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专题4.31 《几何图形初步》全章复习与巩固
（培优篇）（专项练习）
一、单选题
1．点C、D在线段AB上，若点C是线段AD的中点，2BD>AD，则下列结论正确的
是( ).
A．CD2BD C．BD>AD D．BC>AD
2．如图，点C, D在线段AB上，若AC=DB, 则（ ）
A．AC=CD B．CD=DB
C．AD=2DB D．AD=CB
3．下列四张纸片中，可以沿虚线折叠成如图所示的正方体纸盒的是（ ）
A． B． C． D．
4．平面内两两相交的6条直线，其交点个数最少为m个，最多为n个，则m＋n等于(
)
A．12 B．16 C．20 D．以上都不对
5．一个正方体的展开图如图所示，每一个面上都写有一个自然数并且相对两个面所写
的两个数之和相等，那么a+b﹣2c＝（ ）
A．40 B．38 C．36 D．34
6．如图，一个含有30°角的直角三角形的30°角的顶点和直角顶点放在一个矩形的对边上，若∠1＝117°，则∠2的度数为（ ）
A．27° B．37° C．53° D．63°
7．如图，点M在线段AN的延长线上，且线段MN=20，第一次操作：分别取线段
AM和AN的中点 ；第二次操作：分别取线段 和 的中点 ；第三次操
作：分别取线段 和 的中点 ；……连续这样操作10次，则每次的两个中点
所形成的所有线段之和 ( )
A． B． C． D．
8．将矩形 ABCD 沿 AE 折叠，得到如图所示的图形，已知∠CED′=50°，则∠AED
的大小是（ ）
A．65° B．50° C．75° D．55°
9．如图， 为直线 上一点， ， 平分 ， 平分 ，
平分 ，下列结论：
① ； ② ；
③ ； ④
其中正确的个数有（ ）A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
10．小明从A地向南偏东m°（0＜m＜90）的方向行走到B地，然后向左转30°行走到
C地，则下面表述中，正确的个数是（ ）
①B可能在C的北偏西m°方向；
②当m＜60时，B在C的北偏西(m＋30)°方向；
③B不可能在C的南偏西m°方向；
④当m＞60时，B在C的南偏西(150－m)°方向
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
11．如图，线段 表示一条已对折的绳子，现从 点处将绳子剪断，剪断后的各段绳
子中最长的一段为 ，若 ，则原来绳长__________ ．
12．将两个棱长相等的正方体如图摆放，每个正方体的6个面均标上数字，且所有对
面数字之和均为10，则图中看不见的面的数字之和为___．
13．在2点到4点之间，时针和分针的夹角会有成 的情形，请问这个时间点分别是
________．
14．如果两个角的两条边分别垂直，而其中一个角比另一个角的4倍少60°，则这两个
角的度数分别为________．
15．已知∠AOB＝80°，射线OC在∠AOB内部，且∠AOC＝20°，∠COD＝50°，射线
OE、OF分别平分∠BOC、∠COD，则∠EOF的度数是______．
16．如图，已知 为直线 上一点， 平分 ，则 的度数为 ______． (用含 的式子表示)
17．如图，在三角形 中， ，点 为 边上一个动点，连接 ，把
三角形 沿着 折叠，当 时，则 ______．
18．如图，在平面内，点 是直线 上一点， ，射线 不动，射线 ，
同时开始绕点 顺时针转动，射线 首次回到起始位置时两线同时停止转动，射线
， 的转动速度分别为每秒 和每秒 ．若转动 秒时，射线 ， ， 中的
一条是另外两条组成角的角平分线，则 ______秒．
三、解答题
19．已知：点O是直线AB上一点，过点O分别画射线OC，OE，使得 ．
（1）如图，OD平分 ．若 ，求 的度数．请补全下面的解题
过程（括号中填写推理的依据）．
解：∵点O是直线AB上一点，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵OD平分 ．∴ （ ）．
∴ °．
∵ ，
∴ （ ）．
∵ ，
∴ °．
（2）在平面内有一点D，满足 ．探究：当
时，是否存在 的值，使得 ．若存在，请直接写出 的值；若不存在，请
说明理由．
