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第11 章 三角形（单元测试·基础卷）
【要点回顾】
【知识点1】三角形的有关概念和性质
1.三角形三边的关系：
定理：三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边的之差小于第三边.
2.三角形按“边”分类：
不等边三角形
三角形 底边和腰不相等的等腰三角形
等腰三角形
等边三角形
3.三角形的重要线段：
（1）三角形的高
从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称
三角形的高．
（2）三角形的中线
三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线．
（3）三角形的角平分线
三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平
分线.
【知识点2】三角形的稳定性
如果三角形的三边固定，那么三角形的形状大小就完全固定了，这个性质叫做三角形的稳定性．
【知识点3】三角形的内角和与外角和
1.三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．
推论：1.直角三角形的两个锐角互余；2.有两个角互余的三角形是直角三角形
2.三角形的外角和： 三角形的外角和等于360°.
【知识点5】多边形内角和与外角和
1.内角和公式：n边形的内角和为(n－2)·180°(n≥3，n是正整数) ．
2.多边形外角和：n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关.
【知识点6】镶嵌
定义：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面
(或平面镶嵌)．这里的多边形可以形状相同，也可以形状不相同.
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列图形具有稳定性的是（ ）A． B． C． D．
2．以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．图中的三角形被木板遮住了一部分，那么这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都有可能
4．下列四个图中，正确画出 中 边上的高是（ ）
A． B． C． D．
5．直角三角形一个锐角是30度，另一个锐角的度数是（ ）
A．60度 B．30度 C．90度 D．45度
6．如图， 中， ，沿着图中的 折叠 ，点 刚好落在边 上的点 处，
则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，将一副直角三角板按如图所示的方式放置， 与 交于点E，则 的度数为（ ）A． B． C． D．
8．一个n边形从一个顶点可引3条对角线，则n为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
9．小明家住黄山市，小明的爸爸刚在市区买了一套住房，带着小明去选地砖准备装修，看着满目美丽的
正三角形，正方形、正六边形、正八边形地砖，不知道选哪种好，但是爸爸告诉小明：有一种地砖是不能
单独铺满地面的，必须与另外一种形状的地砖混合使用，让小明指出这种地砖，小明略加思考便选出来了，
小明选择的地砖的形状是（ ）
A．正三角形 B．正方形 C．正八边形 D．正六边形
10．如图，将五边形 沿对角线 所在的直线剪开，得到四边形 和 ，设四边形内角和
为 ，三角形内角和为 ，则 与 的关系式（ ）
A． B． C． D．无法确定
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．一个三角形的两边长分别为2和14，第三边长为偶数，则第三边长为 ．
12．如图，BD是 的中线， cm， cm，那么 的周长比 的周长多
cm．
13．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B=35°，∠ACE=60°，则∠A= ．14．将一副三角板按如图所示的位置摆放，图中 °．
15．如图， ， ，则 的度数为 ．
16．若n边形的外角和等于内角和，则边数 ．
17．如图，△ABC中，D是BC边上的一点(不与B，C重合)，点E，F是线段AD的三等分点，记△BDF
的面积为S，△ACE的面积为S，若S+S=3，则△ABC的面积为
1 2 1 2
18．如图，点B，C，D都在直线l上，点A是直线外一点， ．若 ， ， ，
则 长的最小值为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）某木材市场上的木棍规格与价格如表：
规格（m） 1 2 3 4 5 6
价格（元/根） 5 10 15 20 25 30小明现有两根长度为 和 的木棍，
(1) 现再从该市场上购买一根木棍，钉成一个三角形支架，若接头忽略不计，问有几种购买方案？
(2) 若想花费最少的钱，则他应该选择的规格是哪种？
20．（8分）20．如图，在 中， ， 分别是 ， 边上的中线．已知 ， ，且
的周长为15， 边上的高为3.96，求 的面积．
21．（10分）如图所示， 的两边上各有一点 ，连接 ，求证 ．22．（10分）如图，在 中， 于D， 平分 交 于点E ， ，求
的度数．
请完善解答过程，并在括号内填写相应的理论依据．
解： （ ），
（等式的性质）．
∵ 平分 （已知），
∴ （ ）．
∵ (已知），
∴
∵
∴ = ．
23．（10分）在 中，点 是 延长线上一点．
(1)如图1，过点 作 ，交 于点 ， ．
①若 ，则 ______°；
②试写出 与 的数量关系，并说明理由；
③当 时，求 的度数；
④若 ，请说明 ；
