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第 14 章 整式的乘法与因式分解 章节整合练习（22 个知识点
+40 题练习）
章节知识清单练习
知识点1．同底数幂的乘法
（1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
am•an＝a m+n（m，n是正整数）
（2）推广：am•an•ap＝a m+n+p（m，n，p都是正整数）
在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如23与25，（a2b2）3与（a2b2）4，（x﹣y）2
与（x﹣y）3等；②a可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指
数相加．
（3）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要抓
住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂．
知识点2．幂的乘方与积的乘方
（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．
（am）n＝amn（m，n是正整数）
注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，
这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．
（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
（ab）n＝anbn（n是正整数）
注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，
计算出最后的结果．
知识点3．同底数幂的除法
同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．
am÷an＝a m﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n）
①底数a≠0，因为0不能做除数；
②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什
么．
知识点4．单项式乘单项式
运算性质：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，
则连同它的指数作为积的一个因式．
注意：①在计算时，应先进行符号运算，积的系数等于各因式系数的积；②注意按顺序运算；③不要丢
掉只在一个单项式里含有的字母因式；④此性质对于多个单项式相乘仍然成立．
知识点5．单项式乘多项式
（1）单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把
所得的积相加．
（2）单项式与多项式相乘时，应注意以下几个问题：
①单项式与多项式相乘实质上是转化为单项式乘以单项式；②用单项式去乘多项式中的每一项时，不能
漏乘；③注意确定积的符号．
知识点6．多项式乘多项式
（1）多项式与多项式相乘的法则：
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
（2）运用法则时应注意以下两点：
①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；②多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类
项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积．
知识点7．完全平方公式
（1）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．
可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．
（2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项
分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同．
（3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和
（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全
平方公式．知识点8．完全平方公式的几何背景
（1）运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式
做出几何解释．
（2）常见验证完全平方公式的几何图形
（a+b）2＝a2+2ab+b2．（用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别是a，b
的长方形的面积和作为相等关系）
知识点9．完全平方式
完全平方式的定义：对于一个具有若干个简单变元的整式A，如果存在另一个实系数整式B，使A＝B2，则
称A是完全平方式．
a2±2ab+b2＝（a±b）2
完全平方式分两种，一种是完全平方和公式，就是两个整式的和括号外的平方．另一种是完全平方差公式，
就是两个整式的差括号外的平方．算时有一个口诀“首末两项算平方，首末项乘积的 2倍中间放，符号随
中央．（就是把两项的乘方分别算出来，再算出两项的乘积，再乘以 2，然后把这个数放在两数的乘方的
中间，这个数以前一个数间的符号随原式中间的符号，完全平方和公式就用+，完全平方差公式就用﹣，
后边的符号都用+）”
知识点10．平方差公式
（1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．
（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
（2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：
①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；
②右边是相同项的平方减去相反项的平方；
③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式；
④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便．知识点11．平方差公式的几何背景
（1）常见验证平方差公式的几何图形（利用图形的面积和作为相等关系列出等式即可验证平方差公式）．
（2）运用几何直观理解、解决平方差公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对平方差公式做出
几何解释．
知识点12．整式的除法
整式的除法：
（1）单项式除以单项式，把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，
