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2022-2023学年七年级数学下册尖子生培优题典【人教版】
专题8.4三元一次方程组专项提升训练（重难点培优）
班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
注意事项：
本试卷满分120分，试题共24题，其中选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑
色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
{2x−y+3z=1
1．（2022•南京模拟）解方程组 3x+ y−7z=2，如果要使运算简便，那么消元时最好应（ ）
5x−y+3z=3
A．先消去x B．先消去y C．先消去z D．先消常数项
【分析】观察发现，未知数y的系数具有相同，或互为相反数，从而可确定先消去y．
【解答】解：观察未知数x，y，z的系数特点发现：
未知数y的系数要么相等，要么互为相反数，
所以要使运算简便，那么消元时最好应先消去y，
故选：B．
{
x+ y=2
2．（2022春•岚山区期末）已知方程组 y+z=−1，则x+y+z的值是（ ）
z+x=3
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】把三个方程相加，即可得出x+y+z的值．
{
x+ y=2①
【解答】解： y+z=−1②，
z+x=3③
①+②+③，得2x+2y+2z＝4，
即2（x+y+z）＝4，
解得x+y+z＝2．
故选：B．
{ x=3 y x
3．（2022春•巴东县期末）已知 ，且y≠0，则 的值为（ ）
y+4z=0 z
3 3
A． B．− C．﹣12 D．12
4 4
【分析】由②得出y＝﹣4z③，把③代入①得出x＝3×（﹣4z），求出x＝﹣12z，再等式两边都除以z即可．
{ x=3 y ①
【解答】解： ，
y+4z=0 ②
由②，得y＝﹣4z③，
把③代入①，得x＝3×（﹣4z），
即x＝﹣12z，
x
等式两边都除以z得： =−12，
z
故选：C．
{ 4x+3 y+z=7
4．（2022春•黄冈期末）已知x，y，z满足 ，则2x+y﹣z的值为（ ）
2x−3 y−13z=−1
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】按照解三元一次方程组的步骤先求出x＝1+2z，y＝1﹣3z，然后代入式子中进行计算即可解答．
{ 4x+3 y+z=7①
【解答】解： ，
2x−3 y−13z=−1②
①+②得：
6x﹣12z＝6，
x﹣2z＝1，
x＝1+2z，
把x＝1+2z代入①中得：
4（1+2z）+3y+z＝7，
4+8z+3y+z＝7，
9z+3y＝3，
y＝1﹣3z，
把x＝1+2z，y＝1﹣3z代入2x+y﹣z中得：
2（1+2z）+1﹣3z﹣z
＝2+4z+1﹣3z﹣z
＝3，
故选：B．
{x=a
{ x−by+4z=1
5．（2022春•南安市期末）若方程组 的解是 y=1，则a+b+6c的值是（ ）
x−2by+3z=3
z=c
A．﹣3 B．0 C．3 D．6【分析】把x，y与z代入方程组，将c看作已知数表示出a与b，代入原式计算即可求出值．
{x=a
{a−b+4c=1①
【解答】解：把 y=1代入方程组得： ，
a−2b+3c=3②
z=c
①﹣②得：b+c＝﹣2，即b＝﹣2﹣c，
①×2﹣②得：a+5c＝﹣1，即a＝﹣5c﹣1，
则原式＝﹣5c﹣1﹣2﹣c+6c＝﹣3．
故选：A．
{
x+ y=3
6．（2022春•青龙县期中）已知方程组 y+z=−6，则x+y+z的值是（ ）
z+x=9
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】把三个方程相加，进行计算即可解答．
{
x+ y=3①
【解答】解： y+z=−6②，
z+x=9③
①+②+③得：
2x+2y+2z＝3+（﹣6）+9，
∴x+y+z＝3，
故选：A．
7．（2022春•滨州期末）有甲、乙、丙三种文具，若购买甲1件，乙2件比购买丙1件，多花9元；若购
甲2件，丙8件比购买乙1件多花18元．现在购买甲、乙、丙各一件文具，则共需费用（ ）
A．7元 B．8元 C．9元 D．10元
【分析】设甲文具的单价为x元，乙文具的单价为y元，丙文具的单价为z元，根据“若购买甲1件，
