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第11 章 三角形（单元测试·培优卷）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列生活中的实例利用到三角形的稳定性的是（ ）
A．自行车的三角车架 B．用两颗钉子把木条固定在墙上
C．学校大门口的伸缩门 D．四条腿的方桌
2．如图所示，则 ABC的形状是( )
△
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形
3．下列每组数分别是三根木棒的长度，能用它们摆成三角形的是（ ）
A．2cm，4cm，7cm B．3cm，6cm，9cm C．3cm，4cm，5cm D．4cm，
4cm，9cm
4．如图， ， 分别为 的中线和高线， 的面积为5， ，则 的长为（ ）
A．5 B．3 C．4 D．
5．如图，在 中， 平分 交 于点 ，过点 作 交 于点 ，若 ，
，则 的大小为( )
A． B． C． D．6．如图，已知 ，点 、 分别在 、 边上，将 沿 折叠，点 落在 外部
的点 处，此时测得 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．如图， ， ， ， 分别平分 的内角 ，外角 ，外角 ．
以下结论：① ；② ；③ ；④ ．其中正确
的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．若凸n边形的每个外角都是36°，则此n边形对角线总条数是（ ）
A．32 B．35 C．8 D．45
9．如图所示的地面由正六边形和四边形两种地砖镶嵌而成，则 的度数为（ ）
A．50° B．60° C．100° D．120°
10．如图，点A、B分别在锐角 的边 、 上，射线 在 的内部，点D、E在射线 上，
若 ，则 等于（ ）A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．设 的三边长分别为 、 、 ，其中 、 满足 ，则第三边长 的取值
范围是 ．
12．如图，已知 为 的中线， 为 的中线．过点 作 于 ．若 的面积为
40， ，则 的长为 ．
13．如图所示，在 中， ， 是 的中点，延长 交 于点 ， 为 上一点，
交 于点 ．① 是 的角平分线；② 是 的边 上的中线；③ 为
的边 上的高；④ 是 的角平分线和高线，其中判断正确的有 个．
14．如图是可调躺椅示意图（数据如图）， 与 的交点为C，且 、 、 保持不变，经研究
当 时最舒适，则图中 应为 °．
15．《周礼考工记》中记载有：“……半矩谓之宣（xuān），一宣有半谓之欘（zhú）……”意思是：“……直角的一半的角叫做宣，一宣半的角叫做欘……”．即：1宣 矩，1欘 宣（其中，1矩
），问题：图（1）为中国古代一种强弩图，图（2）为这种强弩图的部分组件的示意图，若
矩， 欘，则 度．
16．黑板上有一个数学问题如图8所示：
如图 ， 交 于点C， 平分 交 于E， ， ，M，N分别是
， 延长线上的点， 和 的平分线交于点F.
（1）直线 和 的位置关系是 .
（2） 的值为 ， 的值为 .
17．如图， 的度数为 ．
18．如图，P是 内一点， ，过点P作直线 ，交 分别于E，F．
若 ，则 ．三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）如图，在 中，按下列要求画图并填空：
(1) 画 边 上的高 ；
(2) 在 上，连接 ，使得 ，请画出点 ；
(3) 已知 ， ， ，那么点 到直线 的距离为_______， 的面积为_______．
20．（8分）已知a、b、c为 的三边长，且b、c满足 ，a为方程 的解，
求 的周长，并判断 的形状．
21．（10分）如图， 中，D是 上一点，过D作 交 于E，F是 上一点，连接 ，．
(1) 判断 与 的位置关系，并说明理由．
(2) 若 ， 平分 ，则 的度数为______°．
22．（10分）在 中， ， 均为锐角且不相等，线段 是 中 边上的高， 是
的角平分线．
(1) 如图1， ， ，求 的度数；
(2) 若 ， ，则 ______；
(3) 是射线 上一动点，C、H分别为线段A ， 上的点（不与端点重合），将 沿着 折叠，
使点B落到点F处，如图2所示，请直接写出 ， 与 的数量关系．
23．（10分）某中学七年级数学课外兴趣小组在探究：“ 边形 共有多少条对角线”这一问题时，设计了如下表格，请在表格中的横线上填上相应的结果：
多边形的边数
从多边形的一个顶点出
______ ______
发
多边形对角线的总条数 ______ ______ ______
应用得到的结果解决以下问题：
①求十二边形有多少条对角线？
②过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数的和可能为 吗？若
