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第 08 章 二元一次方程组 章节复习卷（12 个知识点
+50 题练习）
知识点
知识点1．二元一次方程的定义
（1）二元一次方程的定义
含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程．
（2）二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．
③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程．
知识点2．二元一次方程的解
（1）定义：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程
的解．
（2）在二元一次方程中，任意给出一个未知数的值，总能求出另一个未知数的一个唯一确
定的值，所以二元一次方程有无数解．
（3）在求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出
其中一个未知数（一般是系数绝对值较大的）的值，再依次求出另一个的对应值．
知识点3．解二元一次方程
二元一次方程有无数解．求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”
的方法，即先给出其中一个未知数（一般是系数绝对值较大的）的值，再依次求出另一个
的对应值．
知识点4．由实际问题抽象出二元一次方程
（1）由实际问题列方程是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和
未知量联系起来，找出题目中的相等关系．
（2）一般来说，有2个未知量就必须列出2个方程，所列方程必须满足：①方程两边表
示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符．
（3）找等量关系是列方程的关键和难点．常见的一些公式要牢记，如利润问题，路程问题，
比例问题等中的有关公式．
知识点5．二元一次方程的应用
二元一次方程的应用
（1）找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．（2）找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
（3）挖掘题目中的关系，找出等量关系，列出二元一次方程．
（4）根据未知数的实际意义求其整数解．
知识点6．二元一次方程组的定义
（1）二元一次方程组的定义：
由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组．
（2）二元一次方程组也满足三个条件：
①方程组中的两个方程都是整式方程．
②方程组中共含有两个未知数．
③每个方程都是一次方程．
知识点7．二元一次方程组的解
（1）定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．
（2）一般情况下二元一次方程组的解是唯一的．数学概念是数学的基础与出发点，当遇到
有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方
程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数．
知识点8．解二元一次方程组
（1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，
将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来．②将变形后的关系式
代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求
出x（或y）的值．④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的
值．⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解．
（2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知
数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系
数相等或互为相反数．②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个
一元一次方程．③解这个一元一次方程，求得未知数的值．④将求出的未知数的值代入
原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值．⑤把所求得的两个未知数的值写在
一起，就得到原方程组的解，用 的形式表示．
知识点9．由实际问题抽象出二元一次方程组
（1）由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量
和未知量联系起来，找出题目中的相等关系．（2）一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表
示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符．
