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专题十 新定义运算问题
一、单选题
1．在中国古代数学名著《九章算术》中记载了利用算筹实施“正负术”的方法，图1表示的是计算
(+3)+(−4)的过程，按照这种方法，图2表示的过程应是在计算（ ）
A．(−3)+(−2) B．(+3)+(−2) C．(−3)+(+2) D．(+3)+(+2)
2．我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，
一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，采取满七进一的方式，用来记录孩子自出生后的天数．
例如图1表示的是孩子出生后30天时打绳结的情况（因为：4×71+2×70=30），那么由图2可知，
孩子出生后的天数是（ ）天
A．510 B．511 C．513 D．520
3．定义运算“*”如下：对任意有理数x，y和z都有x∗x=0，x∗(y∗z)=(x∗y)+z，这里“+”
号表示数的加法，则2023∗2022的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．在多项式x−y−z−m−n（其中x>y>z>m>n)中，对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号，
添加绝对值符号后仍只有减法运算，然后进行去绝对值运算，称此为“绝对操作”．例如：
x−y−|z−m|−n=x−y−z+m−n，|x−y|−z−|m−n|=x−y−z−m+n，…．下列说法：①
存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式相等；
②不存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；③所有的“绝对操作”共有7种不同运算结果．
其中正确的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题
5．对于有理数a,b，定义一种新运算“◎”，规定a◎b=|a+b|+|a−b|．已知
（a◎a）◎a=8+a，则a值为 ．
6．如果一个四位自然数abcd的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足ab−bc=cd，那么称这
个四位数为“递减数”．例如：四位数4129，∵41−12=29，∴4129是“递减数”；又如：四位
数5324，∵53−32=21≠24，∴5324不是“递减数”．若一个“递减数”为a312，则这个数为
；若一个“递减数”的前三个数字组成的三位数abc与后三个数字组成的三位数bcd的和能被9整除，
则满足条件的数的最大值是 ．
7． 是双重绝对值运算，运算顺序是先求的 差的绝对值，再求 与 差的绝
|x −|x −x || x ,x x x ,x
3 1 2 1 2 3 1 2
对值的差的绝对值，若随意三个互不相等的正整数2，m，n输入双重绝对值进行运算，如果最大值
为20，则最小值为 ．
8．规定： ，请计算： ．
a×b=a2−4(b−1)+1999 (−2)×(−3)=
三、解答题
9．小华同学准备化简： 算式中“□”是“+，-，×，÷”中的某一种运
(3x2−5x−3)−(x2−6x□2)
算符号．
(1)如果“□”是“+”，请你化简 ；
(3x2−5x−3)−(x2−6x□2)
(2)已知当 时， 的结果是 ，请你通过计算说明“□”所代表的
x=1 (3x2−5x−3)−(x2−6x□2) −3
运算符号．10．已知x、y为有理数，现规定一种新运算※，满足x※ y=xy+1
(1)求2※4的值；
(2)求(1※4)※(−2)的值；
(3)探索a※(b+c)与a※b+a※c的关系，并用等式把它们表达出来．11．对于有理数a、b、n、d，若|a−n|+|b−n|=d，则称a和b关于n的“相对关系值”为d，例如，
|2−1|+|3−1|=3，则2和3关于1的“相对关系值”为3．
(1)−2和6关于2的“相对关系值”为________；
(2)若3和1关于a的“相对关系值”为4，求a的值；
(3)若a 和a 关于1的“相对关系值”为1，a 和a 关于2的“相对关系值”为1，a 和a 关于3的
0 1 1 2 2 3
“相对关系值”为1，…，a 和a 关于11的“相对关系值”为1．
10 11
①a +a 的最大值为________；
0 1
②求a +a +a +⋅⋅⋅+a 的值（用含a 的式子表示）
1 2 3 10 0
12．已知x，y为有理数，定义一种新运算Δ，其意义是xΔy=xy+(x+ y)−1，试根据这种运算完成
下列各题．
（1）求：①2Δ3；
②(4Δ3)Δ(−2)；
（2）任意选择两个有理数，分别代替x与y，并比较xΔy和yΔx两个运算的结果，你有何发现．|a c| |a c|
13．形如 的式子叫做二阶行列式，它的运算法则用公式表示为 =ad−bc．比如
b d b d
| 2 1|
=2×4−(−3)×1=11．