能，请求出这个多边形的边数；若不能，请说明理由．
24．（12分）【相关概念】将多边形的内角一边反向延长，与另一条边相夹形成的那个角叫做多边形的外
角．如图，将 中 的边CB反向延长，与另一边AC形成的 即为 的一个外角．三
角形外角和与三角形内角和对应，为与三个内角分别相邻的三个外角的和．
【求解方法】借助一组内角与外角的数量关系，可以求出三角形的外角和．
如图， 的外角和
．
．【自主探究】根据以上提示，完成下列问题：
(1) 将下列表格补充完整．
名称 图形 内角和 外角和
三角形 180° 360°
四边形
五边形
… … … …
n边形 …
(2) 如果一个八边形的每一个内角都相等，请用两种不同的方法求出这个八边形一个内角的度数．参考答案
1．A
【分析】分别利用三角形的稳定性和四边形的不稳定性等知识进行判断即可．
【详解】A、自行车的三角车架是利用了三角形的稳定性，符合题意；
B、用两颗钉子把木条固定在墙上是利用了两点确定一条直线，不符合题意；
C、学校大门口的伸缩门利用了四边形的不稳定性，不符合题意；
D、四条腿的方桌不是利用了三角形的稳定性，不符合题意．
故选：A．
【点拨】考查了三角形的稳定性，解题的关键是了解三角形具有稳定性和四边形具有不稳定性，难度不大．
2．C
【分析】根据三角形内角和定理计算．
【详解】∠A＋∠B＋∠C＝180°，
因为∠A＝β，∠B＝2β，
所以∠A＋∠B＝3β＝∠C＝90°，
ABC的形状是直角三角形．
△故选C．
【点拨】本题考查的知识点是三角形内角和定理，解题关键是利用三角形内角和定理确定三角形的形状．
3．C
【分析】根据三角形三边关系求解．
【详解】由三角形三边关系：A. 2cm，4cm，7cm， ，不能组成，本选项不合题意，
B. 3cm，6cm，9cm， ，不能组成，本选项不合题意，
C. 3cm，4cm，5cm， ，可以组成，本选项符合题意，
D. 4cm，4cm，9cm， ，不能组成，本选项不合题意；
故选：C．
【点拨】本题考查三角形三边关系定理，熟悉相关定理是解题的关键．
4．A
【分析】首先利用中线的性质可以求出 的面积，然后利用三角形的面积公式即可求解．
【详解】解：∵ 为 的中线，
∴ ，
∵ 的面积为5，
∴ ，
∵ 为 的高线， ，
∴ ，
∴ ．
故选：A．
【点拨】本题主要考查了三角形的面积，同时也利用了三角形的中线的性质，熟记三角形的中线等分三角
形的面积是解本题的关键．
5．D
【分析】根据三角形内角和得出 ，利用角平分线得出 ，再利用平行线的性质解答即可．
【详解】解： ， ，
，
平分 交 于点 ，
，
，
，
故选：D．
【点拨】此题考查三角形内角和问题，关键是根据三角形内角和、角平分线的定义和平行线的性质解答．
6．D【分析】由折叠性质知， ， ，再根据平角定义由 求得 和 ，
再根据三角形内角和定理求得 和 ，由平角定义求得 ，进而根据角的和差求得 ．
【详解】解：由折叠性质知， ， ，
，
，
，
，
，
故选：D．
【点拨】本题主要考查了折叠的性质，三角形的内角和定理，平角的定义，关键是正确应用三角形的内角
和定理解题．
7．D
【分析】根据角平分线的定义得出， ， ， ，根
据三角形的内角和定理得出， ，根据三角形外角性质得出
，根据已知结论逐步推理，即可判断各项．
【详解】解：①∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故①正确；
②∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ， ，
∴ ，即 ，故②正确；
③∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，故③正确；
④∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，故④正确；
综上，正确的有①②③④，共4个，
故选：D．
【点拨】本题考查了三角形外角的性质、角平分线的定义、平行线的性质、三角形内角和定理的应用，主
要考查学生的推理能力，有一定难度．
8．B
【分析】首先利用多边形的每一个外角的度数求得多边形的边数n，再求出此多边形的对角线的条数即可．
【详解】解：360°÷36°=10，
对角线总条数为 （条），
故选：B
【点拨】本题主要考查了多边形的外角和定理，已知外角求边数的这种方法是需要熟记的内容．关键是熟悉n边形对角线的条数的规律．
9．B
【分析】先计算出正六边形的内角，根据平面镶嵌的条件计算求解．
【详解】解：正六边形的一个内角度数为 ，
∴ 的度数为 ，
故选：B．
【点拨】本题考查了平面镶嵌，也考查了正多边形内角的计算方法，掌握正多边形的概念，理解几何图形
镶嵌成平面是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角是解题关键．
10．B
【分析】由 可得 ，再结合三角形内角和和外角性质推理即可．
