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第24 章 圆（单元测试·培优卷）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．如图，⊙O的直径CD＝20，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OD＝3：5，则AB的长为
（ ）
A．8 B．12 C．16 D．2
2．矩形ABCD中，AB＝8， ，点P在边AB上，且BP＝3AP，如果圆P是以点P 为圆心，
PD为半径的圆，那么下列判断正确的是（ ）．
A．点B、C均在圆P外； B．点B在圆P外、点C在圆P内；
C．点B在圆P内、点C在圆P外； D．点B、C均在圆P内．
3．小颖同学在手工制作中，把一个边长为12cm的等边三角形纸片贴到一个圆形的纸片上，若三角形
的三个顶点恰好都在这个圆上，则圆的半径为（ ）
A．2 cm B．4 cm C．6 cm D．8 cm
4．如图，四边形 是 的内接四边形．若 ，则 的度数为（ ）
A．138° B．121° C．118° D．112°
5．如图， 是 的外接圆，且 ，在弧AB上取点D（不与点A，B重合），
连接 ，则 的度数是（ ）A．60° B．62° C．72° D．73°
6．如图，点A，B，C，D均在⊙O上，直径AB＝4，点C是 的中点，点D关于AB对称的点为
E，若∠DCE＝100°，则弦CE的长是（ ）
A． B．2 C． D．1
7．如图所示，已知三角形 为直角三角形， ，BC为 切线， 为切点， 为
直径， 则 和 面积之比为（ ）
A． B． C． D．
8．如图， 是 的切线，点A为切点， 交 于点B， ，点C在 上， ．
则 等于（ ）A．20° B．25° C．30° D．50°
9．如图，已知OT是Rt ABO斜边AB上的高线，AO=BO．以O为圆心，OT为半径的圆交OA于点
C，过点C作⊙O的切线CD，△交AB于点D．则下列结论中错误的是（ ）
A．DC=DT B．AD= DT C．BD=BO D．2OC=5AC
10．如图， 是 的直径， 是 的弦，先将 沿 翻折交 于点 ．再将 沿 翻
折交 于点 ．若 ，设 ，则 所在的范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．点 是非圆上一点，若点 到 上的点的最小距离是 ，最大距离是 ，则 的半径是
．
12．如图， 是 的直径，弦 于点E， ， ，则 的半径 ．13．如图，在 中， ，⊙ 过点A、C，与 交于点D，与 相切于点C，若
，则
14．如图， 与 的边 相切，切点为 ．将 绕点 按顺时针方向旋转得到 ，
使点 落在 上，边 交线段 于点 ．若 ，则 度．
15．如图，等边三角形ABC的边长为4， 的半径为 ，P为AB边上一动点，过点P作 的切
线PQ，切点为Q，则PQ的最小值为 ．
16．如图，正方形 内接于 ， ， 分别与 相切于点 和点 ， 的延长线与 的
延长线交于点 ．已知 ，则图中阴影部分的面积为 ．17．如图， 是等腰直角三角形， ， ，点D是斜边AB上一点，且
，将 绕点D逆时针旋转90°得到 ， 交AB于点E，其中点C的运动路径为弧
，则弧 的长度为 ．
18．如图，在矩形 中， ，M是边 上一动点（不含端点），将 沿直线
对折，得到 ．当射线 交线段 于点P时，连接 ，则 的面积为 ；
的最大值为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）如图，在 中， ，点D，E在 上， ．过A，D，E三点作 ，
连接 并延长，交 于点F．
（1）求证 ；
（2）若 ，求 的半径长．20．（8分）如图，在 上依次取点B，A，C使 ，连接 ，取 的中点D，连
接 ，在弦 右侧取点E，使 ，且 ，连接 ．
（1）求证： ．
（2）若 ，求 的长．
21．（10分）如图， 是 的直径，点F，C是 上两点，且 ，连接 ， ，
过点C作 ，交 的延长线于点D，垂足为D．
（1）求证： 是 的切线；（2）若 ，求 的长度；
22．（10分）如图，在 中， ，以 为直径作 交 于点D，交 于点E，连接
．
（1）求证： ；
（2）连接 ， ，当 __________时，四边形 为菱形；
（3）若 ， ，则 __________．
23．（10分）如图，在边长为6的等边 中， 是 上的点，以 为圆心， 的长为半径作圆
交 于点 ，交 于点 ．（1）如图1，点 与点 重合时， 交 于点 ．
①连接 ， 的形状是________；
②求 的长．
（2）如图2，当 时，求证： 与 相切．
24．（12分）已知⊙O是 的外接圆， 为⊙O的直径，点N为 的中点，连接 并延长交
⊙O于点E，连接 交 于点D．
（1）如图1，求证： ；
