文档内容
2022-2023学年七年级数学下册尖子生培优题典【人教版】
专题8.2消元-解二元一次方程组专项提升训练（重难点培优）
班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
注意事项：
本试卷满分120分，试题共24题，其中选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑
色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
{ y=2−x
1．（2022秋•雁塔区校级期中）二元一次方程组 的解是（ ）
3x=1+2y
{x=−1 { x=1 {x=1 {x=−1
A． B． C． D．
y=−1 y=−1 y=1 y=1
【分析】把y＝2﹣x代入方程3x＝1+2y，即可消去未知数y，求出未知数x，然后再求出y即可．
{ y=2−x①
【解答】解： ，
3x=1−2y②
把①代入②，得：3x＝1+2（2﹣x），
解得x＝1，
把x＝1代入①，得y＝1，
{x=1
故原方程组的解为 ，
y=1
故选：C．
{3x+2y=9
2．（2022秋•金牛区校级月考）二元一次方程组 的解是（ ）
x−2y=3
{ x=1 { x=3 { x=5 {x=3
A． B． C． D．
y=−1 y=−1 y=−3 y=0
【分析】①+②得出4x＝12，求出x，再把x＝3代入②求出y即可．
{3x+2y=9 ①
【解答】解： ，
x−2y=3 ②
①+②，得4x＝12，
解得：x＝3，
把x＝3代入②，得3﹣2y＝3，
解得：y＝0，
{x=3
所以原方程组的解是 ，
y=0故选：D．
{a−2b=−14
3．（2022秋•平阴县期中）已知方程组 ，则a﹣b的值是（ ）
2a−b=2
A．4 B．﹣4 C．0 D．8
【分析】方程组两方程相加即可a﹣b的值．
{a−2b=−14①
【解答】解： ，
2a−b=2②
①+②得：3a﹣3b＝﹣12，
则a﹣b＝﹣4．
故选：B．
4．（2022秋•宛城区校级月考）若√a+b+5+|2a﹣b+1|＝0，则（b﹣a）2022＝（ ）
A．﹣1 B．1 C．52022 D．﹣52022
【分析】因为算术平方根具有非负性，在实数范围内，任意一个数的绝对值都是非负数，若√a+b+5+|
2a﹣b+1|＝0，则a+b+5＝0，2a﹣b+1＝0，联立组成方程组，解出a和b的值即可解答．
【解答】解：∵√a+b+5+|2a﹣b+1|＝0，
{ a+b+5=0
∴ ，
2a−b+1=0
{a=−2
解得 ，
b=−3
∴（b﹣a）2022＝（﹣3+2）2022＝（﹣1）2022＝1．
故选：B．
{4x−7 y=−17①
5．（2022春•曲阳县期中）对于方程组 ，用加减法消去x得到的方程是（ ）
4x+4 y=15②
A．﹣3y＝﹣2 B．﹣3y＝﹣32 C．﹣11y＝﹣32 D．﹣12y＝﹣2
【分析】根据加减消元法，将方程①﹣方程②即可．
【解答】解：方程①﹣方程②得，﹣11y＝﹣32，
故选：C．
6．（2022春•西山区校级期中）在等式y＝kx+b中，当x＝2时，y＝1；当x＝﹣3时，y＝11．那么这个等
式为（ ）
A．y＝2x﹣5 B．y＝2x+5 C．y＝﹣2x+5 D．y＝﹣2x﹣5
【分析】把x与y的值代入等式组成方程组，求出方程组的解得到k与b的值，即可确定出所求．
{ 2k+b=1①
【解答】解：把x＝2，y＝1与x＝﹣3，y＝11代入y＝kx+b得： ，
−3k+b=11②①﹣②得：5k＝﹣10，
解得：k＝﹣2，
把k＝﹣2代入①得：﹣4+b＝1，