−3 4
(1)若 ，求|x2 3(1−x)|的值．
x=−1
−2 1
| 1 |
(2)若|m q| 1，计算 − q −n 的结果．
=− 3
p n 5
2m 6p
|1 2| |5 6| |9 10| |13 14| |2021 2022|
(3)计算 + + + +…+ 的结果．
3 4 7 8 11 12 15 16 2023 2024参考答案
1．B
【分析】由图1可以看出白色表示负数，黑色表示正数，观察图2可列式．
【详解】解：由图1知：白色表示负数，黑色表示正数，
∴图2表示的过程是在计算(+3)+(−2)，
故选：B．
【点睛】此题考查了有理数的加法，解题的关键是理解图1中表示的计算．
2．A
【分析】本题考查了计数方法，有理数的混合运算．类比于现在我们的十进制“满十进一”，可以
表示满七进一的数为：千位上的数×73+百位上的数×72+十位上的数×7+个位上的数，再列式计算
即可．
【详解】解：1×73+3×72+2×7+6=510（天），
答：孩子自出生后的天数是510天．
故选：A．
3．A
【分析】本题主要考查了有理数的加减计算，先根据题意将所求式子变形为
2023∗2022+2022−2022，则2023∗(2022∗2022)−2022，再根据
2023∗2023=2022∗2022=0可进一步将原式变形为(2023∗2023)+2023−2022，据此可得答案．
【详解】解：∵x∗x=0，x∗(y∗z)=(x∗y)+z，
∴2023∗2022
=2023∗2022+2022−2022
=2023∗(2022∗2022)−2022
=2023∗0−2022
=2023∗(2023∗2023)−2022
=(2023∗2023)+2023−2022=0+2023−2022
=1，
故选A．
4．C
【分析】根据给定的定义，举出符合条件的说法①和②．说法③需要对绝对操作分析添加一个和两
个绝对值的情况，并将结果进行比较排除相等的结果，汇总得出答案．
【详解】解：|x−y|−z−m−n=x−y−z−m−n，故说法①正确．
若使其运算结果与原多项式之和为0，必须出现−x，显然无论怎么添加绝对值，都无法使x的符号
为负，故说法②正确．
当添加一个绝对值时，共有4种情况，分别是|x−y|−z−m−n=x−y−z−m−n；
x−|y−z|−m−n=x−y+z−m−n；x−y−|z−m|−n=x−y−z+m−n；
x−y−z−|m−n|=x−y−z−m+n．当添加两个绝对值时，共有3种情况，分别是
|x−y|−|z−m|−n=x−y−z+m−n；|x−y|−z−|m−n|=x−y−z−m+n；
x−|y−z|−|m−n|=x−y+z−m+n．共有7种情况；
有两对运算结果相同，故共有5种不同运算结果，故说法③不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查新定义题型，根据多给的定义，举出符合条件的代数式进行情况讨论；
需要注意去绝对值时的符号，和所有结果可能的比较．主要考查绝对值计算和分类讨论思想的应用．
8 8
5． ，− ．
3 5
【分析】分两种情况求解：当a≥0时，（a◎a）◎a=2a◎a=4a=8+a，当a＜0时，
（a◎a）◎a=（−2a）◎a=−4a=8+a，分别求解一元一次方程即可．
【详解】解：当a≥0时，（a◎a）◎a=2a◎a=4a=8+a，
8
∴a= ；
3
当a＜0时，（a◎a）◎a=（−2a）◎a=−4a=8+a，8
∴a=− ．
5
8 8
故答案为： ，− ．
3 5
【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，正确化简各数是解题关键．
6． 4312 8165
【分析】根据递减数的定义进行求解即可．
【详解】解：∵ a312是递减数，
∴10a+3−31=12，
∴a=4，
∴这个数为4312；
故答案为：4312
∵一个“递减数”的前三个数字组成的三位数abc与后三个数字组成的三位数bcd的和能被9整除，
∴10a+b−10b−c=10c+d，
∵abc+bcd=100a+10b+c+100b+10c+d，
∴abc+bcd=100a+10b+c+100b+10a+b−10b−c=110a+101b，
∵110a+101b=99(a+b)+11a+2b，能被9整除，
∴11a+2b能被9整除，
∵各数位上的数字互不相等且均不为0，
∴¿，
∵最大的递减数，
∴a=8,b=1，
∴10×8−9×1−c=10c+d，即：11c+d=71，
∴c最大取6，此时d=5，∴这个最大的递减数为8165．
故答案为：8165．
【点睛】本题考查一元一次方程和二元一次方程的应用．理解并掌握递减数的定义，是解题的关键．
7．16
【分析】根据题意，可有3种情况， ， ， ，可设 为最大的数，
|2−|m−n|| |m−|2−n|| |n−|2−m|| n
然后分m<2和m>2两种情况讨论，分别化简绝对值，即可获得答案．
【详解】解：根据题意，可有3种情况， ， ， ，
|2−|m−n|| |m−|2−n|| |n−|2−m||
∵2，m，n是互不相等的正整数，
可设n为最大的数，
