，则n的值是 ．
13．分解因式
①21xy﹣14xz+35x2 ②15xy+10x2﹣5x
③（2a+b）（3a﹣2b）﹣4a（2a+b） ④（x﹣2）2﹣x+2⑤a2（x﹣2a）2﹣a（2a﹣x）2 ⑥15b（2a﹣b）2+25（b﹣2a）3．
14．如果x2+Ax+B＝（x﹣3）（x+5），求3A﹣B的值．
15．仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为（x+n），得
x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n）
则x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n
∴ ．
解得：n＝﹣7，m＝﹣21
∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21
问题：仿照以上方法解答下面问题：
已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（2x﹣5），求另一个因式以及k的值．