（3）找等量关系是列方程组的关键和难点，有如下规律和方法：
①确定应用题的类型，按其一般规律方法找等量关系．②将问题中给出的条件按意思分
割成两个方面，有“；”时一般“；”前后各一层，分别找出两个等量关系．③借助表格
提供信息的，按横向或纵向去分别找等量关系．④图形问题，分析图形的长、宽，从中找
等量关系．
知识点10．二元一次方程组的应用
（一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：
（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．
（4）求解．
（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．
（二）设元的方法：直接设元与间接设元．
当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论
怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程．
知识点11．解三元一次方程组
（1）三元一次方程组的定义：方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都
是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组．
（2）解三元一次方程组的一般步骤：
①首先利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组
中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组．②然后解这个二元一次
方程组，求出这两个未知数的值．③再把求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系
数比较简单的方程，得到一个关于第三个未知数的一元一次方程．④解这个一元一次方程，
求出第三个未知数的值．⑤最后将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起即可．
知识点12．三元一次方程组的应用
在解决实际问题时，若未知量较多，要考虑设三个未知数，但同时应注意，设几个未知数
就要找到几个等量关系列几个方程．
（1）把求等式中常数的问题可转化为解三元一次方程组，为以后待定系数法求二次函数解
析式奠定基础．（2）通过设二元与三元的对比，体验三元一次方程组在解决多个未知数问题中的优越性．
练习卷
一．二元一次方程的定义（共4小题）
1．（2023春•正定县期末）下列是二元一次方程的是
A． B． C． D．
【分析】根据二元一次方程的定义判断即可．
【解答】解： 选项，含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，符合题意；
选项， 的次数是2，不符合题意；
选项，不是整式方程，不符合题意；
选项，不含两个未知数，不符合题意；
故选： ．
【点评】本题考查了二元一次方程的定义，掌握二元一次方程的定义是解题的关键，含有
两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程．
2．（2023春•邻水县期末）已知关于 ， 的方程 是二元一次方程，
则 1 ．
【分析】根据二元一次方程的定义可得 ，且 ，然后求解即可解答．
【解答】解：由题意得： ，且 ，解得 ．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查了二元一次方程的定义，含有两个未知数，且两个未知数的次数都
为1，这样的整式方程叫二元一次方程．
3．（2023春•阆中市校级期末）若 是二元一次方程，则 ，
．
【分析】根据二元一次方程的定义，从二元一次方程的未知数的个数和次数方面考虑，求
常数 、 的值．
【解答】解：因为 是二元一次方程，
则 ，且 ，， ．
故答案为： ，2．
【点评】二元一次方程必须符合以下三个条件：
（1）方程中只含有2个未知数；
（2）含未知数项的最高次数为一次；
（3）方程是整式方程．
4．（2023春•宁津县期中）如果 是关于 ， 的二元一次方程，试
求 的值．
【分析】根据二元一次方程满足的条件，即只含有2个未知数，未知数的项的次数是1的
整式方程，即可求得 的值．
【解答】解：根据题意，得
且 ，
解得 ．
【点评】考查了二元一次方程的定义和绝对值，二元一次方程必须符合以下三个条件：
（1）方程中只含有2个未知数；
（2）含未知数的项的最高次数为一次；
（3）方程是整式方程．
二．二元一次方程的解（共4小题）
5．（2023春•南通期末）若 ，是关于 和 的二元一次方程 的解，则
的值等于
A．3 B．6 C． D．
【分析】把 与 的值代入方程计算即可求出 ，把所求式子因式分解后代入计算
即可．
【解答】解：将 代入方程 得： ，．
故选： ．
【点评】此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的
值．
6．（2023春•义乌市校级期中）若 是某个二元一次方程的解，则这个方程可以是
（答案不唯一） ．（只要求写出一个）
【分析】将 ， 的值代入 ，即可得出结论．
【解答】解： ，
．
故答案为： （答案不唯一）．
【点评】此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的