(2)如图2， 交 于点 ， ，直接写出 、 与 之间的数量关系．24．（12分）在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形．三角形的内角和是180º，那么，
四边形的内角和是多少度呢？如图，作四边形 的对角线 ，它把四边形分成两个三角形，四边形
的四个角的和就是这两个三角形的内角的和，因此，四边形的内角和等于 ．
(1) 过五边形一个顶点的对角线，可以把五边形分成几个三角形？它的内角和是多少度？
(2) 对于六边形呢？七边形呢？……过n边形一个顶点的所有对角线，可以把n边形分成多少个三角形？n
边形的内角和是多少度？参考答案
1．D
【分析】根据三角形具有稳定性解答．
【详解】解：选项中只有选项D是三角形组成，故具有稳定性．
故选：D．
【点拨】本题考查了三角形具有稳定性，是基础题，需熟记，关键是根据三角形具有稳定性解答．
2．D
【分析】根据三角形三边关系：较短边的和大于较长边的长度即可解答．
【详解】解：∵ ，
∴较短边的和等于较长边的边长，
∴此三角形不存在，
故 项不符合题意；
∵ ，
∴较短边的和小于较长边的边长，
∴此三角形不存在，
故 项不符合题意；
∵ ，
∴较短边的和等于较长边的边长，
∴此三角形不存在，
故 项不符合题意；
∵ ，∴较短边的和大于较长边的边长，
∴此三角形存在，
故 项符合题意；
故选 ．
【点拨】本题考查了三角形三边关系：较短边的和大于较长边的长度，掌握三角形的三边关系是解题的关
键．
3．D
【分析】根据图中信息即可判定．
【详解】解：图中被木板遮住的三角形有可能是锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，
故选：D．
【点拨】本题考查了三角形分类，解题关键是要理解三角形分类的依据，图中只能看到三角形的一个锐角，
解题关键是理解另外两个角都可能是锐角，也可能有一个是直角或钝角．
4．C
【分析】从三角形一个顶点向它的对边所在直线画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高，根据三角
形的高的定义逐一判断，即可得到答案．
【详解】解：根据三角形高线的定义， 边上的高是过点A向 作垂线，垂足为D，
纵观各图形，选项A、B、D都不符合题意，只有选项C符合题意，
故选：C．
【点拨】本题考查了三角形的高，正确理解三角形的高的定义是解题关键．
5．A
【分析】直接根据直角三角形两锐角互余即可解答．
【详解】解：直角三角形一个锐角是30度，另一个锐角的度数是 ．
故选A．
【点拨】本题主要考查了三角形内角和定理，掌握直角三角形两锐角互余是解答本题的关键．
6．C
【分析】由折叠的性质可求得∠ACD=∠BCD，∠BDC=∠CDE，在△ACD中，利用外角可求得∠BDC，则可求
得答案．
【详解】解：由折叠可得∠ACD=∠BCD，∠BDC=∠CDE，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD=45°，
∵∠A=30°，∴∠BDC=∠A+∠ACD=30°+45°=75°，
∴∠CDE=75°．
故选C.
【点拨】本题主要考查折叠的性质，掌握折叠前后图形的对应线段和对应角相等是解题的关键．
7．C
【分析】根据三角形的外角性质即可得．
【详解】解：由题意得： ，
，
故选：C．
【点拨】本题考查了三角形的外角性质，熟练掌握三角形的外角性质是解题关键．
8．A
【分析】可根据n边形从一个顶点引出的对角线与边的关系： ，列方程求解．
【详解】解：设多边形有n条边，
则 ，
解得， ．
故选：A．
【点拨】本题考查了多边形的对角线．解题的关键是明确多边形有n条边，则经过多边形的一个顶点所有
的对角线有 条，经过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成 个三角形．
9．C
【分析】根据正多边形的镶嵌应符合一个内角能整除 进行判断即可．
【详解】解：A、正三角形的每个内角是 ，能整除 ，能密铺，故A不符合题意;
B、正方形的每个内角是 ，4个能密铺，故B不符合题意;
C、正八边形每个内角是 ，不能整除 ，不能密铺，故C符合题意;
D、正六边形的每个内角是 ，能整除 ，能密铺，故D不符合题意．
故选C．
【点拨】本题考查了正多边形的镶嵌，能正确求出正多边形的一个内角是解决本题的关键．
10．A
【分析】根据三角形内角和公式与三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：依题意， ，
∴ ，
故选：A．【点拨】本题考查了多边形内角和公式，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
11．14
【分析】已知两边，则第三边的长度应是大于两边的差而小于两边的和，这样就可求出第三边长的范围；
又知道第三边长为偶数，就可以知道第三边的长度．
【详解】解：设第三边长为 ，根据三角形的三边关系，得
，
即 ．
又∵第三边长是偶数，则 ，
故答案为：14．
【点拨】本题考查了三角形三边关系，需要理解的是如何根据已知的两条边求第三边的范围．同时注意第
三边长为偶数这一条件．
12．3
【分析】根据三角形的中线的概念得到 ，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【详解】解：∵BD是 的中线，
∴ ，
∴ 的周长 的周长
（cm），
∴ 的周长比 的周长多3cm，
故答案为：3．
【点拨】本题考查的是三角形的中线的概念，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
13．
【分析】根据角平分线的性质，可知∠ACD，进而根据三角形外角定理，即可求得∠A.
【详解】∵CE是角∠ACD的平分线，∠ACE=60°
∴∠ACD=120°
又∵∠ACD是 ABC的外角
∴∠A=∠ACD-∠△B=85°
故答案为85°.【点拨】本题主要考查角平分线的性质和三角形外角定理，熟知上述知识点是解答本题的关键.