20．如图，点M在线段AB上，线段BM与AM的长度之比为5∶4，点N为线段AM的
中点．
(1) 若AB＝27cm，求BN的长．
(2) 在线段AB上作出一点E，满足MB＝3EB，若ME＝t，求AB的长（用含t的代数
式表示）．21．线段AB和CD在同一直线上，M，N分别是线段AB，CD的中点，已知
AB=6cm，CD=8cm．
(1) 当A，C两点重合时，如图1，求MN的长；
(2) 当C点在线段AB上时，如图2，如果线段AB，CD的公共部分BC=2cm，求MN
的长；
(3) 在(2)的情况下，MN与AB，CD，BC有怎样的数量关系？(直接写出结果)
22．十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数
（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．
请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题：
（1）根据上面多面体模型，完成表格中的空格：
多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E）
四面体 4 4
长方体 8 6 12正八面体 8 12
正十二面体 20 12 30
你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是 ．
（2）一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这个多面体的面数是 ．
（3）某个玻璃鉓品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形
拼接而成，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，设该多面体外表三角形的个数为x个，
八边形的个数为y个，求x+y的值．
23．图（1）所示，点O是直线AB上一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．
(1) 若∠AOC＝30°，求∠DOE的度数；
(2) 将图（1）中的∠COD绕点O顺时针旋转至图（2）所示的位置，以（1）题思路
探究∠AOC与∠DOE的度数之间的关系，并说明理由；
(3) 将图（1）中的∠COD绕点O顺时针旋转至图（3）所示的位置，直接写出∠AOC
与∠DOE的度数之间的关系．24．数轴上有A，B，C三点，A，B表示的数分别为m，n ，点C在B的右侧，
．
(1) 如图1，若多项式 是关于x的二次三项式，请直接写出m，
n的值：
(2) 如图2，在（1）的条件下，长度为1的线段 （E在F的左侧）在A，B之间沿
数轴水平滑动（不与A，B重合），点M是 的中点，N是 的中点，在 滑动过程中，
线段 的长度是否发生变化，请判断并说明理由；
(3) 若点D是 的中点．
①直接写出点D表示的数____________（用含m，n的式子表示）；
②若 ，试求线段 的长．参考答案
1．D
【分析】根据点C是线段AD的中点，可得AD=2AC=2CD，再根据2BD>AD，可得
BD> AC= CD，
再根据线段的和差，逐一进行判即可．
解：∵点C是线段AD的中点，
∴AD=2AC=2CD，
∵2BD>AD，
∴BD> AC= CD，
A. CD=AD-AC> AD－ BD，该选项错误；
B. 由A得AD－ BD CD，则AD BD+CD=BC,则AB=AD+BD BC+ BD 2BD，
该选项错误；
C.由B得 AB 2BD ，则BD+AD 2BD,则AD BD,该选项错误；
D. 由A得AD－ BD CD，则AD BD+CD=BC, 该选项正确
故选D．
【点拨】本题考查的是两点间的距离，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答此
题的关键．
2．D
解：根据题意，由AC=DB，可知AC+CD=DB+CD，即AD=BC，而其余选项均无法判
断.
故选D.
3．C
【分析】运用正方体展开图的知识进行作答即可
解：由展开图可知：可以沿虚线折叠成如图所示的正方体纸盒的是C；
故答案为C.
【点拨】本题考查了展开图折叠成几何体，灵活运用正方体各面与展开图的关系是解
答本题的关键.