【详解】∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴
，
故选：B．
【点拨】本题考查平行线的性质，三角形内角和，三角形外角性质，熟练找到角度关系是解题的关键．
11． /
【分析】先根据非负数的性质求出a、b的值，再根据三角形三边的关系进行求解即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，∴ ，即 ，
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了非负数的性质，三角形三边的关系，解二元一次方程组，熟知三角形任意两边之
和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键．
12．4
【分析】由 ，推出 ，再根据三角形的面积公式即可得出答案．
【详解】解：∵ 是 的中线，
∴ ，
∵ 是 的中线，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
解得： ，
∴ ．
故答案为：4．
【点拨】本题考查了三角形的面积、三角形的中线的性质等知识，理解三角形高的定义，熟练掌握三角形
的面积公式是解题的关键．
13．2
【分析】根据三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的概念进行判断．连接三角形的顶点和对边
中点的线段即为三角形的中线；三角形的一个角的角平分线和对边相交，顶点和交点间的线段叫三角形的
角平分线；从三角形的一个顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段叫三角形的高．
【详解】解：①根据三角形的角平分线的概念，知 是 的角平分线，故此说法错误；
②根据三角形的中线的概念，知 是 的边 上的中线，故此说法错误；③根据三角形的高的概念，知 为 的边 上的高，故此说法正确；
④根据三角形的角平分线和高的概念，知 是 的角平分线和高线，故此说法正确．
正确的有2个，
故答案为：2．
【点拨】本题考查了三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的概念，注意：三角形的角平分线、
中线、高都是线段，且都是顶点和三角形的某条边相交的交点之间的线段．透彻理解定义是解题的关键．
14．40
【分析】连接 ，在 中，求出 ，然后再 中，求出 ，即可求解．
【详解】解：连接 ，如图所示，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：40．
【点拨】本题考查了三角形内角和的度数以及对顶角相等，灵活运用所学知识是解题关键．
15． / / ．【分析】根据矩、宣、欘的概念计算即可．
【详解】解：由题意可知，
矩 ，
欘 宣 矩 ，
，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了新概念的理解，直角三角形锐角互余，角度的计算；解题的关键是新概念的理解，并
正确计算．
16．
【分析】过点 作 交 于点 ，可得 ，根据 ， ，可推
出 ，从而得到 ，求出 根据角平分线的定义得到
，再利用多边形内角和定理计算可得 ．
【详解】解：如图，过点 作 交 于点 ，则 ，
，
，
∵ ，
，
，
，
平分 ，
，
，
，
∵ ，
∴ ．
和 的平分线交于点 ，
∴ ，
，
∴ ，故答案为： ， ， ．
【点拨】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，三角形和多边形内角和定理，是一道综合性
较强的题．
17． /180度
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得 ，
，然后利用三角形的内角和定理即可得解．
【详解】解：如图，
∵ 是 的外角， 是 的外角，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查三角形外角的性质，三角形的内角和定理．三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内
角的和．熟记性质并准确识图是解题的关键．
18．56
【分析】如图，连接 ，由题意知， ，则
，由 ，可知 ，则，根据 ，即
，计算求解即可．
【详解】解：如图，连接 ，
由题意知， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
故答案为：56．
【点拨】本题考查了三角形内角和定理．解题的关键在于明确角度之间的数量关系．
19．(1)见解析(2)见解析(3)4，
【分析】（1）根据画高的方法作图即可；
（2）根据平行线的性质只需要令 即可得到 ；
（3）根据点到直线的距离的定义即可求出点 到直线 的距离；先求出 ，根据平行线的性质
