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第1 章 有理数（单元测试·培优卷）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．若零上 记作 ，则零下
可记作( )
A． B．14 C． D．
2．下列是数的分类，正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列四个数轴的画法中，规范的是( )
A． B．
C． D．
4．实数a在数轴上的位置如图所示，若 ，则下列说法不正确的是（ ）
A．a的相反数大于2 B．
C． D．
5．在数轴上，点 ， 在原点 的两侧，分别表示数 ， ，将点 向右平移 个单位长度，得到点 ．
若点 到 、 两个点的距离相等，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
6．有理数 ， 在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列各式正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．下列说法正确的是（ ）
A．最小的正整数是0 B． 是负数C．符号不同的两个数互为相反数 D． 的相反数是
8．如图，将实数 表示在数轴上，则下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
9．“坎宁安数”是以英国数学家坎宁安的名字命名的，能写成 形式的数字，2024是一个坎宁安数，
因为 ．下列各数中均含有“2024”，其中最小的是（ ）
A．2024 B． C． D．
10．如图，数轴上顺次有A、B、D、E、P、C六个点，且任意相邻两点之间的距离都相等，点A、B、C
对应的数分别为a、b、c，下列说法：①若 ，则D是原点；②若 ，则原点在B、D
之间；③若 ，则 ；④若原点在D、E之间，则 ，其中正确的结论有（ ）
A．①②③ B．①③ C．③④ D．①③④
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．绵阳冬季某日的最高气温是3℃，最低气温为-1℃，那么当天的温差是 ℃．
12．在 ， ，0， ， ，5， ， 中，若负数共有M个，正数共有N个，则
．
13． 和 互为相反数，那么 ．
14． 两数在数轴上的位置如图所示，则 （用“ ”“ ”“ ”填空）．
15．数轴上A，B两点的距离为6，且A，B所表示的数互为相反数，B在A的右侧，则点B所表示的数为
．
16．已知在数轴上有三点 ， ， ，点 表示的数为 ，点 表示的数为 ，且 、 满足．沿 ， ， 三点中的一点折叠数轴，若另外两点互相重合，则点 表示的数是
．
17．善于反思的小聪在学习了有理数及其运算后，进行了如下总结与反思请你仔细阅读并补全小聪的探
究过程．
[典例再现]|3|＝3，|﹣3|＝3，22＝4，（﹣2）2＝4；
[总结归纳]
（1）观察上述例题，发现结论：
①互为相反数的两个数的绝对值 ；
② ；
[知识应用]
（2）已知|x|＝7，y2＝9，则x＝ ，y＝ ，若x＜y，则x﹣y＝ ．
18．如图，数轴上点 和点 表示的数分别是 和 ，动点 从 点出发，以每秒 个单位长度的速度向
左匀速移动，动点 同时从 点出发，以每秒 个单位长度的速度向左匀速移动．设移动时间为 秒，当
动点 到点 的距离等于动点 到点 的距离时， 的值为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）把下列各数填在相应的集合中：
8， ， ， ，0， ， ， ， ．
正数集合{ …}； 负数集合{ …}；
整数集合{ …}； 分数集合{ …}；
非负有理数集合{ …}．
20．（8分）把下列各数表示在数轴上，然后把这些数按从大到小的顺序用“>”连接起来．
0， ， ， ， ， ．21．（10分）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示．
（1）用“＞”“＜”或“＝”填空：
______0， ______0， ______0．
（2）化简： ．
22．（10分）如图，数轴上A、B两点表示的数分别是 和3，将这两点在数轴上以相同的速度同时相向
运动，若A、B分别到达M、N两点，且满足 （k为正整数），我们称A、B两点完成了一次
“准相向运动”．
（1）A、B两点之间的距离为
（2）若A、B两点完成了一次“准相向运动”．
①当 时，M、N两点表示的数分别为 ， ；
②当k为任意正整数时，求M、N两点表示的数（用含字母k的式子表示）．
23．（10分）“数形结合”是一种非常重要的数学思想，它可以把抽象的数量关系与直观的几何图形结
合起来解决问题．
探究：方程 ，可以用两种方法求解，将探究过程补充完整．
方法一、当 时， ；当 时，
___________ ．
方法二、 的意义是数轴上表示x的点与表示___________的点之间的距离是2．
上述两种方法，都可以求得方程 的解是___________．
应用：根据探究中的方法，求得方程 的解是__________．
拓展：方程 的解是___________．