4．B
解：根据题意可得：6条直线相交于一点时交点最少，此时交点为1个，即m=1；
任意两直线相交都产生一个交点时交点最多，
∵任意三条直线不过同一点，∴此时交点为：6×（6-1）÷2=15，即n=15；
则m+n=16．
故选B．
5．B
【分析】由已知条件相对两个面上所写的两个数之和相等得到：8+a=b+4=c+25，进一
步得到a-c，b-c的值，整体代入a+b-2c=（a-c）+（b-c）求值即可．
解：由题意8+a=b+4=c+25
∴b-c=21，a-c=17，
∴a+b-2c=（a-c）+（b-c）=17+21=38．
故选B．
【点拨】本题考查灵活运用正方体的相对面解答问题，立意新颖，是一道不错的题．
解答本题的关键是得到a-c，b-c的值后用这些式子表示出要求的原式．
6．A
【分析】利用矩形的性质，直角三角形的性质即可解决问题．
解：
解：如图，∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠1＝∠BEF＝117°，
∵∠FEG＝90°，
∴∠2＝117°﹣90°＝27°，
故选A．
【点拨】本题考查矩形的性质，平行线的性质，直角三角形的性质等知识，解题的关
键是熟练掌握基本知识．
7．A
【分析】根据 ， 分别为 的中点，求出 的长度，再由
的长度求出 的长度，找到 的规律即可求出 的值.解：∵ ， 分别为 的中点，
∴ ，
∵ 分别为 的中点，
∴ ，
根据规律得到 ，
∴ ，故选
A.
【点拨】本题是对线段规律性问题的考查，准确根据题意找出规律是解决本题的关键，
相对较难.
8．A
解：试题分析：根据折叠的性质得到∠AED=∠AED′，由平角的定义得到
∠AED+∠AED′+∠CED′=180°，而∠CED′=50°，则2∠DEA=180°-50°=130°，即可得到
∠AED=65°．
点睛：本题考查了角的计算和翻折变换，注意翻折过程中不变的角和边，是解决问题
的关键．
9．C
【分析】根据余角和补角的定义以及角平分线的定义，计算出各选项的结果判断即可．
解：∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，故①正确；
∵ ，
∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ,
∴ ，故②正确；
∵ ，
∴ ，
∴ ，故③正确；
∵不能证明 ，故④错误；
∴正确的选项有3个；
故选：C.
【点拨】本题考查了同角的补角相等，同角的余角相等，角的平分线，以及角的运算，
解题的关键是熟练掌握角的平分线性质，余角和补角的定义，从而进行计算.
10．B
【分析】分三种情况讨论：①当0°＜m＜60°时；②当m=60°时；③当60°＜m＜90°时；
分别画出图形，根据方位角的知识即可解决问题．
解：分三种情况讨论：①当0°＜m＜60°时，如图1．
∵0°＜m＜60°，∴30°＜m+30°＜90°，∴∠MCB= （m＋30）°，∴B在C的北偏西（m
＋30）°方向，故②正确；
∵m＋30＞m，∴B不可能在C的北偏西m°方向；∴①错误；
②当m=60°时，如图2，m+30°=90°，∴∠MCB= 90°，∴B在C的正西方向；
③当60°＜m＜90°时，如图3．
∵60°＜m＜90°，∴90°＜m+30°＜120°，∴∠BCN= 180°－（m+30°）=（150－m）°，
∴B在C的南偏西（150－m）°方向，故④正确．
当150－m= m时，解得：m=75°，∴当m=75°时，B在C的南偏西m°方向，故③错误．
故选B．【点拨】本题考查了有关方向角的问题：在每点处画上东南西北，然后利用平行线的
性质求角，解答本题的关键是分类讨论．
11． 或
解：∵ ，∴ ， ．
∵ 是已对折的一条绳子，对折点不确定，
∴分两种情况：
①当折点为 时，最长的一段长为 ，∴BP=15，
∴ ，∴绳长为 ．
②当折点为 时，最长的一段长为 ，
∴ ，∴ ，
∴绳长为 ．
故答案为50或75.