（2）如图2，过点D作 ， 交 于点F，交⊙O于点G，连接 若 ，求
证： ；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接 ，若 ，求 的长．参考答案
1．C
【分析】连接OA，先根据⊙O的直径CD＝20，OM：OD＝3：5求出OD及OM的长，再根据勾股定
理可求出AM的长，进而得出结论．
解：连接OA，
∵⊙O的直径CD＝20，OM：OD＝3：5，
∴OD＝10，OM＝6，
∵AB⊥CD，
∴ ，
∴AB＝2AM＝16．故选：C．
【点拨】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心
距和弦长的一半为三边的直角三角形，若设圆的半径为r，弦长为a，这条弦的弦心距为d，则有等式
成立，知道这三个量中的任意两个，就可以求出另外一个．
2．C
解：∵AB=8，点P在边AB上，且BP=3AP
∴AP=2，
∴根据勾股定理得出，r=PD= =7，
PC= =9，
∵PB=6＜r，PC=9＞r
∴点B在圆P内、点C在圆P外,故选C．
【点拨】点与圆的位置关系的判定，难度系数中等，此题应根据点与圆心之间的距离和圆的半径的大
小关系作出判断
3．B
解：过点A作BC边上的垂线交BC于点D，过点B作AC边上的垂线交AD于点O，则O为圆心．
设⊙O的半径为R，由等边三角形的性质知：∠OBC=30°，OB=R，
∴BD=cos∠OBC×OB= R，BC=2BD= R．
∵BC=12，
∴R= = ．
故选B．考点：三角形的外接圆与外心；等边三角形的性质．
4．C
【分析】由圆内接四边形的性质得 ，再由圆周定理可得 ．
解：∵四边形ABCD内接于圆O，
∴
∵
∴
∴
故选：C
【点拨】本题主要考查了圆内接四边形的性质和圆周角定理，熟练掌握相关性质和定理是解答本题的
关键
5．C
【分析】连接CD，根据等腰三角形的性质可求∠ACB的度数，然后根据圆周定理求出
∠BAD=∠BCD，∠ABD=∠ACD，从而可求出 的度数．
解：连接CD，
则∠BAD=∠BCD，∠ABD=∠ACD，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
又∠BAC=36°，
∴∠ACB= ，
∴∠BAD+∠ABD=∠BCD+∠ACD=∠ACB=72°．
故选：C．
【点拨】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质等知识，根据圆周角定理得出∠BAD=∠BCD，
∠ABD=∠ACD是解题的关键．
6．A【分析】连接 、 、 、 、 ，过点 作 于点 ，根据圆内接四边形的性质得
，根据对称以及圆周角定理可得 ，由点 是 的中点可得
， ，根据等腰三角形以及直角三角形的性质即可求解．
解：连接 、 、 、 、 ，过点 作 于点 ，
，
，
点 关于 对称的点为 ，
，
，
点 是 的中点，
，
，
， ，
， ，
直径 ，
，
，
．
故选：A．
【点拨】本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质，等腰三角形以及直角三角形的性质，求出
是解题的关键．
7．B
【分析】根据圆周角定理，切线的性质以及等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定及性质进行计算即可．
解：如图取 中点O，连接 ．
∵ 是圆O的直径．
∴ ．
∵ 与圆O相切．
∴ ．
∵ ．
∴ ．
∵ ．
∴ ．
又∵ ．
∴ ．
∵ ， ， ．
∴ ．
∴ ．
∵点O是 的中点．
∴ ．
∴ ．
∴
故答案是：1∶2．
故选：B．
【点拨】本题考查切线的性质，圆周角定理，等腰三角形以及全等三角形的性质，理解切线的性质，
圆周角定理以及全等三角形的判定和性质是解决问题的前提．8．B
【分析】连接OA，求出∠POA= 80°，根据等腰三角形性质求出∠OAB=∠OBA=50°，进而求出
∠AOC=130°，得到∠C=25°，根据平行线性质即可求解．
解：如图，连接OA，
∵ 是 的切线，
∴∠PAO=90°，
∵ ，
∴∠POA=90°-∠P=80°，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=50°，
∵ ，
∴∠BOC=∠ABO=50°，
∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=130°，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠C=25°，
∵ ，
∴∠BAC=∠C=25°．
故选：B
【点拨】本题考查了切线的性质，圆的半径都相等，平行线的性质等知识，熟知各知识点是解题关键．
一般情况下，在解决与圆有关的问题时，根据圆的的半径都相等，可以得到等腰三角形，进而可以进行线
