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专题 4.2 线段、角度综合运用
【例题精讲】
【例1】线段与角的计算．
（1）如图1，已知点 为 上一点， ， ，若 、 分别为 、
的中点，求 的长．
（2）已知：如图 2， 被分成 ， 平分 ，
平分 ，且 ，求 的度数．
【解答】解：（1） ， ，
，
．
， 分别为 ， 的中点，
， ，
；
（2）设 ， ， ，则 ，
平分 ， 平分 ，
， ，
，
又 ，
，
，．
【题组训练】
1．已知 ， 平分 ， 平分 ．
（1）如图1，若 ， 重合，则 ；
（2）如图2， ，求 的度数；
（3）如图3，求 的度数．
【解答】解：（1） ， 重合，
．
平分 ， 平分 ，
， ．
．
故答案为： ．
（2） ， ，
， ．
平分 ， 平分 ，， ．
．
（3）设 ．
， ，
， ．
平分 ， 平分 ，
， ．
．
2．点 在直线 上，在直线 的同侧，作射线 ， ， 平分 ．
（1）如图 1，若 ， ，直接写出 的度数为 ，
的度数为 ；
（2）如图2，若 ，求 的度数；
（3）若 和 互为余角且 ， ， ， 平分 ，试画出
图形探究； 与 之间的数量关系，并说明理由．
【解答】解：（1） ， ，
；
，
平分 ，
，
；
故答案为： ， ；
（2） ，设 ，则 ，
，
平分 ，
，
；
（3） 或 ，
理由：如图3， 和 互为余角，
设 ，则 ，
，
平分 ，
，
，
， 平分 ，
，
，
；
如图4， 和 互为余角，
设 ，则 ，
，
平分 ，
，
，
， 平分 ，
，
，
；综 上 所 述 ， 与 之 间 的 数 量 关 系 为 或
．
3．如图，点 是线段 的中点， 是 上一点， ．
（1）若 为 的中点，且 ，求 的长；
（2）若 ，求 的长．
【解答】解：（1） 点 是线段 的中点，
，
设 ，
，
，
为 的中点，
，
；
（2） ，
设 ，则 ，
点 是线段 的中点，
，
，
，
，．
4．如图，线段 ， 是线段 上一点， ， 是 的中点， 是
的中点．
（1） 8 ， ；
（2）求线段 的长；
（3）求线段 的长．
【解答】解：（1） 线段 ， ，
，
是 的中点，
．
故答案为：8，10；
（2）由（1）得， ，
．
答： 的长度是 ；
（3） 是 的中点，
，
．
答：线段 的长度是 ．
5．如图，已知线段 和 的公共部分 ，线段 、 的中点 、
之间距离是 ，求 ， 的长．
【解答】解：设 ，则 ， ， ．
点 、点 分别为 、 的中点，
， ．．
，
，
解得： ．
， ．
6．如图，已知 、 在线段 上．
（1）图中共有 6 条线段；
（2）若 ．
①比较线段的长短： （填：“ ”、“ ”或“ ” ；
②若 ， ， 是 的中点， 是 的中点，求 的长度．
【解答】解：（1）以 为端点的线段有 、 、 共3条；以 为端点的线段有 、
共2条；以 为端点的线段为 ，有1条，故共有线段的条数为： ，
故答案为：6；
（2）① ， ，且
故答案为： ；
（2）①若 ，则 ，
即 ．
故答案为： ；
② ， ，
，
是 的中点， 是 的中点，
， ，
，
．
7．已知：如图， 是直线 上的一点， ， 平分 ．
（1）若 ，求 的度数；
（2）若 ，求 的度数（用含 的代数式表示）．【解答】解：（1） 平分 ， ，
，
．
（2） 平分 ，若 ，
，
，
，
．
8．如图所示， ， 分别平分 和 ．如果 ， ，求
的度数．
【解答】解：如图所示：
，
， ，
，又 平分 ，
，
又 ，
，
又 平分 ，
，
又 ，
．
9．如图，已知 ， 平分 ，且 ，求 的度数．
【解答】解：如图所示：
， ，
平分
，
又 ，
．
10．如图，点 是直线 上一点， ， 在直线 的异侧，且 ，
平分 ， 平分 ．（1）若 ，求 和 的度数；
（2）设 ，用含 的式子表示 ．
【解答】解：（1） 平分 ， ，
，
，
，
，
，
平分 ，
．
（2） ， 平分 ，
，
，
，
，
平分 ，
．
11．已知，如图， ， 是 的平分线， 是 的平分线，
且 ．
（1）求 的度数；
（2）求 的度数．【解答】解：（1）设 ， ．
则 ．
是 的平分线，
，
，
，
，
解得， ，
是 的平分线，
，
．
（2）
12．如图，点 、 、 在同一条直线上．
（1） 比 大 ，求 与 的度数；
（2）在（1）的条件下，若 与 互余，求 的度数；
（3）在（1）（2）的条件下，若 平分 ，求 的度数．
【解答】解：（1） 比 大 ，