①当m<2时，则有m=1，n≥3，
此时可有
，
|2−|m−n||=|2+m−n|=|3−n|=n−3
，
|m−|2−n||=|m+2−n|=|3−n|=n−3
，
|n−|2−m||=|n−2+m|=|n−1|=n−1
∵n−1>n−3，最大值为20，即n−1=20，
解得n=21，
∴最小值为n−3=18；
②当m>2时，则有2|n+2−m|时，可有|2+m−n|=20，
则m−n=18（舍去）或m−n=−22，
∴ ，
|n+2−m|=|−(m−n)+2|=24
又∵24>20，
∴不合题意；
当|2+m−n|<|n+2−m|时，可有|n+2−m|=20，
则n−m=18或n−m=−22（舍去），
∴ ．
|2+m−n|=|−(n−m)+2|=|−18+2|=16
综上所述，最小值为16．
故答案为：16．
8．2019
【分析】根据定义新运算的法则，有乘方的先乘方，再算括号里的，最后利用有理数的加减即可求
解．
【详解】解：根据题意得， ，
(−2)×(−3)=(−2) 2−4×(−3−1)+1999=4+16+1999=2019
故答案是：2019．
【点睛】本题主要考查有理数的定义新运算，解题的关键是有理数的混合运算法则．
9．(1)2x2+x−5
(2)÷【分析】（1）根据题意，可以先出相应的算式，然后计算即可；
（2）根据当 时， □ 的结果是 ，将 代入式子化简，即可得到
x=1 (3x2−5x−3)−(x2−6x 2) −3 x=1
“□”所代表的运算符号．
【详解】（1）解：当“□”是“+”时，
(3x2−5x−3)−(x2−6x+2)
=3x2−5x−3−x2+6x−2
=2x2+x−5；
（2） 当 时， □ 的结果是 ，
∵ x=1 (3x2−5x−3)−(x2−6x 2) −3
□ ，
∴(3×12−5×1−3)−(12−6×1 2)=−3
∴(3×1−5−3)−(1−6□2)=−3，
∴(3−5−3)−(1−6□2)=−3，
∴−5−(1−6□2)=−3，
∴−5+3=1−6 □2，
∴−2=1−6 □2，
∴−3=−6 □2，
∵−6÷2=−3，
∴ “□”所代表的运算符号是“÷”．
【点睛】本题考查整式的加减、有理数的混合运算，熟练掌握它们的运算法则和运算顺序是解答本
题的关键．
10．(1)9
(2)−9
(3)a※(b+c)+1=a※b+a※c【分析】（1）观察所给式子，总结运算规律，确定运算规律中的x，y，即可算出结论；
（2）观察所给的式子，总结运算规律，确定运算规律中的x，y，即可算出结论；
（3）根据运算规律算出两个式子的结果，即可写出等量关系．
【详解】（1）解：2※4=2×4+1=9．
（2）解：(1※4)※(−2)=(1×4+1)※(−2)=(−2)×5+1=−9；
（3）解：∵a※(b+c)=a⋅(b+c)+1=ab+ac+1， a※b+a※c=ab+1+ac+1=ab+ac+2．
∴a※(b+c)+1=a※b+a※c．
【点睛】本题主要考查了新定义下的有理数运算和整式的运算，解题的关键是理解新定义，列出相
关的算式．
11．(1)8
(2)0或4
(3)3，10a +55或75−10a
0 0
【分析】（1）根据“相对关系值”的定义，求解即可；
（2）根据“相对关系值”的定义，列方程，求解即可；
（3）①根据题意列出方程 ，再分为四种情况，分别讨论，根据绝对值的性质，
|a −1|+|a −1|=1
0 1
把绝对值方程转化为常规方程进行解答便可；②分五种情况计算即可．
【详解】（1）解：|−2−2|+|6−2|=|−4|+|4|=4+4=8，
∴−2和6关于2的“相对关系值”为8，
故答案为：8；
（2）解：∵3和1关于a的“相对关系值”为4，
∴|3−a|+|1−a|=4，当a<1时，则3−a+1−a=4，解得a=0；
当1≤a≤3时，则3−a+a−1=4，即2=4，此时不符合题意；
当a>3时，则a−3+a−1=4，解得a=4；
综上所述，a的值为0或4；
（3）解：①∵a 和a 关于1的“相对关系值”为1，
0 1
∴ ，
|a −1|+|a −1|=1
0 1
分四种情况：
当a ≥1，a ≥1时，a −1+a −1=1，则a +a =3；
0 1 0 1 0 1
当a ≥1，a <1时，a −1+1−a =1，则a −a =1，
0 1 0 1 0 1
得到a +a =1+2a <3；
0 1 1
当a <1，a ≥1时，1−a +a −1=1，则a −a =1，
0 1 0 1 1 0
得到a +a =1+2a <3；
0 1 0
当a <1，a <1时，1−a +1−a =1，则a +a =1<3，
0 1 0 1 0 1
由此可知a +a 的最大值为3；
0 1
②分五种情况，
当 时， ，解得 ，
a =0 |0−1|+|a −1|=1 a =1
0 1 1
由 可得， ，
|1−2|+|a −2|=1 a =2
2 2
……
可得a =10，
10
a +a +a +⋯+a =1+2+3+⋯+10=55；
1 2 3 10
当 时， ， ，此种情形不存在；
a =1 a =0 |a −2|+|a −2|=2+|a −2|>1
0 1 1 2 2当 时， ，
0