乙2件比购买丙1件，多花9元；若购甲2件，丙8件比购买乙1件多花18元”，即可得出关于x，y，
z的三元一次方程组，利用（3×①+②）÷5，即可求出购买甲、乙、丙各一件文具所需的费用．
【解答】解：设甲文具的单价为x元，乙文具的单价为y元，丙文具的单价为z元，
{ x+2y−z=9①
依题意，得： ，
2x+8z−y=18②
∴（3×①+②）÷5，得：x+y+z＝9．
故选：C．
8．（2022春•如东县期中）三个二元一次方程3x﹣y＝7，2x+3y＝1，y＝kx﹣9有公共解，则k的值是（
）16
A．3 B．− C．﹣2 D．4
3
【分析】利用方程3x﹣y＝7和2x+3y＝1组成方程组，求出x、y，再代入y＝kx﹣9求出k值．
{3x−y=7①
【解答】解： ，
2x+3 y=1②
把①式两边乘3，得9x﹣3y＝21③，
②+①得11x＝22，得x＝2，
把x＝2代入①得6﹣y＝7，
解得y＝﹣1，
{ x=2
将 代入y＝kx﹣9得2k﹣9＝﹣1，
y=−1
解得k＝4．
故选：D．
9．（2021秋•肥西县月考）如图，边长为x的两个正方形靠边各放置两个边长为a，b的长方形，然后分
别以a+x，b+x构造两个大正方形，根据图中的数据，可求得x的值是（ ）
A．80cm B．75cm C．70cm D．65cm
【分析】根据两个图形分别可得a+x＝b+90，b+x＝a+60，联立方程组求解即可．
{a+x=b+90①
【解答】解：由题意得： ，
b+x=a+60②
①+②得：a+b+2x＝a+b+150，
解得：x＝75，
故选：B．
{ax−by=−2 {x=3
10．（2022 春•绍兴期末）若关于 x、y 的二元一次方程组 的解为 ，则方程组
cx+dy=4 y=2
{ax−by+2a+b=−2
的解为（ ）
cx+dy−d=4−2c{x=1 {x=1 {x=2 {x=2
A． B． C． D．
y=2 y=3 y=2 y=3
【分析】先将所求的方程组化简为{a(x+2)−b(y−1)=2，再结合已知方程组的解可得{x+2=3，求
c(x+2)+d(y−1)=4 y−1=2
解即可．
【解答】解：化简方程组{ax−by+2a+b=−2为方程组{a(x+2)−b(y−1)=2，
cx+dy−d=4−2c c(x+2)+d(y−1)=4
{ax−by=−2 {x=3
∵二元一次方程组 的解为 ，
cx+dy=4 y=2
{x+2=3
∴ ，
y−1=2
{x=1
解得 ，
y=3
故选：B．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
{
x+ y=5
11．（2022春•开福区校级期中）已知 y+z=−2，则x+y+z＝ 0 ．
z+x=3
【分析】三式相加再两边同时除以2即可得答案．
【解答】解：将三个方程相加得：2（x+y+z）＝0，
∴x+y+z＝0．
{x+ y=5 {x=2
12．（2022春•洪雅县期末）三元一次方程组 y+z=9的解是 y=3 ．
z+x=8 z=6
【分析】将方程组三个方程相加求出x+y+z的值，进而将每一个方程代入即可求出x，y，z的值．
{x+ y=5①
【解答】解： y+z=9②，
z+x=8③
①+②+③得：2（x+y+z）＝22，即x+y+z＝11④，
将①代入④得：z＝6，
将②代入④得：x＝2，
将③代入④得：y＝3，{x=2
则方程组的解为 y=3．
z=6
{x=2
故答案为： y=3
z=6
{3x+5 y=m−4
13．（2021春•饶平县校级期末）已知关于x，y的方程组为 ，若x+y＝﹣1，则m＝ ﹣ 3
x+2y=m
．
【分析】将上述两式相减，整理得，2x+3y＝﹣4，由x+y＝﹣1，得x＝﹣1﹣y，再将其代入2x+3y＝﹣
4，求得x和y的值，然后将x和y的值代x+2y＝m，即可求得m的值．
{3x+5 y=m−4
【解答】解：
x+2y=m
将上述两式相减，整理得
2x+3y＝﹣4，①
由x+y＝﹣1，得
x＝﹣1﹣y，②
将②代入①得
y＝﹣2，
把y＝﹣2代入②得
x＝1，
将x＝1，y＝﹣2代入x+2y＝m得
m＝﹣3．
故答案为﹣3．
{ x=4 { y=3
14．（2021春•高新区期末）如果方程组 的解与方程组 的解相同，则a+b＝ 1 ．
ax+by=5 bx+ay=2
{x=4
【分析】两个方程组的解相同，意思是这两个方程组中的 x都等于4，y都等于3，即 是方程组
y=3
{ax+by=5
的解，根据方程组的解的定义，即可求出a+b的值．
bx+ay=2
{x=4 {ax+by=5
【解答】解：依题意，知 是方程组 的解，
