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第 08 章 二元一次方程组 章节复习卷（12 个知识点
+50 题练习）
知识点
知识点1．二元一次方程的定义
（1）二元一次方程的定义
含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程．
（2）二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．
③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程．
知识点2．二元一次方程的解
（1）定义：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程
的解．
（2）在二元一次方程中，任意给出一个未知数的值，总能求出另一个未知数的一个唯一确
定的值，所以二元一次方程有无数解．
（3）在求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出
其中一个未知数（一般是系数绝对值较大的）的值，再依次求出另一个的对应值．
知识点3．解二元一次方程
二元一次方程有无数解．求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”
的方法，即先给出其中一个未知数（一般是系数绝对值较大的）的值，再依次求出另一个
的对应值．
知识点4．由实际问题抽象出二元一次方程
（1）由实际问题列方程是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和
未知量联系起来，找出题目中的相等关系．
（2）一般来说，有2个未知量就必须列出2个方程，所列方程必须满足：①方程两边表
示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符．
（3）找等量关系是列方程的关键和难点．常见的一些公式要牢记，如利润问题，路程问题，
比例问题等中的有关公式．
知识点5．二元一次方程的应用
二元一次方程的应用
（1）找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．（2）找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
（3）挖掘题目中的关系，找出等量关系，列出二元一次方程．
（4）根据未知数的实际意义求其整数解．
知识点6．二元一次方程组的定义
（1）二元一次方程组的定义：
由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组．
（2）二元一次方程组也满足三个条件：
①方程组中的两个方程都是整式方程．
②方程组中共含有两个未知数．
③每个方程都是一次方程．
知识点7．二元一次方程组的解
（1）定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．
（2）一般情况下二元一次方程组的解是唯一的．数学概念是数学的基础与出发点，当遇到
有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方
程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数．
知识点8．解二元一次方程组
（1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，
将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来．②将变形后的关系式
代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求
出x（或y）的值．④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的
值．⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解．
（2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知
数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系
数相等或互为相反数．②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个
一元一次方程．③解这个一元一次方程，求得未知数的值．④将求出的未知数的值代入
原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值．⑤把所求得的两个未知数的值写在
一起，就得到原方程组的解，用 的形式表示．
知识点9．由实际问题抽象出二元一次方程组
（1）由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量
和未知量联系起来，找出题目中的相等关系．（2）一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表
示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符．
（3）找等量关系是列方程组的关键和难点，有如下规律和方法：
①确定应用题的类型，按其一般规律方法找等量关系．②将问题中给出的条件按意思分
割成两个方面，有“；”时一般“；”前后各一层，分别找出两个等量关系．③借助表格
提供信息的，按横向或纵向去分别找等量关系．④图形问题，分析图形的长、宽，从中找
等量关系．
知识点10．二元一次方程组的应用
（一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：
（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．
（4）求解．
（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．
（二）设元的方法：直接设元与间接设元．
当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论
怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程．
