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全等变化模型一 8 字全等模型
【模型展示】
【模型条件】如图，直线
l
1
∥l
2，
ON=OM
△ABO≃△CDO，△BMO≃△DNO，△BMO≃△DNO
【模型结论】
△MEO≃△NHO，△EFO≃△HGO.
【模型解析】从变化方式的角度分析，8字全等模型可以看成是两个全等三
角形绕三角形的一个顶点旋转180°而得；
从图形的结构分析，8字全等模型是由两条平行线和平行线间
的中点组成的.
【知识链接】三线八角，对顶角相等
【模型总结】①当两条平行线间出现中点时，一般都会形成全等；
②在运用和求证线段中点时，可以尝试构造8字全等来解决。
③倍长中线是8字全等最常见的运用，在三角形中线问题经
常采用此方法处理。.
【模型巩固】
【例1-1】如图， 是 的中线， ， ，求中线 的取值范围．
【解答】解：如图所示，延长 到 ，使 ，连接 ，
是 的中线，
，
在 和 中，
，
，，
在 中，有 ，
即 ，
．
【例1-2】如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AM⊥BC于点M，点D在AM上，且DM＝CM，F是
BC的中点，连接FD并延长，在FD的延长线上有一点E，连接CE，且CE＝CA，∠BDF＝36°，
求∠E的度数．
【分析】先证明△AMC≌△BMD，延长 EF 到点 G，使得 FG＝EF，连接 BG．再证
△BFG≌△CFE 可得 BG＝CE，∠G＝∠E，从而得 BD＝BG＝CE，即可得∠BDG＝∠G＝
∠CEF．
【解答】解：∵∠ABM＝45°，AM⊥BM，
∴∠BMD＝∠AMC，BM＝AM，
在△BMD和△AMC中，
，
∴△BMD≌△AMC（SAS），
如图，延长EF到点G，使得FG＝EF，连接BG．
∵△BMD≌△AMC
∴BD＝AC，
又∵CE＝AC，
∴BD＝CE，
在△BFG和△CFE中，
，
∴△BFG≌△CFE（SAS），
∴BG＝CE，∠G＝∠CEF，
∴BD＝CE＝BG，
∴∠BDF＝∠G＝∠CEF．∴∠BDF＝∠CEF，
∴∠E＝36°．
【例1-3】如图，四边形ABDC中，∠D＝∠ABD＝90°，点O为BD的中点，AB+CD＝AC．
（1）求证：CO平分∠ACD；
（2）求证：AO平分∠BAC，OA⊥OC．
【解答】证明：（1）延长AO交CD的延长线于E．
∵∠D＝∠ABD＝90°，
∴∠CDB+∠ABD＝90°，
∴AB∥CE，
∴∠BAO＝∠E，
在△ABO和△EDO中，
，
∴△ABO≌△EDO，
∴AO＝OE，AB＝DE，
∵AC＝AB+CD，CE＝CD+DE＝CD+AB，
∴CA＝CE，∵OA＝OE，
∴OC平分∠ACD．
（2）∵CA＝CE，∴∠CAE＝∠E，
∵∠E＝∠BAE，
∴∠CAO＝∠OAB，
∴OA平分∠CAB，
∵CA＝CE，OA＝OE，
∴CO⊥AO．
【例1-4】如图，等边三角形ABC中，E是线段AC上一点，F是BC延长线上一点．连接BE，AF．
点G是线段BE的中点，BN∥AC，BN与AG延长线交于点N．
（1）若∠BAN＝15°，求∠N；
（2）若AE＝CF，求证：2AG＝AF．
【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵AC∥BN，
∴∠NBC＝∠ACB＝60°，
∴∠ABN＝∠ABC+∠NBC＝120°，
∴在△ABN中，
∠N＝180°﹣∠ABN﹣∠BAN＝180°﹣120°﹣15°＝45°；
（2）∵AC∥BN，
∴∠N＝∠GAE，∠NBG＝∠AEG，
又∵点G是线段BE的中点，
∴BG＝EG，
∴△NBG≌△AEG（AAS），
∴AG＝NG，AE＝BN，
∵AE＝CF，
∴BN＝CF，
∵∠ACB＝60°，
∴∠ACF＝180°﹣∠ACB＝120°，∴∠ABN＝∠ACF，
又∵AB＝AC，
∴△ABN≌△ACF（SAS），
∴AF＝AN，
∵AG＝NG＝ AN，
∴AF＝2AG．
【例1-5】如图，在等边三角形 中，点 为 边上一动点（点 不与 、 重合），延长
至点 ，使 ，连接 交 于点 ， 于点 ．
①求证： ； ②探究 与 的数量关系，并证明．
【解答】（1）证明：过点 作 ，交 于点 ，如图所示：
在等边 中， ，
，
， ， ，
是等边三角形， ，
， ，
在 和 中，
，
，
；
（2）解： ．理由如下：
是等边三角形，且 ，
，
， ，
，
，
．【模型拓展】
【拓展1-1】（1）【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，在△ABC中，
若AB＝13，AC＝9，求BC边上的中线AD的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法，延长 AD至点E，使DE＝AD，连接BE，容
易证得△ADC≌△EDB，再由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是 2 ＜ AD ＜ 1 1 ．