解得：b＝5，
则这个等式为y＝﹣2x+5．
故选：C．
{2a+b=7①
7．（2022春•安溪县期中）解方程组 ，下列解法步骤中不正确的是（ ）
a−b=2②
A．用加减法消去a，①﹣②×2得2b＝3
B．用代入法消去b，由①得b＝7﹣2a
C．用代入法消去a，由②得a＝b+2
D．用加减法消去b，①+②得3a＝9
【分析】根据二元一次方程组的解法即可求解．
【解答】解：A．用加减法消去a，①﹣②×2得3b＝3，选项A符合题意；
B．用代入法消去b，由①得b＝7﹣2a，选项B不符合题意；
C．用代入法消去a，由②得a＝b+2，选项C不符合题意；
D．用加减法消去b，①+②得3a＝9，选项D不符合题意；
故选：A．
8．（2022春•德化县期中）符号■，●各代表一个数字，且满足以下两个等式■﹣●﹣1＝0，4（■﹣
k 3⋅■−k
●）﹣●＝﹣5，则满足等式 − =1中k的值为（ ）
6 ●−5
A．20.4 B．30.4 C．40.4 D．50.4
【分析】设■＝x，●＝y，根据■﹣●﹣1＝0和4（■﹣●）﹣●＝﹣5得出x﹣y﹣1＝0，4（x﹣y）﹣
k 3⋅■−k k 30−k
y＝﹣5，求出组成的方程组的解，再代入方程 − =1得出 − =1，再求出方程的解即
6 ●−5 6 9−5
可．
【解答】解：设■＝x，●＝y，
∵■﹣●﹣1＝0，4（■﹣●）﹣●＝﹣5，
∴x﹣y﹣1＝0，4（x﹣y）﹣y＝﹣5，
{ x−y=1
即 ，
4x−5 y=−5{x=10
解得： ，
y=9
即■＝10，●＝9，
k 3⋅■−k k 30−k
代入方程 − =1得： − =1，
6 ●−5 6 9−5
解得：k＝20.4，
故选：A．
{ax+2y=−5
9．（2022春•杭州期中）关于x，y的方程组为 ，将此方程组的两个方程左右两边分别对应
−x+ay=2a
相加，得到一个新的方程，当a每取一个值时，就有一个确定的方程，而这些方程总有一个公共解，则
这个公共解是（ ）
{x=2 { x=3 {x=1 {x=−1
A． B． C． D．
y=1 y=−1 y=2 y=3
{ x+ y−2=0③
【分析】根据题意可得 ，解方程组即可．
−x+2y+5=0④
{ax+2y=−5①
【解答】解： ，
−x+ay=2a②
①+②，得ax﹣x+2y+ay＝﹣5+2a，
整理，得a（x+y﹣2）+（﹣x+2y+5）＝0，
{ x+ y−2=0③
根据题意，得 ，
−x+2y+5=0④
③+④，得3y+3＝0，
解得y＝﹣1，
将y＝﹣1代入③，得x﹣1﹣2＝0，
解得x＝3，
{ x=3
∴这个公共解是 ，
y=−1
故选：B．
10．（2022春•鼓楼区校级期中）已知关于 x，y的一元一次方程组{a x+b y=c 的解为{x=2，则关于
1 1 1
a x+b y=c y=3
2 2 2
x，y的方程组{a
1
(x+2022)+b
1
(y−2022) =c
1
（ ）
a (x+2022)+b (y−2022)=c
2 2 2{ x=2014 {x=2024
A． B．
y=−2019 y=2025
{x=−2020 {x=−2020
C． D．
y=−2019 y=2025
{x+2022=2
【分析】将第二个方程组变形成和第一个方程组形式一样，根据整体思想得： ，从而得出
y−2022=3
答案．
【解答】解：由题意可知，关于 x，y
的方程组{a
1
(x+2022)+b
1
(y−2022) =c
1
的解为：
a (x+2022)+b (y−2022)=c
2 2 2
{x+2022=2
，
y−2022=3
{x=−2020
∴ ．
y=2025