24．（12分）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．通过研究数轴，我们
发现了许多重要的规律，比如：数轴上点A和点B表示的数为a，b，则A，B两点之间的距离 ，
若 ，则可化简为 ．若 ，则可化简为 ，请你利用数轴解决以下问题：
（1）已知点P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m，若点P与表示有理数 的点的距离是 个单
位长度，则m的值为 ______；
（2）已知点P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m，若数轴上点P位于表示 的点与表示2的点之
间，则 ______；
（3）已知点A，B，C，D在数轴上分别表示数a，b，c，d，四个点在数轴上的位置如图所示，若
，则 等于 ______．
（4）已知点A，B，C，D，E在数轴上分别表示数分别为： ， ，9， ，25，一动点Q从原点O出发，沿数轴以每秒钟2个单位长度的速度来回移动，其移动方式是先向右移动1个单位长度，再向左移
动2个单位长度，又向右移动3个单位长度，再向左移动4个单位长度，又向右移动5个单位长度……
①求Q点运动多少秒钟后所处的位置到点A、B、C、D、E各点距离之和最短？
②动点Q能不能在运动过程中同时经过这5个点A、B、C、D、E，若能求出从出发到都经过这5个点的
最短时间，若不能说明理由．参考答案：
1．C
【分析】本题考查正数和负数，正数和负数是一组具有相反意义的量，据此即可求得答案．
【详解】解：零上 记作 ，则零下 可记作 ，
故选：C．
2．A
【分析】按照有理数、整数、分数的概念进行判断即可得出答案．
【详解】解：有理数可分为整数和分数，故A选项正确，符合题意；
整数可分为：正整数，0，负整数，故B选项错误，不符合题意；
分数可分为：正分数，负分数，故C选项错误，不符合题意；
有理数可分为整数和分数，故D选项错误，不符合题意；
故选：A．
【点拨】本题考查了有理数和无理数的定义，以及有理数的分类，解题的关键是熟练掌握所学的知识．
3．C
【分析】根据数轴的三要素判断即可．
【详解】解：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的直线，
选项A的数轴单位长度不一致，因此选项A不正确；
选项B的数轴无原点，因此选项B不正确；
选项C符合数轴的意义，正确；
选项D的数轴没有正方向，因此选项D不正确；
故选：C．
【点拨】此题主要考查数轴的意义，掌握数轴的三要素是正确判断的前提．
4．B
【分析】本题考查数轴上点表示的数，解题的关键是数形结合，得到 ．
由图得 ，且 ，可知 ，然后逐项判断即可．
【详解】解：由图得 ，且 ，
∴ ，D正确，不符合题意；
∴a的相反数大于2，故A正确，不符合题意；
a的相反数大于2即是 ，故B不正确，符合题意；
∵ ，∴ ，
∴ ，故C正确，不符合题意；
故选：B．
5．C
【分析】此题考查了数轴上点的移动，由题意得点 表示数为 ，点 表示数为 ，点 表示数为 ，
熟知数轴上两点间的距离公式是解题的关键．
【详解】解：由题意得点 表示的数为 ，
∵点 到 、 两个点的距离相等，
∴ ，
解得： ，
故选： ．
6．D
【分析】本题考查了数轴上表示有理数以及根据点在数轴的位置判断式子的正负，越在数轴的右边的数越
大，据此逐项分析，即可作答．
【详解】解：根据图示，可得： ， ，
，
，
选项 不符合题意；
， ，
，
选项 不符合题意；
， ，
， ，
，
选项C不符合题意；
， ，
，
选项D符合题意．
故选： ．
7．D【分析】根据有理数、相反数的性质逐项分析判断即可．
【详解】解：A、最小的正整数是1，故该选项说法错误，不符合题意；
B、 不一定是负数，例如： ，是正数，故该选项说法错误，不符合题意；
C、 只有符号不同的两个数互为相反数，故该选项说法错误，不符合题意；
D、 的相反数是 ，故该选项说法正确，符合题意．
故选：D．
【点拨】本题主要考查了有理数、相反数等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．
8．C
【分析】本题考查数轴上点的特点；熟练掌握绝对值的意义和数轴上点的特征是解题的关键．
， ， 则 ， ，；结合选项即可求解
【详解】解：从图可知 ， ，
∴ ， ， ， 故 、 错误；
∴ ，故 正确， 错误，
故选 ．
9．D
【详解】此题考查的是有理数的比较大小及绝对值的概念，熟练掌握有理数大小比较方法是解题的关键；
根据有理数的比较大小，即可找出最小的数.
解：∵ ， ， ，
最小的数是 .
故选：D.
10．B
【分析】设相邻两点之间的距离为x，则 ， ，①原式变形可得 ，①正确；②由
数轴知， ， ，若 ，则原点在B、A之间；故②错误；③若 ，则 ，③正确；④若原点在D、E之间，则 ，可得 ， ，可判断
.即 取值不一定小于0，故④错误；
【详解】解：设相邻两点之间的距离为x，则 ， ，
①若 ，则 ，
∴ ，即点D是原点，①正确；
②若 ，由数轴知， ，
∴ ， ，
若 ，则原点在B、A之间；故②错误；
③若 ，则 ， ，
∴ ，故③正确；
④若原点在D、E之间，则 ，
，
∴ .