值．
7．（2023 春•镇平县期中）若 和 都是关于 ， 的二元一次方程
的解，试求 与 的值，并通过计算验证 不是这个方程的解．
【分析】把 与 的两对值代入方程得到关于 与 的方程组，求出方程组的解得到 与
的值，检验即可．
【解答】解：把 和 代入方程得： ，
① ②得： ，
解得： ，
把 代入①得： ，解得： ，
方程为 ，
把 代入方程得：左边 ，右边 ，
左边 右边，
不是这个方程的解．
【点评】此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的
值．
8．（2024春•淮安期中）已知关于 、 的二元一次方程 ， 均为常数，
且 ．
（1）当 ， 时，用 的代数式表示 为： ；
（2）若 是该二元一次方程的一个解；
①探索 与 的关系，并说明理由；
②无论 ， 取何值，这些方程都有一个公共的解，请求出这个解．
【分析】（1）把 ， 代入关于 、 的二元一次方程 得关于 ，
的方程，把 用 表示出来即可；
（2）①把 代入关于 、 的二元一次方程 得关于 ， 的方程，进
行整理即可得到答案；
②把 代入原方程变形，根据无论 ， 取何值，这些方程都有一个公共的解，求出所
求结果即可．
【解答】解：（1）把 ， 代入关于 、 的二元一次方程 得：，
，
，
故答案为： ；
（2）① ，理由如下：
把 代入关于 、 的二元一次方程 得：
，
，
，
；
②由①可知： ，
原方程化为： ，
，
无论 ， 取何值，这些方程都有一个公共的解，
， ，解得： ， ，
这个公共解为： ．
【点评】本题主要考查了二元一次方程的解，解题关键是熟练掌握二元一次方程的解是使
方程左右两边相等的未知数的值．
三．解二元一次方程（共4小题）
9．（2023春•新泰市期中）已知 ，用含 的代数式表示
A． B． C． D．
【分析】移项后得出 ，再方程两边都除以2即可．【解答】解： ，
，
，
故选： ．
【点评】本题考查了解二元一次方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键．
10．（2023春•岱岳区期中）二元一次方程 的非负整数解的个数是
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】从系数 的未知数下手，把 看作已知数求出 ，即可确定出方程的正整数解．
【解答】解：方程 ，
解得： ，
当 时， ，
时， ，
时， ，
则方程的非负整数解的个数是3．
故选： ．
【点评】本题考查了二元一次方程的解，掌握解二元一次方程的步骤是关键．
11．（2024 春•东坡区期中）如果 ，那么用含有 的代数式表示 得
．
【分析】把 看作已知数求出 即可．
【解答】解：由题意可得， ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了解二元一次方程，熟练掌握运算法则是解题的关键．12．（2023春•芜湖期末）已知 ．
（1）用含 的代数式表示 的形式为 ；
（2）若 ，求 的取值范围．
【分析】（1）把 看作已知数求出 即可；
（2）根据 的范围确定出 的范围即可．
【解答】解：（1）方程 ，
解得： ；
故答案为： ；
（2） ， ，
．
【点评】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将 看作已知数求出 ．
四．由实际问题抽象出二元一次方程（共4小题）
13．（2023春•曲阳县期中）若甲数为 ，乙数为 ，则“甲数的3倍比乙数的一半少2”
列成方程是
A． B． C． D．
【分析】因为“甲数的3倍比乙数的一半少2”，则可列成方程 ．
【解答】解：若甲数为 ，乙数为 ，可列方程为 ．
故选： ．
【点评】此题考查了由实际问题抽象出二元一次方程，比较容易，根据“甲数的 3倍比乙
数的一半少2”可以直接列方程．
14．（2023春•兴文县期中）《九章算术》中记载了一个问题，大意是：甲、乙两人各带
了若干钱，如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50；如果乙得到甲所有钱的 ，那么乙也共有钱50．问：甲、乙两人各带了多少钱？小明用二元一次方程组解决此问题，若
他已经列出一个方程 ，则符合题意的另一个方程是
A． B． C． D．
【分析】由给出的方程，可找出 ， 的含义，再根据“如果乙得到甲所有钱的 ，那么
乙也共有钱50”，即可列出符合题意的另一个方程．
【解答】解： 如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50，且所列方程为 ，
表示甲带的钱数， 表示乙带的钱数．
又 如果乙得到甲所有钱的 ，那么乙也共有钱50，
符合题意的另一个方程是 ．
故选： ．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程，找准等量关系，正确列出二元一次
方程是解题的关键．
15．（2023春•厦门期末）六一儿童节，某班级家委用650元购买了一些水笔和笔记本作
为儿童节的礼物，这两种文具的单价分别为7元 支、5元 本．设购买了 支水笔和 本
笔记本，根据以上信息，可列出方程： ．
【分析】利用总价 水笔的单价 购买水笔的数量 笔记本的单价 购进笔记本的数量，
即可列出关于 ， 的二元一次方程，此题得解．
