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第 22 章 二次函数能力提升测试卷
（考试时间：90分钟 试卷满分：100分）
一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的。）
1．下列函数中，当x<0时，y随x的增大而减小的是（ ）
A．y=2x+2 B．y=−x2 C．y=−x2+2 D．y=2x2+2
2．将函数y=2x2的图象向左平移1个单位后，得到的图象对应的函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
y=2(x−1) 2 y=2x2−1 y=2(x+1) 2 y=2x2+1
3．关于抛物线 ，下列说法中正确的是（）．
y=−(x+2) 2+3
A．开口向上 B．对称轴是直线x=2
C．与x轴无交点 D．函数的最大值是3
1
4．二次函数y=− x2−2x−5可变形为（ ）
3
1 1
A．y=− (x−1) 2−4 B．y=− (x+3) 2−2
3 3
1 1
C．y=− (x+3) 2+6 D．y=− (x−1) 2+6
3 3
5．飞机着陆后滑行的距离s(m)关于滑行的时间t(s)的函数关系式是s=−1.5t2+60t，则飞
机着陆后滑行（ ）秒才能停下来？
A．10 B．15 C．20 D．30
6．已知二次函数 ，点 ， 均在该二次函数图象上．
y=(x−a−3)(x+a) A(−1,y ) B(x ,y )
1 2 2
若y ≥ y ，则x 的取值范围为（ ）
1 2 2
A．−4≤x ≤−1 B．−1≤x ≤4 C．4≤x ≤6 D．6≤x ≤8
2 2 2 2
7．若关于x的一元二次方程mx2−6mx+3=0有两个实数根，则m的取值范围为（ ）
1 1 1 1
A．m< B．0
11 1 2 1 2
”“<”或=”）．
14．当n≤x≤n+1时，若二次函数y=x2−4x+3的最大值为2，则n的值为
．三、解答题（本题共7小题，共58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15．（8分）如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于点A(−1,0)、B(3,0)，与y轴交于点
C．
(1)求抛物线的解析式，并求抛物线的顶点坐标；
(2)求△ABC的面积．
16．（8分）某工厂现有40台机器，每台机器平均每天生产192件产品，现准备增加一批
同类机器以提高生产总量，在试生产中发现，由于其他生产条件没变，因此每增加一
台机器，每台机器平均每天将少生产4件产品．
(1)如果增加x台机器，每天的生产总量为y件，请你写出y与x之间的关系式；
(2)增加多少台机器，可以使每天的生产总量最大？最大生产总量是多少？
17．（8分）如图为一座拱桥的示意图，桥洞的拱形是抛物线，已知水面宽12m，桥洞顶
部离水面4m．
(1)请在示意图中建立合适的平面直角坐标系，并求出抛物线的函数表达式．
(2)若有一艘船的宽度为4m，高度为3m，则这艘船能否从该桥下通过？18．（8分）天山胜利隧道预计于2025年建成通车，它将成为世界上最长的高速公路隧道，
能大大提升区域交通效率，促进经济发展．如图是隧道截面图，其轮廓可近似看作是
抛物线的一部分．若隧道底部宽12米，高8米，按照如图所示的方式建立平面直角坐
标系．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)该隧道设计为单向双车道通行，车辆顶部在竖直方向上与隧道的空隙不少于0.5米，
当两辆车在隧道内并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔2米（中心线
宽度不计）．若宽3米，高3.5米的两辆车并排行驶，能否安全通过？请说明理由．
19．（8分）【问题背景】（1）小明以“种植农作物”为主题在自己家100平方米的土地
上进行课外实践活动，现有A、B两种农作物的相关信息如表：
A作物 B作物
每平方米种植株数 2 10
（株）
单株产量（千克） 1.2 0.5
（2）经调研发现：种植A作物，每平方米每增加1株，A作物的单株产量就减少0.1千
克；
（3）若同时种植A、B两种作物，实行分区域种植．
【问题解决】
(1)种植A作物，设每平方米增加x株（x为正整数），用含x的代数式表示：
①每平方米有________株；②单株产量为________千克．(2)要使A作物每平方产量达到4.8千克，则每平方米A作物应种植多少株？
(3)设这100平方米的土地中有a平方米用来种植A作物（a≥10），且要求每平方米种
植A作物产量达到最大，其余区域按每平方米种植10株B作物，当这100平方米的总
产量不低于496千克时，求a的取值范围．
20．（8分）综合与实践
【问题背景】某课外科学活动小组研究一个小球在一条足够长且平直的轨道上的运动
问题．如图，轨道起始段（AC段）绝对光滑，不存在阻力；剩余部分（CB段）粗糙，
存在恒定的摩擦力，会使小球速度逐渐减小直至停止．
【实验操作】活动小组经过研究，得出小球运动过程中速度v（单位：cm/s）与时间t
（单位：s）的关系（如图1所示），以及路程s（单位：cm）与时间t（单位：s）的
1
关系（如图2所示）．其中，图2中PQ段是抛物线s=− t2+mt+n的一部分．已知
4
小球初速度v =10cm/s．
0
【建立模型】
任务1：根据图1和图2提供的信息，确定轨道初段AC的长度为_____cm；
任务2：①求小球在粗糙轨道（射线CB对应部分）上运动时，速度v(cm/s)与时间
t(s)之间的函数关系式．
②求小球从开始出发到最终停止，行进的总路程．
【拓展延伸】任务3：在任务2的条件下，探究在粗糙轨道段（射线CB上）是否存在
一节长为9.75cm的轨道，使得小球在通过该段过程中，所用时间恰好为1秒．若存在，
请求出这节轨道的起点与点A之间的距离；若不存在，请说明理由．21．（10分）已知二次函数 的图象与 轴的交于 、 两点，与
y=x2+bx+c(a≠0) x A B(1,0)
y轴交于点C(0,−3)，
(1)求二次函数的表达式及A点坐标；
(2)D是二次函数图象上位于第三象限内的点，求△ACD面积最大时点D的坐标；
(3)M是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点N．使以M、N、
B、O为顶点的四边形是平行四边形？若有，请写出点N的坐标（不写求解过程）