y=3 bx+ay=2
{4a+3b=5①
∴
3b+4a=2②①+②，得7a+7b＝7，
方程两边都除以7，得a+b＝1．
a b c
15．（2021春•南陵县期末）已知： = = ，且3a+2b﹣4c＝9，则a+b+c的值等于 ﹣ 1 5 ．
3 5 7
【分析】先设比例系数为k，代入3a+2b﹣4c＝9，转化为关于k的一元一次方程解答．
a b c
【解答】解：设 = = =k，
3 5 7
则a＝3k，b＝5k，c＝7k，
代入3a+2b﹣4c＝9，
得9k+10k﹣28k＝9，
解得：k＝﹣1，
∴a＝﹣3，b＝﹣5，c＝﹣7，
于是a+b+c＝﹣3﹣5﹣7＝﹣15．
故本题答案为：﹣15．
16．（2020春•淮阳区期末）有A、B、C三种商品，如果购5件A、2件B、3件C共需513元，购3件
A、6件B、5件C共需375元，那么购A、B、C各一件共需 11 1 元．
【分析】设A、B和C商品的单价分别为x，y和z元，则根据“购5件A、2件B、3件C共需513元，
购3件A、6件B、5件C共需375元”列出方程组，然后求解x+y+z即可．
【解答】解：设A、B和C商品的单价分别为x，y和z元，
{5x+2y+3z=513 ①
根据题意可列方程 ，
3x+6 y+5z=375 ②
由①+②得，
8x+8y+8z＝888，
化简得x+y+z＝111．
答：购A、B、C各一件共需 111元
17．（2020春•水磨沟区校级期中）“六一”儿童节将至，“孩子王”儿童商店推出甲、乙、丙三种特价
玩具，若购甲3件，乙2件，丙1件需400元：购甲1件，乙2件，丙3件需440元，则购买甲、乙、
丙三种玩具各一件需 21 0 元．
【分析】设甲玩具的单价为x元，乙玩具的单价为y元，丙玩具的单价为z元，根据“购甲3件，乙2
件，丙1件需400元：购甲1件，乙2件，丙3件需440元”，即可得出关于x，y，z的三元一次方程组，
再利用（①+②）÷4，即可求出结论．
【解答】解：设甲玩具的单价为x元，乙玩具的单价为y元，丙玩具的单价为z元，{3x+2y+z=400①
依题意，得： ，
x+2y+3z=440②
（①+②）÷4，得：x+y+z＝210．
故答案为：210．
18．（2019春•利川市期末）小丽在3张同样的卡片上各写了一个正整数，从中随机抽取2张，并将它们
上面的数字相加．重复这样做，每次所得的和都是5，6，7中的一个数，并且这3个数都能抽取到．那
么，小丽在这3张卡片上写的数字分别是 2 ， 3 ， 4 ．
【分析】三张卡片上的数分别用a，b，c表示，随机抽取2张，每次所得的和都是5，6，7中的一个数，
则a+b＝5，a+c＝6，b+c＝7．解之可得．
【解答】解：令三张卡片上的数分别用a，b，c表示，依题意得，
{a+b=5
a+c=6，
b+c=7
把这三个方程相加得a+b+c＝9，
可解得a＝2，b＝3，c＝4，
答：小丽在这3张卡片上写的数字分别是：2，3，4．
三、解答题（本大题共6小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
{x−z=−5
19．（2019春•金山区期末）解方程组： x+ y=7 ．
z−y=8
{x−y=3
【分析】①+③得出x﹣y＝3④，由④和②组成二元一次方程组 ，求出x、y的值，把x＝5
x+ y=7
代入①求出z即可．
{x−z=−5①
【解答】解： x+ y=7②
z−y=8③
①+③得：x﹣y＝3④，
{x−y=3
由④和②组成方程组 ，
x+ y=7
{x=5
解得： ，
y=2
把x＝5代入①得：5﹣z＝﹣5，
解得：z＝10，{x=5
所以原方程组的解为 y=2．
z=10
{3x+2y+z=4
20．（2021春•浦东新区校级期末）解方程组 2x−y=−7 ．
2x+3 y−z=1
【分析】先将三元一次方程组通过加减消元法转化为二元一次方程组，再通过加减消元法转化为一元一
次方程，从而可以解答本题．
{3x+2y+z=4 ①
【解答】解： 2x−y=−7 ②，
2x+3 y−z=1 ③
①+③，得5x+5y＝5④，
②×5+④，得15x＝﹣30，
解得x＝﹣2，
将x＝﹣2代入②，得y＝3，
将x＝﹣2，y＝3代入①，得z＝4．
{x=−2
故原方程组的解是 y=3 ．
z=4
21．（2020春•涪城区校级期末）在等式y＝ax2+bx+c中，当x＝1时，y＝2；当x＝﹣1时，y＝20；当x
3 1
= 与x= 时，y的值相等，求a，b，c的值．
2 3
【分析】根据题意列出关于a，b，c的方程组，求出方程组的解即可得到a，b，c的值．