【解答】解：根据题意得： ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程，找准等量关系，正确列出二元一次
方程是解题的关键．
16．根据题意列出方程：
（1）买5千克苹果和3千克梨共需23.6元，分别求苹果和梨的单价，设苹果的单价为 元
千克，梨的单价为 元 千克；（2）七年级一班男生人数的2倍比女生人数的 多7人，求男生、女生的人数，设男生人
数为 ，女生人数为 ．
【分析】（1）根据买5千克苹果和3千克梨共需23.6元，即可得出关于 ，
的二元一次方程；
（2）根据七年级一班男生人数的2倍比女生人数的 多7人，即可得出关于 ，
的二元一次方程．
【解答】解：（1）依题意，得： ；
（2）依题意，得： ．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程，找准等量关系，正确列
出二元一次方程是解题的关键．
五．二元一次方程的应用（共4小题）
17．（2022•黄岛区校级期末）将一根长 的铁丝截成 和 两种长度的铁丝（两种都
有）如果没有剩余，那么截法有 4 种．
【分析】先设出未知数，然后根据题意列出方程： ，然后利用 ，找出
方程的正整数解即可求出．
【解答】解：设截成 的有 段， 的有 段，且 ， ，
根据题意可列方程得： ，
则 ，
、 均为正整数，
当 时， ；当 时， ；当 时， ；当 时， ；
方程的正整数解有4组，即截法有4种，
故答案为：4．
【点评】本题考查的主要是二元一次方程的整数解，解题关键：列出方程并找出方程的正
整数解．
18．（2023春•海口期中）暑假到了，19名男同学去外地参加研学，住宿时有2人间和3人间可供住宿，每个房间都要住满，共有几种住宿方案
A．5种 B．4种 C．3种 D．2种
【分析】设住了 间两人间， 间3人间，列出方程 ，根据 为偶数，19为奇
数，推出 为奇数，找出所有符合条件的正整数解即可．
【解答】解：设住了 间两人间， 间3人间，
根据题意可列方程： ，
为偶数，19为奇数，
为奇数，则 为奇数，
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
共有3种住宿方案，
故选： ．
【点评】本题主要考查了二元一次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题
意找出等量关系，列出方程，找出符合条件的正整数解．
19．（2024•肇东市模拟）学校计划用200元钱购买 ， 两种奖品， 奖品每个15元，
奖品每个25元，两种都要买且钱全部用完，则购买方案有 2 种．
【分析】设购买了 种奖品 个， 种奖品 个，根据学校计划用200元钱购买 、 两
种奖品， 种每个15元， 种每个25元，两种都要买且钱全部用完，列出二元一次方程，
再根据 ， 为正整数可求出解．
【解答】解：设购买了 种奖品 个， 种奖品 个，
根据题意得： ，
整理得： ，
， 为正整数，或 ，
购买方案有2种，
故答案为：2．
【点评】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题
的关键．
20．（2024•宁波模拟）根据以下素材，探索完成任务．
如何设计采购方案？
素材1 为了迎接今年9月末至10月初在杭州举行的第19届亚运会，某旅
游商店购进若干明信片和吉祥物钥匙扣．已知一个吉祥物钥匙扣
的售价比一套明信片的售价高20元．
素材2 小明在本店购买了1套明信片与4个吉祥物钥匙扣与共花费130
元．
素材3 已知明信片的进价为5元 套，吉祥物钥匙扣的进价为18元 个．
为了促销，商店对吉祥物钥匙扣进行8折销售．临近期中考试，
某老师打算提前给学生准备奖品，在本店同时购买吉祥物钥匙扣
和明信片两种商品若干件，本次交易商家一共获得600元的销售
额．
问题解决
任务1 假设明信片的售价为 元 问： （用含 的代数
套，钥匙扣的售价为 元 式表示）
个，请协助解决右边问题．
任务2 基于任务1的假设和素材2
的条件，请尝试求出吉祥物
钥匙扣和明信片的售价．
任务3 【拟定设计方案】
请结合素材3中的信息，帮
助该老师完成此次促销活动
中可行的购买方案．在这些
购买方案中，哪种方案商家
获利最高．
【分析】任务1：根据一个吉祥物钥匙扣的售价比一套明信片的售价高20元，得 ；
任务 2：根据小明在本店购买了 1套明信片与 4个吉祥物钥匙扣与共花费 130元，得
，可解得答案；
任务3：设购买吉祥物钥匙扣 个，明信片 张，得： ，由 ， 是非负整数，可求出 ， 的值，再计算每种方案商家的利润，比较可得答案．
【解答】解：任务
一个吉祥物钥匙扣的售价比一套明信片的售价高20元，
；
故答案为： ；
任务
小明在本店购买了1套明信片与4个吉祥物钥匙扣与共花费130元，
，
解得 ，
，
答：吉祥物钥匙扣的售价为30元，明信片的售价为10元；
任务
设购买吉祥物钥匙扣 个，明信片 张，
根据题意得： ，
，
， 是非负整数，
或 或 或 或 或 ，
吉祥物钥匙扣每件利润为 （元 ，明信片每张利润为 （元 ，
购买吉祥物钥匙扣0个，明信片60张，商家获利300元；
购买吉祥物钥匙扣5个，明信片48张，商家获利270元；
购买吉祥物钥匙扣10个，明信片36张，商家获利240元；
购买吉祥物钥匙扣15个，明信片24张，商家获利210元；
购买吉祥物钥匙扣20个，明信片12张，商家获利180元；
