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专题23 网格中求正切
【法一】构造直角三角形求
如图是由边长为1的小正方形组成的 网格，则 ________．
【详解】解：连接BC，
由勾股定理可知：
， ， ，
∵ ，∴ ，
∴ 为直角三角形，∴ ，
故答案为：2．
【法二】转移角后再求
如图，A，B，C，D均为网格图中的格点，线段AB与CD相交于点P，则∠APD的正切值为（
）
A．3 B．2 C．2 D．
【详解】：连接CM，DN，由题意得：CM∥AB，
∴∠APD＝∠NCD，由题意得：
CN2＝12+12＝2，DN2＝32+32＝18，∴ ，∴tan∠DCN＝ ＝ ＝3，
∴∠APD的正切值为：3，
故选：A．
【法三】等面积法求
如图，网格中小正方形的边长均为1，点A，B、O都在格点（小正方形的顶点）上，则
的值是______．
解：作 交于点C，
由图可知： ，∵ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，∴ ，
故答案为：
【综合演练】
1．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（
）
A．2 B． C． D．
【答案】D【分析】连接AC，根据网格图不难得出 ，求出AC、AB的长度即可求出 的正切
值．
【详解】连接AC，
由网格图可得： ，
由勾股定理可得：AC= ，AB= ，
∴tan = ．
故选：D．
【点睛】本题主要考查网格图中锐角三角函数值的求解，根据网格图构造直角三角形是解题关键．
2．如图所示的方格纸中，△ABC的顶点都在格点上，则tan∠BAC的值为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】D
【分析】由勾股定理求出AB、AC、BC的长度，得出Rt△ABC，通过三角函数即可求出．
【详解】由题知： ，
，
，
∴
∴三角形为Rt△ABCtan∠BAC= =2
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理、锐角三角函数，熟练掌握勾股定理，并能进行推理计算是解决问
题的关键．
3．如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则tan∠ACB的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意连接BD可知 ，进而利用勾股定理得出BD和CD，最后即可得出
tan∠ACB的值．
【详解】解：如图，连接BD，
根据图象可知 ，
则有 ，
所以 ．
故选：D．
【点睛】本题考查网格与勾股定理以及锐角三角函数的定义，注意掌握在直角三角形中，一锐角
的正切等于它的对边与邻边的比值．4．如图，正方形网格中每个小正方形的边长都是1，若点A、B、C都在格点上，则tan∠BAC的值
是_____．
【答案】1
【分析】根据已知图形得出 ，再求解即可.
【详解】
连接 ，
，
，
由勾股定理得： ，
.
故答案为： .
【点睛】本题考查了解直角三角形和勾股定理，能求出 是解此题的关键.
5．如图，A，B，C三点在正方形网格线的交点处，将△ACB绕着点A逆时针旋转得到△AC′B′，若
A，C，B′三点共线，则tan∠B′CB=________．
【答案】2
【分析】利用勾股定理及其逆定理以及锐角三角函数关系进而得出结论．【详解】如图所示：连接BD，由网格利用勾股定理得：BC ，CD ，BD=2 ．
∵ ，∴∠CDB=90°，∴BD⊥B′C，则tan∠B′CB
故答案为2．
【点睛】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理和锐角三角函数关系，得出BD⊥CB′是解题的
关键．
6．如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C都在这些小正方形的顶点上，则
∠ABC的正切值是 ．
【答案】2
【详解】试题分析：设小正方形边长为a，链接AC，那么
因为所以
考点：勾股定理
点评：本题是锐角三角函数与勾股定理的结合，难度适中，解题关键是注意转化思想和数形结合
思想的应用．
7．如图，在 的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点， 的顶点都在格点上，则
的正切值是______．
【答案】2
【分析】先根据勾股定理的逆定理判断出△ABC的形状，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．
【详解】解：由图可知，AC2=22+42=20，BC2=12+22=5，AB2=32+42=25，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，
∴tan∠ABC= ，
故答案为：2.
【点睛】本题考查的是勾股定理以及锐角三角函数，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边
长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
8．如图，在1×3的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交
于点P，则 =_____________
【答案】2
【分析】连接BE与CD相交于F，由正方形的性质、相似的判定及性质、锐角三角函数的定义得到
得到 ，再由对顶角∠APC=∠BPF，即可得到 .