∴
∴ .可知 取值不一定小于0，
∴ 不一定成立，故④错误；
故选：B．
【点拨】本题主要考查数轴比较实数大小，数轴表示数，绝对值的化简，不等式的性质，运用数形结合思
想是解题的关键．
11．4
【分析】求该日的温差就是作减法，用最高气温减去最低气温，列式计算．
【详解】解：3-（-1）=4（℃）
答：当天的温差是4℃．
故答案为4．
【点拨】本题主要考查了有理数的减法的应用，注意符号不要搞错．
12．3
【分析】根据大于0的数是正数，小于零的数是负数，可得答案．【详解】解：在 ， ，0， ， ，5， ， 中，正数有5， 共2个，负数有 ， ，
， ， 共5个，
， ，
．
故答案为：3．
【点拨】本题考查了正数和负数，小于0的数是负数，注意带负号的数不一定是负数，注意，0不是正数，
也不是负数．
13．1
【分析】根据互为相反数的两个数的和等于0列式计算即可得解．
【详解】解：由题意得： ，
∴ ，
故答案为：1．
【点拨】本题考查了相反数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．
14．
【分析】本题主要考查数轴上比较大小，熟练掌握数轴的性质是解题的关键．根据数轴上比较大小即可得
到答案．
【详解】解：根据在数轴的位置可知， ，
故答案为： ．
15．
【分析】本题考查了相反数定义和数轴，掌握相反数对应的点在数轴的两侧，到原点的距离相等是解题的
关键．
数轴上互为相反数的两点在原点的两侧，并且到原点的距离相等，以及B在A的右侧，即可求解．
【详解】 点表示互为相反数的两个数，B在A的右侧，并且这两点的距离为6，
这两个数一个为3，另一个则为 ，
B在A的右侧，
点B表示的数为 ．
故答案为： ．
16． 或 或
【分析】本题考查了数轴上的两点之间的距离，偶次方和绝对值的非负性，熟练掌握相关概念是解题的关
键．先根据偶次方和绝对值的非负性，可得 和b的值，再按照三种情况分类讨论：①若沿点 折叠，点与点 重合，②若沿点 折叠，点 与点 重合，③若沿点 折叠，点 与点 重合，分别求得点 表
示的数即可．
【详解】解：∵ ，且 ， ，
∴ ， ，
∴ ， ；
①若沿点 折叠，点 与点 重合，
∵ ，
∴点 表示的数为： ；
②若沿点 折叠，点 与点 重合，
∵ ，
∴点 表示的数为： ；
③若沿点 折叠，点 与点 重合，
∵ ，
∴ ，
点 表示的数为： ；
故答案为： 或 或 ．
17．（1）①相等；②互为相反数的两个数的平方相等；（2）±7，±3， 或
【分析】（1）①根据绝对值的运算性质即可判断；
②根据运算的规律，观察得出相应结论；
（2）根据（1）中的总结归纳及分类讨论的思想即可求解．
【详解】解：（1）①相等；
理由：正数的绝对值是本身，负数的绝对值是其相反数，0的绝对值是本身；
②互为相反数的两个数的平方相等；
理由：根据平方的非负性即可得出结论；
故答案为：相等，互为相反数的两个数的平方相等；
（2） ，
由（1）知： ，；
，
由（1）知： ，
，
若 ，
当 ，
，
当 ，
，
故答案为： ， ， 或 ．
【点拨】本题考查了绝对值、平方、相反数，解题的关键是读懂材料信息，利用分类讨论的思想进行求解．
18． 或 /9或3
【分析】此题考查了数轴上动点问题，数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，正确理解数轴上两
点之间的距离是解题的关键．点 表示的数为 ，点 表示的数为 ，可得点 到点 的距离为
，点 到点 的距离为 ，列方程即可解答．
【详解】解：根据题意，点 表示的数为 ，点 表示的数为 ，
表示的数是 ，
点 到点 的距离为 ，点 到点 的距离为 ，
，
解得： 或 ，
故答案为： 或 ．
19．8， ， ， ， ； ， ， ；8， ， 0， ； ， ， ， ， ；
8， ，0， ， ， ；
【分析】本题考查有理数的分类，根据有理数的定义直接逐个分类即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，正数集合{8， ， ， ， }；
负数集合{ ， ， }；
整数集合{8， ， 0， }；
分数集合{ ， ， ， ， }；
非负有理数集合{8， ，0， ， ， }．
20． ，数轴见解析
【分析】此题综合考查了数轴上的有理数，利用数轴比较有理数的大小，化简多重符号，用几何方法借助