段或角的转化．
9．D
【分析】根据切线的判定知DT是⊙O的切线，根据切线长定理可判断选项A正确；可证得 ADC是等
腰直角三角形，可计算判断选项B正确；根据切线的性质得到CD=CT，根据全等三角形的性质得△到
∠DOC=∠TOC，根据三角形的外角的性质可判断选项C正确；解：如图，连接OD．
∵OT是半径，OT⊥AB，
∴DT是⊙O的切线，
∵DC是⊙O的切线，
∴DC=DT，故选项A正确；
∵OA=OB，∠AOB=90°，
∴∠A=∠B=45°，
∵DC是切线，
∴CD⊥OC，
∴∠ACD=90°，
∴∠A=∠ADC=45°，
∴AC=CD=DT，
∴AD= CD= DT，故选项B正确；
∵OD=OD，OC=OT，DC=DT，
∴△DOC≌△DOT（SSS），
∴∠DOC=∠DOT，
∵OA=OB，OT⊥AB，∠AOB=90°，
∴∠AOT=∠BOT=45°，
∴∠DOT=∠DOC=22.5°，
∴∠BOD=∠ODB=67.5°，
∴BO=BD，故选项C正确；
∵OA=OB，∠AOB=90°，OT⊥AB，
设⊙O的半径为2，
∴OT=OC=AT=BT=2，∴OA=OB=2 ，
∴ ，
2OC 5AC故选项D错误；
故选：D．
【点拨】本题考查了切线的性质，圆的有关知识，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，
正确的识别图形、灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
10．B
【分析】将⊙O沿BC翻折得到⊙O′，将⊙O′沿BD翻折得到⊙O″，则⊙O、⊙O′、⊙O″为等圆．依据
在同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧相等可证明 ，从而可得到弧AC的度数，由弧AC
的度数可求得∠B的度数．
解：将⊙O沿BC翻折得到⊙O′，将⊙O′沿BD翻折得到⊙O″，则⊙O、⊙O′、⊙O″为等圆．
∵⊙O与⊙O′为等圆，劣弧AC与劣弧CD所对的角均为∠ABC，
∴ ．
同理： ．
又∵F是劣弧BD的中点，
∴ ．
∴ ．
∴弧AC的度数=180°÷4=45°．
∴∠B= ×45°=22.5°．
∴ 所在的范围是 ；故选：B．
【点拨】本题主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了翻折的性质、弧、弦、圆周角之间的
关系、圆内接四边形的性质，等腰三角形的判定，找出图形中的等弧是解题的关键．
11． 或
【分析】分点 在 外和 内两种情况分析；设 的半径为 ，根据圆的性质列一元一次方
程并求解，即可得到答案．
解：设 的半径为
当点 在 外时，根据题意得：
∴
当点 在 内时，根据题意得：
∴
故答案为： 或 ．
【点拨】本题考查了圆、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握圆的性质，从而完成求解．
12．
【分析】设半径为r，则 ，得到 ，由垂径定理得到 ，再根据勾股定理，
即可求出答案．
解：由题意，设半径为r，
则 ，
∵ ，
∴ ，
∵ 是 的直径，弦 于点E，
∴点E是CD的中点，
∵ ，
∴ ，
在直角△OCE中，由勾股定理得
，
即 ，
解得： ．故答案为： ．
【点拨】本题考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是熟练掌握垂径定理和勾股定理进行解题．
13． /64度
【分析】根据同弧对应的圆心角是圆周角的2倍计算出 ，再根据 ，内错角
得到答案．
解：如下图所示，连接OC
从图中可以看出， 是圆弧 对应的圆周角， 是圆弧 对应的圆心角
得 ．
∵BC是圆O的切线
∴
∵
∴
∴
∴
故答案为： ．
【点拨】本题考查圆的切线的性质，圆周角定理、平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握圆和
平行线的相关知识．
14．85
【分析】连结OO′，先证△BOO′为等边三角形，求出∠AOB=∠OBO′=60°，由 与 的边 相
切，可求∠CBO==30°，利用三角形内角和公式即可求解．
解：连结OO′，
∵将 绕点 按顺时针方向旋转得到 ，
∴BO′=BO=OO′，
∴△BOO′为等边三角形，∴∠OBO′=60°，
∵ 与 的边 相切，
∴∠OBA=∠O′BA′=90°，
∴∠CBO=90°-∠OBO′=90°-60°=30°，
∵∠A′=25°
∴∠A′O′B=90°-∠A′=90°-25°=65°
∴∠AOB=∠A′O′B=65°，
∴∠OCB=180°-∠COB-∠OBC=180°-65°-30°=85°．
故答案为85．
【点拨】本题考查图形旋转性质，切线性质，等边三角形判定与性质，直角三角形性质，掌握图形旋