，又点 、 、 在同一条直线上．
，
，
，
；
（2） 与 互余，
，
；
（3） 平分 ，
得 ，
，
．
13．如图，点 ， ， 在一条直线上， ， 平分 ．
（1）若 ，求 的余角的度数；
（2）若 ，求 的度数．
【解答】解：（1） ， ，
，
的余角 ，
的余角的度数是 ；
（2） ， ，
，
点 ， ， 在一条直线上，
，
，
平分 ，，
，
的度数为 ．
14．如图，已知线段 ，点 、 都是线段 上的点，点 是 的中点．
（1）若 ，求线段 的长；
（2）在（1）的条件下，若 ，且点 是线段 的中点，求线段 的长．
【解答】解：（1） ， ，
，
点 是 的中点，
；
（2） ，
， ，
点 是线段 的中点，
，
， ，
．
15．如图，已知点 是线段 上一点，点 是线段 的中点，若 ， ．
（1）求线段 的长；
（2）若点 是直线 上一点，且 ，求线段 的长．
【解答】解：（1） 点 是线段 的中点， ，
，
；（2）①当点 在点 的右侧时，如图：
， ，
，
；
②当点 在点 的左侧时，如图：
， ，
，
；
综上， 的长为 或 ．
16．如图，已知线段 ，在线段 上有四个点 ， ， ， ， 在 的右侧，
且 ， ， ，求线段 的长．
【解答】解： ， ，
， ， ，
，
，
，
，
，
．
17．如图，已知线段 长 ，点 、 、 、 顺次在 上，且 ，
是 的中点， ，求 的长．【解答】解：设 ，则 ，
，
是 的中点，
，
，
，
，
，
．
18．如图，线段 ，点 是线段 的中点，点 是线段 的中点．
（1）求线段 的长；
（2）若在线段 上有一点 ， ，求 的长．
【解答】解：（1） ， 是 的中点，
，
是 的中点，
，
；
（2） ， ，
，
当 在 的左边时， ；
当 在 的右边时， ．
的长为4或8．
19．如图，已知在线段 上两点 、 ，点 是 的中点， ， ．
求线段 的长．【解答】解： ，
设 ， ，
，
为线段 的中点，
，
，
，
，
．
20．如图，点 是线段 的中点，点 、点 分别是线段 、 上的点，且
， ，若 ，求线段 的长．
【解答】解： ，
，
而 是线段 的中点，
，
，
又 ，
，
故线段 的长为 ．
21．如图，已知 ， ，点 是 的中点，点 是 的中点，求线段
的长．
【解答】解： ， ，，
为 中点，
，
为 中点，
，
．
22．如图所示， ， ， 是 的中点，求 的长．
【解答】解： ， ，
，
点 是 的中点，
，
．
即 的长是 ．
23．如图，已知线段 ， ，点 是 的中点．
（1）求线段 的长；
（2）在 上取一点 ，使得 ，求线段 的长．
【解答】解：（1）线段 ， ，
．
又 点 是 的中点．
，即线段 的长度是4．
（2） ， ，
．
又 点 是 的中点， ，，
，
即 的长度是9．
24．（1）如图①，线段 ，点 为线段 的中点，求线段 的长；
（2）如图②，在（1）的条件下，点 、 分别是 、 的中点，求线段 的长．
【解答】解：（1） 线段 ，点 为线段 的中点，
．
（2） 、 分别是线段 、 的中点，
， ，
线段 ，
．
25．如图，已知 ， 是 内的一条射线，且 ．
（1）求 的度数；
（2）过点 作射线 ，若 ，求 的度数．
【解答】解：（1） ， ，
；
（2） ，
，
当 在 内时，
，当 在 外时，
．
故 的度数为 或 ．
26．如图所示， 是 的平分线， 是 的平分线， ，
，求 的度数．
【解答】解：如图所示：
，
， ，
，
是 的平分线，
，
同理可得：
又
．
27．如图， 为直线 上一点， ， 平分 ．
（1）若 ，则 ；
（2）若 是 的5倍，求 度数．【解答】解：（1） ， ，
．
．
平分 ．
．
故答案为： ．
（2）设 ，
则 ．
．
．
平分 ，
．
，
即
，
．
28．如图，将 绕点 逆时针旋转 角，得到 ．
（1）若 ，且 ，求 的度数．
（2）若 ，且 ，求 角的度数．
【解答】解：（1） 将 绕点 逆时针旋转 角，得到 ，
．
．
即 ．， ，
．
．
．
（2）由（1）知： ．
，
设 ，则 ．
，
．
．
．
将 绕点 逆时针旋转 角，得到 ，
．
29．如图，已知 ， 为 内部的一条射线， ．若 平分
， 为 内部的一条射线， ，求 的度数．
【解答】解： ， 平分 ，
，
， ，
， ，
．
30．如图，已知直线 ， 是直线 上一点． 是 的平分线， 是 的
平分线． ．
（1）求 的度数；
（2）求 的度数．【解答】解：（1） 是 的平分线，
，
又 ，
，
，
；
（2） 是 的平分线． ，
，
，
．