知识点11．解三元一次方程组
（1）三元一次方程组的定义：方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都
是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组．
（2）解三元一次方程组的一般步骤：
①首先利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组
中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组．②然后解这个二元一次
方程组，求出这两个未知数的值．③再把求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系
数比较简单的方程，得到一个关于第三个未知数的一元一次方程．④解这个一元一次方程，
求出第三个未知数的值．⑤最后将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起即可．
知识点12．三元一次方程组的应用
在解决实际问题时，若未知量较多，要考虑设三个未知数，但同时应注意，设几个未知数
就要找到几个等量关系列几个方程．
（1）把求等式中常数的问题可转化为解三元一次方程组，为以后待定系数法求二次函数解
析式奠定基础．（2）通过设二元与三元的对比，体验三元一次方程组在解决多个未知数问题中的优越性．
练习卷
一．二元一次方程的定义（共4小题）
1．（2023春•正定县期末）下列是二元一次方程的是
A． B． C． D．
2．（2023春•邻水县期末）已知关于 ， 的方程 是二元一次方程，
则 ．
3．（2023春•阆中市校级期末）若 是二元一次方程，则 ，
．
4．（2023春•宁津县期中）如果 是关于 ， 的二元一次方程，试
求 的值．
二．二元一次方程的解（共4小题）
5．（2023春•南通期末）若 ，是关于 和 的二元一次方程 的解，则
的值等于
A．3 B．6 C． D．
6．（2023春•义乌市校级期中）若 是某个二元一次方程的解，则这个方程可以是
．（只要求写出一个）
7．（2023 春•镇平县期中）若 和 都是关于 ， 的二元一次方程
的解，试求 与 的值，并通过计算验证 不是这个方程的解．8．（2024春•淮安期中）已知关于 、 的二元一次方程 ， 均为常数，
且 ．
（1）当 ， 时，用 的代数式表示 为： ；
（2）若 是该二元一次方程的一个解；
①探索 与 的关系，并说明理由；
②无论 ， 取何值，这些方程都有一个公共的解，请求出这个解．
三．解二元一次方程（共4小题）
9．（2023春•新泰市期中）已知 ，用含 的代数式表示
A． B． C． D．
10．（2023春•岱岳区期中）二元一次方程 的非负整数解的个数是
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．（2024春•东坡区期中）如果 ，那么用含有 的代数式表示 得 ．
12．（2023春•芜湖期末）已知 ．
（1）用含 的代数式表示 的形式为 ；
（2）若 ，求 的取值范围．
四．由实际问题抽象出二元一次方程（共4小题）
13．（2023春•曲阳县期中）若甲数为 ，乙数为 ，则“甲数的3倍比乙数的一半少2”
列成方程是
A． B． C． D．
14．（2023春•兴文县期中）《九章算术》中记载了一个问题，大意是：甲、乙两人各带
了若干钱，如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50；如果乙得到甲所有钱的 ，那么乙也共有钱50．问：甲、乙两人各带了多少钱？小明用二元一次方程组解决此问题，若
他已经列出一个方程 ，则符合题意的另一个方程是
A． B． C． D．
15．（2023春•厦门期末）六一儿童节，某班级家委用650元购买了一些水笔和笔记本作
为儿童节的礼物，这两种文具的单价分别为7元 支、5元 本．设购买了 支水笔和 本
笔记本，根据以上信息，可列出方程： ．
16．根据题意列出方程：
（1）买5千克苹果和3千克梨共需23.6元，分别求苹果和梨的单价，设苹果的单价为 元
千克，梨的单价为 元 千克；
（2）七年级一班男生人数的2倍比女生人数的 多7人，求男生、女生的人数，设男生人
数为 ，女生人数为 ．
五．二元一次方程的应用（共4小题）
17．（2022•黄岛区校级期末）将一根长 的铁丝截成 和 两种长度的铁丝（两种都
有）如果没有剩余，那么截法有 种．
18．（2023春•海口期中）暑假到了，19名男同学去外地参加研学，住宿时有2人间和3
人间可供住宿，每个房间都要住满，共有几种住宿方案
A．5种 B．4种 C．3种 D．2种
19．（2024•肇东市模拟）学校计划用200元钱购买 ， 两种奖品， 奖品每个15元，
奖品每个25元，两种都要买且钱全部用完，则购买方案有 种．
20．（2024•宁波模拟）根据以下素材，探索完成任务．
如何设计采购方案？
素材1 为了迎接今年9月末至10月初在杭州举行的第19届亚运会，某
旅游商店购进若干明信片和吉祥物钥匙扣．已知一个吉祥物钥匙
扣的售价比一套明信片的售价高20元．
素材2 小明在本店购买了1套明信片与4个吉祥物钥匙扣与共花费130
元．
素材3 已知明信片的进价为5元 套，吉祥物钥匙扣的进价为18元
个．为了促销，商店对吉祥物钥匙扣进行8折销售．临近期中考
试，某老师打算提前给学生准备奖品，在本店同时购买吉祥物钥
匙扣和明信片两种商品若干件，本次交易商家一共获得600元的销售额．
问题解决
任务1 假设明信片的售价为 元 问： （用含 的代数式表
套，钥匙扣的售价为 元 示）
个，请协助解决右边问题．
任务2 基于任务1的假设和素材2的
条件，请尝试求出吉祥物钥
匙扣和明信片的售价．
任务3 【拟定设计方案】
请结合素材3中的信息，帮助
该老师完成此次促销活动中
可行的购买方案．在这些购
买方案中，哪种方案商家获
利最高．
六．二元一次方程组的定义（共4小题）
21．（2022春•新化县校级期中）请任写一个方程与方程 组成一个二元一次方程
组 ．
22．（2021春•河北区期末）若方程组 是关于 ， 的二元一次方程组，
则代数式 的值是 ．
23．（2023春•仁寿县校级期中）下列方程组中是二元一次方程组的是
A． B．
C． D．
24．如果两个二元一次方程只有一个未知数的系数不同，那么由这两个方程构成的二元一
次方程组叫做和谐方程组．如： ，就是和谐方程组．