3 1
【解答】解：在等式y＝ax2+bx+c中，当x＝1时，y＝2；当x＝﹣1时，y＝20；当x= 与x= 时，y的
2 3
值相等，
a+b+c=2①
{
a−b+c=20②
得到 ，
9 3 1 1
a+ b+c= a+ b+c③
4 2 9 3
54 67
解得：a= ，b＝﹣9，c= ．
11 11
{ 2x+ y=6m
22．（2009秋•越城区期末）已知关于 x，y的二元一次方程组 的解满足二元一次方程
3x−2y=2mx y
− =4，求m的值．
3 5
x y
【分析】理解清楚题意，运用三元一次方程组的知识，把x，y用m表示出来，代入方程 − =4求出
3 5
m的值．
【解答】解：由题意得三元一次方程组：
2x+ y=6m
{
{
2x+ y=6m①
3x−2y=2m
化简得 3x−2y=2m②
x y
− =4 5x−3 y=60③
3 5
①+②﹣③得：2y＝8m﹣60，
y＝4m﹣30 ④，
②×2﹣①×3得：7y＝14m，
y＝2m⑤，
由④⑤得：4m﹣30＝2m，
2m＝30，
∴m＝15．
23．买2匹马、3头牛或4只羊，价钱分别都不满10000文（古时货币单位）．如果买2匹马加上1头牛，
或者买3头牛加上1只羊，或者买4只羊加上1匹马，那么各自的价钱正好都是10000文．求马、牛、
羊的单价．
【分析】直接利用买2匹马加上1头牛，或者买3头牛加上1只羊，或者买4只羊加上1匹马，各自的
价钱正好都是10000文，得出等式组成方程组求出答案．
【解答】解：设1匹马的价格为x文，1头牛的价格为y文，1只羊的价格为z文，根据题意可得：
{2x+ y=10000
3 y+z=10000，
4z+x=10000
{x=3600
解得： y=2800，
z=1600
答：1匹马的价格为3600文，1头牛的价格为2800文，1只羊的价格为1600文．
24．（2022春•绍兴期末）2022年北京冬奥会取得了圆满成功，巧妙蕴含中华文化的冬奥场馆，是北京冬
奥会上一道特有的风景．某校40名同学要去参观A、B、C三个冬奥场馆，每一位同学只能选择一个场
馆参观．已知购买2张A场馆门票加1张B场馆的门票共需要110元，购买3张A场馆门票和2张B场馆门票共需要180元．
（1）求A场馆和B场馆门票的单价；
（2）已知C场馆门票每张售价15元，且参观当天有优惠活动：每购买1张A场馆门票就赠送1张C场
馆门票．
①若购买A场馆门票赠送的C场馆门票刚好够参观C场馆的同学使用，此次购买门票所需总金额为
1140元，则购买A场馆门票 3 张；
②若参观C场馆的同学除了使用掉赠送的门票外，还需另外购买部分门票，且最终购买三种门票共花
费了1035元，求所有满足条件的购买方案．
【分析】（1）设A场馆门票的单价为x元，B场馆门票的单价为y元，根据“购买2张A场馆门票和1
张B场馆门票共需要110元，购买3张A场馆门票和2张B场馆门票共需要180元”，即可得出关于
x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）①设购买A场馆门票a张，则购买B场馆门票（40﹣2a）张，根据此次购买门票所需总金额为
1140元，列方程即可；
②设购买A场馆门票m张，C场馆门票n张，则购买B场馆门票（40﹣2m﹣n），利用购买门票所需总
金额＝门票单价×购买数量，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出
m，n的值，再结合到A场馆参观的人数要少于到B场馆参观的人数，即可得出各购买方案．
【解答】解：（1）设A场馆门票的单价为x元，B场馆门票的单价为y元，
{2x+ y=110
依题意得： ，
3x+2y=180
{x=40
解得： ．
y=30
答：A场馆门票的单价为40元，B场馆门票的单价为30元．
（2）①设购买A场馆门票a张，则购买B场馆门票（40﹣2a）张，
40a+30（40﹣2a）＝1140，
解得a＝3，
故答案为：3．
②设购买A场馆门票m张，C场馆门票n张，则购买B场馆门票（40﹣2m﹣n），
依题意得：40m+30（40﹣2m﹣n）+15n＝1035，
4
∴n＝11− m．
3
又∵m，n均为正整数，{m=3 {m=6
∴ 或 ．
n=7 n=3
当m＝3，n＝7时，40﹣2m﹣n＝40﹣2×3﹣7＝27，
当m＝6，n＝3时，40﹣2m﹣n＝40﹣2×6﹣3＝25，
∴共有2种购买方案，
方案1：购买3张A场馆门票，27张B场馆门票，7张C场馆门票；
方案2：购买6张A场馆门票，25张B场馆门票，3张C场馆门票．