购买吉祥物钥匙扣25个，明信片0张，商家获利150元；
答：可行的购买方案有：购买吉祥物钥匙扣 0个，明信片60张或购买吉祥物钥匙扣5个，
明信片48张，或购买吉祥物钥匙扣10个，明信片36张或购买吉祥物钥匙扣15个，明信
片24张或购买吉祥物钥匙扣20个，明信片12张或购买吉祥物钥匙扣25个，明信片0张；其中购买吉祥物钥匙扣0个，明信片60张商家获利最高．
【点评】本题考查一元一次方程，二元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出方
程解决问题．
六．二元一次方程组的定义（共4小题）
21．（2022春•新化县校级期中）请任写一个方程与方程 组成一个二元一次方程
组 （答案不唯一） ．
【分析】根据二元一次方程组的定义，写出一个含有字母为 ， 的二元次一次方程即可
求解．
【解答】解：根据题意，与 组成一个二元一次方程组的方程可以是： ．
故答案为： （答案不唯一）．
【点评】本题考查了二元一次方程组的定义，掌握二元一次方程组的定义是解题的关键．
方程组中含有两个未知数，含有每个未知数的项的次数都是 1，并且一共有两个这样的整
式方程．像这样的方程组叫做二元一次方程组．
22．（2021春•河北区期末）若方程组 是关于 ， 的二元一次方程组，
则代数式 的值是 或 ．
【分析】根据二元一次方程组的定义：
（1）含有两个未知数；
（2）含有未知数的项的次数都是1．
【解答】解：由二元一次方程组的概念，得
， ，
解得
， ，
所以 ．
或 ， ， ，
解得
， ， ，
所以 ．故答案为： 或 ．
【点评】本题主要考查了二元一次方程组的定义，利用它的定义即可求出代数式的解．
23．（2023春•仁寿县校级期中）下列方程组中是二元一次方程组的是
A． B．
C． D．
【分析】分别根据二元一次方程组的定义对四个选项进行逐一分析即可．
【解答】解： 、是分式方程组，故 错误，不符合题意；
、第二个方程最高次数为2，不符合二元一次方程组的定义，故 错误，不符合题意；
、符合二元一次方程组的定义，故 正确，符合题意；
、是三元一次方程组，故 错误，不符合题意．
故选： ．
【点评】本题考查的是二元一次方程组的定义，二元一次方程组也满足三个条件：①方程
组中的两个方程都是整式方程．②方程组中共含有两个未知数．③每个方程都是一次方程
熟练掌握其定义是解题的关键．
24．如果两个二元一次方程只有一个未知数的系数不同，那么由这两个方程构成的二元一
次方程组叫做和谐方程组．如： ，就是和谐方程组．
（1）下列方程组是和谐方程组的是
． ； ． ； ． ．
（2）请你补全和谐方程组 ，并求解．
【分析】（1）根据“和谐方程组”的概念进行判断；
（2）根据“和谐方程组”的概念进行填空．【解答】解：（1） ． 中的常数项不同，不是和谐方程组，故不符合题意；
． 中另一个未知数的系数和常数项均不同，不是和谐方程组，故不符合题意；
． 符合和谐方程组的概念，故符合题意．
故答案为： ．
（2）根据题意知， 符合题意，（答案不唯一）．
解这个方程组可得： ．
【点评】本题主要考查了二元一次方程组的定义，解题的关键是弄清楚“和谐方程组”的
概念．
七．二元一次方程组的解（共5小题）
25．（2023春•江岸区期末）关于 、 的方程组 的解为 ，则 的
平方根是
A．9 B． C． D．
【分析】把 分别代入方程组中的每一个方程，即可求出 ， 的值，从而求出
的平方根．
【解答】解：把 代入 中得， ，
解得 ，
把 代入 中得， ，解得 ，
，
的平方根是 ，
的平方根是 ，
故选： ．
【点评】本题考查的是二元一次方程组的解和平方根，解题时将方程组的解代入原方程组
中，求出 ， 的值是解题的关键．
26．（2023春•安庆期末）若关于 ， 的方程组 的一个解为 ，求
的值．
【分析】把 代入②求出 的值，再把 、 的值代入①即可求出 的值．
【解答】解： ，
把 代入②可得，
，
解得： ，
把 ， 代入①可得，
，
，
解得： ，
的值为1．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解，掌握解二元一次方程组解的定义是解题关键．
27．（2024春•武昌区校级期中）关于 ， 的二元一次方程组 的解是 ，
则 的值为
A．1 B． C．2 D．【分析】首先根据题意，可得 ，解二元一次方程组，求出 、 的值，然后
把求出的 、 的值代入 计算即可．
【解答】解： 关于 ， 的二元一次方程组 的解是 ，
，
由①，可得 ，
把 代入②，可得 ，
解得 ，
关于 、 的二元一次方程组 的解是 ，
．
故选： ．
【点评】此题主要考查了二元一次方程组的解，解答此题的关键是求出 、 的值．
28．（2024•郾城区一模）若关于 ， 的二元一次方程组 的解为 ，则
的值为 ．
【分析】根据题意，可得 ，应用加减消元法，求出方程组的解，再把求出的
、 的值代入 计算即可．
【解答】解： ，
① ②，可得 ，
解得 ，把 代入①，可得： ，
解得 ，
原方程组的解是 ，
．
故答案为： ．
【点评】此题主要考查了二元一次方程组的解，以及解二元一次方程组的方法，注意代入
消元法和加减消元法的应用是关键．
29．（2023春•偃师市校级期中）二元一次方程组 的解也是方程 的
解，求 的值．
【分析】先用含 的代数式表示方程组的解，再代入 得到关于 的方程，求出
解即可．
【解答】解： ，
① ②，得 ，
将 代入①，得 ，
， ，也是方程 的解，