转性质，切线性质，等边三角形判定与性质，直角三角形性质是解题关键．
15．3
【分析】连接OC和PC，利用切线的性质得到CQ⊥PQ，可得当CP最小时，PQ最小，此时
CP⊥AB，再求出CP，利用勾股定理求出PQ即可．
解：连接QC和PC，
∵PQ和圆C相切，
∴CQ⊥PQ，即△CPQ始终为直角三角形，CQ为定值，
∴当CP最小时，PQ最小，
∵△ABC是等边三角形，
∴当CP⊥AB时，CP最小，此时CP⊥AB，
∵AB=BC=AC=4，
∴AP=BP=2，
∴CP= = ，
∵圆C的半径CQ= ，∴PQ= =3，
故答案为：3．
【点拨】本题考查了切线的性质，等边三角形的性质，以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助
线的作法，注意得到当PC⊥AB时，线段PQ最短是关键．
16．
【分析】连接AC，OD，根据已知条件得到AC是⊙O的直径，∠AOD=90°，根据切线的性质得到
∠PAO=∠PDO=90°，得到△CDE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到PE= ，根据梯形
和圆的面积公式即可得到答案．
解：连接AC，OD，
∵四边形BCD是正方形，
∴∠B=90°，
∴AC是⊙O的直径，∠AOD=90°，
∵PA，PD分别与⊙O相切于点A和点D，
∴∠PAO=∠PDO=90°，
∴四边形AODP是矩形，
∵OA=OD，
∴矩形AODP是正方形，
∴∠P=90°，AP=AO，AC∥PE，
∴∠E=∠ACB=45°，
∴△CDE是等腰直角三角形，
∵AB=2，
∴AC=2AO=2 ，DE= CD=2 ，∴AP=PD=AO= ，
∴PE=3 ，
∴图中阴影部分的面积
故答案为：5-π．
【点拨】本题考查了正多边形与圆，正方形的性质，切线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正
确的作出辅助线是解题的关键．
17． /
【分析】如图所示，过点C作 于F，连接 ，先利用勾股定理得到 ，则
，再求出 ，即可求出 ， ，再根据弧长公式求解即可．
解：如图所示，过点C作 于F，连接 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
由旋转的性质得 ，
∴弧 的长度为 ，
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了求弧长，等腰直角三角形的性质，勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角
形求出 的长是解题的关键．
18．
【分析】（1）根据等底等高的三角形和矩形面积关系分析求解；
（2）结合勾股定理分析可得，当 最大时， 即最大，通过分析点N的运动轨迹，结合勾股定理
确定 的最值，从而求得 的最大值．
解：由题意可得 的面积等于矩形 的一半，
∴ 的面积为 ，
在 中， ，
∴当 最大时， 即最大，
由题意可得点N是在以D为圆心4为半径的圆上运动，当射线 与圆相切时， 最大，此时C、
N、M三点共线，如图：由题意可得： ， ，
∴ ， ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
故答案为： ， ．
【点拨】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；本题综
合性强，难度较大，熟练掌握矩形和折叠的性质，分析点的运动轨迹，证明三角形全等是解决问题的关键．
19．（1）见分析；（2）5
【分析】（1）如图所示，连接 ，先证明 ．得到 ，再由
得到 垂直平分 ，即可证明 ；
（2）利用三线合一定理得到 ．则 ．求出 ．设半径为r，则 ．在
中，利用勾股定理建立方程求解即可．
解：（1）证明：如图所示，连接 ，
∵ ．
∴ ．
又∵ ．
∴ ．
∴ ，又∵ ．
∴ 垂直平分 ，
∴ ．
（2）解：∵ ．
∴ ．
∵ ．
∴ ．
∵ ．
∴ ．
设半径为r，则 ．
在 中， ，
∴ ，
解得 ．
∴ 的半径长为5．
【点拨】本题主要考查了圆的基本性质，勾股定理，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质和判
定等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
20．（1）见分析；（2）
【分析】（1）根据 即可证明 ；
（2）作 于点H，求出 ，再根据 得 ,从而可得结论．
解：（1）∵ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∵D为 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴
（2）作 于点H，
∵ ，
∴ .