故选：D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
{x+5 y=5
11．（2022春•江津区校级期中）已知x、y满足方程组 ，则x+y＝ 2 ．
3x−y=3
【分析】用整体思想①+②的出结果，等式两边都除以4，得出x+y的值．
{x+5 y=5①
【解答】解： ，
3x−y=3②
①+②得4x+4y＝8，
∴x+y＝2；
故答案为：2．
12．（2022秋•渭滨区校级月考）若﹣2xm﹣ny2与3x4y2m+n是同类项，则m﹣3n的平方根是 ±2√2 ．
【分析】根据同类项的概念即可求出m与n的值，从而可求出答案
【解答】解：∵﹣2xm﹣ny2与3x4y2m+n是同类项，
∴m﹣n＝4，2m+n＝2，
{m−n=4
联立得 ，
2m+n=2
{m=2
解得 ，
n=−2
∴m﹣3n＝2﹣3×（﹣2）＝8，
∴8的平方根为：±2√2，故答案为：±2√2．
{3x+5 y=m+2
13．（2022春•崇川区期中）满足方程组 的x，y的值同时满足x+y＝2，则m的值等于
2x+3 y=m
4 ．
【分析】方程组两方程相减得到x+2y＝2，与x+y＝2联立求出x与y的值，即可求出m的值．
{3x+5 y=m+2①
【解答】解： ，
2x+3 y=m②
①﹣②，得x+2y＝2③，
∵x+y＝2④，
③﹣④，得y＝0，
把y＝0代入④得x＝2，
∴m＝2x+3y＝4．
故答案为：4．
{x+ y=2k
14．（2022春•海淀区校级期中）若关于x，y的二元一次方程组 的解也是二元一次方程x﹣3y
x−y=4k
＝12的解，则k＝ 2 ．
【分析】利用加减消元法解出x与y，再代入x﹣3y＝12求得k．
【解答】解：将x+y＝2k记作①，x﹣y＝4k记作②．
∴①+②，得2x＝6k．
∴x＝3k．
将x＝3k代入①，得3k+y＝2k．
∴y＝﹣k．
∴3k﹣3（﹣k）＝12．
∴k＝2．
故答案为：2．
{2x+ay=16①
15．（2022•南京模拟）当整数a＝ ﹣ 3 ，﹣ 2 ， 0 ， 4 ， 12 时，关于x，y的方程组 有正
x−2y=0②
整数解．
【分析】利用代入消元法先消去未知数 x，求解y，再根据a是整数，y是正整数可得a的值，再进行检
验即可．
{2x+ay=16①
【解答】解： ，
x−2y=0②由②，得x＝2y③，
把③代入①，得4y+ay＝16，
16
解得：y= ，
4+a
∵y为正整数，a为整数，
∴a＝﹣3或a＝﹣2或a＝0或a＝4或a＝12，
故答案为：﹣3，﹣2，0，4，12
{x+ y=4 {x=2
16．（2022春•牟平区期中）若关于x，y的二元一次方程组 的解为 ，则多项式A可以是
A=0 y=2
x ﹣ y .（答案不唯一，写出一个即可）
{x=2
【分析】写出一个二元一次方程使其解为 即可．
y=2
{x+ y=4 {x=2
【解答】解：若关于x，y的二元一次方程组 的解为 ，则多项式A可以是x﹣y（答案不
A=0 y=2
唯一），
故答案为：x﹣y（答案不唯一）．
{5x−3 y=16 {x=5
17．（2022 秋•雁塔区校级期中）已知二元一次方程组 的解是 ；那么方程组
3x−5 y=0 y=3
{5(x+ y)−3(x−y)=16的解是 {x=4 ．
3(x+ y)−5(x−y)=0 y=1
{x+ y=5
【分析】根据已知条件可得 ，解方程组即可．
x−y=3
{5x−3 y=16 {x=5
【解答】解：∵二元一次方程组 的解是 ，
3x−5 y=0 y=3
{x+ y=5
∴ ，
x−y=3
{x=4
解得 ，
y=1