解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的
已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中．
（2）【初步运用】如图 2，AD 是△ABC 的中线，BE 交 AC 于 E，交 AD 于 F，且∠FAE＝
∠AFE．若AE＝4，EC＝3，求线段BF的长．
（3）【拓展提升】如图3，在△ABC中，D为BC的中点，DE⊥DF分别交AB，AC于点E，F．
求证：BE+CF＞EF．
【分析】（1）先判断出△ADC≌△EDB（SAS），得出BE＝AC＝9，最后用三角形的三边关系计
算；
（2）延长AD到M，使AD＝DM，连接BM，证明△ADC≌△MDB，根据全等三角形的性质解答；
（3）延长ED到点G，使GD＝ED，连接CG、GF、EF，先证明△CDG≌△BDE，得CG＝BE，
根据三角形的三边关系得CG+CF＞GF，则BE+CF＞GF，由DF垂直平分EG得GF＝EF，所以
BE+CF＞EF．
【解答】（1）解：延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE，
在△ADC和△EDB中，
，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴BE＝AC＝9，
∵AB﹣BE＜AE＜AB+BE，
∴4＜AE＜22
∴2＜AD＜11，
故答案为：2＜AD＜11．
（2）延长AD到M，使AD＝DM，连接BM，如图2，∵AD是△ABC中线，
∴BD＝DC，
在△ADC和△MDB中，
，
∴△ADC≌△MDB（SAS），
∴BM＝AC，∠CAD＝∠M，
∵∠AFE＝∠AEF，
∴AE＝EF＝4，
∴AC＝AE+CE＝7，
∴BM＝AC＝7，
∴∠CAD＝∠AFE，
∵∠AFE＝∠BFD，
∴∠BFD＝∠CAD＝∠M，
∴BF＝BM＝AC，
即AC＝BF＝7；
（3）证明：如图3，延长ED到点G，使GD＝ED，连接CG、GF，
∵D是BC边上的中点，
∴CD＝BD，
在△CDG和△BDE中，
，
∴△CDG≌△BDE（SAS），∴CG＝BE，
∵CG+CF＞GF，
∴BE+CF＞GF，
∵DE⊥DF，GD＝ED，
∴DF垂直平分EG，
∴GF＝EF，
∴BE+CF＞EF．
【拓展1-2】如图1，在 中， ， 、 分别为斜边 上两点，且 ，
，连接 、 ．
（1）求 的度数；
（2）如图 2，过点 作 于点 ，交 的延长线于点 ，在 上选取一点 ，使得
，连接 ，在 上选取一点 ，使得 ，连接 、 ，求证： ．
【解答】解：（1）如图1中，
， ，
， ，
， ，
，
，
，
．
（2）如图2中，延长 到 ，使得 ．
， ， ，
，
， ，
，
，
， ，
，，
，
，
，
， ，
，
HBF GMF ，
FH FG．
【拓展1-3】如图1，在△ABC中，AB＝AC，D、E在BC边上，连接AD、AE，AD＝AE；
（1）求证：BD＝CE；
（2）如图2，F为AE上一点，连接DF、CF，若DF＝CF，∠DAE＝60°，求证：AF＝CE．
（3）如图3，在（2）的条件下，N为DE上一点，连接AN，∠BAD＝2∠DAN，M为DF中点，
连接AM，若AM＝6，AF＝5，求EN的长．
【解答】（1）证明：如图1中，过点A作AH⊥BC于点H．
∵AB＝AC，AD＝AE，AH⊥BC，
∴BH＝CH，DH＝EH，
∴BD＝CE，
∴BD+DE＝EC+DE，即BE＝CD；
（2）证明：过点F作FT∥DE交AD于点T．
∵AD＝AE，∠DAE＝60°，∴△ADE是等边三角形，
∴∠ADE＝∠AED＝60°，
∵FT∥DE，
∴∠ATF＝∠ADE＝60°，∠AFT＝∠AED＝60°，
∴△AFT是等边三角形，
∴AT＝AF＝FT，
∵AD＝AE，
∴DT＝EF，
∵FD＝FC，
∴∠FDC＝∠FCD＝∠DFT，
∵∠DTF＝∠CEF＝120°，
∴△FTD≌△CEF（AAS），
∴FT＝CE，
∴AF＝EC；
（3）解：如图3中，延长AM到Q，使得MQ＝AM，则AQ＝2AM＝12，设∠DAN＝ ，则∠BAD
＝∠CAE＝2 ．
α
α
∴∠B＝60°﹣2 ，
∴∠CNA＝∠B+∠BAN＝60°﹣2 +3 ＝60°+ ，∠CAN＝∠CAE+∠EAN＝2 +60°﹣ ＝60°+ ，
α
∴∠CNA＝∠CAN，
α α α α α α
∴CN＝CA，
∵MA＝MQ，∠AMF＝∠QMD，MF＝MD，
∴△MAF≌△MQD（SAS），
∴AF＝DQ，∠MAF＝∠Q，
∴DQ∥AE，
∴∠ADQ＝180°﹣∠DAE＝120°，
∵∠ADE＝60°，
∴∠ADB＝180°﹣∠ADE＝120°，
∴∠ADB＝∠ADQ＝120°，
∵BD＝EC＝AF＝5，∴DB＝DQ，
∵AD＝AD，
∴△ADB≌△ADQ（SAS），
∴AB＝AQ＝12，
∴AC＝AB＝CN＝12，
∴EN＝12﹣5＝7．