则连同他的指数一起作为商的一个因式．
关注：从法则可以看出，单项式除以单项式分为三个步骤：①系数相除；②同底数幂相除；③对被除式
里含有的字母直接作为商的一个因式．
（2）多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加．
说明：多项式除以单项式实质就是转化为单项式除以单项式．多项式除以单项式的结果仍是一个多项式．
知识点13．因式分解的意义
1、分解因式的定义：
把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．
2、因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是
两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式．例如：
3、因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验．知识点14．公因式
1、定义：多项式ma+mb+mc中，各项都含有一个公共的因式m，因式m叫做这个多项式各项的公因式．
2、确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：
①定系数，即确定各项系数的最大公约数；
②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；
③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂．
知识点15．因式分解-提公因式法
1、提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因
式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
2、具体方法：
（1）当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，
而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．
（2）如果多项式的第一项是负的，一般要提出“﹣”号，使括号内的第一项的系数成为正数．
提出“﹣”号时，多项式的各项都要变号．
3、口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶．
4、提公因式法基本步骤：
（1）找出公因式；
（2）提公因式并确定另一个因式：
①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母；
②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商
即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；
③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同．
知识点16．因式分解-运用公式法
1、如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法．
平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2；
2、概括整合：
①能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反．
②能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍．
3、要注意公式的综合应用，分解到每一个因式都不能再分解为止．
知识点17．提公因式法与公式法的综合运用
先提取公因式，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解即可．
知识点18．因式分解-分组分解法
1、分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分组后能出现公因
式，二是分组后能应用公式．
2、对于常见的四项式，一般的分组分解有两种形式：①二二分法，②三一分法．
例如：①ax+ay+bx+by
＝x（a+b）+y（a+b）
＝（a+b）（x+y）
②2xy﹣x2+1﹣y2
＝﹣（x2﹣2xy+y2）+1
＝1﹣（x﹣y）2
＝（1+x﹣y）（1﹣x+y）
知识点19．因式分解-十字相乘法等
借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的
方法，通常叫做十字相乘法．
①x2+（p+q）x+pq型的式子的因式分解．
这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；
可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：
x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）
②ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解
这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a ，a 的积a •a ，
1 2 1 2
把常数项c分解成两个因数c ，c 的积c •c ，并使a c +a c 正好是一
1 2 1 2 1 2 2 1
次项b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c＝（a x+c ）（a x+c ）．
1 1 2 2
知识点20．实数范围内分解因式
实数范围内分解因式是指可以把因式分解到实数的范围（可用无理数的形式来表示），一些式子在有理数的范围内无法分解因式，可是在实数范围内就可以继续分解因式．
例如：x2﹣2在有理数范围内不能分解，如果把数的范围扩大到实数范围则可分解
x2﹣2＝x2﹣（ ）2＝（x+ ）（x﹣ ）
知识点21．因式分解的应用
1、利用因式分解解决求值问题．
2、利用因式分解解决证明问题．
3、利用因式分解简化计算问题．
【规律方法】因式分解在求代数式值中的应用
1．因式分解是研究代数式的基础，通过因式分解将多项式合理变形，是求代数式值的常用解题方法，具
体做法是：根据题目的特点，先通过因式分解将式子变形，然后再进行整体代入．
2．用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分．
知识点22．零指数幂
零指数幂：a0＝1（a≠0）
由am÷am＝1，am÷am＝am﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0）
注意：00≠1．
章节题型整合练习
一．同底数幂的乘法
1．（2024秋•雁峰区校级月考）已知 ， ， ，则下列给出 ， ， 之间的数量关系式
中，错误的是
A． B． C． D．
2．（2024春•定海区期末）已知 ， ，则 ．
二．幂的乘方与积的乘方