∴方程组{5(x+ y)−3(x−y)=16的解是{x=4，
3(x+ y)−5(x−y)=0 y=1
{x=4
故答案为： ．
y=118．（2022秋•闵行区期中）规定：对于两个一元多项式（含字母x）来说，当未知数x任取同一个数值时，
如果它们所得的值都是相等的，那么就称这两个一元多项式恒等．
例如：若两个一元多项式x+2与ax+b（a、b是常数）是恒等的，那么a＝1，b＝2；如果多项式（a+b）
a−b b 1
x3+3x2+1与1+ x2+10x3（a、b是常数）恒等，那么 的值是 ．
2 a 4
【分析】根据多项式恒等的条件列方程组求解．
{a+b=10
【解答】解：由题意可得 a−b ，
=3
2
{a=8
解得 ，
b=2
b 2 1
∴ = = ．
a 8 4
1
故答案为： ．
4
三、解答题（本大题共6小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022秋•平阴县期中）解下列方程组：
{x−y=2
（1） ；
4x+ y=3
{2x−5 y=−21
（2） ．
4x+3 y=23
【分析】（1）方程组利用加减消元法求出解即可；
（2）方程组利用加减消元法求出解即可．
{x−y=2①
【解答】解：（1） ，
4x+ y=3②
①+②得：5x＝5，
解得：x＝1，
把x＝1代入①得：1﹣y＝2，
解得：y＝﹣1，
{ x=1
则方程组的解为 ；
y=−1
{2x−5 y=−21①
（2） ，
4x+3 y=23②
②﹣①×2得：13y＝65，解得：y＝5，
把y＝5代入①得：2x﹣25＝﹣21，
解得：x＝2，
{x=2
则方程组的解为 ．
y=5
{2x−3 y=1①
20．（2022秋•武侯区校级期中）（1）解二元一次方程组 ；
5x+6 y=16②
（2）已知4a+7的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4，求a+2b的平方根．
【分析】（1）①×2+②得出9x＝18，求出x，再把x＝2代入①求出y即可；
（2）根据立方根和算术平方根得出4a+7＝27，3a+b﹣1＝16，求出a、b的值，再求出答案即可．
{2x−3 y=1①
【解答】解：（1） ，
5x+6 y=16②
①×2+②，得9x＝18，
解得：x＝2，
把x＝2代入①，得4﹣3y＝1，
解得：y＝1，
{x=2
所以原方程组的解是 ；
y=1
（2）∵4a+7的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4，
∴4a+7＝27，3a+b﹣1＝16，
解得：a＝5，b＝2，
∴a+2b＝5+2×2＝9，
∴a+2b的平方根是±√9=±3．
21．（2022春•辉县市月考）|2x+y|+（3x﹣4y﹣22）2＝0，求x﹣3y的值．
【分析】由非负数性质可得到关于x，y的二元一次方程组，解方程组，再代入所求的式子运算即可．
【解答】解：∵|2x+y|+（3x﹣4y﹣22）2＝0，
{ 2x+ y=0
∴ ，
3x−4 y−22=0
{ x=2
解得： ，
y=−4
∴x﹣3y
＝2﹣3×（﹣4）＝2+12
＝14．
22．（2022春•泌阳县月考）数学活动课上，小云和小辉在讨论老师出示的一道二元一次方程组的问题：
{ 3x+4 y=3①
已知关于x，y的二元一次方程组 的解满足2x+3y＝1③，求m的值．
x+2y=2−3m②
请结合他们的对话，解答下列问题：
（1）按照小云的方法，x的值为 5 ，y的值为 ﹣ 3 ．
（2）老师说小辉的方法体现了整体代入的思想，请按照小辉的思路求出m的值．