12．50
【分析】根据题意可分别得出正方体每个面上的数字，再相加即可，注意不要忘记两
个正方体中间两面上的数字．
解：根据题意可得出2对面是8，4对面是6，6对面是4，3对面是7，-5对面是15，
两个正方体中间两面上的数字和为10，
∴图中看不见的面的数字和为： ．
故答案为：50．
【点拨】本题考查的知识点是有理数的加法运算，结合图形找出正方体每个面上的数
字是解此题的关键．
13．2时 分或3时整或3时 分
【分析】先求出时针、分针每分钟转动的度数，分2点和3点之间，3点和4点之间两种情况，根据角的和差关系列一元一次方程求解．
解：∵ 时针每60分钟走一大格，即转动 ，分针每60分钟走一圈，即转动 ，
∴时针每分钟转动 ，分针每分钟转动 ．
2时，时针与分针的夹角为 ，
2时和3时之间时，设2时x分，时针和分针的夹角会成 ，
则 或 ，
解得 或 （舍），
即2时 分时，时针和分针的夹角会成 ；
3点时，时针与分针的夹角为 ，
3时和4时之间时，设3时x分，时针和分针的夹角会成 ，
则 ，
解得 或 （舍），
即3时整或3时 分时，时针和分针的夹角会成 ，
综上，2时 分或3时整或3时 分时，时针和分针的夹角会成 ．
故答案为：2时 分或3时整或3时 分．
【点拨】本题考查钟表的认识，角的和差关系，一元一次方程的实际应用等，解题的
关键是求出时针、分针每分钟转动的度数，注意分情况讨论，避免漏解．
14．48°、132°或20°、20°
【分析】根据题意画出符合题意的图形，分两种情况得到两个角的数量关系求出角度.
解：如图，α+β=180°，β=4α-60°，解得α=48°，β=132°；
如图，α=β，β=4α-60°，
解得α=β=20°；
综上所述，这两个角的度数分别为48°、132°或20°、20°．
故答案为：48°、132°或20°、20°．
【点拨】此题考查角度的计算，正确理解两条边分别垂直的两个角的数量关系是解题
的关键.
15． 或
【分析】先根据题意画出图形，再分OD在 内和OD在 外，根据角的和
差关系、角平分线的定义可求 的度数．
解：（1）如图1，OD在 内，
， ,
，
射线OE平分 ，
，
射线OF平分 ， ，
，
；
（2）如图2，OD在 外，， ,
，
射线OE平分 ，
，
射线OF平分 ， ，
，
.
则 的度数是 或 .
故答案为： 或 .
【点拨】本题考查了角的和差关系、角平分线的定义， OD在 外的情形易被忽
略，从而出现漏解是本题的难点．
16．
【分析】先求出 ，利用角平分线的性质求出∠COD=
，由 得到 ，再根据 推
出 的度数.
解：∵ ， ，
∴ ，
∵OC平分∠AOD，
∴∠COD= ，
∵∠COE=∠COD+∠DOE，且 ，
∴ ,∴ ,
∴ ,
∵ ,∠BOD=∠BOE+∠DOE，
∴∠BOE=3∠DOE=
故答案为： .
【点拨】此题考查平角的定义，角平分线的性质，几何图形中角度的和差计算.
17．33°或53°
【分析】分CA´在∠ACB外部和内部两种情况求解即可.
解：当CA´在∠ACB外部，如图：
∵ ， ，
∴ ，
∵三角形 沿着 折叠，
∴ ，
∴ ；
当CA´在∠ACB内部，如图：
∵ ， ，
∴ ，
∵三角形 沿着 折叠，∴ ，
∴ ；
故答案为：33°或53°
【点拨】此题考查折叠的性质及角之间的和差，分情况讨论是解答此题的关键.