数轴来求解，非常直观，且不容易遗漏，体现了数形结合的优点，首先把这几个数在数轴上表示出来，再
根据数轴上的数右边的数总是大于左边的数，即可从大到小的顺序用“ ”号连接起来．
【详解】解： ， ， ，
数轴，如图所示：
根据数轴的特点把这些数按从大到小的顺序用“>”连接起来为：
．
21．(1) ， ，
(2)
【分析】本题主要考查了利用数轴确定代数式的正负、绝对值的化简等知识点，掌握利用数轴确定代数式
的正负成为解题的关键．
（1）先根据数轴取得a、b、c的大小关系，然后再确定所求代数式的正负即可；
（2）根据（1）所的代数式的正负取绝对值，然后再合并同类项即可．
【详解】（1）解：由数轴可得： ，则 ．
故答案为： ， ， ．
（2）解：∵ ，
∴
．
22．(1)4；
(2)①5， ；② ， ．
【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离公式，数轴上的点表示有理数，根据题意得出 是解
题关键．
（1）根据数轴上两点之间的距离公式即可求解；
（2）①由题意可知， ，再根据两点间距离公式，得出 ，即可得出答
案；
②同①理可得， ，进而得出 ，即可得出答案．
【详解】（1）解： A、B两点表示的数分别是 和3，
之间的距离为 ，
故答案为：4；
（2）解：①
当 时， ，
两点在数轴上以相同的速度同时相向运动，
，， ，
，
，
表示的数为 ，N表示的数为 ，
故答案为：5； ；
②同①理可得， ，
，
，
M点表示的数为 ，N点表示的数为 ．
23．探究： 、1、 或 ；应用： 或 ；拓展：
【分析】本题考查了绝对值的意义，解绝对值方程，数轴上两点之间的距离．熟练掌握绝对值的意义，解
绝对值方程，数轴上两点之间的距离是解题的关键．
探究：根据题意化简绝对值，利用绝对值的意义进行作答即可；
应用：由 的意义是数轴上表示x的点与表示 和 两点之间的距离和为9，表示 和 两点
之间的距离为4，可知表示x的点在 左侧，或在1右侧；分当 时，当 时，解绝对值方程即可；
拓展：由题意知， ，整理得 ，分当 时，当 时，当
时，三种情况解绝对值方程即可．
【详解】探究：解：由题意知，当 时， ，
解得， ；
当 时， ，
解得， ；
的意义是数轴上表示x的点与表示1的点之间的距离是2，上述两种方法，都可以求得方程 的解是 或 ；
故答案为： 、1、 或 ．
应用：解： 的意义是数轴上表示x的点与表示 和 两点之间的距离和为9，
∵表示 和 两点之间的距离为4，
∴表示x的点在 左侧，或在1右侧；
当 时， ，
解得， ；
当 时， ，
解得， ；
综上所述， 或 ；
拓展：解： ，
∴ ，
当 时， ，无解；
当 时， ，无解；
当 时， ，
解得， ；
故答案为： ．
24．(1) 或
(2)7
(3)4
(4)① ；②【分析】（1）由题意可知， ，再解方程即可；
（2）由点P位于表示 的点与表示2的点之间，得到 表示点P到2和 的距离和，由
，即可得到答案；
（3）由题意得到 ， ，则
，即可得到答案；
（4）①先确定点Q运动到 时，到点A、B、C、D、E各点距离之和最短，然后求出运动的路程，然后
求出时间即可；
②先求出同时都经过这5个点需要运动的次数，然后求出运动的总路程，最后求出时间即可．
【详解】（1）解：∵点P对应的数记为m，点P与表示有理数 的点的距离是 个单位长度，
∴ ，
∴ 或 ，
解得 或 ，
故答案为： 或 ；
（2）解：∵点P位于表示 的点与表示2的点之间，
∴ 表示点P到2和 的距离和，
∵ ，
∴ ，
故答案为：7；
（3）解：∵ ，
∴ ，
故答案为：4．
（4）解：①∵点A，B，C，D，E在数轴上分别表示数分别为： ， ，9， ，25，
∴当点Q运动到 时，到点A、B、C、D、E各点距离之和最短，∵点Q从原点出发需要运动 次才能到 ，
∴点Q运动的距离为： ，
∴运动时间为： （秒），
即Q点运动 秒钟后所处的位置到点A、B、C、D、E各点距离之和最短；
②动点Q能在运动过程中同时经过这5个点A、B、C、D、E，且需要运动的次数为：
（次），
∴需要运动的路程为： ，
∴运动时间为： （秒），
即从出发到都经过这5个点的最短时间为 秒．
【点拨】此题考查了数轴，用数轴上点表示有理数，数轴上两点间距离公式，有理数混合运算，规律探索，
熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，绝对值的意义是解题的关键．