14．30
【分析】先求解 ，再进行计算即可．
【详解】解：如图，标注三角形的顶点，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：
【点拨】本题考查的是邻补角的含义，三角形的内角和定理的应用，理解题意，确定角与角之间的关系是
解本题的关键．
15． /30度
【分析】根据垂线定义得出 ，根据直角三角形两锐角互余，结合 ，求出结果即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了垂线定义，直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形两锐角互余．
16．4
【分析】根据 边形的内角和可以表示成 ，外角和为 ，根据题意列方程求解．
【详解】解：由题意得 ，
解得： ．
故答案为：4．【点拨】本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，解题的关键是熟练掌握多边形的内角和公式与外
角和定理，
17．9
【分析】根据点E，F是线段AD的三等分点，可得到S ABD＝3S，S ADC＝3S，代入即可求出△ABC的
1 2
△ △
面积．
【详解】解：∵点E，F是线段AD的三等分点，
∴DF＝AE= AD，
∴S ABD＝3S，
1
△
同理可知：S ADC＝3S，
2
△
∴S ABC＝S ABD＋S ADC
△ △ △
＝3S＋3S
1 2
＝3（S＋S）
1 2
＝3×3
＝9．
故答案为：9．
【点拨】此题考查了三角形面积，解题的关键是 同底等高三角形面积之比等于对应底边之比．
18． /
【分析】根据垂线段最短，可知当 时， 最短，再根据面积相等即可得出答案．
【详解】解：根据垂线段最短，可知当 时， 最短，
∵ ， ， ， ，
∴ ，即 ，
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查垂线段最短，三角形的面积，正确理解题意是解题关键．19．(1)四种
(2)
【分析】（1）根据三角形的三边关系，求出第三边的取值范围，即可求解；
（2）根据第三根木棍时，花费最少，即可求解．
【详解】（1）解：设第三根木棒的长度为 ，
根据三角形的三边关系可得： ，
解得 ，
，4，5，6，共4种，
一共有四种方案．
（2）解：∵规格为 的木棍价格最低，
∴应该选择的规格是 ．
【点拨】本题主要考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三
边是解题的关键．
20．9.9
【分析】根据三角形中线的定义求出AB、AC，再利用三角形的周长的定义列式计算即可得BC，再用三角
形面积公式即可的解．
【详解】解：∵ ， 分别是 ， 边上的中线， ， ，
∴ ，
．
∵ 的周长为15，
∴ ，
∴ ．
【点拨】本题考查了三角形中线和高，熟记概念并准确识图是解题的关键．
21．见解析
【分析】根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和证明即可．
【详解】解： 和 是 的外角，
．
又 ，
．
【点拨】本题主要考查三角形外角的性质，熟知三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关
键．22．见解析
【分析】根据解答过程，完善推理即可．
【详解】解： （三角形内角和定理），
（等式的性质），
∵ 平分 （已知），
∴ （角平分线的定义），
∵ (已知），
∵
故答案为：三角形内角和定理， 角平分线的定义
【点拨】本题考查了垂直的定义、角平分线的定义、三角形的内角和等知识点．根据条件完成几何推理是
解题关键．
23．(1)① ；② ，理由见解析；③ ；④见解析
(2)
【分析】（1）①根据 ， ，即可求得答案．
②根据 ， ，结合等量代换，即可求得答案．
③根据②的结论，采用等量代换即可求得答案．
④根据 ，即可求得 的度数，问题即可得证．
（2）延长 至 ，根据 ，结合三角形的外角的性质可求得答案．
【详解】（1）①∵ ，
∴ ．
故答案为： ．
② ．
理由如下：
∵ ，
∴
．即 ．
③∵ ， ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
④∵ ， ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
（2） ．理由如下：
如图，延长 至 ．
∵ ， ， ，
∴ ．
【点拨】本题主要考查三角形内角和定理、三角形的外角的性质（三角形的一个外角等于与它不相邻的两
个内角的和），牢记三角形的外角的性质是解题的关键．
24．(1)见解析 (2)见解析
【分析】（1）根据五边形可分为三个三角形可得出结论；
（2）因为对角线是连结不相邻的两个顶点之间的线段，每一个顶点都有两个相邻的顶点，所以有 条
对角线，三条边组成一个三角形，故可分成 个三角形，问题得解．
【详解】（1）解：过五边形一个顶点的对角线，可以把五边形分成3个三角形，因为每个三角形的内角和
为 ，故五边形的内角和为 ．
（2）解：过六边形一个顶点的对角线，可以把五边形分成4个三角形，因为每个三角形的内角和为 ，
故五边形的内角和为 ．
过七边形一个顶点的对角线，可以把七边形分成5个三角形，因为每个三角形的内角和为180°，故五边形
的内角和为 ．……
过n边形一个顶点的对角线，可以把n边形分成 个三角形，因为每个三角形的内角和为180°，故n
边形的内角和为
【点拨】本题考查的是多边形的内角和，熟知观察出：过n边形一个顶点的对角线将n边形可以分成的三
角形的个数比边数少2是解题的关键．