18．4或5
【分析】根据已知条件可知，在第t秒时，射线OA转过的角度为40°t，射线OB转过
的角度为20°t,然后按照OA、OB、OC三条射线构成相等的角分三种情况讨论：①当OA
平分∠BOC；②当OC平分∠AOB；③当OB平分∠AOC，分别列方程即可求出t的值．
解：根据题意，在第t秒时，射线OA转过的角度为40°t，射线OB转过的角度为20°t,
①当OA，OB转到OA′，OB′的位置时，如图①所示，∠A′OC=∠A′OB′，
∵∠A′OC=180°-40°t，∠A′OB′=∠AOA′-∠AOB-∠BOB′=40°t-60°-20°t=20°t-60°，
∴180°-40°t =20°t-60°，
即t=4；
②当OA，OB转到OA′，OB′的位置时，如图②所示，∠A′OC=∠B′OC，
∵∠A′OC=40°t-180°，∠B′OC=180°-∠AOB-∠BOB′=180°-60°-20°t=120°-20°t，
∴40°t-180°=120°-20°t，
即t=5；
③当OA，OB转到OA′，OB′的位置时，如图③，∠B′OC=∠A′OB′，∵∠B′OC=20°t-120°，∠A′OB′= ∠A′OC= (180°-∠AOA′)= [180°-（360°-
40°t）]=20°t-90°，
∴20°t-120°=20°t-90°，此时方程不成立．
综上所述：t的值为4或5．
故答案：4或5．
【点拨】题主要考查角的和、差关系，难点是找出变化过程中的不变量，需要结合图
形来计算，在计算分析的过程中注意动手操作，在旋转的过程中得到不变的量．
19．（1）角平分线的定义；70；垂直的定义；DOC；EOC；160；（2）存在， 的
值为120°或144°或
【分析】（1）根据角平分线的定义和垂直定义，结合所给解题过程进行补充即可；
（2）分三种情况讨论：①点D，C，E在AB上方时，②当点D在AB的下方，C，E
在AB上方时，③如图，当D在AB上方，E，C在AB下方时，用含有α的式子表示出
和∠BOE，由 列式求解即可．
解：（1）∵点O是直线AB上一点，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵OD平分 ．
∴ （ 角平分线的定义 ）．
∴ 70 °．
∵ ，
∴ （ 垂直的定义 ）．
∵ DOC EOC ，∴ 160 °．
故答案为：角平分线定义；70；垂直的定义；DOC；EOC；160；
（2）存在， 或144°或
①点D，C，E在AB上方时，如图，
∵ ，
∴
∵
∴
∵
∴
∴
②当点D在AB的下方，C，E在AB上方时，如图，
∵
∴
∵∴
∴
∵
∴
∴
③如图，当D在AB上方，E，C在AB下方时，
同理可得：
，
解得：
综上， 的值为120°或144°或
【点拨】本题主要考查角平分线和补角，熟练掌握角平分线的定义和补角的定义是解
题的关键．
20．(1)21cm
(2) t
【分析】(1)根据BM：AM=5：4，设BM=5xcm，AM=4xcm，根据线段和的关系列方程
求出x，再根据线段中点定义求出MN，进而得到BN的长；
(2)根据BM：AM=5：4，推得AM= BM，再根据已知条件，等量代换后得出，进而得出用含t的代数式表示AB的长．
（1）
解：由题知BM∶AM=5∶4，不妨设BM =5x， AM=4 x，
∴ BM+AM=9x，
∵ AB=27cm，且AB= BM+AM，
∴ BM+AM=9x=27，
∴x =3，
∴AM=12cm，BM=15cm．
∵点N是线段AM的中点，
∴MN= AM=6cm，
∴BN = BM+MN=15+6=21cm．
（2）
如图所示：
∵BM∶AM=5∶4，
∴AM= BM，
∵MB= 3 EB，
∴ME= MB = t，
∴MB = t，
∵AB= AM+ BM = BM + BM= BM，
AB= × t= t．