将 ， ，代入方程 ，
得： ，
解得： ．
【点评】本题主要考查了二元一次方程组的解，解一元一次方程等，掌握解方程组的步骤
是解题的关键．八．解二元一次方程组（共5小题）
30．（2024春•杨浦区期中）二元二次方程组 可化为四个二元一
次方程组，这四个二元一次方程组分别是 ， ， ，
． ．
【分析】将原二元二次方程组各方程分解因式并组合即可．
【解答】解：将原二元二次方程组各方程分解因式，得 ，
原方程可化为四个二元一次方程组，即 ， ， ，
．
故答案为： ， ， ， ．
【点评】本题考查解二元一次方程组，掌握分解因式的方法是解题的关键．
31．（2023春•鲤城区校级期中）对于有理数 ， 定义新运算： ，其中
， 为常数已知 ， ，则 ．
【分析】利用题中的新定义列出方程组，求出方程组的解得到 与 的值，即可确定出
的值．
【解答】解：根据题意得： ， ，整理得： ，
① ②得： ，即 ，
把 代入②得： ，
则 ，
故答案为：
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法
与加减消元法．
32．（2024春•海口期中）用加减法解方程组 ，下列解法正确的是
A．① ② ，消去 B．① ② ，消去
C．① ② ，消去 D．① ② ，消去
【分析】根据等式的可加性直接求解即可得到答案．
【解答】解：由题意可得，
① ② ，消去 ，故 选项不符合题意，
① ② ，消去 ，故 选项不符合题意，
① ② ，消去 ，故 选项不符合题意，
① ② ，消去 ，故 选项符合题意，
故选： ．
【点评】本题考查加减消元法解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是关键．
33．（2023春•温州月考）解下列方程组：
（1） ；
（2） ．
【分析】（1）方程组利用代入消元法求解即可；
（2）方程组利用加减消元法求解即可．【解答】解：（1）
把①代入②得， ，解的 ，
把 代入①得 ，
原方程组的解是 ；
（2） ，
解：② ①得， ，解得： ，
把 代入①得， ，
原方程组的解是 ．
【点评】本题主要考查了解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关
键．
34．（2023春•恩施市期末）（1）计算： ；
（2）解方程组： ．
【分析】（1）原式利用乘方、算术平方根、立方根定义，以及绝对值的代数意义计算即可
求出值；
（2）方程组利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：（1）
；
（2） ，由① ②得， ，
解得 ，
把 代入①中得， ，
解得 ，
则方程组的解为 ．
【点评】此题考查了解二元一次方程组以及实数的运算，熟练掌握运算法则及方程组的解
法是解本题的关键．
九．由实际问题抽象出二元一次方程组（共4小题）
35．（2023•晋中模拟）《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度
之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长
木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺．设木长为
尺，绳子长为 尺，则符合题意的方程组是 ．
【分析】本题的等量关系是：绳长 木长 ；木长 绳长 ，据此可列方程组，此
题得解．
【解答】解：依题意得 ，
故答案为： ．
【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是明确题意，列出相应
的二元一次方程组．
36．（2023春•珠晖区校级期中）若 的2倍与 的3倍的和等于 6，列为方程是
．
【分析】 的2倍是 ， 的3倍是 ，然后根据和等于6即可列出方程．【解答】解：由题意，得
．
故答案为： ．
【点评】本题考查了列二元一次方程，找到等量关系是关键．
37．（2023春•武汉期末）《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，
余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用绳子去量一根长木，绳子
还剩余4.5尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问长木长多少尺？设绳子长 尺，
长木长 尺，则所列方程组正确的是
A． B．
C． D．
【分析】根据“用绳子去量长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1
尺”，即可得出关于 ， 的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解： 用绳子去量长木，绳子还剩余4.5尺，
；
将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，
．
所列方程组为 ，
即 ，
故选： ．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一
次方程组是解题的关键．
38．（2023春•杜尔伯特县期末）某中学七年级（1）班去体育用品商店买一些篮球和排球，供班上同学进行体育锻炼时使用，共买了 2个篮球和6个排球，花570元，并且每个排球