3．（2024秋•九龙坡区校级月考）下列运算正确的是
A． B．C． D．
4．（2024秋•肇源县校级月考）比较 与 的大小．
解：因为 ， ，
因为 ，
所以 ．
请根据上述解答过程接解答．
（1）比较 ， ， 的大小；
（2） ， ， ，比较 ， ， 的大小．
三．同底数幂的除法
5．（2024秋•周口月考）计算 的结果是
A． B． C． D．8
6．（2023秋•澄迈县期末）若 ， ，则 ．
四．单项式乘单项式
7．（2024秋•海门区校级月考）计算 的结果是 ．
8．（2024秋•双阳区校级月考）计算：（1） ；
（2） ．
五．单项式乘多项式
9．（2024春•裕安区校级期末）若 ，则代数式 的值为
A．7 B．8 C．9 D．10
10．（2024秋•翼城县月考）（1）计算：
（2）下面是小康同学进行整式乘法运算的过程，请你认真阅读并完成相应任务：
计算：
解：原式 第一步
第二步
第三步
第四步
任务一：
①以上解题过程中，第一步是依据 法则进行变形的；
②第 步开始出现错误，这一步出现错误的原因是 ．
任务二：请直接写出本题的正确结果．六．多项式乘多项式
11．（2024秋•双阳区校级月考）计算 等于
A． B． C． D．
12．（2024秋•农安县期中）若 ， ，则 的值是 ．
七．完全平方公式
13．（2023秋•大连期末）已知 ， ，则
A．25 B．22 C．19 D．13
14．（2023秋•科尔沁区期末）如果 ， ，那么 ，
八．完全平方公式的几何背景
15．（2024春•西平县期末）如图，在边长为 的大正方形内放入三个边长都为 的小正方
形纸片，这三张纸片没有盖住的面积是 ，则 的值为 ．
16．（2024秋•永春县校级月考）图1是一个长为 ，宽为 的长方形纸片，先沿图中虚线用剪刀均剪成
4个相同的小长方形，然后用这4个小长方形纸片拼成图2所示的正方形．
（1）你认为图2中阴影部分的正方形的边长等于 （用含 、 式子表示）；
（2）请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积：方法 方法 ；
（3）观察图2，尝试写出 、 、 三个式子之间的等量关系式是： ．九．完全平方式
17．（2024秋•肇源县校级月考）已知 是完全平方式，则 的值是
A．6 B． C．12 D．
18．（2024秋•内乡县校级月考）已知二次三项式 的常数项与 的常数项相同，而它
的一次项与 的一次项相同．
（1）分别求出 ， 的值；
（2） 是完全平方式吗？若是，把它写成完全平方式；若不是，先添加一项，再写成完全平方式．一十．平方差公式
19．（2024春•龙湾区校级期中）下列多项式相乘，可以用平方差公式计算的是
A． B．
C． D．
20．（2024春•青龙县期末）若 ， ，则 ．
一十一．平方差公式的几何背景
21．（2023•美兰区校级模拟）如图，大正方形与小正方形的面积之差是30，则阴影部分的面积是 ．
22．（2024春•高碑店市月考）如图，图1为边长为 的大正方形中有一个边长为 的小正方形，图2是由
图1中的阴影部分拼成的一个长方形．
（1）设图1中阴影部分的面积为 ，图2中阴影部分的面积为 ，则 ， （请用含 ，
的代数式表示，只需表示，不必化简）．
（2）以上结果可以验证哪个乘法公式？这个乘法公式是 ．
（3）运用（2）中得到的公式，计算： ．一十二．整式的除法
23．（2023秋•磁县期末）计算： ．
24．（2024•丰城市校级开学）我们学习过多项式乘多项式，根据法则可知 ，那
么再根据除法是乘法的逆运算可得 ，这就是多项式除以多项式．两个多项式相
除，可以先把这两个多项式都按照同一字母降幂排列，然后再仿照两个多位数相除的计算方法，用竖式进
行计算．例如 ，可仿照 用竖式计算（如图）
因此，多项式除以多项式可借助竖式进行计算．
请用上述方法计算：
（1） ；
（2） ．一十三．因式分解的意义
25．（2024秋•绿园区校级月考）下列从左边到右边的变形，其中是因式分解的是
A． B．
C． D．
26．（2023秋•梁园区校级月考）先阅读下面的内容，再解决问题．
如果一个整式 等于整式 与整式 之积，则称整式 和整式 为整式 的因式．
如：①因为 ，所以 和 是 的因式．
②若 是 的因式，则求常数 的值的过程如下：
解： 是 的因式，
存在一个整式 ，使得 ．
当 时， ．此时 ．
将 代入得， ，
解得 ．
（1） 是 的因式吗？ （填“是”或“不是” ；
（2）若 是 的因式，求常数 的值．
一十四．公因式
27．（2024春•唐山期末）多项式 的公因式是
A．3 B． C． D．
28．（2023秋•临潼区期末）式子 与 的公因式是 ．
一十五．因式分解-提公因式法
29．（2024•南通）分解因式： ．
30．（2023秋•淮阳区期末）（1）计算： ；
（2）分解因式： ．
一十六．因式分解-运用公式法
31．（2023秋•乳山市期末）下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是
A． B． C． D．
32．（2023秋•东营期末）先阅读下列材料，再解答下列问题：
材料：因式分解： ．解：将“ ”看成整体，设 ，则原式 ．
再将 代入，得原式 ．
上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法．
请你完成下列各题：
（1）因式分解： ；
（2）因式分解： ．
一十七．提公因式法与公式法的综合运用
33．（2023秋•商水县期末）将下列多项式分解因式，结果中不含有因式 的是
A． B．
C． D．
34．（2024•明水县校级二模）把 因式分解的结果是 ．
一十八．因式分解-分组分解法
35．（2022秋•环翠区校级期中）把 分解因式结果为 ．
一十九．因式分解-十字相乘法等36．（2024春•青山区校级期中）阅读材料：
①用配方法因式分解： ．
解：原式 ．
②若 ，利用配方法求 的最小值．
解： ．
， ，
当 时， 有最小值1．
请根据上述材料解决下列问题：
（1）在横线上添上一个常数项使之称为完全平方式： ．
（2）用配方法因式分解： ．
（3）若 ，求 的最大值．
二十．实数范围内分解因式
37．（2024春•邵阳期末）阅读理解题：
定义：如果一个数的平方等于 ，记为 ，这个数 叫做虚数单位．那么形如 ， 为实数）的数就叫做复数， 叫这个复数的实部， 叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，
乘法运算类似．例如计算： ．
（1）填空： ， ；
（2）计算：① ； ② ；
（3）若两个复数相等，则它们的实部和虚部必须分别相等，完成下列问题：
已知： ， ， 为实数），求 ， 的值．
（4）试一试：请你参照 这一知识点，将 为实数）因式分解成两个复数的积．
二十一．因式分解的应用
38．（2024秋•船营区校级月考）已知 ， ， 是△ 的三边长．
（1）若 ， ， 满足 ，则△ 的形状为 ；
（2）若 ， ， 满足 ，试判断△ 的形状；
（3）化简： ．二十二．零指数幂
39．（2024春•遵化市期末）若 有意义，则 的取值范围是
A． B． C． D．
40．（2022秋•龙胜县期中）计算： ．