【点拨】本题主要考查了两点间的距离、列代数式，熟练掌握线段中点的应用，线段
之间的数量转化是解题关键．
21．(1)1cm
(2)5cm(3)
【分析】（1）先根据中点的定义求出AN、AM，再根据线段和差关系求解即可；
（2）先根据中点定义求出AM、DN，再根据线段和差关系求出AD，最后再根据线段
和差关系求解即可；
（3）由（2）的解题方法求解即可．
（1）
解：∵M，N分别是线段AB，CD的中点，AB=6cm，CD=8cm，A，C两点重合
∴AM=3cm，AN=4cm，
∴MN=AN-AM=1cm；
（2）
∵M，N分别是线段AB，CD的中点，AB=6cm，CD=8cm，
∴AM=3cm，DN=4cm，
∵线段AB，CD的公共部分BC=2cm，
∴AD=AB+CD-BC=6+8-2=12cm，
∴MN=AD-AM-DN=12-3-4=5cm；
（3）
∵M，N分别是线段AB，CD的中点，
，
，
，
即： ．
【点拨】本题考查了两点间的距离，线段中点，线段和差关系，利用中点和线段和差
关系是解题的关键．
22．（1）填表见分析，V+F-E=2；（2）20；（3）14
【分析】（1）观察可得顶点数+面数-棱数=2；
（2）代入（1）中的式子即可得到面数；
（3）得到多面体的棱数，求得面数即为x+y的值．
解：（1）四面体的棱数为6；正八面体的顶点数为6；关系式为：V+F-E=2；多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E）
四面体 4 4 6
长方体 8 6 12
正八面体 6 8 12
正十二面体 20 12 30
（2）由题意得：F-8+F-30=2，解得F=20；
（3）∵有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，两点确定一条直线；
∴共有24×3÷2=36条棱，
那么24+F-36=2，解得F=14，
∴x+y=14．
【点拨】本题考查多面体的顶点数，面数，棱数之间的关系及灵活运用．
23．(1)15°
(2)
(3)
【分析】（1）由已知可求出 ，再由 是直角， 平
分 求出 的度数；
（2）由 是直角， 平分 可得出 ，则得
，从而得出 和 的度数
之间的关系；
（3）根据（2）的解题思路，即可解答．
(1)
解：由已知得∠AOC＝30°，则 ，
又 是直角， 平分 ，
，
故答案为：15°；
(2)
解： ；
理由： 是直角， 平分 ，
，
则得 ，所以得： ；
(3)
解： ；
理由： 平分 ，
，
则得 = ，
所以得： ．
【点拨】本题考查的知识点是角平分线的性质、几何图形中角的计算，解题的关键是
正确运用有关性质准确计算角的和差倍分．
24．(1) ，
(2)不变化，理由见分析
(3)① ；②
【分析】（1）由题可知，n-1=0，7+m=2，求出m，n；
（2）设点E表示的数为x，则 ， ， ， ，再
由中点的定义，得 ， ，由 ，得出MN的定值；
（3）①根据两点间距离公式以及中点公式进行推导即可；
②由题意， ，依次表示出AD，BD的长，代入求解即可.
解：（1）解：由题可知，n-1=0，7+m=2，
∴ ，
故答案为： ，
（2）解：MN的长不发生变化，理由如下：
由题意，得点C表示的数为3，
设点E表示的数为x，则点F表示的数为
∴ ， ， ， ， ， ，
∵点M是 的中点，N是 的中点
∴ ，
即（3）解：①∵A，B表示的数分别为m，n
又点C在B的右侧
∴AB=n-m
∵
∴AC= n-m+2
∵点D是 的中点
∴AD= AC= （n-m+2）
∴D表示的数为：m+ （n-m+2）=
②依题意，点C表示的数分别为
∴ ，
∴ ，
∵
即
当 时．
∵
∴ 不符合题意，舍去
当 时．
综上所述，线段 的长为 .
【点拨】本题主要考查了数轴上的动点问题，以及两点间距离公式和中点公式的考查，
利用数形结合思想表示出线段长是解决问题的关键.