∵ ，
∴ ， ，
在 中，
∵ ，
∴ ．
【点拨】本题主要考查了圆的有关概念，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，正确作出辅助
线构造直角三角形是解答本题的关键．
21．（1）见分析；（2）4
【分析】（1）连接 ，先得到 ，又 ，有 ，从而证得
， ，又 ，有 ，从而证得结论．
（2）根据 ，得出 ，从而得到 ，从而得到
，在 中，设 ，则 ，根据 构造方程求解 即可．解：（1）证明：连接 ，如图，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是 的切线；
（2）解：∵ 为直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴由（1）得 ， ，
在 中， ，
在 中，设 ，则 ，
∴ ，即： ，
解得 ，
∴ 的长为 .
【点拨】本题考查了切线的判定定理，解直角三角形，作出辅助线，找到相等角的关系，并求出特殊
角是求解此题的关键．22．（1）见分析；（2） ；（3）
【分析】（1）设 ，在圆内接四边形 中， ，则
，得出 ，即可得证；
（2）根据四边形 为菱形，得出 ，进而得出 为等边三角形，根据等边三角
形的性质即可求解；
（3）连接 在 ， 中，勾股定理分别求得 ，在在 中，根
据斜边上的中线等于斜边的一半即可求解．
解：（1）证明： ，
设 ．
在圆内接四边形 中， ．
．
．
；
（2）若四边形 为菱形，则 ．
．
同理 ．
．
．
．
为等边三角形．
故答案为： ．
（3）如图，连接 ， ，
．
在 中， ．
在 中， ．
如图，连接 ，则 ．
．在 中， ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了圆内接四边形对角互补，直径所对的圆周角是直角，等腰三角形的性质，菱形的
性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握以上
知识是解题的关键．
23．（1）①等边三角形；② 的长为 ；（2）见分析
【分析】（1）①连接 ，证明 、 、 都是等边三角形，据此即可证明
是等边三角形；
②利用弧长公式即可求解；
（2）过点O作 于点H，在 中，利用直角三角形的性质以及勾股定理求得
，据此即可得到结论．
（1）解：①连接 ，
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，同理 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ 是等边三角形；
故答案为：等边三角形；
②由①知 ，
∵点 与点 重合，
∴ 的半径为 ，
∴ 的长 ；
（2）证明：如图，过点O作 于点H，
∵ 是等边三角形，
∴ ，
在 中， ， ， ，
∴ ， ， ，
∵ ，即 为 的半径，
∴ 与 相切．
【点拨】本题考查了切线的判定，等边三角形的判定和性质，弧长公式，解题的关键是灵活运用所学
知识解决问题．24．（1）见分析；（2）见分析；（3）
【分析】（1）利用“在同圆中，等弧所对的圆周角相等”即可求证；
（2）先利用全等三角形证 ，再证 ，即可求证；
（3）根据全等三角形的判定与性质，结合勾股定理即可求解．
解：（1）证明：如图1，过点O作 ，交⊙O于点P，连接 交 于Q，
∴ ，
∵点N为 的中点，
∴
∵AB是⊙O的直径，
∴ ，
∴ ，
∴
∴ ，
中， ，
（2）证明：在 和 中：
∴ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：如图3，过点G作 于K，延长 交 于点H，
由（2）知： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
设 ，则 ，
由（2）知： ，
在 和 中： ，
∴ ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴
由勾股定理得： ，
∴
解得： （舍）
【点拨】本题考查了圆的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点．利用相关条件进行严
密的几何推理是解题关键．