【分析】（1）根据题意列方程组求解即可；
（2）利用整体代入的方法求解即可．
【解答】解：（1）③×3﹣①×2，得y＝﹣3，
把y＝﹣3代入①，得3x﹣12＝3，
解得x＝5，
故答案为：5；﹣3；
（2）①+②，得4x+6y＝5﹣3m，
即2（2x+3y）＝5﹣3m，
5−3m
∴2x+3y= ，
2
∵2x+3y＝1，
5−3m
∴ =1，
2
解得m＝1．
23．（2022秋•济南期中）阅读下列材料：
2x+3 y 2x−3 y
{ + =7
小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：解方程组 4 3 ，小明发现
2x+3 y 2x−3 y
+ =8
3 2如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的（2x+3y）看成一
个整体，把（2x﹣3y）看成一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程：令 m＝
2x+3y，n＝2x﹣3y．
m n
{ + =7
原方程组化为 4 3 ，
m n
+ =8
3 2
{m=60
解得 ，
n=−24
{m=60
把 代入m＝2x+3y，n＝2x﹣3y，
n=−24
{ 2x+3 y=60
得 ，
2x−3 y=−24
{ x=9
解得 ．
y=14
{ x=9
∴原方程组的解为 ．
y=14
请你参考小明同学的做法解方程组：
（1）{2(x+1)+3(y−2)=1；
(x+1)−2(y−2)=4
{ x+ y x−y
（2） + =−3 ．
2 5
2(x+ y)−3x+3 y=26
{2m+3n=1
【分析】（1）令m＝x+1，n＝y﹣2，原方程组化为 ，解出m和n的值代入m＝x+1，n＝y
m−2n=4
﹣2，即可求出x和y的值；
{ a b
+ =−3
（2）令a＝x+y，b＝x﹣y，原方程组化为 2 5 ，解出a和b的值代入a＝x+y，b＝x﹣y，即可
2a−3b=26
求出x和y的值．
【解答】解：（1）令m＝x+1，n＝y﹣2，
{2m+3n=1
原方程组化为 ，
m−2n=4{m=2
解得 ，
n=−1
{m=2
把 代入m＝x+1，n＝y﹣2，
n=−1
{ x+1=2
得 ，
y−2=−1
解得x＝1，y＝1，
{x=1
∴原方程组的解为 ；
y=1
（2）令a＝x+y，b＝x﹣y，
{ a b
+ =−3
原方程组化为 2 5 ，
2a−3b=26
{a=−2
解得 ，
b=−10
{a=−2
将 代入a＝x+y，b＝x﹣y，
b=−10
{ x+ y=−2
得 ，
x−y=−10
{x=−6
解得 ，
y=4
{x=−6
∴原方程组的解为 ．
y=4
24．（2022春•仓山区校级期中）如果某个二元一次方程组的解中两个未知数的值互为相反数，那么我们
称这个方程组为“奇妙方程组”．
{2x−3 y=7
（1）请判断关于x，y的方程组 是否为“奇妙方程组”，并说明理由；
3x−2y=7
{2x+4 y=6−a
（2）如果关于x，y的方程组 是“奇妙方程组，求a的值．
x−y=4a
【分析】（1）只需判断x+y的值是否为0即可；
（2）根据该方程组是奇妙方程组，得到x＝﹣y，代入原方程组，从而列出a的方程求解．
【解答】解：（1）是奇妙方程组，理由如下：
{2x−3 y=7①
，
3x−2y=7②
②﹣①得x+y＝0，∴原方程组是“奇妙方程组”；
（2）∵该方程组是奇妙方程组，
∴x＝﹣y，
{2y=6−a①
∴原方程组可化为 ，
−2y=4a②
①+②，得6﹣a+4a＝0，
∴a＝﹣2，
即a的值为﹣2．