（1）下列方程组是和谐方程组的是． ； ． ； ． ．
（2）请你补全和谐方程组 ，并求解．
七．二元一次方程组的解（共5小题）
25．（2023春•江岸区期末）关于 、 的方程组 的解为 ，则 的
平方根是
A．9 B． C． D．
26．（2023春•安庆期末）若关于 ， 的方程组 的一个解为 ，求
的值．
27．（2024春•武昌区校级期中）关于 ， 的二元一次方程组 的解是 ，
则 的值为
A．1 B． C．2 D．
28．（2024•郾城区一模）若关于 ， 的二元一次方程组 的解为 ，则
的值为 ．
29．（2023春•偃师市校级期中）二元一次方程组 的解也是方程 的
解，求 的值．
八．解二元一次方程组（共5小题）
30．（2024春•杨浦区期中）二元二次方程组 可化为四个二元一次方程组，这四个二元一次方程组分别是 ．
31．（2023春•鲤城区校级期中）对于有理数 ， 定义新运算： ，其中
， 为常数已知 ， ，则 ．
32．（2024春•海口期中）用加减法解方程组 ，下列解法正确的是
A．① ② ，消去 B．① ② ，消去
C．① ② ，消去 D．① ② ，消去
33．（2023春•温州月考）解下列方程组：
（1） ；
（2） ．
34．（2023春•恩施市期末）（1）计算： ；
（2）解方程组： ．
九．由实际问题抽象出二元一次方程组（共4小题）
35．（2023•晋中模拟）《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度
之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长
木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺．设木长为
尺，绳子长为 尺，则符合题意的方程组是 ．
36．（2023春•珠晖区校级期中）若 的2倍与 的3倍的和等于6，列为方程是 ．
37．（2023春•武汉期末）《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，
余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用绳子去量一根长木，绳子
还剩余4.5尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问长木长多少尺？设绳子长 尺，
长木长 尺，则所列方程组正确的是A． B．
C． D．
38．（2023春•杜尔伯特县期末）某中学七年级（1）班去体育用品商店买一些篮球和排球，
供班上同学进行体育锻炼时使用，共买了 2个篮球和6个排球，花570元，并且每个排球
比篮球便宜25元．
（1）求篮球和排球的单价各是多少；
（2）商店里搞活动，有两种套餐，①套餐打折：五个篮球和五个排球为一套餐，套餐打八
折；②满减活动：满999减100，满1999减200；两种活动不重复参与，学校打算购买14
个篮球，12个排球，请问如何安排更划算？
一十．二元一次方程组的应用（共4小题）
39．（2023春•冷水滩区校级期中）市三中七年级学生开展义务植树活动，参加者是未参
加者人数的3倍，若该年级人数减少6人，未参加人数增加6人，则参加者是未参加者
人数的2倍，则该校七年级学生共有 人．
40．（2023春•溧阳市期末）在长为 ，宽为 的长方形空地上，沿平行于长方形各
边的方向分别割出三个大小完全一样的小长方形花圃，其示意图如图所示，则其中一个小
长方形花圃的面积为
A． B． C． D．
41．（2023春•霞山区校级期中）某商场用2500元购进 、 两种新型节能台灯共50盏，
这两种台灯的进价、标价如表所示．
类型 型 型价格
进价（元 盏） 40 65
标价（元 盏） 60 100
（1）这两种台灯各购进多少盏？
（2）该商场计划销售这批台灯的总利润是多少？
42．（2023春•开福区校级期中）某店准备促销“ 种盲盒”和“ 种盲盒”，已知“
种盲盒”的成本为10元 个，售价为20元 个，“ 种盲盒”的成本为12元 个，售价为
24元 个，第一天销售这两种盲盒共136个，获利1432元．
（1）求第一天这两种盲盒的销量分别是多少个；
（2）经过第一天的销售后，这两种盲盒的库存发生了变化，为了更好的销售这两种盲盒，
店主决定把“ 种盲盒”的售价在原来的基础上增加 元，“ 种盲盒”的售价在原来
的基础上减少 元，“ 种盲盒”的销量在原来的基础上减少了10个，“ 种盲盒”
的销量在原来的基础上增加了24个，但两种盲盒的成本不变，结果获利比第一天多134元．
求 的值．
一十一．解三元一次方程组（共4小题）
43．（2023春•南安市校级期中）若 ，则 ．
44．（2023春•通道县期末）已知方程组 ，则 的值是
A．9 B．8 C．7 D．6
45．（2023春•营山县校级期中）对于实数 ， 定义新运算： ，其中
， ， 均为常数，且已知 ， ，则 的值为
A．2 B．4 C．6 D．8
46．（2023春•西峡县期中）解方程组：一十二．三元一次方程组的应用（共4小题）
47．（2023春•余干县期末）某班级组织活动需购买小奖品，若购买5支铅笔，3块橡皮，
2本日记本，共21元；若购买9支铅笔，5块橡皮，3本日记本，共35元．则购买4支铅
笔，4块橡皮，4本日记本，需要的钱数为
A．32元 B．28元 C．24元 D．不能确定
48．（2023春•秀英区校级期中）一宾馆有二人间，三人间，四人间三种客房供游客居住，
某旅行团24人准备同时租用这三种客房共8间，且每个客房都住满，那么租房方案有
A．4种 B．3种 C．2种 D．1种
49．（2023春•五莲县期末）甲、乙、丙三种商品，若购买甲3件、乙2件、丙1件，共需
325元钱，购甲1件、乙2件、丙3件共需295元钱，那么购甲、乙、丙三种商品各一件共
需 元．
50．（2023春•德化县期末）在中国进出口商品交易会上，某陶瓷企业出售了 ， ，
三种产品．已知出售1件 产品和2件 产品共收入900元，出售2件 产品和3件 产
品共收入1600元．
（1）求 产品和 产品的单价；
（2）若出售 ， 两种产品（均有销售）共收入2400元，则出售 ， 两种产品各几件？
（3）为推广产品，该企业开展促销活动：每出售一件 产品，赠送2件 产品．某客户欲
购买 ， ， 三种产品共50件，并要求 产品的件数是 产品的1.5倍， 产品至少
10件．企业赠送的 产品不能满足客户的需求，客户还需要另行购买部分 产品，若 产
品单价为100元，求客户支付的总金额．