得到 ，则 ．【详解】（1）解：如图所示， 即为所求；
（2）解：如图所示，点E即为所求；
（3）解：∵ ， ，
∴点 到直线 的距离为4；
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点拨】本题主要考查了画三角形的高，画平行线，三角形面积，平行线的性质等等，灵活运用所学知识
是解题的关键．
20． 的周长为17， 是等腰三角形．
【分析】依据非负数的性质，即可得到b和c的值，再根据a为方程 的解，即可得到 或1，
依据三角形三边关系，即可得到 ，进而得出 的周长，以及 的形状．
【详解】解：∵ ，
∴ ，解得 ，
∵a为方程 的解，
∴ 或1，
当 时， ，
不能组成三角形，故 不合题意；
∴ ，
∴ 的周长 ，
∵ ，
∴ 是等腰三角形．
【点拨】本题主要考查了三角形的三边关系以及非负数的性质，等腰三角形的定义，掌握非负数的性质是
解题的关键．
21．(1) ，理由见解析(2)
【分析】（1）根据 ，得出 ，又因为 ，等量代换得 ，最后根据同
位角相等，两直线平行即可证明；
（2）根据 ，得出 ，再根据 平分 ，得出 ，最后在
中利用三角形内角和等于 即可求解．
【详解】（1） ，理由如下：
证明： ，
，
又 ，
，
；
（2）解： ，
，
平分 ，
，
在 中，
，
．故答案为 ．
【点拨】本题考查了平行线的性质和判定，解题的关键是掌握题中各角之间的位置关系和数量关系．
22．(1) (2) (3)
【分析】（1）根据三角形的内角和定理，求出 ，则 ，再求出
，最后根据 求解即可；
（2）根据直角三角形两个锐角互余可得 ，进而得出 ，再根据角平分线的
定义得出 ，最后根据三角形的内角和定理即可求解；
（3）连接 ，根据三角形的外角定理得出 ，再根据折叠的性质得出 ，
即可得出结论．
【详解】（1）解：在 中， ， ，
∴ ，
∵ 是 的角平分线．
∴ ，
∵线段 是 中 边上的高，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
（2）解：∵ ，线段 是 中 边上的高，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 是 的角平分线，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
（3）解：连接 ，∵ ， ，
∴ ，
∵ 由 折叠所得，
∴ ，
∴ ．
【点拨】本题主要考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，三角形的外角定理，解题的关键是掌握
三角形的内角和为 ，直角三角形两个锐角互余，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和．
23．填表： ；①54；②可以为 ，这个多边形的边数1014
【分析】根据题意求出相应数据，填表即可；
①由表格探求的 边形对角线总条数公式： 得出最终结果；
②从 边形的一个顶点出发可引 条对角线，这些对角线分多边形所得的三角形个数为 ，据此求
解．
【详解】解：填表如下：
多边形的边数
从多边形的一个顶点出发 3
多边形对角线的总条数 5 9
故答案为：3， ， ， ；
把 代入 得， ．
十二边形有 条对角线．
能．由题意得， 23，
解得 =1014．
多边形的边数n是正整数，
过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数的和可以为 ，这个
多边形的边数1014．
【点拨】本题考查 边形对角线公式，过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得
的三角形个数，掌握对角线数量形成的规律，熟练应用规律是解题关键．
24．(1)内角和分别为：360°、540°、180°（n-2）；外角和分别为：360°、360°、360°
(2)135°
【分析】（1）分别对图中四边形和五边形标注字母，然后根据题目中所给定的方法分别计算其内角和与
外角和，最后根据规律确定出n边形的内角和与外角和即可；
（2）方法一：根据（1）中内角和公式求出内角和，然后除以角的个数即可；方法二：先求出各个外角的
度数，然后用 减去一个外角的度数，即为内角度数．
【详解】（1）解：四边形标定字母如图所示，连接CG，
四边形分为两个三角形，
四边形内角和为 ，
∴
外角和为：
，
，
；
五边形标定字母如图所示，连接DA，DB，五边形分为三个三角形，
五边形内角和为 ，
∴
外角和为：
，
，
；
当为n边形时，可以分为 个三角形，
n边形内角和为 ；
∴
外角和为定值 ；
故答案为：内角和分别为： 、 、 ；
外角和分别为： 、 、 ；
（2）解：方法一： ，
方法二： ．
【点拨】题目主要考查多边形内角和与外角和定理，理解题意，熟练掌握多边形内角和与外角和定理是解
题关键．