比篮球便宜25元．
（1）求篮球和排球的单价各是多少；
（2）商店里搞活动，有两种套餐，①套餐打折：五个篮球和五个排球为一套餐，套餐打八
折；②满减活动：满999减100，满1999减200；两种活动不重复参与，学校打算购买14
个篮球，12个排球，请问如何安排更划算？
【分析】（1）设篮球单价为每个 元，排球单价为每个 元，根据买了2个篮球和6个排
球，花570元，并且每个排球比篮球便宜25元，列方程组求解即可得到答案；
（2）分别计算两种活动方案费用比较即可得到答案．
【解答】解：（1）设篮球单价为每个 元，排球单价为每个 元，
由题意可得 ，
解方程组得 ，
答：篮球每个90元，排球每个65元；
（2）若按照①套餐打折购买费用为： （元 ，
若参加②满减活动购买费用为： （元 ，
又 ，
所以 （元 ．
而 ，所以选择套餐①所花费用比选择套餐②所花费用低．
答：选用套餐①购买更划算．
【点评】本题考查二元一次方程组解决实际应用问题及择优方案问题，解题的关键是根据
题意找到等量关系式．
一十．二元一次方程组的应用（共4小题）
39．（2023春•冷水滩区校级期中）市三中七年级学生开展义务植树活动，参加者是未参
加者人数的3倍，若该年级人数减少6人，未参加人数增加6人，则参加者是未参加者
人数的2倍，则该校七年级学生共有 9 6 人．
【分析】可设参加者有 人，未参加者有 人，根据参加者是未参加者人数的3倍可列出一个方程，再根据该年级人数减少6人，未参加人数增加6人，则参加者是未参加者人
数的2倍可列出第二个方程，求方程组的解即可．
【解答】解：设参加者有 人，未参加者有 人，根据题意得：
，
解得： ，
则该校七年级学生共有 （人 ．
故答案填：96．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给
出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．
40．（2023春•溧阳市期末）在长为 ，宽为 的长方形空地上，沿平行于长方形各
边的方向分别割出三个大小完全一样的小长方形花圃，其示意图如图所示，则其中一个小
长方形花圃的面积为
A． B． C． D．
【分析】设小长方形花圃的长为 ，宽为 ，根据小长方形的2个长 一个宽 ，
小长方形的一个长 个宽 ，列出二元一次方程组，解方程组，即可解决问题．
【解答】解：设小长方形花圃的长为 ，宽为 ，
由题意得： ，
解得： ，，
即一个小长方形花圃的面积为 ，
故选： ．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是
解题的关键．
41．（2023春•霞山区校级期中）某商场用2500元购进 、 两种新型节能台灯共50盏，
这两种台灯的进价、标价如表所示．
类型 型 型
价格
进价（元 盏） 40 65
标价（元 盏） 60 100
（1）这两种台灯各购进多少盏？
（2）该商场计划销售这批台灯的总利润是多少？
【分析】（1）根据题意可得等量关系： 、 两种新型节能台灯共50盏， 种新型节能
台灯的台数 种新型节能台灯的台数 元；设 种台灯购进 盏， 种台灯
购进 盏，列方程组即可求解；
（2）根据题意列出算式进行解答即可．
【解答】解：（1）设 种台灯购进 盏， 种台灯购进 盏，
根据题意得： ，
解得： ，
答： 种台灯购进30盏， 种台灯购进20盏；
（2） （元 ．
答：该商场计划销售这批台灯的总利润是1300元．
【点评】此题考查了二元一次方程组的应用，是利用方程求解实际问题的题目，解题的关
键是找到等量关系．
42．（2023春•开福区校级期中）某店准备促销“ 种盲盒”和“ 种盲盒”，已知“种盲盒”的成本为10元 个，售价为20元 个，“ 种盲盒”的成本为12元 个，售价为
24元 个，第一天销售这两种盲盒共136个，获利1432元．
（1）求第一天这两种盲盒的销量分别是多少个；
（2）经过第一天的销售后，这两种盲盒的库存发生了变化，为了更好的销售这两种盲盒，
店主决定把“ 种盲盒”的售价在原来的基础上增加 元，“ 种盲盒”的售价在原来
的基础上减少 元，“ 种盲盒”的销量在原来的基础上减少了10个，“ 种盲盒”
的销量在原来的基础上增加了24个，但两种盲盒的成本不变，结果获利比第一天多134元．
求 的值．
【分析】（1）设第一天这两种盲盒的销量分别是 个， 个，再根据第一天销售这两种盲
盒共136个，获利1432元，列出方程组求解即可；
（2）根据利润 （售价 成本） 数量列出方程求解即可．
【解答】解：（1）设第一天这两种盲盒的销量分别是 个， 个，
由题意得， ，
解得 ，
第一天这两种盲盒的销量分别是100个，36个，
答：第一天这两种盲盒的销量分别是100个，36个；
（2）由题意得， ，
，
解得 ．
【点评】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次方程的实际应用，正确理
解题意找到等量关系是解题的关键．
一十一．解三元一次方程组（共4小题）
43．（2023春•南安市校级期中）若 ，则 3 ．
【分析】三个式子相加，即可求解．
【解答】解：三个式子相加得： ，即 ，
则 ．
故答案为：3．
【点评】本题考查了三元一次方程组的解法，正确理解三个方程的特点是关键．
44．（2023春•通道县期末）已知方程组 ，则 的值是
A．9 B．8 C．7 D．6