【详解】如图，连接BE与CD相交于F，∵四边形BCED是正方形，
∴ ，
根据题意得： ，
∴△ADP∽△BCP，
，即 ，即
在Rt△PBF中， ．
∵∠APC=∠BPF，
∴tan∠APC=2．
故答案为：2．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，解直角三角形．解决本题的关键
是作辅助线构造直角三角形．
9．如图，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C都在小正方形的顶点上，则∠ABC的正切值为
_____．
【答案】1
【分析】根据勾股定理求出△ABC的各个边的长度，根据勾股定理的逆定理求出∠ACB＝90°，再
解直角三角形求出即可．
【详解】如图：长方形AEFM，连接AC，∵由勾股定理得：AB2＝32+12＝10，BC2＝22+12＝5，AC2＝22+12＝5
∴AC2+BC2＝AB2，AC＝BC，
即∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝45°
∴tan∠ABC=1
【点睛】本题考查了解直角三角形和勾股定理及逆定理等知识点，能求出∠ACB＝90°是解此题的
关键.
10．如图所示，在 的网格中，每个小正方形的边长为1，线段 、 的端点均为格点．
（1） 的长度为______；
（2） 与网格线交于 ，则 ______；
（3）若 与 所夹锐角为 ，则 ______．
【答案】
【分析】(1)利用勾股定理求出CD的长度；
(2)证明△DEG∽△CEF，得到 ，由此计算出答案；
(3) 取各点M，连接CM，则CM∥AB，取格点H，连接MH，使MH交CD于N，如图，证明
△DMN∽△HMD，得到 ，代入数值 ，求得 ，
，计算得到 ， 利用公式求出，即可得到答案．
【详解】(1) ，
故答案为： ；
(2)如图，取网格线CF、DG，连接GF，
∵∠G=∠F= ，∠GED=∠FEC，
∴△DEG∽△CEF，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
(3)取各点M，连接CM，则CM∥AB，取格点H，连接MH，使MH交CD于N，如图，
∵∠MDH=∠DNM= ，∠DMN=∠HMD，
∴△DMN∽△HMD，
∴ ，
∴ ，解得 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
．
【点睛】此题考查勾股定理，相似三角形的判定及性质，旋转的性质，锐角三角函数，正确引出
辅助线解决问题是解题的关键．
11．如图所示，在边长相同的小正方形组成的网格中， 与 交于点 ，那么
__________．
【答案】
【分析】要求∠APD的正切值，要把∠APD放在直角三角形中，构造直角三角形，连结正方形的对
角线AE，EF、FB，故有AE =EF=FB=CD，直角三角形构成△AEG，下面解决AE与EG的关系，发现G
在EF上，EF=AE，只要G为EF中点，为此证△AGE≌△BGF，在Rt△AGE中tan∠AGE可求即可．
【详解】如图连结AE、EF、FB，EF与AB交于G，
由正方形知AE=EF=EB=DC，∠AEG=∠GFB=90º,∠AGE=∠BGF,
∴△AGE≌△BGF(AAS)，EG=FG= AE，
∵EF∥DC，
∴∠AGE=∠APD，
在Rt△AGE中tan∠AGE= =2,
∴tan∠APD=2．
故答案为：2．
【点睛】本题考查网格中求角的正切值问题，关键是把给的角转移到三角形中，掌握正方形性质，
全等三角形性质，三角函数．
12．如图，在8×4的矩形网格中，每个小正方形的边长都是1，若△ABC的三个顶点在图中相应的
格点上则tanA的值为______．
【答案】
【分析】连接BD，找到∠BAC所在的直角三角形，利用勾股定理求出BD及AB的长，求得
∠BAC的对比与邻边之比即可．
【详解】解：连接BD，
则△ABD是直角三角形，∠ABD=90°，
∵BD= ，AB= ，∴tan∠BAD= ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了勾股定理、锐角三角函数，解题的关键是找到直角三角形ABD．
13．如图，每一个小方格的边长都相等，点A、B、C三点都在格点上，则 的值为
________．
【答案】
【分析】根据已知图形去添加合适得辅助线，从而得出 ，再求解即可．
【详解】解：连接 ，由图可知：
， ， ，
满足 ，
∴ ，
设小方格的边长为 ，则 ， ，
故 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了解直角三角形和勾股定理，构造辅助线使得 再结合解直角三角形
相关知识是解此题的关键．14．如图，点A、B、C在正方形网格的格点上，则 的值为________．
【答案】
【分析】过点 作 ，垂足为 ．根据格点和勾股定理先求出 、 ，利用三角形的面
积求出 、 ，最后求出 的正切．
【详解】解：过点 作 ，垂足为 ．
由格点三角形可知： ，
．
，
．
，
．
．
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握勾股定理和直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．三、解答题
15．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中， ABC的三个顶点均在格点上，
请按要求完成下列各题： △
（1）用2B铅笔画AD∥BC（D为格点），连接CD；
（2）线段CD的长为 ；
（3）请你在 ACD的三个内角中任选一个锐角，若你所选的锐角是 ，则它所对应的正弦函
数值是 △；
（4）若E为BC中点，则tan∠CAE的值是 ．
【答案】(1)作图见解析；（2） ；（3）∠CAD； ；或∠ADC， .