【分析】利用解方程中的整体思想，进行计算即可解答．
【解答】解： ，
① ② ③得： ，
解得： ，
故选： ．
【点评】本题考查了解三元一次方程组，熟练掌握解方程中的整体思想是解题的关键．
45．（2023春•营山县校级期中）对于实数 ， 定义新运算： ，其中
， ， 均为常数，且已知 ， ，则 的值为
A．2 B．4 C．6 D．8
【分析】根据所给的条件，可得到 ， ，从而可求得
， ，整理可求得 ，从而可求解．
【解答】解： ， ，
①， ②，
② ①得： ，
① ②得： ，则 ，
整理得： ，
．
故选： ．
【点评】本题主要考查解三元一次方程组，整体思想，解答的关键是由所给的条件得出：
， ．
46．（2023春•西峡县期中）解方程组：
【分析】由于 的系数①与②③互为相反数，所以①与②、③分别相加，得到关于 、
的方程组，求解即可．
【解答】解： ，
① ②，得 ，
即 ④．
① ③．得 ⑤．
由④⑤联立，得 ．
解这个方程组，得 ．把 ， 代入③，得 ．
原方程组的解为 ．
【点评】本题考查了解三元一次方程组，根据系数特点消元，把三元化为二元是解决本题
的关键．
一十二．三元一次方程组的应用（共4小题）
47．（2023春•余干县期末）某班级组织活动需购买小奖品，若购买5支铅笔，3块橡皮，
2本日记本，共21元；若购买9支铅笔，5块橡皮，3本日记本，共35元．则购买4支铅
笔，4块橡皮，4本日记本，需要的钱数为
A．32元 B．28元 C．24元 D．不能确定
【分析】设铅笔的单价为 元，橡皮的单价为 元，日记本的单价为 元，根据“购买5支
铅笔，3块橡皮，2本日记本，共21元；购买9支铅笔，5块橡皮，3本日记本，共35元”，
可列出关于 ， ， 的三元一次方程组，利用① ②，可得出 ，再将其代
入 中，即可求出结论．
【解答】解：设铅笔的单价为 元，橡皮的单价为 元，日记本的单价为 元，
根据题意得： ，
① ②得： ，
，
购买4支铅笔，4块橡皮，4本日记本，共需28元．
故选： ．
【点评】本题考查了三元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出三元一次方程组是
解题的关键．
48．（2023春•秀英区校级期中）一宾馆有二人间，三人间，四人间三种客房供游客居住，某旅行团24人准备同时租用这三种客房共8间，且每个客房都住满，那么租房方案有
A．4种 B．3种 C．2种 D．1种
【分析】首先设宾馆有客房：二人间 间、三人间 间、四人间 间，根据题意可得方程
组，解方程组可得 ，又由 ， ， 是非负整数，即可求得答案．
【解答】解：设宾馆有客房：二人间 间、三人间 间、四人间 间，根据题意得：
，
解得： ，
，
， ， 是正整数，
当 时， ， ；
当 时， ， ；
当 时， ， ；
当 时， ， ；（不符合题意，舍去）
租房方案有3种．
故选： ．
【点评】此题考查了三元一次不定方程组的应用．此题难度较大，解题的关键是理解题意
根据题意列方程组，然后根据 ， ， 是整数求解，注意分类讨论思想的应用．
49．（2023春•五莲县期末）甲、乙、丙三种商品，若购买甲3件、乙2件、丙1件，共需
325元钱，购甲1件、乙2件、丙3件共需295元钱，那么购甲、乙、丙三种商品各一件共
需 15 5 元．
【分析】设甲的单价为 元，乙的单价为 元，丙的单价为 元，根据题意列出关于 、 、
的方程组，求出 的值即可．
【解答】解：设甲的单价为 元，乙的单价为 元，丙的单价为 元，由题意得： ，
① ②得： ，
即 ，
故答案为：155．
【点评】本题考查了列三元一次方程组的应用问题，关键是根据方程组特点整体求出
的和．
50．（2023春•德化县期末）在中国进出口商品交易会上，某陶瓷企业出售了 ， ，
三种产品．已知出售1件 产品和2件 产品共收入900元，出售2件 产品和3件 产
品共收入1600元．
（1）求 产品和 产品的单价；
（2）若出售 ， 两种产品（均有销售）共收入2400元，则出售 ， 两种产品各几件？
（3）为推广产品，该企业开展促销活动：每出售一件 产品，赠送2件 产品．某客户欲
购买 ， ， 三种产品共50件，并要求 产品的件数是 产品的1.5倍， 产品至少
10件．企业赠送的 产品不能满足客户的需求，客户还需要另行购买部分 产品，若 产
品单价为100元，求客户支付的总金额．
【分析】（1）设 产品的单价 元， 产品的单价 元，根据出售1件 产品和2件 产
品共收入900元，出售2件 产品和3件 产品共收入1600元列方程组，解方程组可求解
， 值即可求解；
（2）设出售 产品 件，则出售 产品 件，根据出售 ， 两种产品（均有销售）共收
入2400元列方程，结合 ， 的取值范围可求解 ， 的值；
（3）设该客户支付的总金额为 元，购买 产品 件，则 产品 件， 产品
件，根据三种产品支付金额的和可列式，再根据 的取值可确定 取值，代
入计算可求解．
【解答】解：（1）设 产品的单价 元， 产品的单价 元，
由题意得， ，解得 ，
答： 产品的单价500元， 产品的单价200元；
（2）设出售 产品 件，则出售 产品 件，
由题意得 ，
化简得 ，
， 为正整数，
或 ，
答：出售 产品2件， 产品7件或出售 产品4件， 产品2件；
（3）设该客户支付的总金额为 元，购买 产品 件，则 产品 件， 产品
件，
由题意得：
，
， ，
，
为正整数， 也是正整数，
，
当 时， （元 ．
答：客户支付的总金额为8500元．