【详解】试题分析：（1）直接利用网格结合平行线的判定方法得出D点位置；
（2）直接利用勾股定理得出DC的长；
（3）利用勾股定理的逆定理得出 ACD是直角三角形，进而得出答案；
（4）根据直角三角形斜边上的中△线等于斜边的一半得出AE＝EC，可得∠ACB＝∠CAE，然后在
Rt△ABC中求出tan∠ACB的值即为tan∠CAE的值．
试题解析：
解：（1）如图所示：
D点即为所求；（2）DC＝ ＝ ；
故答案为 ；
（3）在 ACD的三个内角中所选的锐角是：∠CAD，
△
∵CD＝ ，AD＝5，AC＝ ，
∴CD2＋AC2＝AD2，
∴△ACD是直角三角形，
∴∠CAD它所对应的正弦函数值是： ＝ ；
当所选的锐角是：∠ADC，
则∠ADC它所对应的正弦函数值是： ＝ ．
故答案为∠CAD， 或∠ADC， ；
（4）AB＝ ，AC＝ ，BC＝5，
∴AB2＋AC2＝BC2，
∴△ABC为直角三角形，
∵E为BC中点，
∴AE＝EC，
∴∠ACB＝∠CAE，
∴tan∠CAE＝tan∠ACB＝ ＝ ＝ ．
故答案为 ．
点睛：本题考查了勾股定理及其逆定理和锐角三角形函数，根据勾股定理得出线段的长，根据勾
股定理的逆定理得出直角三角形是解决此题的关键．
16．阅读下列材料：小华遇到这样一个问题：已知：如图1，在△ABC中，AB= ，AC= ，
BC=2三边的长分别为，求∠A的正切值．小华是这样解决问题的：如图2所示，先在一个正方形网格（每个小正方形的边长均为1）中画出
格点△ABC（△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），然后在这个正方形网格中再画一个和
△ABC相似的格点△DEF，从而使问题得解．
（1）图2中与 相等的角为 ， 的正切值为 ；
（2）参考小华解决问题的方法，利用图4中的正方形网格（每个小正方形的边长均为1）解决问
题：如图3，在△GHK中，HK=2，HG= ，KG= ，延长HK，求 的度数．
【答案】（1）∠D， ；（2）45°.
【详解】试题分析：（1）根据三角形相似可得∠A=∠D，然后计算∠D的正切值；（2）将三角形
放入正方形网格，构造出相似三角形，然后进行计算.
试题解析：（1）∠D， ；
根据已知，把△GHK放到正方形网格中，连结GM，∵可得KM=2，MG= ，
∴HM=4，HG= ，MG= ，
MG= ，KG= ，KM=2， ∴△MKG∽△MGH， ∴ ， ∴ .
考点：三角形相似的应用.
17．如图，在边长为1的小正方形方格纸中，有线段 、 ，点 、 、 、 均在小正方形
的顶点上．
（1）在图中画一个以线段 为斜边的等腰直角三角形 ，点 在小正方形的顶点上，并直接
写出 的长；
（2）在图中画一个钝角三角形 ，点 在小正方形的顶点上，并且三角形 的面积为 ，
．
【答案】（1）详见解析； ；（2）详见解析
【分析】（1）利用网格在图中画一个以线段AB为斜边的等腰直角三角形ABE，点E在小正方形的
顶点上，根据勾股定理即可写出BE的长；
（2）利用网格在图中画一个钝角三角形CDF，点F在小正方形的顶点上，并且三角形CDF的面积
为 ， 即可．
【详解】（1）如图所示； ；
（2）如图所示．【点睛】本题考查了作图-应用与设计作图、勾股定理、等腰直角三角形、解直角三角形等知识，
解决本题的关键是掌握三角函数的定义．
